Stime per intervalli Fondamenti della Misurazione David Vetturi.

Stime per intervalli

Fondamenti della Misurazione

David Vetturi

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Fondamenti della Misurazione Stime per intervalli

Tutti noi siamo abituati a sentire in occasione delle consultazioni

elettorali le stime dei risultati pochi minuti dopo la chiusura dei seggi

(exit poll)

Inferenza Statistica

Tutti noi sappiamo anche che i risultati forniti da queste analisi sono

delle stime

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Inferenza Statistica

CAMPIONE

POPOLAZIONE

Campi di applicazione: psicologia-sociologia,marketing, gestione della qualità in ambito industriale, economia, medicina, ecc.

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Definizione: si definisce popolazione oggetto l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica (o attributo)

Campionamento

Riferimento:

Vicario, Levi

“Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri”

Progetto Leonardo

Capitoli 7 e 8

Una popolazione può essere finita o infinita

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Definizione: un insieme {X1,X2,..,Xn} viene detto campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con densità f(.) se la densità congiunta fx1,x2,..,xn(x1,x2,..,xn) delle n variabili X1,X2,..,Xn può essere espresso come:

Campionamento

nnXXX xfxfxfxxxfn

..,..,, 2121,..,, 21

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Definizione: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione si definisce media campionaria la quantità:

Statistiche

n

iin X

nX

1

1

7


Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:

Statistiche

n

XXE nn

2

var

dove e 2 sono rispettivamente media e varianza di f(x)

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Definizione: si definisce varianza campionaria di un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x) la quantità:

Statistiche

n

i

nin XXn

S1

22

1

1

9


Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:

Statistiche

22 nSE

dove 2 è la varianza di f(x)

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Teorema: sia data una popolazione distribuita con densità f(x) avente media e varianza e 2 finite, sia Xn la media di un campione casuale di numerosità n estratto da essa, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n al tendere di n all’infinito.

Teorema Limite Centrale

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Definizione: si definisce intervallo fiduciario per il parametro un intervallo entro il quale il parametro può assumere i valori con una prefissata probabilità chiamata livello di fiducia (1-)

Stima per intervalli

1ULP

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Sia {X1,X2,..,Xn} un campione estratto da una popolazione avente distribuzione normale con media e varianza 2 nota.

Stima per intervalli della media

n

XZ

n

Allora la media campionaria è uno stimatore per la media della popolazione ed inoltre segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n.

Consideriamo

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Si ha che Z segue la distribuzione normale standardizzata, dunque

1

21

21

ZZZP

14



e quindi:

1

21

21 n

ZXn

ZXP nn

12

12

1Z

n

XZP

n

15



dunque un intervallo fiduciario per la media

nZX

nZX nn

2

12

1

16


Se la varianza 2 non è nota allora si ha che la quantità


n

SX

Tn

n

segue una distribuzione chiamata di student con n-1 gradi di libertà

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e quindi, in modo analogo a quanto appena visto, si ha:

1

1,2

11,2

1 n

StX

n

StXP n

nn

n

nn

11,

211,

21 nn

n

nt

n

SX

tP

18



e dunque un intervallo fiduciario per la media, in questo caso è dato da

n

StX

n

StX n

nn

n

nn

1,2

11,2

1

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Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995

n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01

1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845

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Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995

n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01

1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845

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