SUI LIMITI PER n - - ~ DELLE DERIVATE n =~

DELLE FUNZIONI ANALITICHE.

Nota di Giuseppe Vitali, in Pisa.

Adunauza del 2 7 m a g g i o xgoo.

1. Io mi propongo di vedere se esistono deUe funzioni analitiche

che ammettano in un punto regolare a distanza finita un limite finito

della derivata n m* per n tendente all'infinito.

Per questo suppongo che f ( ~ ) sia una tale funzione. Senza mancare alia generalitk posso supporre che il punto nel quale

essa ammette il limite della derivata n =* per n tendente all'infinito sia

l'origine. Indico poi con a questo Limite.

La f ( z ) esister~t certo in un piccolo intorno C di Z - - o e in questo

intorno si avrS. :

Ora poich~

oo m

d Z " - -

d<" /~=o = a ,

e quindi a, tende al limite determinato e finito a. Segue che esister~t un numero reale e positivo A abbastanza grande

per cui

I~.l Z .4, qualunque sia n.

.Rend. Circ. Matem. Po~lermo, t . XIV (xgoo) . ~ S t a m p a t o il a8 g iugno xgoo. 2 7

2 1 0 G. V I T A L I .

Dunque la serie m ZaL

m / , / . !

convergente in tutto il piano, ossia l a . f ( z ) ~ una trascendente intera.

2. E poi

Ma poich6

d" f ( z ) d~ ~

m

lim a = a , n ~o

si pu6 trovare un n tale che per ogni n' maggiore o uguale ad" n si abbia

l a . , - a I < *,

essendo , una quantiffl piccola a piacere. Per quell'n si ha

d~ f--~(Z~Z) ae~l < ~e,~,.

Dunque per ogni Z, col crescere abbastanza di n, la differenza

d ' f ( z ) a e~

si pu6 rendere piccola a piacere e quindi per ogni Z

d~)a "" ae v --- o, lim n ~ c a o

o s s i a

Fun d~ f (z) - - a d - - *

Riassumendo :

Esistono infinite funzioni anaIitiche cbe ammettono un limite finito pel vaIore della derivata n m a in un punto regoIare col ten&re di n alI'infinito. O, Queste funKioni sono trascendenti intere particolari ed ammettono un limite per la derivata n m a quando n ten& all'infinito per ogni punto finilo. Questo limite costituisce una funzione della forma ad , con a costante finita.

3. Da quanto precede risulta:

Se pia funzioni analitiche in numero finito

SUI LIMITI PER n - - ' o o DELLE DERIVATE n me DELLE FUNZIONI ANALITICHE. 2 I I

ammettono i limiti delIe loro derivate n ~ per n eguale all'infinito e questi

limiti sono

a z e : ~ , a 2 e : ( ~ . . . a p e ~

la fun#one

u (~) + ,,2 (~) + . . . + up(~) ammette pure il Iimite della derivata um" per n tendente all'infinito, e questo

limite k

(a + a2 + . . . + a,) e'.

4. L~.MMA. - - Siano

ao~ az~ �9 . . an~ �9 . .

bo, b , , . . . b , , . . .

due successioni semp licemente infinite di numeri complessi tendenti rispetti-

vamente ai limiti finiti a e b. Se ts e k sono due humeri reali positivi, la

espressione

n = (k + b)"

tende per n uguale all'infinito aI Iimite a b.

DtMosTRAzlOXE. Siano

Po, P , , " " P , , " ' "

qo, q, , . . . q , , . "

le successioni dei rispettivi moduli e

~o, ~ , , . . . [ z , . . .

' Vo~ , ' V I ~ . , , V ~ . . .

quelle degli argomenfi dei termini delle date successioni e infine siano

P , q, ~-,

i moduli e gli argomenti di a e b.

Supponiamo che tz + ~ sia compreso ira o e ~ o e - - esclusi . 2 2

Poniamo quindi

a = P , , + i Q ,

con P, e Q , reali.

212 G. V I T A L I .

Si ha

(h + k)-P. = Z ~ $ 0

_

,.o ' $

n--mV~I t +~_ $

nP+i

= -Jr- n o n - - m t l $

(2, + + n

o n - - m ' / S

p,q._,b'k"-' cos(p. 21-- v _ , )

p, ,~._, h' k"-" cos (t-'-, + "._3

p, q._, h' k"-' ~o~ (~, + ~._,)

b' k"-' [_t,, ~._, ~os (~, + ',._3 - - p q co~(p. + ,,)]

b' k"-' p q cos (p~ -3 l- v)

~--rttt--I ) s p, q._,o cos (~, + ~_,)

Ora osserviamo che pel fatto che p . , q. , ~ . , ~. tendono ai limiti

determinati p , q, ~., v e poich6 o < ~. + v < --~-, + possibile determi-

nare n' ed m' in guisa che per n > n' ed m > m' sia sempre q~

o < t ~ . + ~ m < - T

e

Ip. q. cos (~. + ~.) - - p q cos (~ + ~)1 < , ,

essendo ~ una quantit~ prefissata piccola a piacere. Indichiamo brevemente con P l'espressione

p q cos (t~ + ~), che per l'ipotesi fatta ~ essenzialmente positiva.

1~ manifestamente per tali n' ed m'

s p'q" ,b 'k"- 'cos(g.+v. . , )

(b + k)" n

(-,' + X (" o $

< (k 27 k)"

e, indicando con P" il primo membro di questa disuguaglianza :

L ' < P + ~ .

s o i LIMITI PER n - - - c o DELLE DERIVATE n me DELLE FUNZIONI ANALITICHE. 2 I 3

Si ha pure analogamente

P ' > P - - ~ , dunque

I P ' - - Pl < ~ .

1~ poi, indicando con M un valore pifl grande di tutti i p. e di

mrd i q. :

+ ~ b' k"-' O', q.-, co~ (v-, + ',._3 - - P q ~os (v. + ",)] n--re' (h + k) n

< (h + k)" ;

ma per n abbastanza grande supposto m' > n' e k > b, essendo n' + m' + 2

i termini della sommatoria -1- n h' k"-', e per n abbastanza n_mt / S

grande ed s L m ' essend~ ( n ) L ( s - - m' < n "', si ha

x o n--rot/ $ l n t

(h + k) ~ < (b + k)" < 2U*(n'.-.I - m' "JI- 2 ) n "

e poich~

pure

b + k > k I ,

,~m P

lira . - - o.

Dunque si pu6 fissare un n ranto grande che da esso in poi sia

=)() + .$7 n h'k"-' [p, q._, ~o~ (V-, + ",,_3 - - P q ~o~ (~.,. + ,,)] ; $

(k + k)" < ~

2 1 4 G. V I T A L I .

Segue che da un n in poi

I L - - e l < 2 ~ l

e quindi che ~ ha col crescere di n un limite che ~ P.

In modo del tutto analogo si prova che Q. ha per n = oo un li-

mite Q dato da p q sen (b~. -1- v). Dunque anche ~. ha un limite per n tendente all'infinito ed 6

lira D. : P -t- i Q : p q [cos (b~ n t- v) -~- i sen (p. n t- v)] : a b.

Se poi ~.-J7 ~ non 8 compreso Ira o e - - ci possiamo sempre ri- 2

durre a questo caso moltiplicando per esempio le

bo, b , . . , b , . . . 7r

per un conveniente e i~ tale che essendo v' = v + 0, sia o ~ ~. -[- v' ~ 2 "

Indicando con a ' la a costruita per le due successioni

a :, ( t2~ . . . a ,n: , . . .

b e ~0, bzgi0, . . . bnelO, . . .

si ha lira ~.~' : a b d ~

Ma ~ ' - - - ~ e iO

n n

dunque lim a , - - a b .

Cosl ~ dimostrato completamente il lemma.

5. Siano

v z : E an O

- n ! 0

due funzioni che ammettono il limite della derivata n m~ per n - -

spettivamente /'ispetto ad b ~ e a k~.

Allora le successioni

a o~ a x ~ . . . a . ~ . . .

bo, bx , . . . bn, . . .

ammetteranno dei limiti a e b che supponiamo tutti e due finiti.

Indicando con

ri-

SUI LIMITI PER n - ~ o o DELLE DERIVATE n me DELLE FUNZIONI ANALtTICHE. 2 I 5

la derivata r t ma del prodotto v v= rispetto a Z nel punto z = o, si ha n

(v,v=)~= o = a s - o

donde =o [(b + k)

n! o

Ora supponiamo che h e k siano reali e posifivi.

Si ha lim 9 ~--- a b .

Segue che Ia funzione v, v 2 ha il Iimite della derivata n ma rispetto ad

(h -~ k )Z per n = ~ tutte Ie volte che h e k sono reali e positivi e questo

limite ~ il prod, otto dei limiti deIle derivate n ~ di v e v: rispetto ad

hz~ e k~.

l~ .poi evidente che la cosa sta anche se b e k sono numeri com-

plessi collo stesso argomento.

6. Si potrebbe domandare se il teorema precedente vale anche quando h e k sono numeri complessi con argomenti differenti.

Ora dimostriamo chese b e k non hanno lo stesso argomento, esi- stono sempre dei casi in cui il teorema non vale.

Perci6 indichiamo con h e k stesse i moduli di h e k e con ~? e c? -[- 0

i loro argomenti rispettivi.

Si ha

(b + k e~~ ~ e'"~ Ora poniamo

Abbiamo

a n ~ I

b - - b + e - ~ ~ ~~ ~ b + k "

P . . - - b

( n - - " O ~ I~ . . , CO)

( n ' - ' O ~ I~ . . . CO)

E n h 'k . - ' e "~-')~ n b'k ~ - ' [ " ~ L o s s "" ] h + k

(h + k e'~ + o (h + k e'~ n

= b + o (b -t- k e~~ ~

216 G. V l T A L I .

e quindi :

onde

ossia

n

0

[b + k d~ [a . - - bl =

) h + k ? ~ s b 'k" - ' la. - bl > ~ ~-_f_ k,,Ol.

b + k ~,o. (h + k)" l a . - - b l > h-t-k Ib--k--kd~

e infine

e quindi non certo

Concludendo : &

Ira. - - b[ ~ I ,

l i m t 2 - - - b.

'v x~ "8 2~ . . . 'Up

sono p funr._ioni anaIitiche che ammettono per n - - oo il Iimite delle loro

derivate n m~ rispetto ad

h ,~ , h ,~ , . . . h~z~,

iI prodotto ~ V 2 . . . V p

ha per n - - o o iI limite della derivata n r~. rispetto ad

(h, + h~ + . . . + he)

tutte Ie volte che bx, h2, . . . b e banno gli stessi'argomenti, e questo limite

il prodotto delle derivate n m~ per n - - o0 delle

V x ~ V 2 ~ �9 . . V e

rispetto ad b ,Z , h , z , . . . h~K.

Se h:, b:, . . . h e non banno Io stesso argomento, puO non sussistere

Ia cosa.

Pisa, m a g g i o 19oo.

G. V I T A L L