STUDIO DI FUNZIONI pag. 1

1 Dominio e ricerca asintoti

REGOLA GENERALE

1. Individuare il dominio della funzione, cioè l’insieme dei valori reali x per cui ( )xf è ancora un valore reale.2. Studiare i limiti della funzione assegnata per 0xx → con 0x estremo di ( )xfdom e per ±∞→x individuando, ove pre-

senti, i seguenti casi:a. 0x estremo di ( )xfdom

se ( ) ±∞=−→

xfxx 0

lim , si ha in 0xx = un asintoto verticale da sinistra;

se ( ) ±∞=+→

xfxx 0

lim , si ha in 0xx = un asintoto verticale da destra.

b. ( ) R∈=±∞→

kkxfx

lim

In questo caso y = k rappresenta un asintoto orizzontale di ( )xf per ±∞→x

c. ( ) ( )[ ] { }0 0lim \R∈=+−±∞→

mqmxxfx

In questo caso la retta qmxy += è un asintoto obliquo di ( )xf ; per individuare m coefficiente angolare e q inter-cetta sull’asse delle ordinate procedere come segue:

( )x

xfm

x ±∞→= lim ( )[ ]mxxfq

x−=

±∞→lim

È importante sottolineare che se e solo se entrambi questi due limiti esistono finiti ( )xf ammette per ±∞→xasintoto obliquo qmxy += .

STUDIO DI FUNZIONI pag. 2

ESEMPI

1. ( )52 −

=x

xxf

( )

=

25

dom \Rxf

( ) −∞=−

=−−

→

→ 52

limlim

2

5

2

5 x

xxf

xx

, ( ) +∞=−

=++

→

→ 52

limlim

2

5

2

5 x

xxf

xx

; dunque25=x è un asintoto verticale per

( )xf .

( )21

52limlim =

−=

+∞→+∞→ x

xxf

xx; ( )

21

52limlim =

−=

−∞→−∞→ x

xxf

xx; la retta

21=y è un asintoto orizzontale per ±∞→x .

2. ( )1e1e

+−=

x

x

xf

( ) R=xfdom

( ) 1ee

lim1e1e

limlim ==+−=

+∞→+∞→+∞→ x

x

xx

x

xxxf (applicando la regola di de L’Hopital) e quindi 1=y asintoto orizzontale per

+∞→x ;

( ) 111

lim1e1e

limlim −=+−=

+−=

+∞→−∞→−∞→ xx

x

xxxf e quindi 1−=y asintoto orizzontale per −∞→x .

3. ( ) xxxf e5

2+−=

( ) R=xfdom

( ) +∞=

+−=

+∞→+∞→

x

xx

xxf e5

2limlim ; ( ) −∞=

+−=

−∞→−∞→

x

xx

xxf e5

2limlim .

Come si può facilmente notare per −∞→x la funzione decresce con ordine di infinito 1:

( )m

xxx

x

x

xf x

x

x

xx==

+−=

+−=

−∞→−∞→−∞→ 21e5

21

lime5

2limlim

STUDIO DI FUNZIONI pag. 3m rappresenterebbe il coefficiente angolare della retta a cui la funzione tende per −∞→x ; l’intercetta si può ricavarecalcolando il seguente limite:

( )[ ] 521e5

21

lim2

e52

limlim −=

−+−⋅=

−+−=−

−∞→−∞→−∞→ xxx

xxmxxf

x

x

x

xx.

Risultando definiti e finiti entrambi i limiti, si può affermare che 52

−= xy è un asintoto obliquo di ( )xf per −∞→x ;

per +∞→x non ci sono invece asintoti in quanto

( ) +∞=+−

=+∞→+∞→ x

x

x

xfx

xx

e52limlim .

4. ( ) 4 3 23 −+= xxxf

( ) [ )+∞= ;2dom 3xf

( ) +∞=−+=+∞→+∞→

4 3 23limlim xxxfxx

La funzione ha ordine di infinito pari a 1; infatti:

( )3

213lim

23limlim 4

4

4 3

=

−+=−+=

+∞→+∞→+∞→ xxx

xx

x

xfxxx

La funzione può quindi presentare per +∞→x un asintoto obliquo qmxy += con m = 3; l’intercetta sull’asse delleordinate dovrebbe risultare dal calcolo di questo limite:

( )[ ] [ ] +∞=−=−−+=−+∞→+∞→+∞→

4 34 3 2lim323limlim xxxxmxxfxxx

.

Poiché quest’ultimo limite, pur essendo definito, non assume valore finito si deve concludere che ( )xf per +∞→xnon presenta alcun asintoto.

STUDIO DI FUNZIONI pag. 4

2 Studio di punti di discontinuità

REGOLA GENERALE

a. Se esiste un punto R∈0x per cui

( ) 10

lim lxfxx

=−→

, ( ) 20

lim lxfxx

=+→

con 21 ll ≠

allora si dice che x0 è un punto di discontinuità di prima specie o salto.b. Se esiste un punto R∈0x per cui

( ) lxfxx

=→ 0

lim , con ( )0xfl ≠

allora si dice che x0 è un punto di discontinuità eliminabile o artificiale.c. Se in x0 almeno uno dei limiti laterali o non esiste o è infinito, allora si dice che x0 è un punto di discontinuità di se-

conda specie.

ESEMPI

1. caso a.

( )

<=>

−==

0

0

0

1

0

1

sgn

x

x

x

xxf

si ha( ) 1lim

0=

+→xf

x, ( ) 1lim

0−=

−→xf

x

dunque 00 =x è un punto di discontinuità di prima specie.2. caso b.

( )

=≠

==0

0

0

1sgn

x

xxxf

si ha( ) 1lim

0=

→xf

x, ( ) 00 =f dunque 00 =x è un punto di discontinuità eliminabile.

STUDIO DI FUNZIONI pag. 53. caso c.

( )x

xf1=

si ha( ) +∞=

+→xf

x 0lim , ( ) −∞=

−→xf

x 0lim dunque 00 =x è un punto di discontinuità di seconda specie.

3 Studio di punti critici e intervalli di monotonia

REGOLA GENERALE

Calcolare la derivata prima della funzione assegnata e studiarne il segno e gli zeri sul suo dominio.

ESEMPI

1. ( ) 433 ++−= xxxf , R=fdom

( ) 033' 2 =+−= xxf

( ) 033:0' 2 =+−= xxf se 1 ,1 =−= xx

( ) 033:0' 2 >+−> xxf se 1 1 <<− x

La funzione è monotona decrescente negli intervalli ( )1 ; −∞− e ( )∞+ ;1 , mentre è crescente nell’intervallo ( )1 ;1− ; ilpunto 1−=x è di minimo, il punto 1=x è invece di massimo.

2. ( ) xxxf tg−= ,

∈+= Z\R kkf :

2dom ππ

( )x

xf 2cos1

1' −=

( ) 0cos

11:0' 2

=−=x

xf 0cos

1cos2

2

=−x

x1cos2 =x Z∈= kkx ,π

( ) 0cos

11:0' 2

>−>x

xf 1cos

12

<x

1cos2 >x condizione mai verificata

La funzione è decrescente; gli zeri della derivata prima rappresento flessi a tangente orizzontale; conseguentementenon ci sono massimi o minimi.

STUDIO DI FUNZIONI pag. 63. ( ) xxxf log= , { }0\dom += Rf

( )

+=+= 1

2log1

log2

1'

x

xx

xx

xxf

( ) 012

log1:0' =

+= x

xxf

I fattore: 01 =x

condizione mai verificata

II fattore: 012

log =+x2log −=x 2e−=x

( ) 012

log1:0' >

+> x

xxf

I fattore: 01 >x

condizione sempre verificata

II fattore: 012

log >+x2log −>x 2e−>x

La funzione è monotona decrescente nell’intervallo ( )2e ;0 - e monotona crescente in ( )∞+ ;e 2- ; il punto 2e−=x rappre-senta quindi un minimo assoluto.

4 Studio di punti di non derivabilità

REGOLA GENERALE

Se esistono dei punti ( )xfx dom0 = per i quali non è possibile applicare le regole di derivazione, studiare la derivata pri-ma della funzione assegnata esaminando in particolare queste possibilità:a. ( ) ( )xfllxf

xxxx'lim'lim

0021 +− →→

=≠= ( ) R∈= 210 , ;dom llxfx

b. ( ) ±∞=−→

xfxx

'lim0

e/o ( ) ±∞=+→

xfxx

'lim0

( )xfx dom0 =

STUDIO DI FUNZIONI pag. 7ESEMPI

1. caso a. ( ) xxxf 93 −= , ( ) R=xfdom

è conveniente affrontare lo studio di funzioni contenenti valori assoluti riscrivendo le funzioni in una forma che nonpresenti tali operatori; ciò può essere fatto spezzando la funzione in blocchi di segno costante:

093 ≥− xx ( ) 092 ≥−xxI fattore: 0≥xII fattore: 092 ≥−x 3−≤x e 3≥x

( ) ( ) 30

3

e

e

3

03

9

99

3

33

+<<+≥

−<≤≤−

−−−

=−=x

x

x

x

xx

xxxxxf

Poiché la funzione è pari, come si verifica facilmente sostituendo xx a − nella espressione originaria, lo studio deipunti di non derivabilità può essere affrontato per le sole 0≥x estendendo poi i risultati ottenuti alle 0<x . Questostudio va condotto analizzando separatamente il comportamento della derivata prima per i punti interni agli intervallidi definizione e per gli estremi di tali intervalli.• ( )3 ,0∈x

In questo intervallo ( ) 39 xxxf −= e dunque ( ) 239' xxf −= ;la derivata prima è definita per ogni punto dell’intervallo.

• ( )∞+∈ ,3x

In questo intervallo ( ) xxxf 93 −= e dunque ( ) 93' 2 −= xxf ;la derivata prima è definita per ogni punto dell’intervallo.

• 3 ,0=xLo studio della derivata prima va ora condotto calcolando separatamente i limiti destro e sinistro:

( ) ( ) 993lim'lim 2

00−=−=

−− →→xxf

xx; ( ) ( ) 939lim'lim 2

00+=−=

++ →→xxf

xx

( ) ( ) 1839lim'lim 2

33−=−=

−− →→xxf

xx( ) ( ) 1893lim'lim 2

33+=−=

++ →→xxf

xx

In entrambi i casi i limiti destro e sinistro sono finiti ma differenti; per 3 ,0=x non è dunque definita la derivata pri-ma di ( )xf e tali punti corrispondono quindi a punti angolosi.

In conclusione si può affermare che ( )xf è ovunque derivabile tranne che nei punti 3 ,0 ,3−=x che sono punti ango-losi.

STUDIO DI FUNZIONI pag. 82. caso b. ( ) 3 xxf = , ( ) R=xfdom

( )3 23

1'

xxf = 0≠x

La derivata prima non è definita per 0=x dove entrambi i limiti destro e sinistro sono infiniti:

( ) +∞===+−± →→→ 3 203 200 3

1lim

3

1lim'lim

xxxf

xxx

In questo caso, essendo i limiti destro e sinistro entrambi infiniti di segno concorde, si ha per 0=x un flesso a tan-gente verticale.

3. caso b. ( ) 3 2xxf = , ( ) R=xfdom

( )33

2'

xxf = 0≠x

Anche in questo caso la derivata prima non è definita per 0=x :

( ) −∞==−− →→ 300 3

2lim'lim

xxf

xx( ) +∞==

++ →→ 300 3

2lim'lim

xxf

xx

Dato che i limiti destro e sinistro sono infiniti ma di segno discorde, il punto 0=x corrisponde a una cuspide.

5 Studio di concavità, convessità e flessi

REGOLA GENERALE

Calcolare la derivata seconda della funzione e studiarne in particolare il segno e gli zeri.

ESEMPI

1. ( ) 34 xxxf −= , ( ) R=xfdom

( ) 23 34' xxxf −= ( ) xxxf 612'' 2 −=

STUDIO DI FUNZIONI pag. 9

( ) 0612:0'' 2 =−= xxxf ( ) 0126 =−xx21

,0=x

( ) 0612:0'' 2 >−> xxxf ( ) 0126 >−xxI fattore: x > 0

II fattore: 012 >−x21>x

La derivata seconda è positiva per x < 0 e per 21>x ed in questi intervalli ( )xf è dunque convessa; per

21

0 << x la

funzione è invece concava. Da queste considerazioni si deduce che x = 0 e 21=x rappresentano punti di flesso.

2. ( ) 2

exxf = , ( ) R=xfdom

( ) 2

e2' xxxf = ( ) [ ]221e2e22e2''222

xxxxf xxx +=+=

( ) [ ] 021e2:0'' 22

=+= xxf x condizione mai verificata

( ) [ ] 021e2:0'' 22

>+> xxf x condizione sempre verificataLa derivata seconda è sempre strettamente positiva e quindi la funzione è sempre convessa.

6 Grafici

REGOLA GENERALE

Effettuare lo studio degli elementi (dominio, segno, monotonia, …) discussi nei punti precedenti, dedurre da questil’andamento della funzione e disegnarne il grafico in maniera qualitativa.

ESEMPI

1. ( )x

xxxf

−+=

122

• DominioLa funzione è definita sull’intero asse reale ad eccezione dei punti per i quali si annulla il denominatore:

01 =− x 1=x ( ) {}1dom \R=xf

• Simmetrie e periodicità

STUDIO DI FUNZIONI pag. 10La funzione non presenta né simmetrie né periodicità.

• Segno e zeri

( ) 01

2:0

2

>−+>

x

xxxf

numeratore: 022 >+ xx ( ) 02 >+xx condizione verificata per 2−<x e 0>xdenominatore: 01 >− x 1<x

La funzione è positiva negli intervalli ( )2 , −∞− e ( )1 ,0 .

( ) 02:0 2 =+= xxxf ( ) 02 =+xx 2 ,0 −=xLa funzione si annulla per 0=x e 2−=x .

• Comportamento per ±∞→x(asintoti orizzontali, obliqui o semplice divergenza)

( ) −∞=

+−

+=−+

+∞→+∞→

xx

xx

x

xxxx 1

1

2lim

12

lim2

L’ordine di infinito per +∞→x è 1, infatti:( )

( )( )( ) 11

2lim

12

limlim2

−=−+=

−+=

+∞→+∞→+∞→ xx

xx

xx

xx

x

xfxxx

La funzione potrebbe quindi presentare per +∞→x un asintoto obliquo di cui 1−=m rappresenterebbe il co-efficiente angolare; l’intercetta sull’asse delle ordinate sarebbe:

( )[ ] 311

2lim

12

limlim2

−=

+

−+=

+

−+=−=

+∞→+∞→+∞→ x

xxx

x

xxmxxfq

xxx

Essendo i due limiti definiti e finiti si può concludere che ( )xf ha un asintoto obliquo per +∞→x di equazione3−−= xy .

( ) +∞=

+−

+=−+

−∞→−∞→

xx

xx

x

xxxx 1

1

2lim

12

lim2

Anche in questo caso l’ordine di infinito è 1:

STUDIO DI FUNZIONI pag. 11

( )( )

( )( ) 11

2lim

12

limlim2

−=−+=

−+=

−∞→−∞→−∞→ xx

xx

xx

xx

x

xfxxx

La funzione potrebbe presentare un asintoto obliquo anche per −∞→x ; trovato il coefficiente angolare1−=m , resta da calcolare l’intercetta:

( )[ ] 311

2lim

12

limlim2

−=

+

−+=

+

−+=−=

−∞→−∞→−∞→ x

xxx

x

xxmxxfq

xxx

Anche per −∞→x ( )xf presenta un asintoto obliquo, esso ha equazione 3−−= xy .• Asintoti verticali

+∞=−+

−→ x

xxx 1

2lim

2

1−∞=

−+

+→ x

xxx 1

2lim

2

1

Asintoto verticale 1=x .• Intervalli di monotonia e punti stazionari

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )2

2

2

2

1

22

1

12122'

x

xx

x

xxxxxf

−++−=

−−+−−+=

( ) ( ) 01

22:0' 2

2

>−

++−>x

xxxf

numeratore: 0222 >++− xx 3131 +<<− x

denominatore: ( ) 01 2 >− x condizione sempre verificata

La funzione è crescente negli intervalli ( )1 ,31− e ( )31 ,1 +

( ) ( ) 01

22:0' 2

2

=−

++−=x

xxxf 0222 =++− xx 31 ,31 +=−= xx

La funzione presenta in 31−=x un minimo relativo e in 31+=x un massimo relativo.• Concavità, convessità e flessi

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )34

22

1

6

1

2222122''

xx

xxxxxxf

−=

−+−++−−−+−=

( ) ( ) 01

6:0'' 3 >

−>

xxf

STUDIO DI FUNZIONI pag. 12numeratore: 6 > 0 condizione sempre verificatadenominatore: ( ) 01 3 >− x x < 1

La funzione è convessa per x < 1, concava per x > 1; non ci sono punti di flesso.

• Punti di non derivabilitàLa funzione non presenta punti di non derivabilità.

• Valori della funzione in alcuni punti particolari

( ) 536.03

34631 −≅−=−f

( ) 464.73

34631 −≅

−+=+f

( ) 00 =f

2. ( ) xxxf −= 12 e

• Dominio( ) R=xfdom

• Simmetrie e periodicitàLa funzione non presenta né simmetrie né periodicità.

• Segno e zeri( ) 0e:0 12 >> − xxxf

I fattore: 02 >x condizione verificata per 0≠xII fattore: 0e1 >− x condizione sempre verificata

La funzione è sempre positiva ad eccezione del punto 0=x dove si annulla, infatti:( ) 0e:0 12 == − xxxf 0=x

• Comportamento per ±∞→x(asintoti orizzontali, obliqui o semplice divergenza)

0elim 12 =−

+∞→

x

xx

La funzione ha 0=y come asintoto orizzontale per +∞→x .

STUDIO DI FUNZIONI pag. 13

+∞=−

−∞→

x

xx 12 elim

L’ordine di infinito per −∞→x maggiore di 1 esclude la possibilità di asintoti obliqui.• Asintoti verticali

La funzione non presenta asintoti verticali.• Intervalli di monotonia e punti stazionari

( ) ( ) ( ) xxx xxxxxf −−− −=−+= 12121 e2e1e2'

( ) ( ) 0e2:0' 12 >−> − xxxxf

I fattore: 02 2 >− xx ( ) 02 <−xx 20 << x

II fattore: 0e1 >− x condizione sempre verificataLa funzione è crescente per 20 << x .

( ) ( ) 0e2:0' 12 =−= − xxxxf

I fattore: 02 2 =− xx 2 ,0=x

II fattore: 0e1 =− x condizione mai verificataLa funzione ha in 0=x un punto di minimo assoluto e in 2=x un punto di massimo relativo.

• Concavità, convessità e flessi( ) ( ) ( )( ) ( ) xxx xxxxxxf −−− +−=−−+−= 12121 e24e12e22''

( ) ( ) 0e24:0'' 12 >+−> − xxxxf

I fattore: 0242 >+− xx 22 ,22 +>−< xx

II fattore: 0e1 >− x condizione sempre verificataLa funzione è convessa per 22 −<x e per 22+>x , concava per 2222 +<<− x .

( ) ( ) 0e24:0'' 12 =+−= − xxxxf

I fattore: 0242 =+− xx 22 ,22 +=−= xx

II fattore: 0e1 =− x condizione mai verificataLa funzione presenta in 22−=x e in 22+=xpunti di flesso.

• Punti di non derivabilitàLa funzione non presenta punti di non derivabilità.

• Valori della funzione in alcuni punti particolari

STUDIO DI FUNZIONI pag. 14( ) 00 =f

( ) 472.1e4

2 ≅=f

( ) 519.022 ≅−f

( ) 043.122 ≅+f

3. ( ) xxxf cossin +=• Dominio

( ) R=xfdom

• Simmetrie e periodicitàLa funzione è pari, infatti:

( ) xxxf cossin +=

( ) ( ) ( ) xxxxxxxf cossincossincossin +=+−=−+−=−La funzione è inoltre periodica di periodo 2π :

( ) ( ) ( ) xxxxxf cossin2cos2sin2 +=+++=+ πππ .

Data la parità e la periodicità della funzione, lo studio verrà affrontato per [ ]π ,0∈x estendendo poi i risultatiagli intervalli adiacenti.

• Segno e zeri

( )

<<≤≤

<≥

+−+

=ππ

π2

0

cioè

cioè

0sin

0sin

cossin

cossin

x

x

x

x

xx

xxxf

La funzione può essere ulteriormente riscritta in questa forma:

+=+

4sin2cossin

πxxx

( ) 04

sin2:0 >

+> πxxf

43

0π≤< x

STUDIO DI FUNZIONI pag. 15

( ) 04

sin2:0 =

+= πxxf

43π=x

La funzione è positiva per 4

30

π<≤ x , negativa per ππ ≤< x4

3, nulla per

43π=x .

• Asintoti verticaliLa funzione non presenta asintoti verticali.

• Intervalli di monotonia e punti stazionari

( )

+=

4cos2'

πxxf

( ) 04

cos2:0' >

+> πxxf

40

π<< x

( ) 04

cos2:0' =

+= πxxf

4

π=x

La funzione è crescente per 4

0π<< x , decrescente per ππ << x

4;

4

π=x è punto di massimo.

• Concavità, convessità e flessi

( )

+−=

4sin2''

πxxf

( ) 04

sin2:0'' >

+−> πxxf ππ << x

43

( ) 04

sin2:0'' =

+−= πxxf

43π=x

La funzione è convessa per ππ << x4

3, concava per

43

0π<< x e presenta un flesso in

43π=x .

• Punti di non derivabilitàLa funzione non è derivabile per 0=x e per π=x :

( ) 14

sin2lim'lim00

−=

+−=

−− →→

πxxf

xx( ) 1

4cos2lim'lim

00+=

+=

++ →→

πxxf

xx

STUDIO DI FUNZIONI pag. 16

( ) 14

cos2lim'lim −=

+=

−− →→

πππ

xxfxx

( ) 14

sin2lim'lim +=

+−=

++ →→

πππ

xxfxx

0=x e π=x sono dunque due punti angolosi.• Valori della funzione in alcuni punti particolari

24

=

π

f

( ) 1−=πf

( ) 10 =f

STUDIO DI FUNZIONI pag. 17

7 Schema riassuntivo di studio di funzioni

• Classifichiamo ( )xf come:- pari (se ( ) ( )xfxf −= )- dispari (se ( ) ( )xfxf −−= )- né pari né dispari- periodica (se esiste T tale che ( ) ( )xfTxf =+ )

Nel primo caso, si studia ( )xf solo per 0≥x , e si tiene conto che il grafico di ( )xf è simmetrico rispetto all’asse y.Nel secondo caso, si studia ( )xf solo per 0≥x , e si tiene conto che il grafico di ( )xf è simmetrico rispettoall’origine.Nel quarto caso, si studia ( )xf solo per Txxx +≤≤ 00 (con un opportuno x0) e poi si ripete il grafico in intervalli adia-centi.

• Studio del dominio di ( )xf

• Comportamento di ( )xf agli estremi del dominio (eventuali asintoti orizzontali o verticali)

• Ricerca di eventuali asintoti obliqui destri qmxy += : (vedere se esiste finito e diverso da zero ( )x

xfm

x +∞→= lim e, in ca-

so affermativo, ( )( )mxxfqx

−=+∞→

lim (lo stesso si ripete per −∞→x , per cercare eventuali asintoti sinistri)

• Zeri di ( )xf (eventualmente il segno di ( )xf )• Studio di ( )xf ' :

zeri e segno di ( )xf ' ⇒ monotonia e punti a tangente orizzontale;punti in cui ( )xf ' diventa infinita ⇒ punti a tangente verticale;punti in cui ( )xf ' ha discontinuità di prima specie (cioè ( ) ( )xfxf

xxxx'lim'lim

00−+ →→

≠ ) ⇒ punti angolosi.

• Eventuale studio di ( )xf '' (se richiesto, o se di facile calcolo):zeri, segno ⇒ concavità, eventuali flessi.

• Disegno del grafico

STUDIO DI FUNZIONI pag. 18

ESEMPI

Studiare le seguenti funzioni e tracciarne un grafico qualitativo:1. ( ) xxxf −−+= 1ln1ln2

• Verifichiamo innanzitutto se la funzione è pari o dispari:( ) xxxf −−+= 1ln1ln2 ( ) xxxf +−−=− 1ln1ln2

da cui ( ) ( )xfxf ±≠− : f non è né pari né dispari.Inoltre ( )xf non è periodica (poiché la funzione logaritmo non è periodica in campo reale)

• Dominio di ( )xf : ( ) ( ) ( )∞+∪−∪−∞−= ,11 ,11 ,D

• ( ) ( ) −∞==−+ −→−→

xfxfxx 11limlim

( ) ( ) +∞==−+ →→

xfxfxx 11limlim

( ) ( ) ( ) +∞=++=

++=

±∞→±∞→±∞→ x

x

x

xxf

xxx 11

limln11

lnlimlim22

Dunque 1−=x e 1=x sono asintoti verticali (sinistri e destri)Non ci sono asintoti orizzontali.

• Cerchiamo eventuali asintoti obliqui:

( )( )

011

ln

limlim

2

=−+

==+∞→+∞→ x

x

x

x

xfm

xx

(poiché l’ordine di infinito del numeratore è inferiore all’ordine di infinito del denominatore essendo di tipo loga-

ritmico; oppure applicando il teorema di de l’Hopital ( )

013

lim1'

lim 2 =−

−==+∞→+∞→ x

xxfm

xx).

(Lo stesso vale per −∞→x )Dunque non ci sono asintoti obliqui.

• ( ) ( ) ( )1

11

011

ln:022

=−+=

−+=

x

x

x

xxf

se x < 1: ( ) 300311 2122 −===+−=+ xxxxxx

STUDIO DI FUNZIONI pag. 19

x3

x4

se x > 1: ( ) ⇒=++⇒−=+ 0211 22 xxxx Nessuna soluzione reale.Dunque ( )xf taglia l’asse delle x solo in 01 =x e in 32 −=x .

• ( ) xxxf −−+= 1ln1ln2

Ricordando che ( ) ( )( ) ( )( )xf

xfxfDxfD

'lnln == , si ha:

( ) ( ) ( )( )( ) 1

31 1

1121

11

2' 2 −

−=−+

++−=−−−

+=

x

x

xx

xx

xxxf

( ) ( ) { }1dom'dom ±== \Rxfxf

( ) 0' =xf per 3=x

Segno di ( )xf ' :

( )xf è decrescente in ( )1 ,∞− e in ( )3 ,1 ed ( )xf è crescente in ( )1 ,1− e in ( )∞+ ,3 ; in 3=x ( )xf ha un minimorelativo a tangente orizzontale con ( ) 28log2log32log4log23 >==−=f

• ( ) ( )22

2

1

16''

−−+−=

x

xxxf

( ) 223223:0'' 43 +=−== xxxf

Segno di ( )xf '' :f è concava verso il basso in ( )1- ,∞− , in ( )3 ,1 x− e in ( )∞+ ,4x ; è con-

vessa ( )1 ,3x e in ( )4 ,1 x ; x3 e x4 sono punti di flesso.

−1 1 3

− −+ +

STUDIO DI FUNZIONI pag. 20

2. ( ) 2322

xxx

xf +++=

• ( ) 2322

xxx

xf +−+−=−

Poiché ( ) ( )xfxf ±≠− , ( )xf non è né pari né dispari.Non è periodica perché somma di funzioni non periodiche.

• Dominio di ( )xf : 1 ,2032 2 −≥−≤⇔≥++ xxxx quindi ( ] [ )∞+−∪−∞−= ,12 ,D

• ( ) 12 −=−f , ( )2

11 −=−f

( ) +∞=+∞→

xfxlim

( ) +∞=⋅

−=

++−⋅=

++−=

+++=

−∞→−∞→−∞→−∞→−∞→−∞→x

xxx

xxx

x

xxx

xxf

xxxxxxlim1

2

1231

2

1limlim

231

2lim

231

2limlim

222

Dunque non ci sono asintoti né orizzontali né verticali.• Cerco eventuali asintoti obliqui a destra:

( )2

3

231

2

1

limlim2

=

+++

==+∞→+∞→ x

xxx

x

xfm

xx

( ) ( )2

3

123

1

32

lim23

23lim23lim

2

3lim

2

2

222 =

+++

+

=+++

−++=−++=

−=

+∞→+∞→+∞→+∞→

xxx

xx

xxx

xxxxxxxxfq

xxxx

Si deduce che 2

3

2

3 += xy è asintoto obliquo destro.

Cerchiamo ora eventuali asintoti obliqui a sinistra:

( )2

1

231

2

1

limlim2

−=

++−

==−∞→−∞→ x

xxx

x

xfm

xx

STUDIO DI FUNZIONI pag. 21

( ) ( ) ( )2

3

2311

23

lim23

23lim23lim

2

1lim

2

2

222 −=

+++

−−

=++−++−=+++=

+=

−∞→−∞→−∞→−∞→

xxx

xx

xxx

xxxxxxxxfq

xxxx

Dunque 2

3

2

1 −−= xy è asintoto obliquo sinistro.

• ( )2

320 2 xxxxf −=++⇔=

nota bene: deve essere x < 0

9,03

3261,3

3

32608123

432 21

22

2 −≅+−=−≅−−=⇒=++⇒=++ xxxxx

xx

Poiché le due soluzioni appartengono al dominio e sono negative, sono entrambi valori accettabili.Dunque la funzione taglia l’asse delle x in x1 e x2.

• ( )2

2

2 322

2332

322

23

2

1'

xx

xxx

xx

xxf

++++++=

++++=

Segno di ( )xf ' :

( ) 0' >xf se xxx 2332 2 −−>++ cioè se

++>++

>−−∪

>++

≤−−

xxxx

x

xx

x

124932

023

032

023222

ovvero

−<

∪

∈∀

−≥

verificatamai23

23

x

Dx

x

Dunque se 1−≥x , ( ) 0' >xf , mentre se 2−<x , ( ) 0' <xf .Pertanto in ( )2 , −∞− ( )xf è decrescente, mentre in ( )∞+− ,1 ( )xf è crescente.

( ) ( ) ( )∞+−∪−∞−= ,12 ,'dom xf

( ) ( )xfxfxx

'lim'lim12 −→−→

=∞=

cioè 2−=x e 1−=x sono punti a tangente verticale (punti di non derivabilità)

STUDIO DI FUNZIONI pag. 22• ( )xf '' non è necessario