SUL SISTEMA DI DUE INTEGRALI PRIMI COMUNI AD UNA CLASSE DI PROBLEMI.

Nora di V i n o e n z 0 A m a t 0, in Catania.

Adunanza del ~8 agosto 19o 4.

I. In un mio recente lavoro *) ho dato un metodo per la costru-

zione d'un sistema di due integrah primi comuni a pill problemi del

moto d'un punto sopra una superficie, variabile col tempo di posizione e anche di forma, nell'ipotesi generale c h e l a forza sollecitante dipenda

dal tempo, daUa posizione e dalla velocit~ del punto materiale di massa

unitaria. Questo metodo consiste nell'assegnare due equazioni

I A I(u, r, s ) = c~, (~) A2(u, r, s )= ,~, con A~, A~ funzioni arbitrarie, tall per6 che sia diverso da zero il deter-

minante funzionale rispetto alle r, s, essendo Cl, c~ due costant i ; nel

r isolvere le equazioni

o~A ~ oc ~ au + - ~ +--~--t~=o,

c~A~ ~A~ cgA~ ~ + -~-7-~+--~-T~ = ~

*) Atti dell'Accademia Gioenia, serie 4 a, vol. XVII (Nota II). Cfr. anche la mia pubblicazione negli Atfi della stessa Accad., serie 4% vol. XlV (Nota I) nonch~ [a Nota Sull'integrazione d'un'equauone nel Giornale di Mat. di BATTAGLINI, settem- bre 19Ol. Nella presente Nora, per maggior ehiarezza, sono conservate le stesse no- tazioni.

Rend. Circ Matem. _Palermo, t. XIX ( I 9 o ~ ) , - Stampato tl 2I dxcembre zgo 4. 8

~8 V I N C E N Z O &MATO.

rispetto alle % } e nell'assegnare infine una funzione qualunque .f< delie variabili indipendenti t, u, r, s, tale per6 che sia

~f , O~f~ Of< O~L (2) Or OtOs - - Os OtOr =i~ o :

risulta cosl determinata la trasformazione

t - - t ,

t t = tt~

U s = gt~

"/) = L ( t , 1,t,, r , $ )

v' Ok [Of< ~ Of,'~ = at + t o . as/""

mediante la quale si passa dalle variabili t, u, u', r, s alle altre 1, u, # , v, v'. Operando tale trasformazione nel sistema ( I ) e nella relazione

(Nora I, pag. I I )

\Ou i U---~yt 2u-~[t Ou-I- Or

+ Os \Ou - -

si ha un sistema di due integrali primi, funzioni delle t, u, v, u', v',

comuni a tutti i problemi (U, F ) pei quah sia verificata la trasformata della (3). Per questi problemi ~ dunque arbitrariamente assegnabile una delle forze U, V, p. es. U, in funzione delle t, ,u, v, u', v', giacch6 si ottiene la V in s delle stesse variabili risolveudo la trasformata

della (3)- Dunque, a parte l'interpretazione meccanica, il metodo suddetto per-

metre la costruzione di un sistema di due integrali pruni, comuni a pifl problemi delia forma

( ) ( dv d~v du d:u du = V t , u , v , ~ , ~ , dt~.--- U t, u, v, d r ' ~t ' dt 2

assegnando a priori questi integrali come funzioni di tre variabili u, r, s ed operando in essi una certa trasformazione, mediante la quale diven-

d tt dv tano due funzioni delle t, u, v, d t ' dr : il sistema di integrali primi

che in questo modo si ottiene 6 comune a tutti i problemi (U, V) della

SUL SISTEMA DI DUE INTEGRALI PRIMI COMUNI AD U N A CLASSE DI PROBLEMI. J 9

forma suddetta, p d quali sia verificata la relazione

V - k U = Z , du dv

dove k, 1 sono funzioni note delle t, u, v, d r " dr "

Si ha quindi infine, coll 'applicazione del metodo suddetto, un si-

sterna di due integrali primi ed una classe di problemi che hanno in

comune tale sistema.

Senonch~ si presenta una questione molto importante :

Dato un problema (U, V), determinare, se sia possibiIe, una classe

di problemi avent, con esso due iutegrali primi comuni e determinare aI-

tresi quest, integrali *).

2. Sia f , una fanzione qualunque delle variabili indipendenti t, u,

r, s; sieno inoltre e e } due funzioni arbitrarie delle u, r, s. Le f , , % ~ saranno determinate ulteriormente.

Dato un problema [U(t, u, v, u', v ') , V(t , u, v, u', v')] si ponga

v =- f~( t , u, r, s),

oi, ioi , oi, oi, - g i + to** + ~a7 + ~ o,#"'"

Allora le U, Y dipenderanno dalle

t 'u ' f "u"N+\0u+~aT+~v.~u ' e dovranno soddisfare alia (3) .

Dunque, posto

v--t0 u +~87+~ v=z, necessario pr ima di tutto che si abbia

(4) 1 = d -~- 2 B u ' n t- Cu ' : , dove

A = ( l) . ,=o, B = \ - 7 - b-#u'J.,=o' C m_ \ 2 0--~'* 1.,=o '

*) Ndla Nota I (pag. 12) si considera la stessa questione, mai l procedimento (che ~ una generahzzazione di quello usato dal KOR~INr) potrebbe riuscire di diffici- lissima applicazione. Va inoltre notato che in tale mm lavoro la conclusione (pag. 14), scorretta per errore del proto, deve essere intesa nel senso che, ammesso che le date forze U, V soddisfino una certa condizlone, se le ra&ci comuni a quelle due deter- minate equazioni sod&sfano quel tale sistema di equazloni a derivate parziali, esiste una classe di problemi.

~0 VINCENZO AMATO.

cio~

[as, ~s, ~s,~ A=a+b\O.+~87r +~ Os 7,

__iOfi ~@) iOii Of, Ofi ~ " c=S+g~,F-;+'~+~__. + h \ s . + ' C + ~ o,!

./Of, Of, Of,~ 3

E d'altra parte

0% A = c ) : "

(s) o io~,+ o:, os,~ o lo i , _ o i ,_ ~;) + N-(N,

Si noti che le a, b, c, d, e, f , g, h, i sono funzioni determinate delle

( t,,.,L,L =oil. Dunque la questione 6 ridotta a determinare, se sia possibile, risol-

vendo il sistema (5), la funzione f , che verifichi la (2) e le funzioni e ~ che dipendano solo dalle variablli u, r, s.

Poich6 dana prima delle (5) si ha

o-- ;+~77+~o-5 = - b - \ ~ - -a , sostituendo nelle due equazioni rimanenti deI sistema (5), alia espressione

Of, Of< ~ cgf, il secondo membro della precedente uguaglianza, a u + ~ 7 + - a s , si ottengono due equazioni delia seguente forma

LO'f.~_ M[OV,~" NO'f. Of, pOV. ~Of, (6) o r , - - tot:/+ o: at + 0:+~2F7 +e=~

E ~ --~- F fS -I- G - - o.

I coefficienti della (6) sono funzioni note delle sole t, u, f , ,

( f " ----- O t ] ' mentre i coetticienti E, F, G sono funzioni pure note deUe

SUL SISTEMA DI DUE INTEGRALI PRIMI COblUNI AD UNA CLASSE DI PROBLEMI. 61

Of, Of, Of, Of, t, u , f , , cgt ' O u ' Or ' Os '

O,= f , O= f ~ c)* f , c)= f , c)3 f , c)' f , O' f , cg t ~ ' O u O t ' O r O t ' Oscgt ' OuOt = ' OrOt = ' Oscgt ="

La determinazione che ci occupa sara possibile se esiste una fun- zione f~ (t, u, r, s), integrale della (6) e che soddlsfi la (2), tale che si possano risolvere le due equazioni lineari

E . - [ - F } - } - G - - o,

Or " n t - -~s f~ q - "-}- Ou b O t l = o ,

rispetto alle , , {~ in modo da ottenere due funzioni delle sole u, r, s.

Si avrA allora una classe di problemi dalla relazione (3), sostituendovi alle f , , =, ~ le espressioni trovate e supponendo arbitraria una deUe funzioni U, V.

Gi'integrali comuni al problema dato, per il quale sia verificata la (4), e a tutti quelh della classe ottenuta nel modo suddetto, saranno i due integrali del sistema (Nota II, pug. 5):

d r ds a.=V=-g. Per mezzo della trasformazione data in principi~ si potrA infine

esprimere tutto in funzione &lle variabili t, u, v, u', v' *). Si pu6 dunque in questo modo, per ogni problema (U, V) dato

a priori, risolvere la questione enunciata nella fine dd ~ I.

Palermo, 2 7 agosto r9o 4.

VINCENZO AMATO.

*) Un procedimento analogo si pu6 segaxire per il sistema di due integrali primi comuni a pifl problemi del moto d'un punto sopra una superficie fissa, nel caso in cui la forza dipenda dalla posizione e daIla velocitA del punto (Cir. Nota II, ~ 2 e l'ahra citata del Giornale dl Matematiche di BATTAGLINI).