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Elementi Costruttivi delle Macchine Dispense integrative sulle ruote dentate © Politecnico di Torino Pagina 1 di 19 Data ultima revisione 26/11/03 Autore: Giovanni Roccati Politecnico di Torino CeTeM RUOTE DENTATE Le trasmissioni mediante ruote dentate grazie alle notevoli forze “normali” alle superfici (coniugate) in contatto possono trasmettere potenze rilevanti. Disposizione assi e corrispondenti primitive: Assi paralleli: prim. cilindri (circolari, t costante) – denti dritti o elicoidali Assi incidenti: prim. coniche – denti dritti o elicoidali Assi sghembi: prim. iperboloidi: realizzate mediante coppie coniche ipoidi CONCETTI FONDAMENTALI studio geom. e calcolo resistenza esposti con riferimento a RUOTE DENTATE CILINDRICHE; moto piano (traiettorie tutti i punti sistema su piani // ). Date 2 polari p a – p b , assegnato a piacere profilo “a” solidale a p a , si ricava un profilo “b”, solid. p b , coniug. con “a”. Accoppiando ora la polare p a ad una p c “a” definisce “c” solidale a p c . Infine accoppiando “b” e “c” (conservando come polari p b e p c ) essi risultano CONIUGATI [Proprietà TRANSITIVA PROFILATI CONIUGATI]: qui utile perché uno stesso utensile può costruire serie di profili, tutti coniugati fra di loro. Profili quasi esclusivamente usati AD EVOLVENTE (di cerchio) In riferimento a EVOLVENTE DI CERCHIO, dalla propr. prec. E per differenza, 1 2 1 2 PQ EE = (passo su normale a profili = passo su circonferenza base). Sempre da figura sottostante, posto 2 2 E OE j = . Essendo: 2 2 1 1 Q OE QOE = , anche 2 1 Q OQ j = ; 2 2 1 1 POE POE = , 2 1 POP j = . Quindi: 2 1 p PP r j = ; 2 1 q QQ r j = ; 2 1 EE rj = ossia: 2 1 2 1 p q r PP r QQ = , 2 1 2 1 p r PP EE r = ; ed anche (essendo 1 2 1 2 EE PQ = ): 1 2 1 2 p r PP PQ r = .

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RUOTE DENTATE Le trasmissioni mediante ruote dentate grazie alle notevoli forze “normali” alle superfici (coniugate) in contatto possono trasmettere potenze rilevanti. Disposizione assi e corrispondenti primitive:

— Assi paralleli: prim. cilindri (circolari, τ costante) – denti dritti o elicoidali — Assi incidenti: prim. coniche – denti dritti o elicoidali — Assi sghembi: prim. iperboloidi: realizzate mediante coppie coniche ipoidi

CONCETTI FONDAMENTALI studio geom. e calcolo resistenza esposti con riferimento a RUOTE DENTATE CILINDRICHE; moto piano (traiettorie tutti i punti sistema su piani // ). Date 2 polari pa – pb, assegnato a piacere profilo “a” solidale a pa, si ricava un profilo “b”, solid. pb, coniug. con “a”. Accoppiando ora la polare pa ad una pc “a” definisce “c” solidale a pc. Infine accoppiando “b” e “c” (conservando come polari pb e pc) essi risultano CONIUGATI [Proprietà TRANSITIVA PROFILATI CONIUGATI]: qui utile perché uno stesso utensile può costruire serie di profili, tutti coniugati fra di loro. Profili quasi esclusivamente usati AD EVOLVENTE (di cerchio)

In riferimento a EVOLVENTE DI CERCHIO, dalla propr. prec. E per differenza, ¼1 2 1 2PQ E E=

(passo su normale a profili = passo su circonferenza base). Sempre da figura sottostante,

posto ·2 2E OE ϕ= . Essendo: · ·2 2 1 1Q OE QOE= , anche ·

2 1Q OQ ϕ= ; · ·2 2 1 1POE POE= , ·

2 1POP ϕ= .

Quindi: ¼2 1 pP P r ϕ= ; ¼

2 1 qQ Q r ϕ= ; ¼2 1E E ρϕ= ossia:

¼¼

2 1

2 1

p

q

rP PrQ Q

= , ¼¼

2 1

2 1

prP P

E E ρ= ; ed anche (essendo

¼1 2 1 2E E PQ= ):

¼1 2

1 2

prP PPQ ρ

= .

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RUOTE DI SERIE ~ INGRANAMENTO NORMALE Simbologia pedici: o condizioni di taglio; 1 rel. a ruota con numero denti Z1 minore; 2 rel. a ruota Z2. Raggi primitivi di taglio R01, R02 angolo di pressione α0 normalizzato (20°). Raggi cerchi fondamentali ñ1=R01cosα0; ñ2=R02cosα0. Interasse esatto i0 = R01 + R02.

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Segmento T1T2 della retta tangente ai due cerchi fondamentali “luogo” contatti corretti. Segmento effettivo AB (vedi figura) VANTAGGI USO PROFILI CONIUGATI AD EVOLVENTE DI CERCHIO:

1. Tecnologico: facilmente realizzabile, come inviluppo delle posizioni di una retta (solidale alla retta primitiva e formante con essa l’angolo π/2 -α0) rotolante sul cerchio primitivo di raggio R0, ottenendo per inviluppo l’evolvente del cerchio di raggio ñ = R0cosα: il coltello utensile può perciò avere fianchi rettilinei.

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2. Funzionale: Un lieve errore di interasse non pregiudica regolarità trasmissione del moto: i > i0 = R01 + R02. E’ possibile trovare comunque una tangente comune ai cerchi fondamentali (invariati) che taglia retta O1O2 nel nuovo C. Dalla figura

( ) ( )( )01 02 01 2

1 2

cos

cos cos cos

R Ri R R

αρ ρα α α

+= + = + =

da cui:

( )01 02 0coscos

R R

i

αα

+= ; ( )

11 cos

α= ; ( )

22 cos

α= .

Altra determinazione di R1 e R2: in un tempo T in C passa un egual numero di denti delle due ruote: 1 1 2 2 1 1 2 2z T z T z zω ω ω ω= → = ; ma è anche, per defin. 1 1 2 2R Rω ω= ;

1 1 1

2 2 2

R ZR Z

ωω

= = ; 1 21 2 2 1

2 1

1 1Z Z

i R R R RZ Z

= + = + = +

da cui 2 1

2 12 1 2 1

;i Z i Z

R RZ Z Z Z

⋅ ⋅= =+ +

.

Vale sempre ñ = R0·cosα0 = R·cosα, da cui m·cosα = m0·cosα0

Evolvente in coordinate polari OP = r, θ = arcos(ñ / r)

» tanTP TE ρ ϑ= = »TQ ρϑ= » / tanQE invϕ ρ ϑ ϑ ϑ= = − =

r ϑ ϕ→ →

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Relazioni tra spessori circonferenziali S, S* ai raggi r, r*

*2 * 2

*S Sr r

ϕ ϕΨ = + = +

( )*2 *

*S S

inv invr r

ϑ ϑ= + −

CONDIZIONE DI CORRETTO INGRANAMENT, SENZA GIOCO NE INTERFERENZA:

rappresentata nella figura sottostante: “d” retta di contatto fianchi destri, “S” sinistri. ¼2 2S D

ampiezza vano V2 su primitiva R2; ¼1 1S D (ampiezza) spessore dente S1 su R1.

Quando contatto fianchi destri era in C Nd, D2, D1 coincidevano in C; per definizione di

primitive ¼ ¼2 1CD CD= . Analogamente quando contatto fianchi sinistri sarà in C, NS, S2, S1

coincideranno con C à Archi ¼ ¼2 2CS CD= . Quindi ¼ ¼

2 2 2 1 1 1S D V S D S= = = ma V2 = πm – S2

(passo – spessore primitiva con raggio R2) CONDIZIONE DIVIENE: S1+S2 = πm

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Procedimento di taglio considerato: per inviluppo, con dentiera tipo Sunderland: 1a fase moto di taglio // asse ruota e avanzamento radiale coltello, pezzo immobile 2a fase generazione per inviluppo: moto taglio come prima, moti di generazione traslazione laterale coltello, rotazione pezzo, riproducendo moto di dentiera ingranante con ruota che sarà finita.

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Raggio primitivo R0i UNIVOCAMENTE DEFINITO!!! INFATTI: passo dentiera πm0 = passo

primitivo di taglio ruota 00 0 02

2i

i i i

z mR z m Rπ π= → = .

Se accostamento termina quando la LINEA DI RIFERIMENTO coincide con la linea primitiva della dentiera (tangente alla circonferenza di raggio R0i): ruote di serie! Se linea di riferimento � linea primitiva, ruote a profili spostati:

0 02iS mπ= Perché durante taglio in condizioni di corretto ingranamento reale.

Spostamento profili modifica dente perché: per x positivo dà aumento spessore dente, utilizza come fianchi del dente archi diversi della stessa evolvente (ñ non muta). Raggi di piede: serie Rp1 = R01 – 1.25m0.

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I raggi primitivi di taglio R01, R02 possono anche essere raggi di lavoro delle due ruote accoppiate: SI se S01 e S02 rispettano la condizione di corretto ingranamento. Cioè se è:

1 0 0 2 0 0 02 tan 2 tan2 2

x m x m mπ πα α π + + + =

, e quindi per x1 + x2 = 0. Verifica automatica

mentre per ruote di serie (x1 = x2 = 0) e quando x2 = - x1. Allora R1 = R01, R2 = R02, α=α0. Se invece x1 + x2 � 0: R1 � R01, R2 � R02, α � α0 il problema effettivo del progetto (trovare

1 2i R R= + ) si risolve determinando dapprima α mediante la condizione di corretto

ingranamento ideale.

Dalla ( )*2 *

*S S

inv invr r

ϑ ϑ= + − , riscritta considerando ( )1 1 ,r R s s ϑ α= = = ;

01 01 0* , * , *r R s S ϑ α= = = ricavo ( )011 1 0

01

2S

S R inv invR

α α

= + −

( )11 1 0 0 0

1 0

22 tan 2

2 2Z m

S x m inv invZ m

πα α α

= + + −

( )1 1 0 1 02 tan2

S m x Z inv invπ α α α = + + −

Con analoghi ragionamenti per la ruota 2:

( )2 2 0 2 02 tan2

S m x Z inv invπ α α α = + + −

La condizione S1 + S2 = πm porta a scrivere:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 02 tanm x x Z Z inv inv mπ α α α π + + + + ⋅ − =

da cui 1 20 0

1 2

2 tanx x

inv invZ Z

α α α+= ++

NOTI X1, X2, α0, Z1, Z2 à si ricava inv(α). Noto inv(α), per intersezione con il diagramma

della funzione à α Noti R01, ñ1 = R01cosα0 à R1 = ñ1 / cosα, analog. R2 = ñ2 / cosα; m = m0cosα0 / cosα; i=R1+R2

In fase di taglio definiti i raggi di piede Rp1, Rp2; volendo un gioco radiale g (normalmente 0,25 m0) fra testa di un dente e piede del dente della ruota coniugata si dovrà considerare la relazione: 1 2 2 1p t p ti R g R R g R= + + = + + ; da cui 1 2 2 1; .t p t pR i g R R i g R= − − = − −

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Zona di contatto singolo: A’B’: quando contatto BA’, altra coppia in presa B’A. RAPPORTO DI CONDOTTA åα arco d’azione (di cui ruota un punto solidale ad una delle primitive nel

tempo in cui si mantiene in presa una coppia di denti: ºIF ) / passo : º

0 0

1cos cos

IF AB ABm m mαε

π α π π α= = ⋅ = quindi anche segmento di ingranamento AB / passo su

fondamentale. Passo fondamentale: concettualmente 0 0cos cosm mπ α π α= , ma è più

giusto per limitare effetto errori arrotond. Calcoli usare 0 0cosmπ α (grandezze assegnate in

partenza)

STRISCIAMENTI SPECIFICI:

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Nel tempo dt il contatto si sposta sui profili coniugati di quantità (�) ds1 = v1dt; ds2 = v2dt; v1 componente tangente al profilo, � a retta di pressione della velocità totale V1 del punto P, pensato appartenere alla ruota 1; V2, analoga quant., pensando punto appartenente a ruota 2. Si definiscono gli strisciamenti specif. Ks1 = (ds1 – ds2) / ds1; Ks2 = (ds2 – ds1) / ds2. Numeratore: se si fosse in condii. attrito secco proporzionale a lavoro perduto; denominatore a superficie di profilo interessata. Ks1, Ks2 funzione di posiz. P(P1, P2) valutata mediante ascissa ä, origine in C, positiva verso T2.

1 2 1 21

1 1

;s

ds ds V VK

ds V− −= = 1 1 1 1 1 1 11 cosV O P T Pω γ ω= = ; 2 2 2 2 2 2 2 2cosV O P T Pω γ ω= = ;

1 1 1 sinT P R α δ= + ; 2 2 2 sinT P R α δ= − ;

( ) ( )

21

11 1 1 2 2 21

1 1 1 1

1sin sin

sin sins

R RK

R R

ωωδωω α ωδ ω α ωδ

ω α δ ω α δ

+ − − + = =

+ +

ma ( )

1

22 11

1 2 1

1

sins

ZZZ

KZ R

δωω α δ

+

= → =+

Analogamente ( )

2

12

2

1

sins

ZZ

KR

δ

α δ

− +

=−

Diagramma funzioni KS à Punti T1 C T2 KS1 � � 0 1 KS2 1 0 � � Valori di effettivo interesse: nell’intervallo AB

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CONDIZ. TAGLIO

Poniamoci in condizioni limite: troncatura esterna della dentiera utensile (linea parallela a linea di riferimento passanti per estremi del tratto rettilineo del fianco del coltello) passanti per T1, e distanti K’m0 da linea primitiva della dentiera utensile. Si osservi la figura: è

0 1 0' sinHC K m T O α= = ; ma 01 1 0 1 0sin sin

2m

T C O C Zα α= = e quindi: 2

1 00 0

sin'

2Z

K m mα

=

,

per cui è (condizione limite) 1 20

2 'sin

KZ

α= .

Per ruote di serie: 1min 20

2K'=1

sinZ

α→ = ed essendo α0=20°, Z1�17 (17.09726). Volendo

comunque tagliare ruote con 1 1minseriez z< , senza interferenza al piede del dente, da

1 20

2 'sin

KZ

α= , ricavo ( )

20 1

1 11min

sin' 1

2 serie

zK X Z

zα= − = = e quindi 1

11min

1serie

zX

z= − .

SCELTA COEFFICIENTI SPOSTAMENTO X1, X2 PRESCRIZIONI: Verifica norme DIN (Giovannozzi, COSTRUZIONI DI MACCHINE, Vol II, Cap. I).. Diagrammi di Henriot (testo Trattato Teorico e pratico degli Ingranaggi).

Formule Merrit (BSS) (3cosi

iv

zz

β= ) :

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X1 X2

1) Z1v + Z2V < 60 0.02(30 – Z1V) 0.02(30 – Z2V) 2) Z1v + Z2V � 60 Maggiore fra:

0.02(30 – Z1V) 0.02(30 – Z1V) 0.02(30 – Z1V)

X2 = - X1

3) Pignone ruota dent. Int. 0.4 � 0.4 SUGGERIMENTI: Nuove norme DIN (Niemann-Winter, Elementi di macchine, Vol II, Dubbel Manuale di Ingegneria Meccanica).

Documenti ISO: ( )2 1 11

2 1 2 1

V V V

V V V V

Z Z ZX X

Z Z Z Zλ −= +

+ +∑ ; 2 1X X X= −∑ ; 0.5 .75λ≤ ≤ .

Parametri di Almen (pH, pressione Hertziana da N / mm2), vs velocità strisc. m/s, ämin) pHvs pHvsä 220 – 660 Ingranaggi normali, olio normale 550 – 8250 880 – 1100 Ingranaggi con correzione profili, olio spec. 11000 – 16500 1300 Limite superiore 22000

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APPUNTI SUI CRITERI DI VERIFICA DELLE DIMENSIONI DEGLI INGRANAGGI 1 INTRODUZIONE Le modalità di danneggiamento, e quindi le cause di ritiro dal servizio degli ingranaggi, a seconda delle applicazioni specifiche e delle qualità dei materiali con cui sono fabbricati gli ingranaggi sono diverse: si possono avere:

- raramente, per ingranaggi sollecitati da momenti di valore fortemente variabile, danneggiamento per deformazione permanente o rottura del dente, sollecitato staticamente a flessione dalla forza trasmessa tra i denti;

- più spesso, per ingranaggi in materiale molto duro, soprattutto in corrispondenza dei fianchi dei denti, e con basso limite di fatica, rotture per fatica causate dalle sollecitazioni di flessione al piede del dente;

- se il materiale resiste bene a fatica, ed ha durezza dei fianchi non elevata, si può avere usura dei fianchi dei denti, e quindi alterazione del profilo, variazione del rapporto di trasmissione e trasmissione con urti ed irregolarità nella trasmissione del moto che obbligano a mettere fuori servizio l’ingranaggio;

- si possono inoltre avere fenomeni di microsaldatura (grippaggio), a caldo ed a freddo.

Studi ampi e ben collaudati, che hanno anche portato alla redazione di normative sui criteri di verifica delle dimensioni degli ingranaggi, sono stati da tempo condotti sulle sollecitazioni a flessione e ad usura ed alcune molto concise informazioni su tali calcoli sono riportate qui di seguito. 2 IL CALCOLO A FLESSIONE TRADIZIONALE (attribuito a LEWIS) 2.1 Stato di sollecitazione La figura 1 illustra il pignone nella posizione di calcolo secondo questo metodo tradizionale: il dente si trova nella posizione in cui il contatto avviene in corrispondenza del raggio di roncatura esterna (è cioè in corrispondenza dell’estremo A del segmento di ingranamento effettivo); si immagina inoltre, cautelativamente, che tutta la forza F scambiata fra le due ruote lungo la retta di pressione (F = Ft / cosα) sia applicata in A, trascurando il fatto che in effetti tale forza dovrebbe essere ripartita tra i due contatti contemporanei (in A ed A’). Nella figura 1 si è indicato con H il punto di intersezione fra la retta d’azione della forza F (tangente alle circonferenze fondamentali delle due ruote ingrananti) e l’asse di simmetria del dente. Si trasporti la forza F lungo la retta di pressione fino ad applicarla in H e la si scomponga, come indicato nella figura 2, nelle due componenti:

- T, trasversale: T = F cosγ ;

- N, normale : N = F sinγ ;

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La componente normale N viene trascurata, mentre, introdotta una ascissa “z”, lungo l’asse di simmetria del dente, con origine nel punto H, e detti “c(z)” lo spessore cordale dell’ascissa generica “z”, e “b” la lunghezza in senso assiale del dente, momento flettente Mf, modulo di resistenza a flessione Wf, e tensione massima di flessione óf relative alla sezione di ascissa generica “z” valgono rispettivamente: Mf = T·z; Wf = b·[c(z)]2 / 6;

( ) 2

6ff

f

M TzW b c z

σ = =

.

Il valore massimo assoluto ó della tensione di flessione óf si ha per quella sezione z* per cui la quantità z / [c(z)]2 assume il suo massimo valore: z* / [c(z*)]2. La ascissa z*, in corrispondenza della quale la tensione di flessione assume il suo massimo valore (ó), disponendo del profilo del dente, può essere individuata con i ragionamenti esposti nel paragrafo seguente. 2.2 La determinazione della sezione critica Per una mensola incastrata e caricata all’estremità libera da una forza trasversale T, il profilo di uniforme resistenza, risolvendo rispetto all’altezza della sezione “h”, la classica

formula della flessione ( 2

6Tzbh

σ = ) è dato dall’espressione:

( )6Th K z

σ= =

A tale espressione corrisponde una famiglia di infinite parabole, di asse “z”, vertice H, ed apertura crescente al crescere di ( )K σ , cioè al diminuire di ó, come indicato in figura 2.

Tra tali infinite parabole ve ne sarà una che risulterà tangente in una sezione (la cui ascissa risulterà essere z*), al profilo del dente, in corrispondenza dei fianchi attivi ad evolvente di cerchio oppure in corrispondenza al raccordo tra tale fianco ed il cerchio di piede. Per tale ascissa, tensione ai bordi del dente ed ai bordi del profilo del dente coincideranno, essendo eguale la sezione dei due solidi; per tutte le altre ascisse, essendo la sezione del dente superiore a quella del solido ad uniforme resistenza, la tensione nel dente sarà inferiore a quella, costante al variare della sezione, sui bordi del solido parabolico. Pertanto, la sezione di tangenza fra i due profili individua la sezione in cui la sollecitazione di flessione nel dente e massima. Indicheremo dunque con z* l’ascissa di tale sezione e con c* il corrispondente spessore cordale. La normativa dell’American Gear Manufacturers Association (AGMA) suggerisce di sfruttare la proprietà delle parabole indicata di seguito, sotto la figura, per individuare più

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facilmente la sezione di tangenza tra profilo del dente ed una delle parabole della famiglia avente per asse l’asse di simmetria del dente e vertice in H.

Parabola di equazione y = ax2 Retta tangente alla parabola in un punto generico P di coordinate: xP, yP = axP

2; pendenza della retta: tanα = (dx / dy)·x = xP = 2axP. L’equazione della retta intersecante gli assi x ed y

rispettivamente in Q ed R, è: 2

2P PP

P P

y y y axax

x x x x− −= =− −

,

che può essere riscritta: 2 22 2P P Py ax ax x ax− = ⋅ − . (1)

Ponendo nella (1) x = 0 si trova l’ordinata del punto R: 2

R P Py y ax y= = − = − .

Pertanto, come mostra immediatamente la figura a fianco i segmenti OP’ (P’’P) e OR sono eguali fra loro, ed altrettanto avviene per i segmenti PQ, QR.

Disegnato in scala (di ingrandimento) opportuna il profilo dei denti, riportando oltre ai fianchi attivi ad evolvente anche i raccordi al piede del dente, si sposta un righello mantenendolo sempre tangente al profilo del dente fino a trovare il punto (E in figura 2) per cui la distanza tra E e l’intersezione D della retta tangente con la perpendicolare per H all’asse di simmetria del dente sia eguale alla distanza tra tale punto e l’intersezione G della retta tangente al profilo con l’asse di simmetria del dente. In quel punto, la tangente al profilo del dente coincide con quello di una parabola con vertice in H. 2.3 La formula di Lewis Individuata la sezione critica, riscriviamo l’espressione della tensione massima nelle forme:

(2) ó = [T / (b·m)] · [(6·z*·m) / (c*)2], ovvero, ponendo y, coefficiente di Lewis, la quantità:

(3) y = (c*)2 / (6·z*·m), (4) ó = FT·(cosã / cosα) / (b·m·y),

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ed infine, ponendo pari ad 1, anche tenendo conto delle altre forti approssimazioni introdotte, il rapporto (cosã / cosα):

(5) ó = FT / (b·m·y). La tensione ó così calcolata deve risultare minore di una opportuna tensione ammissibile óA, definita a seconda del calcolo che si sta eseguendo (verifica a sovraccarico ovvero verifica a fatica). Il coefficiente di Lewis y, definito dalla formula (3) è una quantità ADIMENSIONALE: è quindi indipendente dalle dimensioni del dente, ma soltanto dalla sua forma. Forma e quindi coefficiente di Lewis dipendono innanzitutto dal NUMERO DI DENTI della ruota verificata, ed inoltre dai seguenti parametri:

Ø nelle vecchie costruzioni: n proporzionamento (normale o ribassato) n angolo di pressione (14°30’, 15°, 20°, ecc.)

Ø nelle attuali costruzioni con utensili normalizzati: n dal coefficiente di spostamento.

Poiché nel caso di ruote di serie il coefficiente “y” relativo al pignone e minore di quello relativo alla ruota coniugata, se essi sono realizzati con materiali di resistenza eguali, sarà sufficiente verificare il pignone, più sollecitato. Nel caso di ruote a profili spostati, occorrerà verificare accuratamente i due valori dei coefficienti y1, y2: per numero di denti zi fissato, uno spostamento xi positivo aumenta il valore del coefficiente “y”, uno spostamento negativo abbassa il valore del coefficiente. 2.4 Altre procedure di verifica Altri autori (Merrit, vecchia normativa British Standard Specifications, BSS), fidando sulla bontà e precisione della realizzazione dell’ingranaggio, e supponendo quindi che quando il contatto è in A vi sia sempre una regolare ripartizione della forza F tra i due contatti contemporanei A e A’, considerano come condizione più gravosa per la verifica del pignone quella che si verifica quando il contatto è in B’, primo punto in cui è sicuramente applicata al dente tutta la forza F, sia pure con retta d’azione più vicina alla sezione di incastro. Anche in questi casi si giunge a formule del tipo:

(6) ó = FT / (b·m·y’), con y’ coefficiente analogo a quello di Lewis, anche esso dimensionale, ma funzione dei parametri:

- z1, z2, numero dei denti costituenti l’ingranaggio, - x1, x2, coefficienti di spostamento dei profili,

dai quali dipendono le forme dei due denti e le posizioni dei punti B’ ed A’, estremi della zona di contatto singolo.

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3 VERIFICA DELLA PRESSIONE HERTZIANA TRA I FIANCHI DEI DENTI Lo stato di sollecitazione di corpi elastici di forma generica premuti l’uno contro l’altro è stato studiato da Hertz, considerando anche il calo particolare di cilindri paralleli in contatto su una generatrice, ricavando la formula riportata in seguito.

Pressione hertziana (sull’areola nell’intorno della generatrice di contatto tra i cilindri paralleli, premuti l’uno sull’altro con una forza F)

0.418H

FElρ

σ = , con

1 2

1 2

2E EE

E E=

+ modulo elastico medio;

1 2

1 1r r

ρ = + curvatura relativa.

Applicazione al caso di ruote dentate (a denti dritti)

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( )cos

tFF forza

α≡

( )l lunghezza b≡

1 2 1 2

1 1 1 1' 'PT PT T M r MT

ρδ

= + = ++ −

Essendo: ( )1 2

1 2

sin

2

R RT M MT

α+= =

Risulta: ( ) ( )

( )( ) ( )

1 22 1

1 2 1 2 1 2

sin' '' ' sin sin

' '2 2

R RMT T MT M MT R R R R

αδ δρδ δ α α

δ δ

+− + += =+ ⋅ − + +

+ ⋅ −

.

Numeratore costante, denominatore funzione pari (valore non muta, cambia segno a 'δ );

per ( )1 2 sin

'2

R R αδ

+= ± denominatore à 0, ñ à �; per ' 0δ = (*) denominatore max., ñ min.

(*) La funzione a denominatore è del tipo (a + x)(a – x) = a2 + x2, max per x = 0. Parrebbe logico verificare le óH nel punto ä’ (A* o B*) estremo della “zona di contatto singolo” più distante da M; oppure, se si vuole ignorare la ripartizione del carico fra le coppie di denti in presa, nel punto più distante da M fra A e B; ed in effetti la vecchia norma inglese BSS calcola la óH in uno dei punti A*, B*. Ma per effetto delle difficoltà di lubrificazione in C (manca velocità di strisciamento, velo d’olio perde portanza) usura è anche forte in C. Spesso, anche per conformità nei calcoli preliminari, si fa calcolo con:

P C≡ , 1 2

1 1R R

ρ = + , ed allora óH è data dalla formula:

1 2

1 1 1 10.418

cos sint

H

FE

b R Rσ

α α

= +

, ossia essendo cosα·sinα = ½ sin(2α), R2 = uR1

1

10.59

sin2t

H

F E ubR u

σα

+ =