SULL'ORIGINE DELL'INTERPRETAZIONE STATISTICA DELLA...

SULLORIGINE DELLINTERPRETAZIONE STATISTICA DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Sandro Graffi

l Natura Cacit saltus

La meccanica quantistica egrave una teoria fisica nata per descrivere determinati fenomeni microscopici in marcato contrasto con la noshystra intuizione Immaginiamo ad esempio di giocare a tennis contro un muro Graduando con dolcezza limpulso impresso dal braccio riusciremo a fare rimbalzare la palla tra muro e racchetta a tutte le velocitagrave consentite dal nostro vigore muscolare Immaginiamo ora di potere mettere al posto della palla un elettrone (o una qualsiasi altra particella subatomica) Lelettrone pesa cento miliardi di mishyliardi di miliardi di volte meno della palla (ci vogliono un miliardo di miliardi di miliardi di elettroni per fare un grammo) Ebbene in tal caso anche graduando limpulso con la massima dolcezza possishybile non saremmo in grado di fare rimbalzare lelettrone a tutte le velocitagrave minori di quella massima consentita Egli si regolerebbe da solo in modo da assumerne solo alcune una certa velocitagrave ben deshyterminata il suo doppio il suo triplo il suo quadruplo e via via tutti gli altri suoi multipli interi Dunque non si puograve piugrave passare con continuitagrave da un valore della velocitagrave ad uno vicino quanto si vuole ma si deve saltare da un multiplo allaltro Questo egrave lesemshypio piugrave semplice che riesco a immaginare del fenomeno fondamenshytale della fisica microscopica la quantizzazione Esso si verifica

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quando le grandezze fisiche (energia velocitagrave ecc) non variano cori continuitagrave ma fanno dei salti da un valore consentito allaltro I valori consentiti e lampiezza dei salti (detti salti quantici) dishypendono da una quantitagrave fondamentale in fisica la costante di Planck1 detta quanto dazione e denotata h Lazione egrave il prodotto fra la velocitagrave di un oggetto mobile la sua massa e la distanza che ha percorso in un certo intervallo di tempo2 Il valore di h vale grosso modo lazione compiuta dal moto di un elettrone che ha pershycorso un milionesimo di centimetro alla velocitagrave di un chilometrmiddoto al secondo ed egrave almeno un miliardo di miliardi di miliardi di volte piugrave piccolo delle azioni compiute nei fenomeni che osserviamo quoshytidianamente

Dunque contrariamente a quanto pensava Leibnitz natura fashycit saltus sempre che la si osservi su scala microscopica (cosa che Leibnitz non aveva la possibilitagrave di fare) Il fatto che i salti quantishyci si verifichino per davvero egrave una constatazione sperimentale anshyche se altamente antiintuitiva Daltra parte bisogna tenere presenshyte (e non lo si ripeteragrave mai abbastanza in questo contesto) che la

1 Dal nome di Max Planck (1858-1947) allepoca professore di fisica teorica allUnivershysitagrave Humholdt di Berlino Le 08selVazioni sperimentali del 1900 di H Rubens e F KurIshybaum anche loro fisici di Berlino sulla radiazione di corpo nero non si riuscivano a spiegashyre con la teoria classica (non egrave necessario pemiddotla comprensione di questo articolo cercare di descrivere gli aspetti tecnici del problema che fanno intervenire un certo numero di nozioni avanzate) Planck introdusse una formula basata sullidea che lemissione e lassorbimento della radiazione potessero avere luogo in porzioni discrete di energia pari a hv vera la freshyquenza della radiazione e h una costante (avente lo dimensione di unenergia per un temshypo) La formula risultava in accordo con le osservazioni scegliendo per h un certo valore pmiddoteciso ~Jtmiddotemamente piccolo Max Planck presentograve il suo risultato ad un incontro della Soshycietagrave di fisica tedesca tenutosi propmiddotio all Universitagrave Humboldt il 14 dicembre 1900 (questo avvenimento costituisce latto di nascita della teoria dei quanti ma non certamente della meccanica quantistica odierna che si sviluppograve negli anni che vanno dal 1925 al 1930 sopshypiantando la cosiddetta teoria semiclassica di Bohr-Sommerfeld Lo sviluppo storico della meccanica quantistica egrave estremamente impomiddottante per lo scopo di questo articolo e lo richiashymerograve nel paragrafo prossimo) Nel 1912 riuscigrave a dedune teoricamente lo sua formula nellishypotesi che i valori consentiti allenergia delle piccole oscillazioni di un pendolo al cui estreshymo si immagina appeso un corpuscolo microscopico fossero tutti e soli i multipli interi e poshysitivi di h moltiplicata per la pulsazione delle oscillazioni (nota oggi come ipotesi di Planck)

2 Lazione puograve essere definita anche come il prodotto dellenergia posseduta dal mobile peo il tempo lungo il quale lo si osserva Questa grandezza ha una grande importanza in mecshycanica percheacute i moti effettivi sono quelli che posseggono azione minima

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Sullorigine deUinterpretazione statistica della meccanica quantistica

nostra intuizione egrave basata sulle nostre percezioni dirette cioegrave sui fenomeni che si conviene chiamare macroscopici mentre il fenomeshyno dei salti quantici egrave microscopico e non puograve essere osservato dishyrettamente3 La meccanica quantistica costituisce la teoria che deshyscrive questi fenomeni microscopici Anche se il dibattito su certi aspetti dei suoi fondamenti egrave ancora aperto essa egrave una teoria geneshyrale e coerente formulabile in pieno rigore matematico Come tale essa egrave dotata di potere predittivo cioegrave puograve prevedere i risultati delshyle esperienze con tutta la precisione che occorre se si preferisce egrave una teoria falsificabile nel senso di Popper Tuttavia fInora non lo egrave mai stata al contrario ha superato cosIgrave brillantemente tutti i tenshytativi di falsificazione finora tentati che da tempo non egrave piugrave lecito alcun dubbio sulla piena validitagrave di tutte le previsioni quantitative che consente nellambito che le egrave proprio Non solo ma alcune delshyle sue applicazioni principali (transistor superfluidi laser ecc) stanno alla base dellindustria microelettronica i cui prodotti hanshyno cambiato la nostra vita quotidiana Dovendo perograve inquadrare e prevedere fenomeni per loro natura assai poco intuitivi egrave fatale che non sia intuitiva nemmeno la formulazione dei suoi principi fondamentali che infatti si allontanano sensibilinente da quelli delshyla meccanica abituale detta classica

2 Meccanica classica e meccanica quantistica contrasti e intrecci

Diversamente dai principi della meccanica classica comprensishybili da chiunque abbia frequentato con profItto una scuola seconshydaria superiore4 quelli della meccanica quantistica possono essere

3 Si noti che fenomeno microscopico od osservabile su scala microscopica non vuoi dishyre che lo si puograve osservare al microscopio Si conviene anzi di chiamare fenomeno microscoshypico ogni fenomeno fisico la cui esistenza non puograve essemiddote oggetto di osservazione visiva diretshyta ma richiede dimostrazioni sperimentali di altro tipo Ad esempio lesistenza del fenomeno dei quanti di energia fu provato sperimentalmente da J Franck e G Hertz nel 1914 come si middoticorderagrave nel prossimo paragrafo

4 Egrave sempre utile ricordarli tanto sono semplici da enunciare Il primo egrave il principio dishynerzia che middotisale a Galileo (esistono sistemi di middotiferimento detti inerziali nei quali ogni corshy

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enunciati solo tramite un linguaggio matematico avanzato Salvo eccezioni sono accessibili solo da chi ha frequentato almeno il prishymo biennio di corsi di laurea scientifici duri quali Fisica Ingegneshyria Matematica o Chimica (e talvolta nemmeno dai laureati in queshyste discipline) Il motivo egrave che la loro formulazione egrave solo in appashyrenza autosufficiente In realtagrave essa deve inglobare assieme al pesante bagaglio matematico strettamente necessario per impostare ed eseguire i calcoli tutti quei concetti e tutte quelle nozioni proveshynienti dalla fisica classica (meccanica elettromagnetismo ottica ecc) che sottendono la definizione degli oggetti quantistici elemenshytari 5

Tuttavia alcune delle conseguenze dirette dei principi della mecshycanica quantistica si possono descrivere con semplicitagrave pari a quella dei principi classici e contraddicono le conseguenze di questi ultishymi Gli esempi piugrave noti sono linterpretazione statistica e il principio di indeterminazione Questo principi06 afferma che la precisione con la quale si puograve misurare la posizione di un corpuscolo microshyscopico (ad esempio un elettrone) egrave inversamente proporzionale a quella con cui contemporaneamente si puograve misurare la sua veloshycitagrave In altre parole tanto meglio si riesce a conoscere la posizione del corpuscolo in un certo istante tanto peggio si riusciragrave a determishynarne la velocitagrave (ad esempio se siamo in grado di affermare con certezza che lelettrone si trova in un dato punto dello spazio non

po non soggetto a forze sta in quiete o si muove di moto rettilineo Wliforme) il secondo egrave la legge della dinamica di Newton (se un corpo viene sottoposto allazione di una forza gli viene impressa Wlaccelerazione di intensitagrave inversamente proporzionale alla sua massa diretta come la forza e nel suo verso) e il terzo egrave il principio di azione e leazione (se un corpo esercishyta una forza SII di IIn altro quest ultimo esercita una forza eguale e contraria sul primo) Una consegnenza diretta della seconda legge egrave che il moto di ogni corpo risulta completamenshyte determinato nel futllro e nel passato se egrave nota lo legge di forza alla quale egrave soggetto noncheacute lo sua posizione e lo sua velocitagrave in un istante di tempo arbitrario che puograve essere sempre preshyso come istante iniziale

5 Ad esempio lo definizione astratta di stato quantistico pllro e lenunciato del principio di sovrapposizione sono lino trasposizione diretta delle proprietagrave ondulatorie dellelettroshymagnetismo lineare

6 In realtagrave nella formulazione abituale non si tratta di un principio ma di IIna COnseshygnenza dei postulati sulla qllantizzazione e sulla di~tribuzione di probabilitagrave dei valori miSIlshylabili delle grandezze fisiche

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potremo mai dire se in quel momento sta fermo ligrave oppure ci sta passhysando e tutte le possibili velocitagrave di transito hanno la medesima probabilitagrave viceversa se conosciamo esattamente la velocitagrave alla quale lelettrone si sta muovendo non possiamo assolutamente sashypere in quale posizione si trova e tutte le posizioni in cui potrebbe trovarsi sono ugualmente probabili) Si tenga perograve presente che la costante di proporzionalitagrave inversa vale h Quando h egrave trascurabishyle come nella fisica macroscopica possiamo misurare posizione e velocitagrave con tutta la precisione che vogliamo e il principio di indeshyterminazione si riduce ad una constatazione ovvia7

Se perograve h non egrave trascurabile il moto non potragrave mai essere esattashymente conosciuto nel senso abituale della meccanica classica newshytoniana quando si passa ai fenomeni microscopici la meccanica perde il suo aspetto deterministico Il determinismo egrave una conseshyguenza diretta della seconda legge esso afferma che il moto di ogni corpo risulta completamente determinato B nel futuro e nel passato se si conoscono la legge di forza che imprime il moto stesso noncheacute la posizione e la velocitagrave del corpo in un istante di tempo arbitrario (che puograve essere sempre preso come istante iniziale) Poicheacute se h non egrave trascurabile posizione e velocitagrave iniziali del corpo non si possono conoscere entrambe esattamente bisogneragrave rassegnarsi a rinunciashyre al determinismo classico e a cercare una conoscenza meno precishysa di quella della posizione e della velocitagrave in ogni istante La conoshyscenza assicurata dalla meccanica quantistica non va oltre la cosidshy

7 Infatti in lt)uesto caso si riduce allosservazione che il prodotto di due quantitagrave maggioshyri o uguali a zero egrave sempre maggiore O uguale a zero La spiegazione tradizionale del prinshycipio di indeterminazione che risale a Heisenberg stesso sarebbe questa loperazione di mishysura introduce perturbazioni incontrollate sulloggetto la cui posizione o velocitagrave si vogliono misurare Se si tratta di oggetti macroscopici queste pertwbazioni sono senzaltro trascurashybili Se si tratta invece di corpuscoli microscopici non lo sono piugrave Ad esempio ricorrendo ad unimmagine molto bella sempre di Heisenberg se volessimo osservare la posizione di un elettrone al microscopio dovremmo in qualche modo illmuinarlo e il raggio luminoso perturshyberebbe certamente il moto dellelettrone se invece vogliamo misurare con cellLUgravee fotoelettrishyche posizione e velocitagrave di unautomobile il moto di questLUgravetima egrave del tutto insensibile agli impulsi provenienti dalle cellLUgravee Il ruolo dellinterazione fra apparato di misura e oggetto della miswa costituisce a tuttoggi il punto di maggiore difficoltagrave della fisica quantistica

B Nel senso che sono predicibili posizione e velocitagrave del corpo in ogni istante successivo e precedente quello iniziale

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detta interpretazione statistica o probabilistica in ogni istante non ci si puograve aspettare di piugrave del potere calcolare la probabilitagrave che leshylettrone si trovi in una qualsiasi regione dello spazio fissata a prioshyri 9 Si noti che la legge di evoluzione di questa probabilitagrave rimane deterministica nel senso che la sua ampiezza ad ogni istante egrave deshyterminata da quella iniziale lindeterminazione quantistica egrave un fatto intrinseco completamente slegato da come i sistemi fisici evolshyvono nel tempo (in particolare lindeterminismo quantistico egrave un fenomeno del tutto diverso dallimpredicibilitagrave che si riscontra nei moti classici caotici proprio percheacute quest ultimo fenomeno trae origine dalla dipendenza estremamente delicata dell evoluzione dalla posizione e dalla velocitagrave iniziali)

Mfermazioni come quelle precedenti si prestano facilmente ad essere formulate in astratto dimenticando il contesto preciso dei fenomeni microscopici in cui sono nate e devono rimanere spesso questo contesto viene trascurato percheacute il tenerne conto corretshytamente richiederebbe una preparazione tecnica non indifferenshyte In altre parole si proclama talvolta come veritagrave scientifica acshyquisita avente valore assoluto il fatto che non si possa mai conoshyscere per davvero in nessuna circostanza e non solo nella fisica microscopica la posizione di un corpo che si muove la sua traietshytoria e cosigrave via Cosigrave facendo non egrave raro che il lettore di certe presentazioni della meccanica quantistica riporti limpressione che questa disciplina metta in seria discussione la validitagrave di tanshyte nostre radicate convinzioni basate sullintuizione la logica e il buon senso aprendo invece inusitate prospettive a fenomeni pashyranormali ubiquitagrave telecinesi esperienze mistiche varie lO nonshy

9 Intetpretazione statistica e probabilistica sono sinonimi a causa della consueta visione frequentista della probabilitagrave basata sulla legge dei grandi numeri dato un numero strashygrande di elettroni fra loro indipendenti la ftazione di questi che si trova in una data regioshyne in un dato istante (statistica) puograve essete identificata con la probabilitagrave che un solo eletshytrone si tmiddotovi nella medesima regione al medesimo istante

lO Si veda ad esempio F Capra Il Tuo deUafisica Adelphi 1982 da questo libro tagshygo unaffetmazione che costituisce un esempio molto chiaro delle pericolose distorsioni di pensiero che possono sorgere decontestualizzando le concezioni scientifiche -Esplorando linterno dellatomo e studiandone la struttura la scienza oltrepassograve i limiti della nostra 08shy

Sullorigine dellinterpretazione statistica della meccanica quantistica

cheacute ad identificazioni teologiche ll

In realtagrave modifiche cosIgrave profonde del modo tradizionale di conshycepire lo studio del moto consolidato tramite una depurazione ed una matematizzazione durate secoli delle nostre esperienze quotishydiane12 non sono state affatto introdotte allo scopo di liberarsi delshyle concezioni tradizionali per scoprire fenomeni nuovi come talshyvolta si afferma o si lascia intendere Lo scopo della loro introdushyzione era lesatto opposto cioegrave quello di rimanervi il piugrave vicino possibile inquadrando i fenomeni nuovi entro le minime modifiche agli schemi consolidati Questo egrave un punto a mio parere fondamenshytale Non certo per spiegare il fenomeno dei salti quantici che puograve come quasi tutti pensano rimanere inspiegato (nel senso che puograve non essere riconducibile ad altri principi considerati piugrave vicini alla nostra intuizione) ma va accettato come evidenza di fatto e basta13 lo egrave invece per capire meglio come la teoria che lo inquadra in moshydo completo e matematicamente coerente la meccanica quantistishyca non abbia alcun aspetto esoterico ma sia una disciplina scientishyfica esatta come tutte le altre Per fare ciograve egrave essenziale ricostruire

servazione sensoriale Da questo lunto in poi essa non poteva piugrave affidarsi con assoluta cershytezza alla logica e al buon senso La fisica atomica consentIgrave agli scienziati di dare un lrimo rapido sguardo alla natura essenziale delle cose Come i mistici i fisici avevano ora a che fashyle con un esperienza non sensoriale della realtagrave e come quelli dovevano affrontare gli aspelli sensoriali di questa espelmiddotienza Da quel momento in avanti quindi i modelli e le imshymagini della fLSica moderna divennero simili a quelli della ftlosofia orientaleraquo

Il Ad esempio il fisico inglese J C Polkinghorne professore a Cambridge e vescovo anshyglicano sostiene in un libro pubblicato dalla Cambridge Univelsity Press che il mistero delshyla Iatura umana e divina di Cristo puograve essere compreso alla luce del principio di compleshymentaritagrave della meccanica quantistica

12 nplimO trallato sistematico di meccanica nel quale vengono esposti in fOlma organica i metodi per impostare in termini quantitativi tulli i problemi lelativi allequilibrio e al moto di lunti materiali e di corpi rigidi comunque vincolati egrave lo Meacutechanique Anulytique di Giusepshype Luigi Lagrange (1734-1813 torinese) lo cui prinla edizione apparve nel 1788 esallamente 101 anni dopo la p ul)blicazione dei Principia di Newton La meccanica quantistica odierna egrave invece nata come Minerva dalla testa di Giove La sua formulazione completa definitiva e mashytematicamente coerente non ha richiesto nemmeno cinque anni quelli intercorsi fra il pl-imo lavoro di Heisenlterg sulla meccanica delle matrici apparso nel 1925 e luscita dei libri Prillcishypks ofQualltum mechuUcs di P A M Dirac (1902-1988) e Muthematische Grurnllagen der Quantellmechunik di J Von Neumann (1901-1956) apparsi entramhi nel 1930

13 Allo stesso modo in cui i pincipi della meccanica classica non possono essere spiegashyti ma devono essere accellati come evidenza di fallo il nostro mondo egrave fallo cosigrave

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la genesi dei concetti fondamentali della meccanica quantistica odierna nel loro sviluppo storico anche e soprattutto per far capishyre quali sono gli oggetti di cui questa disciplina si occupa e quindi in ultima analisi di cosa si sta in realtagrave parlando Questo articolo rappresenta un tentativo di illustrare ai non specialisti la rapida e tumultuosa evoluzione di pensiero che per interpretare coerenteshymente le osservazioni ha forzatamente fatto emergere linterpretashyzione statistica14 laspetto piugrave lontano dalle concezioni classiche e quindi concettualmente piugrave significativo della nuova meccanica Linterpretazione statistica ha come conseguenza diretta il princishypio di indeterminazione e si egrave manifestata fin da subito come il punto piugrave controverso e difficile da accettare nella formulazione della nuova meccanica laquoDio non gioca a dadiraquo diceva Einstein il capofugravea di coloro15 che credevano che la scienza del moto per conshytinuare ad essere tale non potesse rinunciare al determinismo

Lintreccio fra le due meccaniche egrave in realtagrave molto piugrave profondo e controverso di quanto di solito non si dica Teorie nuove e piugrave perfezionate devono contenere quelle vecchie come caso particolashyre e quindi ridursi a queste ultime nellambito dei fenomeni comushyni Ad esempio la meccanica relativistica deve contenere la meccashynica classica come caso particolare quando le velocitagrave dei corpi in moto sono trascurabili rispetto a quelle della luce ed in effetti le formule relativistiche si riducono a quelle classiche in questo caso

14 Formulata con precisone per primo da Max Borll (al quale tra laltro si deve il nome stesso di meccanica quantistica) nel 1926 Max Born (Breslavia 1882 - Bad PyrnlOnt 1970) studiograve a Gottingen sotto D Hilhert H Minkowski F Klein e H Weber e vi ritornograve come professomiddote di Fisica teorica nel 1920 dopo avere insegnato a Francoforte sul Meno e a Berlishyno Allavvento del nazismo nel 1933 fu costretto ad abbandonare la Germania e divenne poi professore allUniversitagrave di Edinburgo A Gottingen ebbe come assistenti fra gli altri Werner Heisenberg e Wolfgang Pauli e come allievi Pascual Jordan Friedrich Hund John R Oppenheimer Maria Goppert-Meyer Anche Enrico Fermi trascorse qualche mese alla sua scuola nel 1925 Linterpretazione statistica egrave dovuta a Bomiddotn e alla sua scuola essa viene comunemente attribuita alla scuola di Copenhagen percheacute fatta sua fIn dal plincipio da Nids Bohr (e dai suoi collaboratori fra i quali per un certo periodo Heisenberg stesso) e da lui fortemente sostenuta nella polemica contro Einstein ed altri che non laccettavano

15 Anche altri fondatori della meccanica quantistica come Louis Victor de Broglie e E-win Schmiddotodinger condividevano la posizione di Einstein Lo stesso Plallck fu sempre molshyto restio ad accettare linterpretazione statistica

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Allo stesso modo la meccanica quantistica deve contenere quella classica quando la costante di Planck egrave trascurabile rispetto alle azioni dei sistemi considerati ed anche qui in effetti le formule quantistiche formalmente si riducono a quelle classiche Questa rishyduzione perograve egrave assai meno limpida di quella che ha luogo nella transhysizione dalla meccanica relativistica a quella classica Se una prima teoria considerata piugrave fondamentale deve includerne unaltra conshysiderata meno fondamentale al suo interno come caso particolare egrave evidente che la prima teoria deve potere essere formulata indipenshydentemente dalla seconda La meccanica relativistica infatti puograve essere formulata direttamente senza passare tramite la meccanica classica Ebbene questo non egrave il caso per la meccanica quantistica pur dovendo contenere al suo interno quella classica non ammette a tuttoggi una formulazione indipendente da questultima Per enunciare la meccanica quantistica bisogna infatti passare per quella classica e non si vede oggi all orizzonte la possibilitagrave che ciograve possa essere evitato Non solo ma il procedimento stesso di formushylazione della teoria quantistica a partire da quella classica (in gershygo la quantizzazione) offre difficoltagrave concettuali e matematiche tuttaltro che agevoli da superare Molti problemi importanti di nashytura concettuale sono ancora aperti uno di grande attualitagrave consishyste nel capire se e come si puograve manifestare in meccanica quantistica il comportamento caotico che certe evoluzioni classiche possono sviluppare nel corso del tempo

In sintesi il processo di transizione fra la meccanica classica e quella quantistica non egrave affatto banale La sua piena comprensione costituisce a parere di chi scrive la condizione necessaria per poshytere capire davvero i fondamenti della meccanica quantistica

3 La vecchia teoria dei quanti

Ho giagrave ricordato come latto ufficiale di nascita della teoria dei quanti sia la formula di Planck del 1900 basata sullipotesi che gli scambi di energia radiante potessero avere luogo solo per multipli interi positivi di un certo valore fondamentale Tale ipotesi fu conshy

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siderata allepoca poco piugrave che un accorgimento tecnico per risolshyvere un problema particolare pur se molto importante Questa opinione non cambiograve di molto anche dopo che nel 1905 16 Einstein mostrograve che la formula di Planck poteva spiegare altri fenomeni che sembravano sfuggire alle leggi classichel7 col medesimo accorgishymento lassunzione cioegrave che lenergia portata da unonda luminoshysa di frequenza v fosse pari al quanto di energia hv egli fu poi in grado di spiegare la legge principale delleffetto fotoelettricol8 La situazione cambiograve drasticamente nel decennio 1908-1917 le scoshyperte sperimentali di Lord Rutherford19 sulla struttura dellatomo motivarono la costruzione della teoria di Niels Bohr (perfezionata poi da Arnold Sommerfeld) basata sul fenomeno dei salti quantici dellenergia Questa era una teoria nel vero senso della parola in grado di spiegare coerentemente i fenomeni conosciuti e dotata di potere predittivo essa rese conto in maniera brillante e convincenshyte delle leggi empiriche sulla luce emessa dalle sostanze gassose in particolare lidrogeno e permise anche di spiegare lorigine del sishystema periodico degli elementi Per di piugrave il fenomeno dei salti quantici dellenergia trovograve subito conferma sperimentale con leshysperienza di Franck e Hertz

li fascio di luce emesso da ogni sorgente luminosa puograve essere deshycomposto nelle sue frequenze elementari corrispondenti ai vari coshylori Linsieme di tutte le frequenze visibili che comprende tutte le sfumature di colore che vanno con continuitagrave dal rosso al violetto si chiama spettro Giagrave negli ultimi decenni dellOttocento le analisi allo spettroscopio (lo strumento che con effetto visivo simile a quelshylo dellarcobaleno scinde il fascio nelle sue frequenze elementari) della luce emessa dai gas riscaldati (principalmente lidrogeno) aveshy

16 Lanno ili cui pubblicograve anche la sua scoperta della relativitagrave ristretta

17 Lannullarsi del calore specifico dei corpi solidi al tendere a zero della temperatura

18 Il quanto di energia elettromagnetica (o equivalentemente luminosa si ricordimiddot che la luce egrave radiazione elettromagnetica) puograve essere interpretato come un COlpWcolo di massa nulla che si muove alla velocitagrave della luce e viene chiamato fotone Con questa ipotesi Einshystein riesumograve in qualche modo lo teoria corpuSCOlale della luce di Newton

19 Emest Rutherford of Nelson 1871-1937

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Sullorigine deUinterpretazione stat~tica della meccanica quant~tica

vano messo in evidenza il fenomeno delle righe spettrali Lo spettro della luce emessa dai gas non presenta tutta la gamma delle sfumashyture di colore ma si concentra attorno ad alcuni colori particolari che allanalisi spettroscopica appaiono come righe parallele di coshylore intenso e quasi uniforme molto ben marcate e nettamente dishystanziate Uno spettro simile si dice discreto Gli spettroscopisti (principalmente Balmer Rydberg Ritz) elaborarono alcune leggi empiriche molto semplici che permettevano di classificare le righe spettrali emesse dallidrogeno e da diverse altre sostanze e di comshybinare fra loro le diverse righe Poicheacute si constatava che il gas rishyscaldato consisteva di atomi identici che potevano essere considerashyti come indipendenti se ne deduceva che lo spettro luminoso ossershyvato era quello emesso dal singolo atomo La teoria elettromagnetica di J C Maxwell H Hertz e H A Lorentz identificava la luce quashyle radiazione elettromagnetica che si propagava sotto forma di onshyde di frequenze appartenenti ad un ben determinato intervallo Coshyme tutte le onde elettromagnetiche le onde luminose potevano esshysere emesse solo da corpuscoli dotati di carica elettrica in moto accelerato o frenato quali ad esempio gli elettroni Verso il 1910 lishydea che la radiazione luminosa dei gas fosse dovuta al moto acceleshyrato o frenato degli elettroni entro i singoli atomi ricevette un sosteshygno sperimentale solido da una parte la determinazione della carishyca elettrica negativa dellelettrone (esperienza di Millikan) e dallaltra la scoperta di Lord Rutherford che latomo era composto da un nucleo avente carica elettrica positiva 20 uguale e contraria a quella del numero di elettroni in orbita attorno a lui come in un sishystema planetario in miniatura (delle dimensioni di un centomilioneshysimo di centimetro) Tuttavia questa struttura dellatomo non poteshyva spiegare gli spettri se si continuava ad ammettere la validitagrave delle leggi classiche del moto e dellemissione di radiazione elettromagneshytica Lelettrostatica insegnava che due corpuscoli aventi cariche

20 Nel caso dellidrogeno il nucleo egrave il protone di massa circa 1940 volte quella delleletshytrone Le esperienze di Lord Rutherford capovolsero le convinzioni sulla struttura dellatoshymo che prima di esse veniva immaginato come una carica negativa in moto allinterno di una nuvola di carica positiva (modello di J J Thomson)

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elettriche opposte dovevano attrarsi secondo la legge di Coulomb cioegrave tramite una forza proporzionale al reciproco del quadrato delshyla loro distanza 21 La teoria elettromagnetica a sua volta insegnava che nel suo moto accelerato o frenato lelettrone doveva emettere radiazione emettendo radiazione doveva cedere energia meccanishyca e rallentare cosigrave progressivamente il suo moto fIDO a cadere sul nucleo In altre parole la struttura sperimentalmente osservata non era compatibile con le leggi meccaniche ed elettromagnetiche ritenute fino a quel momento valide in ogni ambito

Nel 1913 Niels Bohr 22 introdusse due idee radicalmente nuove che resero la struttura dell atomo osservata da Lord Rutherford in grado di spiegare in modo completo e convincente le osservazioni spettroscopiche Inizialmente considerograve solo latomo di idrogeno il caso piugrave semplice percheacute vi egrave un solo elettrone in orbita attorno al nucleo (il protone) Con le generalizzazioni del caso agli atomi di struttura piugrave complicata egli riuscigrave qualche anno dopo a spiegare anche il sistema periodico degli elementi Nel caso semplificato di moti dellelettrone attorno al nucleo circolari e uniformi (in geneshyrale le orbite sono ellittiche e il moto non egrave uniforme) Bohr fece le ipotesi seguenti

a) sul versante della meccanica lelettrone non descrive tutte le orbite consentite dalle leggi classiche del moto ma solo quelle di raggio multiplo di un certo raggio fondamentale23

21 Dal punto di vista meccauico questo modello dellatomo egrave identico al sistema soleshypianeta legolato dalla legge di attrazione newtoniana ed i suoi moti ad energia negativa sodshydisfano le leggi di Keplero che governano il moto dei pianeti

22 Niels Boh (1885-1962) professole allUniversitagrave di Copenhagen Oltre alla costIushyzione del modello di atomo che prende il suo nome e a quella della teoria semiclassica si deshyvono a lui idee molto importanti sulla quantizzazione del campo elettromagnetico e sulla stIuttura dei nuclei atomici pesanti Influigrave molto sul pensiero di Heisenberg (che trascorse molto tempo a Copenhagen negli anni critici 1925-1927) collaborograve con lui nel precisare il principio (li indeterminazione e fu il sostenitore piugrave autorevole della visione indeterministishyca della fisica microscopica Promosse a Copenhagen un fiorire di studi in questa clirezione al punto che lintelpretazione statistica della meccanica quantistica viene oggi attribuigraveta alla scuola di Copenhagen dimenticando quasi del tutto che fu invece elaborata a Gottingen

23 In gelgo si ammette che le orbite siano qumtizate

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b) sul versante dellelettromagnetismo nel corso del moto su ciashyscuna orbita consentita lelettrone non emette radiazione Leletshytrone puograve perograve saltare da unorbita circolare a quella piugrave vicina percorsa ad energia inferiore In tale salto emette radiazione elettromagnetica di frequenza v=(Er E2)h dove El egrave lenergia dellelettrone nella prima orbita E2 quella nella seconda e h sempre la costante di Planck Raggiunta lorbita fondamentale non emette piugrave radiazione Questa orbita corrisponde allo stato di minima energia detto normale percheacute latomo vi si trova in assenza di perturbazioni esterne

Lipotesi a) egrave la stessa che Planck ammetteva per le energie delle piccole oscillazioni del pendolo microscopico lipotesi b) equivale ad ammettere due cose anzitutto che il processo di emissione avshyvenga solo istantaneamente cioegrave con accelerazione infinita nel salshyto fra unorbita di energia superiore El e quella di energia immeshydiatamente inferiore E2 poi che lenergia della radiazione emessa necessariamente pari a El-E2 per il principio della conservazione dellenergia totale soddisfi la legge postulata da Einstein per lefshyfetto fotoelettrico Lenergia corrispondente ad ogni orbita puograve esshysere calcolata facilmente Si ottiene cosIgrave un insieme di valori delleshynergia ben distinti luno dallaltro detti livelli di energia e i moti corrispondenti dellelettrone sono detti stati stazionari (in questo caso i livelli dellenergia risultano inversamente proporzionali al reciproco dei quadrati dei numeri naturali mentre nel caso delle piccole oscillazioni del pendolo microscopico essi sono proporzioshynali ai numeri naturali medesimi secondo lipotesi di Planck) Soshystituendo nella formula v=(Er E2)h che dagrave le frequenze della rashydiazione emessa i valori numerici dei livelli di energia noncheacute i vashylori conosciuti della costante di Planck della massa e della carica dellelettrone Bohr ottenne esattamente la formula di Balmer per le frequenze dello spettro a righe dellatomo di idrogeno

Il modello atomico di Bohr trovograve subito conferma tramite leshysperienza di James Franck e Gustav Hertz del 1914 che allo stesso tempo diede anche la prima verifica dellesistenza in natura del feshy

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nomeno stesso dei salti quantici 24 Per descriverla prendo a preshystito le parole di Max Born 25 laquosi portano gli atomi di idrogeno a valori determinati dellenergia bombardandoli tramite un fascio di elettroni di cui si puograve graduare la velocitagrave 26 Si osservano poi i salti quantici sia tramite limprovvisa perdita di energia degli elettroni incidenti sia tramite il contemporaneo improvviso lampeggiare di quelle righe spettrali che corrispondono alle transizioni fra i livelli raggiunti e quelli di energia inferioreraquo

Lesperienza di Franck e Hertz confermograve al di lagrave di ogni dubbio che la quantizzazione dellenergia non era un accorgimento tecnishyco come a prima vista si era pensato per lipotesi di Planck ma un fenomeno che esisteva davvero i successi del modello di Bohr moshystrarono anzi che solo il verificarsi di questo fenomeno fondamenshytale a livello atomico poteva spiegare in maniera convincente le osshyservazioni spettroscopiche

Tuttavia la formula di Planck e il modello di Bohr non costituishyvano ancora una teoria nel vero senso della parola Mancava ancoshyra la generalitagrave necessaria per affrontare ogni fenomeno microscoshypico dellepoca (ad esempio gli spettri luminosi a righe emessi dagli atomi sottoposti allazione di campi magnetici come nelleffetto Zeeman o di campi elettrici come nelleffetto Stark) Per il caso particolare delle piccole oscillazioni del pendolo microscopico Planck postulograve la quantizzazione dellenergia per quello dellatoshymo di idrogeno Bohr postulograve la quantizzazione del raggio delle orshybite circolari 27 Bisognava quindi determinare quali fossero le grandezze meccaniche fondamentali sempre le stesse per ogni sishystema meccanico alle quali applicare poi il postulato della quantizshy

24 Questa esperienza egrave unanimemente considerata una delle piugrave importanti della storia della fisica Essa fu immediatamente lipetuta e perfezionata da molti altri spenruentatOlmiddoti Col tempo diventograve una esperienza classica da ripetere nei laboratori didattici cosigrave come quella di Fizeau sulla misura della velocitagrave della luce Ad esempio il Prof Cesare Moroni che teneva allora il corso di Laboratorio di Fisica I presso lVniversitagrave di Bologna lo preparava pel lo ripetizione da palte degli studenti alla metagrave degli anni 60

25 M Born Vorlesunge Uber Atommechaik Julius Sprioger Berlin 1925 sect3

26 E quindi anche lenergia che egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave

27 Equivalente in questo caso alla quantizzazione del momento della quantitagrave di moto

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Sullorigine Mllinterpretazwne statistica della meccanica quantistica

zazione Risolto questo problema occorreva poi calcolare i livelli di energia La prima soluzione fu ottenuta da Sommerfeld28 nel 1915 Con i perfezionamenti apportativi da molti altri illustri fisishyci29 nel 1921 il risultato finale fu una teoria oggi nota come vecshychia teoria dei quanti o teoria di Bohr-Sommerfeld che era in grashydo di prevedere i livelli di energia di ogni sistema meccanico Essa sostanzialmente riduceva il distacco dalle concezioni classiche al solo postulato di Planck Il procedimento generale egrave riassunto mashygistralmente sempre da Max Born laquoi principi della teoria quantishystica consistono nel calcolo del moto secondo le leggi della meccanishyca classica e nel dedurne la scelta degli stati stazionari (o livelli di energia) assegnando alle variabili dazione tutti e soli i multipli poshysitivi della costante di Planckraquo

Dunque in pochi anni era stata elaborata una teoria degli effetti quantistici che si allontanava dalle concezioni classiche per lo stretshyto minimo assolutamente necessario Sul versante meccanico la soshyla assunzione era che alle azioni competessero solo multipli interi della costante di Planck e ciograve era sufficiente per determinare i lishyvelli di energia sul versante elettromagnetico oltre allipotesi del quanto di luce di Einstein si postulava solo che lelettrone irradiasshyse solo per salti quantici da un livello allaltro

Giagrave nel 1923 perograve apparve chiaro che questa teoria era inadeshyguata per spiegare i nuovi dati sperimentali che si erano venuti acshycumulando nel frattempo I calcoli per lenergia dello stato norshymale dellatomo di elio eseguiti da Born e Heisenberg davano rishysultati in contrasto con lesperienza per di piugrave le osservazioni sulle righe spettrali emesse nelle oscillazioni degli atomi in molecoshyle biatomiche (idrogeno e ossigeno) mostravano che i livelli di enershygia delle piccole oscillazioni del pendolo microscopico non erano

28 Arnold Sommerfeld (1868-1951) allepoca professore di fisica teOlica allUniversitagrave di Monaco dove costituigrave una delle scuole di fisica piugrave importanti del secolo Suoi allievi dishyretti furono tra gli altri Gregor Wenzel (1898-1978) Werner Heisenberg (1901-1967) Wolfshygang Pauli (1900-1958) Linus Pauling (1904-1991) Hans Bethe (1903-)

29 Fra gli altri P Debye W Wilson P S Epstein K Schwarzschild H A Kramers J M Burgers A Einstein M Born E Brody

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SandrQ Graffi

esattamente proporzionali ai numeri interi per riprodurre i dati sperimentali bisognava aggiungere un termine pari a h2 ad ognushyno dei livelli di Planck Occorrevano dunque idee nuove La scuoshyla di Gottingen (Heisenberg per primo poi assieme a lui Born e Jordan) trovograve quasi subito (nel 1925) una strada molto soddisfashycente la meccanica delle matrici In particolare Heisenberg rishytrovograve subito il termine h2 da aggiungere ai livelli delle piccole oscillazioni Unaltra strada apparentemente diversissima ma in realtagrave equivalente (come fu pienamente provato pochi anni dopo dalle sintesi di Dirac e di Von Neumann) fu la meccanica ondulatoshyria di de Broglie e Schrodinger Questultima strada si rivelograve piugrave maneggevole dal punto di vista tecnico e prevalse quasi subito nelshyluso quotidiano Essa riduce il problema alla conoscenza della coshysiddetta funzione donda che egrave determinabile risolvendo l eshyquazione di Schrodinger Egrave questa funzione donda (o piugrave precisashymente il quadrato del suo valore assoluto) loggetto primario dellinterpretazione statistica 30

Queste nuove meccaniche hanno superato la vecchia teoria dei quanti ma non lhanno mandata in soffitta 31 La teoria di Bohr-Sommerfeld detta anche teoria semiclassica rimane uno strumento fondamentale della fisica quantistica tanto sul piano concettuale che su quello tecnico

30 Anticipiamo qui quanto saragrave ricordato in maggior dettaglio nel sect4 la funzione donshyda ~ dipende dalla coordinata q del corpuscolo e I~(q) I 2 rappresenta la distribuzione di probahilitagrave di trovare il corpuscolo nei punti di coordinate q

31 Cosigrave come lo vecchia teoria dei quanti non ha mandato in soffitta lo meccanica classishyca Che laffermarsi di una nuova teoria piugrave perfezionata mandi in soffitta quelle non piugrave adatte a descrivere fenomeni non ancora osservati al tempo della loro formulazione egrave un eshyspressione colorita che puograve essere talvolta giustificata a scopi di semplificazione espositiva Non bisognerebbe perograve abusare di questo espediente retorico Altrimenti si middotischia di affilishybiare una taccia di falsitagrave a teorie che invece funzionano perfettamente nel loro ambito Inshysomma la fisica classica non egrave falsa e non egrave affatto finita in soffitta Semplicemente deve limishytarsi a descrivere i fenomeni macroscopici cosa che fa perfettamente ad essa deve ridursi lo fisica microscopica quando la costante di Planck diventa trascurabile rispetto ai valori delle azioni dei corpi in movimento

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4 La meccanica ondulatoria e la funzione donda

Nel 1923 Louis Victor de Broglie (1892-1987) introdusse cershycando una spiegazione teorica delleffetto Compton32la nozione di onda di materia sulla quale si fonda la meccanica ondulatoria Per descrivere questa nozione ricordiamo anzitutto che secondo liposhytesi di Einstein la luce un fenomeno elettromagnetico di carattere ondulatorio come si egrave giagrave piugrave volte ricordato ha anche un aspetto corpuscolare ogni onda elettromagnetica di frequenza v si puograve inshyfatti assimilare ad un corpuscolo di massa nulla ed energia hv De Broglie ripensograve alla legge di Einstein alla luce della teoria della reshylativitagrave ristretta Essa implica che energia ed impulso di un corpushyscolo sono quantitagrave dello stesso tipo33 Ne dedusse che se ad ogni onda di flequenza v si associa un corpuscolo di massa nulla ed energia hv per coerenza si doveva associare unonda ad ogni corshypuscolo di impulso p e scrivere p = ht poicheacute poi v la frequenza dellonda rappresenta il numero di oscillazioni nellunitagrave di tempo (linverso del periodo) t deve rappresentare il numero di onde nelshylunitagrave di lunghezza cioegrave linverso della lunghezza donda Agrave ne concludiamo con de Broglie che deve valere la relazione Agrave=h1p De Broglie chiamava questa onda onda pilota associata al corpuscolo Egrave conveniente farsi unimmagine concreta di un moto ondoso ed a tale scopo ci si puograve riferire ad esempio alle onde del mare poicheacute i moti ondosi sono tutti dello stesso tipo La lunghezza Agrave dellonda egrave la distanza fra due creste successive 34 egrave chiaro che essa egrave inversashymente proporzionale alla frequenza v (piugrave corta egrave londa piugrave alta egrave la frequenza) mentre la velocitagrave dellonda vale v=AgraveV (la distanza reciproca a cui giungono due creste successive nella durata di una singola oscillazione piugrave vicine le creste piugrave veloce londa) Per deshyterminare completamente unonda occorre perograve unaltra quantitagrave

32 Arthur Il Compton osservograve nel 1923 che la lunghezza donda luminosa variava dopo essee stata diffusa da una nuhe di elettroni

33 Pe chi ha familialitagrave con la relativitagrave ristretta si allude qui a1tetravellore energiashyimpulso lo cui componente spaziale egrave limpulso e la cui componente temporale egrave lenergia

34 Equivalentemente fra due ventri successivi o due nodi successivi

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lampiezza la cui conoscenza permette di misurare laltezza della cresta e quindi lintensitagrave del fenomeno ondoso agitazione del mashyre nel caso delle onde marine volume del suono nel caso delle onde acustiche potenza della radiazione (in particolare intensitagrave della luce) nel caso delle onde elettromagnetiche

Lidea di de Broglie era veramente rivoluzionaria e fu ripresa immediatamente senza aspettarne una verifica sperimentale (che fu comunque ottenuta pochi anni dopo) Nel 1925 avvenne la seconda svolta fondamentale Erwin Schrodinger 35 risolse il problema di come determinare lampiezza dellonda pilota di de Broglie Il proshyblema era sottile percheacute 36 non poteva essere direttamente inquashydrato nella teoria ondulatoria consueta secondo la quale lampiezshyza di unonda deve soddisfare lequazione della corda vibrante~37 Nel caso particolare dellonda pilota di de Broglie Schrodinger procedette allora in analogia con lottica e piugrave precisamente con il fenomeno della rifrazione ossia con le variazioni della velocitagrave di propagazione delle onde luminose nella materia dovute alle variashyzioni di densitagrave temperatura e altre proprietagrave delle sostanze atshytraversate 38 Lindice di rifrazione n lungo un cammino egrave definito dal reciproco della lunghezza dellonda luminosa al suo interno Schrodinger fu condotto a questa analogia percheacute per sua natura londa pilota non puograve avere in generale velocitagrave costante infatti per la formula di de Broglie la sua lunghezza (e quindi anche la sua

35 Erwin Schrodinger (1887-1961) viennese e formatosi alla scuola di Vigraveenna era alleshypoca professore allUniversitagrave di Zurigo In seguito successe a Max Planck sulla cattelra di Fisica teolica dellUniversitagrave di Berlino e abbandonograve anche lui la Germania allavvento del nazismo diventando professore allUniversitagrave di Dublino

36 Come si accorse Schrodinger medesimo in un pl-imo tentativo di soluzione che non ebshybe successo

37 Lequazione della corda vibrante o di dAlembert (detta anche equazione delle onshyde) egrave lequazione diffelenziaIe che governa qualsiasi moto ondoso Jean Le Rond dAlemshybert la dedusse nel 1760 per descrivere le vibrazioni di una corda elastica fissa agli estremi che determinano ad esempio le armoniche degli strumenti a corda

38 Un cammino ottico puograve essere composto da Una sostanza con caratteristiche diverse da punto a punto ma anche da sostanze diverse ad esempio tutti abbiamo presente il fenoshymeno di rifrazione nel passaggio della luce dallaria allacqua Anche il fenomeno del miragshygio egrave riconducibile alla rifrazione

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SuUorigine deUinterpretazione statistica deUa meccanica quantistica

velocitagrave) dipende dallimpulso p che in generale varia al variare della posizione q del corpuscolo e della sua energia E39 Lanalogia introdotta da Schrodinger consiste appunto nellimmaginare la propagazione dellonda di materia come la propagazione di unonshyda luminosa lungo un cammino ottico di indice di rifrazione variashybile lungo la percorrenza lampiezza di questonda si puograve poi deshyterminare con i metodi dellottica ondulatoria Nel caso delle onde di materia lindice di rifrazione doveva essere quindi dato da ph il reciproco della lunghezza donda di de Broglie procedendo a rishytroso Schrodinger fece lipotesi che lampiezza dellonda di mateshyria fosse la stessa dellottica con la lunghezza donda di de Broglie al posto del reciproco dellindice di rifrazione A quel punto poteacute scrivere almeno in un caso particolare lequazione della corda vishybrante per unonda proprio di quellampiezza e quella lunghezza imponendo che lequazione valesse in generale ed anche la condishyzione naturale in questo contesto che i profili donda che ne risulshytavano si mantenessero identici nel tempo (onde stazionarie nelshylimmagine delle onde marine si pensi ad onde il cui profugraveo si manshytenga sempre uguale al trascorrere del tempo) ricavograve e pubblicograve (nel gennaio 1926) la sua equazione Questa equazione costituisce il pilastro fondamentale dellodierna meccanica quantistica Essa deshytermina dunque lampiezza dellonda di materia che Schrodinger denotograve ~ e chiamograve funzione donda associata al corpuscolo La ~ dipende dalla coordinata q del corpuscolo e dalla sua energia E Schrodinger mostrograve subito che la sua equazione non poteva essere risolta per ogni valore a priori attribuibile allenergia E ma solo per certi suoi valori particolari dipendenti dalla costante di Planck h CosIgrave facendo provograve che il fenomeno della quantizzazione poteva essere fatto discendere dallaspetto ondulatorio della materia Per di piugrave egli riuscigrave a risolvere la sua equazione in due casi particolari importantissimi latomo di idrogeno e le piccole oscillazioni del

39 Nel caso particolare piugrave semplice possihile considerato inizialmente da Schrodinger quello del punto di massa m mobile su una rella sollo lazione di una forza di potenziale V(q) la relazione fra p q E egrave data da p 2m(E-Vrqraquo)

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pendolo microscopico Nel primo caso ritrovograve i livelli energetici di Bohr40 e nel secondo quelli di Planck ma con laggiunta del terrllIgraveshyne h2 sperimentalmente osservato e giagrave trovato da Heisenberg con la meccanica delle matrici Questi lavori di Schrodinger dissiparoshyno immediatamente i dubbi gettati sulla sua equazione dalla dedushyzione avventurosa che egli ne dava 41 e generarono limmediato afshyfermarsi della meccanica ondulatoria anche prima della verifica sperimentale del comportamento ondulatorio della materia Essa fu ottenuta da C J Davisson e D H Germer nel 1927 osservando che un fascio di elettroni incidendo su un cristallo mostrava fenoshymeni di diffrazione analoghi a quelli delle onde elettromagnetiche Il motivo principale dellaffermazione immediata della meccanica ondulatoria era strettamente tecnico lequazione di Schrodinger riconduceva la formulazione quantistica di ogni problema concreto di fisica atomica e molecolare (la fisica microscopica dellepoca) ad un problema matematico di impostazione chiara che risultava risoshylubile almeno in via approssimata in molti casi particolari di granshyde interesse La formulazione di Heisenberg Born e Jordan detta meccanica delle matrici pur se concettualmente altrettanto imporshytante appariva piugrave ostica dal punto di vista tecnico 42 Gli anni 1926-1928 videro dunque un tumultuoso fiorire di applicazioni della meccanica ondulatoria riassunta nellequazione di Schroshydinger Esse portarono alla soluzione di molti dei problemi piugrave imshyportanti della fisica microscopica dellepoca quali la determinashyzione degli spettri molecolari la teoria del legame chimico la conshyduzione elettrica nei metalli la meccanica statistica quantistica e molti altri 43 Riassumendo lidea rivoluzionaria dellonda di mashy

40 Come doveva dato che i livelli di Bohr erano quelli osservati La meccanica delle mashytrici non era stata in grado di eseguire questi calcoli

41 Da questo punto di vista la situazione non egrave cambiata molto Da un punto di vista rishygoroso infatti ogni tentativo di ricavare lequazione di Schrodinger equivale sostanzialshymente ad ammetterla

42 La meccanica delle matrici si era rivelata assai meno adatta della meccanica ondulashytoria a trattare problemi di diffusione Le due formulazioni sono comunque perfettamente equivalenti nonostante sporadiche ma 1Igravepetute affermazioni del contralmiddotio

43 Nei medesimi anni furono formulate poggiando sullaspetto ondulatorio anche la

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teria di de Broglie era stata tradotta da Schrodinger nello strumenshyto tecnico largamente piugrave efficace per affrontare e risolvere i proshyblemi concreti della fisica microscopica che avevano di fatto reso la vecchia teoria dei quanti inadeguata

5 Linterpretazione statistica

Trovata lequazione per lampiezza restava perograve da interpretashyre il significato della sua soluzione Osserviamo per cominciare che lequazione di Schrodinger ha la proprietagrave di ammettere come soshyluzione anche la somma di due soluzioni qualsiasi In altre parole le ampiezze delle onde di materia condividono con le onde abituali (fluide elettromagnetiche sonore ecc) il fenomeno della sovrapshyposizione la somma di due ampiezze donda egrave ancora unampiezza di un fenomeno ondulatorio 44 Ho giagrave ricordato che nei fenomeni ondulatori classici non egrave lampiezza la quantitagrave osservata ma linshytensitagrave definita dal suo quadrato 45 Ora il quadrato dellampiezza misura lintensitagrave del fenomeno ondulatorio 46 mettendone contemshyporaneamente in evidenza la sua proprietagrave piugrave caratteristica linshyterferenza Supponiamo infatti di avere due onde di ampiezze A e B Le intensitagrave corrispondenti saranno A2 e B2 Abbiamo appena detto che anche la somma A+B saragrave lampiezza di unonda Linshytensitagrave di questultima egrave (A+B)2 = A2+B2+2AB che non vale la somshyma delle intensitagrave A2 e B2 percheacute compare il termine 2AB detto tershymine dinterferenza Quando 2AB egrave negativo linterferenza si dice distruttiva percheacute lintensitagrave dellonda sovrapposta egrave minore della somma delle due onde originali (se si tratta di onde luminose la lushy

meccanica quantistica relativistica (P A M Dirac 1926) e la teoria dei campi quantizzati (P Jordan e E P Wigner 1927)

44 Questa proprietagrave formulata per due stati quantistici astratti prende il nome di prinshycipio di sovrapposizione

45 In realtagrave il quadrato del suo modulo percheacute in generale lampiezza egrave un numero complesso

46 Ricordiamo ancora che lintensitagrave del fenomeno ondulatorio saragrave lagitazione del mashyre nel caso delle onde marine il volume del suono nel caso delle onde acustiche la potenza della radiazione (in particolare intensitagrave della luce) nel caso delle onde elettromagnetiche

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ce diventa piugrave fioca se si tratta di onde sonore si affievolisce il rushymore) Nel caso opposto si parla di interferenza costruttiva (piugrave lushyce piugrave rumore) Quando un fascio di luce passa attraverso una fenshyditura di larghezza circa pari alla lunghezza delle onde del fascio si osserva il fenomeno della diffrazione esso comporta lo scatenarsi di una quantitagrave di fenomeni di interferenza che generano laltershynarsi di zone di luce e dombra caratteristico delle figure di diffrashyzione Ho giagrave r cordato che queste figure osservate da Davisson e Germer diffondendo un fascio di elettroni su un reticolo cristallino invece che un fascio di luce diedero la conferma sperimentale delshylesistenza delle onde di materia

Dunque il problema dellinterpretazione fisica di ~ si riconduceshyva a quello dellinterpretazione fisica di 1~ 12bull La prima proposta fatta da Schrodinger medesimo che 1~ 12 moltiplicata per la carica dellelettrone fosse la densitagrave di corrente elettrica si rivelograve intenibishyle Linterpretazione a tuttoggi accettata di 1~ 12 quella statistica fu proposta da Max Born nel 1926 stesso appena qualche mese doshypo luscita dei lavori di Schrodinger Egli la propose analizzando tramite la meccanica ondulatoria un processo fisico molto concreto e importante la diffusione degli elettroni da parte di un ostacolo

Immaginiamo di illuminare nella notte un ostacolo opaco con un fascio luminoso potente e ben collimato (un faro della macchina una torcia elettrica) magari monocromatico Osserveremo che la luce si diffonderagrave in tutte le direzioni attorno allostacolo in alcushyne direzioni saragrave piugrave intensa in altre meno a seconda della forma e delle proprietagrave fisiche dellostacolo stesso La teoria ondulatoria labbiamo appena ricordato ci insegna che lintensitagrave della luce in una particolare direzione egrave uguale al quadrato dellampiezza delshylonda elettromagnetica corrispondente47 Per la legge di Einstein lintensitagrave della radiazione portata da unonda elettromagnetica di frequenza v egrave quella di un fotone di energia hv Dunque lintensitagrave di ogni fascio luminoso saragrave altresigrave proporzionale al numero di foshy

47 Nel caso della luce il quadrato dellampiezza coincide con il quadrato del campo eletshytromagnetico trasportato dallonda

Sullorigine deUinterpretazione staU$rica della meccanica quant~tica

toni che lo compongono che denoteremo N Lintensitagrave della luce diffusa in una certa direzione saragrave pertanto proporzionale al nushymero n dei fotoni che compongono il fascio incidente deviati in quella direzione dallostacolo Ora i fotoni del fascio incidente sono un numero enorme e si puograve assumere che siano fra loro indipenshydenti cioegrave che il moto di uno qualsiasi di essi non influenzi in alcun modo quello di un qualsiasi altro Potremo allora applicare la legge dei grandi numeri ed affermare che la frazione nlN dei fotoni incishydenti che hanno preso una data direzione vale la probabilitagrave a prioshyri (denotata p) che un singolo fotone la prenda quindi n=pN Dunshyque il quadrato dellampiezza della luce diffusa in una data direshyzione riferito al singolo fotone (cioegrave diviso per il numero totale dei fotoni) coincide con la probabilitagrave che un singolo fotone venga deshyflesso in questa direzione a seguito della diffusione

Il processo analogo riferito ai corpuscoli cioegrave la diffusione di un fascio di corpuscoli carichi tramite un ostacolo era un problema molto studiato fin da allora percheacute costituisce la tecnica basilare per lindagine sperimentale delle strutture atomiche e subatomiche (i grandi acceleratori di particelle odierni sono costruiti apposta per generare questi processi di diffusione) Fu Lord Rutherford ad inventare questa tecnica facendo incidere un fascio di particelle a accelerate da un campo elettrico su lamine doro e proprio per suo tramite riuscigrave a scoprire la struttura dellatomo Osservograve infatshyti che la frazione dei corpuscoli incidenti deflessi in ogni data direshyzione era in accordo con le previsioni della formula da lui stesso dedotta assumendo che latomo consistesse in un nucleo di carica positiva pari al numero di elettroni che lo circondavano attratti dal nucleo secondo la legge di Coulomb Allapparire della meccashynica ondulatoria si poneva quindi in maniera critica il problema di ritrovare per suo tramite la formula di Rutherford dedotta con metodi di pura meccanica classica di cui si conosceva la validitagrave sperimentale una formula diversa avrebbe fatto cadere immediashytamente lintera costruzione Il calcolo fu intrapreso per primo nel 1926 da Gregor Wenzel nel caso della legge di Coulomb e portato a termine nello stesso anno da Born nel caso generale Il risultato era

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che la formula di Rutherford rimaneva vera poicheacute risultava che il numero degli elettroni del fascio incidente deflessi in ogni data dishyrezione era pari al quadrato (del modulo) della funzione donda di Schrodinger calcolata lungo la medesima direzione Dunque proceshydendo in completa analogia al caso dei fotoni era del tutto naturale assumere che la probabilitagrave che un singolo elettrone del fascio incishydente venisse deviato in una direzione a priori stabilita fosse pari al quadrato (del modulo) 1~ 12 della funzione donda di Schrodinshyger calcolata lungo la medesima direzione Il vero colpo dala di Max Born consistette nellassumere che lanalogia si estendesse ben oltre il processo fisico della diffusione e cioegrave alla soluzione delleshyquazione di Schrodinger in tutti i casi Questo egrave un punto che vale la pena di esporre in qualche ulteriore dettaglio La natura dei moshyti che hanno luogo nella diffusione di un fascio di elettroni da parte di un ostacolo egrave radicalmente diversa da quella del moto degli eletshytroni attorno al nucleo Nel primo caso i moti possono avere luogo a qualsiasi energia positiva tanto in meccanica classica che in mecshycanica ondulatoria in altre parole in questo caso la meccanica onshydulatoria non genera il fenomeno della quantizzazione dei valori dellenergia che invece si presenta nel moto degli elettroni attorno al nucleo Inoltre nel primo caso le traiettorie classiche si estendoshyno fmo allinfinito tipicamente gli elettroni provengono da distanshyze infmite vengono deflessi dallostacolo e si allontanano allinfmishyto lungo la direzione di deflessione Nel secondo caso si mantengoshyno sempre a distanza finita dal nucleo percheacute dal punto di vista meccanico questi moti sono esattamente dello stesso tipo dei moti dei pianeti attorno al sole Questa natura differente dei moti classishyci si riflette in una struttura parimenti differente delle funzioni donda ~ nei due problemi nel primo caso a grandi distanze dalloshystacolo la forma della funzione donda egrave assai simile alla struttura dellampiezza dei piugrave semplici fenomeni ondulatori classici48 Nel secondo invece 1~ 1 si annulla allavvicinarsi dellelettrone al nushycleo poi cresce torna a decrescere e molto rapidamente quando

48 In queste condizioni infaui la ~ si riduce essenzialmente ad unonda piana

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SuUorigiTUl deUinterpretazioTUl statistica della meccanica quantistica

lelettrone si trova lontano dal nucleo e poi si annulla anche allinshyfinito Secondo linterpretazione probabilistica nel primo caso sishycuramente gli elettroni raggiungeranno linfInito mentre nel seconshydo non lo raggiungeranno mai e mai cadranno sul nucleo avranno poi probabilitagrave piccolissima di trovarsi sia molto lontano dal nushycleo che molto vicino ed infine probabilitagrave grande di trovarsi ad una certa distanza finita da questo In altre parole linterpretazioshyne probabilistica conserva le caratteristiche qualitative del moto classico Ciograve avviene non solo nel caso della diffusione di un fascio di elettroni in moto da parte di un ostacolo il processo fisico partishycolare per cui veniva del tutto spontaneo introdurla ma anche in una situazione meccanica di caratteristiche completamente divershyse quella del moto planetario degli elettroni attorno al nucleo per cui si verifica invece il fenomeno della quantizzazione delleshynergia Dunque linterpretazione probabilistica della funzione donda introduce sigrave un elemento di casualitagrave nella descrizione del moto ma non certo tale da eliminare completamente il ruolo della traiettoria classica ne conserva infatti ripetiamo la natura qualishytativa Non si deve in altre parole pensare che linterpretazione probabilistica significhi che in meccanica quantistica il corpuscolo possa trovarsi piugrave o meno dovunque indipendentemente da dove si troverebbe seguendo il suo moto tramite le leggi della meccanica classica

Esiste un solo caso in cui il moto quantistico possiede come conshyseguenza diretta delle proprietagrave ondulatorie della materia caratteshyristiche qualitative strutturalmente diverse da quelle del moto classhysico si tratta delleffetto tunnel Esso consiste nella constatazione che il corpuscolo ha probabilitagrave non nulla di attraversare zone doshyve classicamente non potrebbe mai arrivare percheacute se ci arrivasse il quadrato della sua velocitagrave diventerebbe negativo cosa impossishybile In meccanica quantistica tali zone proibite non possono piugrave essere usate come limiti invalicabili Tipicamente il corpuscolo ha probabilitagrave non nulla di penetrare una barriera e di uscirne dalla parte opposta come se appunto vi avesse scavato una galleria Anshyche qui perograve il legame col moto classico non egrave completamente recishy

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so la probabilitagrave che questo processo classicamente impossibile avshyvenga egrave molto piccola anche su scala microscopica cioegrave anche se lordine di grandezza delle azioni dei corpi in movimento egrave la coshystante di Planck Quanto alla rilevanza delleffetto tunnel sulla noshystra esperienza quotidiana si immagini di lanciare una macchina al secondo verso il Monte Bianco Bisogneragrave allora continuare a lanciarne allo stesso ritmo almeno per un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di anni per potere dire che si egrave quasi certi che una di esse sia passata dallaltra parte senza attraversare la galleshyria Questa attesa durerebbe un milione di miliardi di miliardi di volte piugrave delletagrave delluniverso

n dato di fatto che il moto quantistico si discosta poco da quello classico ammette unespressione quantitativa generale che ha implishycazioni profonde Gli elementi di casualitagrave dovuti agli effetti quantishystici sono comunque riducibili a fluttuazioni dellordine di grandezshyza della costante di Planck attorno alle traiettorie classiche Queste fluttuazioni attorno alle traiettorie classiche costituiscono la vera essenza dei fenomeni quantistici secondo la formulazione delle mecshycanica quantistica di Feynman49 esse non sono infatti interpretabishyli (fatto che egli colse immediatamente) in termini dei moti variati che debbono essere presi in considerazione nella formulazione della meccanica classica tramite i principi di minimoso

Queste fluttuazioni impredicibili attorno alla traiettoria classica sono invece un aspetto equivalente del fenomeno elementare della quantizzazione riuscire a spiegarne lorigine equivarrebbe infatti a capire lorigine di questo fenomeno e ogni tentativo di formulare

49 Richard P Feynman (1917-1989) forse il maggiomiddot fisico della seconela metagrave del Noveshycento elaborograve negli anni 40 una rappresentazione della meccanica quantistica particolarshymente pmiddotofonda ed illuminante che si egrave rivelata anche la piugrave adattabile a situazioni molto complicate quali la teoria dei campi quantizzati A Inio parere essa egrave fra tutte la presentazioshyne piugrave soddisfacente purtroppo egrave inscindihile dal suo strumento tecnico lintegrale di Feynshyman la cui costruzione non puograve essere riassunta nemmeno molto succintamente senza fare riferimento ad IID vasto bagaglio di cognizioni tecniche

50 La meccanica classica puograve essere dedotta dal principio di minima azione di Maupemiddotshytuis-Hamilton-Jacobi Esso afferma che fra tutte le traiettorie geometricamente possibili e meccanicamente percorribili (eletti moti variati) che congiungono due punti assegnati la legshyge di forza costringeragrave il mobile a percorrere quella che possiede lazione minima

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SuUorigiM deUinterpretazwM statistica della meccanica quantistica

la meccanica quantistica evitando linterpretazione statistica51 delshyla funzione donda deve teneroe conto introducendo unassunzione che ne giustifichi lesistenza

5 Conclusione

Abbiamo riassunto la deduzione della meccanica quantistica nella versione ondulatoria di de Broglie e Schrodinger fu una deshyduzione piuttosto avventurosa tramite analogie azzeccate e geneshyralizzazioni fortunate Queste furono introdotte perograve sempre nelshylintendimento di staccarsi il meno possibile dalla fisica classica sola ed unica fonte delle analogie medesime Da unaltra di queste analogie egrave stata poi tratta linterpretazione statistica La deduzione della meccanica quantistica nella versione matriciale di Heisenshyberg Boro e Jordan non fu certo piugrave limpida tuttavia lintendishymento era il medesimo Nonostante lavventurositagrave della deduzione le cose funzionarono fin da subito impeccabilmente nel confronto con i dati sperimentali Dirac inquadrograve quasi immediatamente le formulazioni ondulatorie e matriciali come aspetti particolari fra loro equivalenti della sua teoria generale contemporaneamente ed indipendentemente Von Neumann formulograve questa teoria generale in un linguaggio matematico assolutamente rigoroso e coerente bashysato su principi enunciabili senza ambiguitagrave e su proprietagrave matemashytiche da sottoporre a verifica in ogni caso concreto Tuttavia ledifishycio della meccanica quantistica costruito con tanta rapiditagrave apparshyve fm da subito molto solido sIgrave ma anche di architettura non molto soddisfacente da un punto di vista estetico essa rimaneva infatti molto lontana dalleleganza geometrica e dalla semplicitagrave concetshy

51 Ogni tentativo di formulazione alternativa della meccanica quantistica deve naturalshymente essere equivalente nelle sue p r evisioni quantitative a quella tradizionale (equazione di Schrodinger e interpretazione probabilistica) Latteggiamento dei professionisti del meshystiere verso le formulazioni alternative egrave molto meno dogmatico e assai piugrave pragmatico di quanto in generale non si pensi Esse sono ben viste se forniscono strumenti tecnici efficaci per affrontare problemi che si presentano difficili con i metodi tradizionali Ad esempio la meccanica stocastica di Edward Nelson (1965) ha annoverato ed annovera diversi cultori che se ne sono serviti pelO risolvere problemi importanti

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tuale della fisica classica la meccanica newtoniana e lelettromashygnetismo di Maxwell in particolare e anche della teoria della relashytivitagrave ristretta e generale di Einstein Uno dei motivi egrave sicuramente il rapporto controverso con la meccanica classica che abbiamo cershycato di delineare in precedenza

Per di piugrave la meccanica quantistica ha fatto sorgere fin dallinishyzio controversie molto serie su certe sue assunzioni fondamentali (principalmente lindeterminismo come conseguenza del processo di misura delle grandezze fisiche) Non voglio qui fare nemmeno un accenno alla questione dei fondamenti della meccanica quantistica toccata nellarticolo di Pietro Greco Mi limito solo ad osservare che negli ultimi tempi latteggiamento della maggioranza dei professhysionisti del mestiere si sta allontanando dalla posizione FAPP52 Egrave vero che tipicamente il professionista non amava il dibattito sui fondamenti percheacute aveva la sensazione (ed era difficile dargli torshyto) di non trarne alcun giovamento nel suo lavoro quotidiano 53 A piugrave di settantanni dalla sua nascita perograve la meccanica quantistica ha conseguito successi sperimentali spettacolari da una parte e dalshylaltra si egrave progressivamente consolidata sul piano concettuale e meshytodologico (anche attraverso la formulazione di quasi tutte le sue parti in termini matematici semplici e rigorosi) I risultati e le predishyzioni di questa teoria non sono piugrave da tempo oggetto di discussione Essa ha cosIgrave acquisito un rango tale da fare capire che il dibattito sui suoi fondamenti era davvero utile per la sua piena comprensioshyne Infatti esso aumentava la consapevolezza delle possibilitagrave e dei limiti della teoria e non rischiava invece di confondere inutilmente le idee come molti avevano temuto Questo dibattito ha messo in luce se non altro come le basi della meccanica quantistica non siashyno ancora del tutto sicure Cito testualmente dal trattato di A Gashy

52 Nellarticolo di Pietro Greco viene ricordata labbreviazione FAPP (For AU Practishycal Purposes per tutti gli scopi utili in pratica) che sta ad indicare lo posizione di chi ritiene inutile una discussione approfondita dei fondamenti della meccanica quantistica poicheacute la formulaziolle attuale egrave sufficiente per qualsiasi uso pratico della disciplina

53 AI contrario poteva addirittura temere di riportarue un danno vedendo messe in dishyscussione alcune certezze raggiunte con fatica senza che fossero sostituite da altre parimenti utili nel suo lavoro

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lindo e P Pascual laquononostante gli indubitabili e impressionanti successi riportati dalla meccanica quantistica [ ] una formulashyzione completa e priva di ambiguitagrave della nostra teoria fLSica piugrave fondamentale egrave tuttora mancanteraquo 54

La mia posizione in proposito egrave quella espressa nel sect2 una forshymulazione completamente soddisfacente della meccanica quantistishyca richiede la piena comprensione del processo di transizione fra meccanica classica e quantistica Non egrave detto che ciograve sia possibile ma la storia recente della fisica matematica mette in luce un preceshydente notevolissimo di piena comprensione di due aspetti apparenshytemente contradditori la riconciliazione fra reversibilitagrave della dishynamica microscopica classica e irreversibilitagrave della tendenza mashycroscopica allequilibrio avvenuta alla metagrave degli anni 70 In quegli anni Oscar E Lanford riuscigrave a portare a termine gli annosi tentativi di capire in quale modo lequazione di Boltzmann che deshyscrive la tendenza irreversibile allequilibrio dei sistemi macroscoshypici classici poteva essere fatta discendere dalle equazioni di Newshyton che descrivono levoluzione temporale reversibile di ciascuno dei loro componenti microscopici La costruzione di Lanford ha rappresentato il coronamento di un ampio fIlone di ricerca durato un secolo e ha posto fme ad una controversia che era durata il meshydesimo lasso di tempo poicheacute si era accesa al momento stesso in cui Boltzmann dedusse la sua equazione nel 1872 Sono passati appena 75 anni dalla nascita della meccanica quantistica La riconciliazioshyne fra determinismo classico e indeterminismo quantistico se mai vi saragrave potrebbe tardare ancora a lungo

54 Quantum Mechanics Springer-Verlag 1990 (2 voU ) Traduzione deUa Il edizione Spah1lola del 1989 A mio parere egrave queslo il ~lio IraUalo ili meccanico quanugravesugraveca apparshyso negli ullimi 30 anni

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quando le grandezze fisiche (energia velocitagrave ecc) non variano cori continuitagrave ma fanno dei salti da un valore consentito allaltro I valori consentiti e lampiezza dei salti (detti salti quantici) dishypendono da una quantitagrave fondamentale in fisica la costante di Planck1 detta quanto dazione e denotata h Lazione egrave il prodotto fra la velocitagrave di un oggetto mobile la sua massa e la distanza che ha percorso in un certo intervallo di tempo2 Il valore di h vale grosso modo lazione compiuta dal moto di un elettrone che ha pershycorso un milionesimo di centimetro alla velocitagrave di un chilometrmiddoto al secondo ed egrave almeno un miliardo di miliardi di miliardi di volte piugrave piccolo delle azioni compiute nei fenomeni che osserviamo quoshytidianamente

Dunque contrariamente a quanto pensava Leibnitz natura fashycit saltus sempre che la si osservi su scala microscopica (cosa che Leibnitz non aveva la possibilitagrave di fare) Il fatto che i salti quantishyci si verifichino per davvero egrave una constatazione sperimentale anshyche se altamente antiintuitiva Daltra parte bisogna tenere presenshyte (e non lo si ripeteragrave mai abbastanza in questo contesto) che la

1 Dal nome di Max Planck (1858-1947) allepoca professore di fisica teorica allUnivershysitagrave Humholdt di Berlino Le 08selVazioni sperimentali del 1900 di H Rubens e F KurIshybaum anche loro fisici di Berlino sulla radiazione di corpo nero non si riuscivano a spiegashyre con la teoria classica (non egrave necessario pemiddotla comprensione di questo articolo cercare di descrivere gli aspetti tecnici del problema che fanno intervenire un certo numero di nozioni avanzate) Planck introdusse una formula basata sullidea che lemissione e lassorbimento della radiazione potessero avere luogo in porzioni discrete di energia pari a hv vera la freshyquenza della radiazione e h una costante (avente lo dimensione di unenergia per un temshypo) La formula risultava in accordo con le osservazioni scegliendo per h un certo valore pmiddoteciso ~Jtmiddotemamente piccolo Max Planck presentograve il suo risultato ad un incontro della Soshycietagrave di fisica tedesca tenutosi propmiddotio all Universitagrave Humboldt il 14 dicembre 1900 (questo avvenimento costituisce latto di nascita della teoria dei quanti ma non certamente della meccanica quantistica odierna che si sviluppograve negli anni che vanno dal 1925 al 1930 sopshypiantando la cosiddetta teoria semiclassica di Bohr-Sommerfeld Lo sviluppo storico della meccanica quantistica egrave estremamente impomiddottante per lo scopo di questo articolo e lo richiashymerograve nel paragrafo prossimo) Nel 1912 riuscigrave a dedune teoricamente lo sua formula nellishypotesi che i valori consentiti allenergia delle piccole oscillazioni di un pendolo al cui estreshymo si immagina appeso un corpuscolo microscopico fossero tutti e soli i multipli interi e poshysitivi di h moltiplicata per la pulsazione delle oscillazioni (nota oggi come ipotesi di Planck)

2 Lazione puograve essere definita anche come il prodotto dellenergia posseduta dal mobile peo il tempo lungo il quale lo si osserva Questa grandezza ha una grande importanza in mecshycanica percheacute i moti effettivi sono quelli che posseggono azione minima

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