INTERVALLI DI CONFIDENZAInferenza statistica

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Indice

•Accenni sugli stimatori•Le stime per intervallo•Intervalli di confidenza della media•Intervalli di confidenza della frequenza•Alcuni esempi

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Per capire meglio:alcuni accenni sugli stimatori

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Le stime per intervalloSulla base dei risultati tratti da un campione, si effettua una stima della popolazione dalla quale il campione è stato tratto.

Per conoscere il margine di errore connesso alla stima stessa occorre stabilire i limiti entro i quali si ha una confidenza (1− )che vi sia compreso il 𝛼 vero valore del parametro della popolazione. Tali limiti definiscono quindi un intervallo di confidenza.

Intervallo di confidenza

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Come avviene una stima per intervallo?

Oggetto da stimare: parametro μ (media della popolazione)

Individuare un campione: es …;

Stabilire l’intervallo di confidenza in base all’errore: = 0,05 1-

nel 95% dei casi otterremo un intervallo contenente il vero , mentre nel rimanente 5% dei casi questo non si verifica.

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Intervalli di confidenza della media

Varianza non nota

Varianza nota

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Varianza nota

Campione estratto da una popolazione normale con media e varianza conosciuta

: media del campionen: numerosità del campione

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Varianza non notaCampione GrandeCampione estratto (> 30 elementi) da una popolazione distribuita secondo una normale con media e 𝜇varianza sconosciuta.

Campione piccoloCampione piccolo (<30 elementi) estratto da una popolazione distribuita seconda una normale con media e varianza sconosciuta

s = scarto quadratico medio corretto del campione

= n - 1 (gradi di libertà)

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Grafico di una funzione normale standardizzata e una funzione t di student.

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Intervallo di confidenza di una differenza tra medie

Caso di piccoli campioni estratti da due popolazioni normali con varianze , sconosciute ma uguali.

Caso di piccoli campioni estratti da due popolazioni normali con varianze , sconosciute e diverse.

[𝑥1−𝑥2− 𝑡1−

𝛼2

𝜈❑ √ 𝑠1

❑ 2

𝑛1+

𝑠22

𝑛2

;𝑥1−𝑥2+ 𝑡1−

𝛼2

𝜈❑ √ 𝑠1

❑ 2

𝑛1+

𝑠22

𝑛2; ][𝑥1−𝑥2− 𝑡

1−𝛼2

𝜈❑ √ 𝑠1

❑ 2

𝑛1+

𝑠22

𝑛2

;𝑥1−𝑥2+ 𝑡1−

𝛼2

𝜈❑ √ 𝑠1

❑ 2

𝑛1+

𝑠22

𝑛2; ]

=

𝑣=𝑛1+𝑛2−2

con e𝑣=

( 𝑠1❑ 2

𝑛1+

𝑠22

𝑛2) 2

( 𝑠1❑ 2

𝑛1 ) 2𝑛1−1

+( 𝑠2

2

𝑛2 )𝑛2−1

con

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Intervallo di confidenza della frequenza

Campione estratto da una popolazione distribuita secondo una normale con frequenza p con la quale si presenta un certo carattere della popolazione.

[𝑝− 𝑧1−𝛼

2

∙√𝑝 (1−𝑝)𝑛

;𝑥+𝑧1− 𝛼

2

∙√𝑝 (1−𝑝 )𝑛 ]

Intervallo di confidenza di una differenza fra frequenze

Campioni estratti da una popolazione distribuita secondo una normale con frequenze p 1 e p2 con le quali si presenta un certo carattere della popolazione nell’ambito dei campioni estratti.

[𝑝1−𝑝2−𝑧1− 𝛼

2 √ 𝑝1(1−𝑝 1)

𝑛1

+𝑝2(1−𝑝 2)

𝑛2

;𝑝1−𝑝2+𝑧1− 𝛼

2 √ 𝑝1(1−𝑝 1)

𝑛1

+𝑝2(1−𝑝 2 )

𝑛2]

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Alcuni esempiEsempio di intervallo di confidenza di una media con campione piccolo e varianza non nota ed esempio di intervallo con varianza nota

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Esempio intervallo di una frequenza

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Heleen Coenen

Presentazione a cura di: