Stime per intervalli Corso di Misure Meccaniche e Termiche David Vetturi.

Stime per intervalli

Corso di

Misure Meccaniche e Termiche

David Vetturi

2

Misure Meccaniche e Termiche Stime per intervalli

Il campo dell’inferenza statistica è costituito da metodi utilizzati per assumere decisioni o per trarre

conclusioni su una popolazione e per tale scopo si basano

sull’informazione contenuta in un campione

Inferenza Statistica

3

Inferenza Statistica

CAMPIONE

POPOLAZIONE

Campi di applicazione: psicologia-sociologia,marketing, gestione della qualità in ambito industriale, economia, medicina, ecc.


4

Definizione: si definisce popolazione oggetto l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica (o attributo)

Campionamento

Riferimento:

Vicario, Levi

“Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri”

Progetto Leonardo

Capitoli 7 e 8

Una popolazione può essere finita o infinita


5

Definizione: un insieme {X1,X2,..,Xn} viene detto campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con densità f(.) se la densità congiunta fx1,x2,..,xn(x1,x2,..,xn) delle n variabili X1,X2,..,Xn può essere espresso come:

Campionamento

nnXXX xfxfxfxxxfn

..,..,, 2121,..,, 21


6

Definizione: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione si definisce media campionaria la quantità:

Statistiche

n

iin X

nX

1

1


7

Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:

Statistiche

n

XXE nn

2

var

dove e 2 sono rispettivamente media e varianza di f(x)


8

Definizione: si definisce varianza campionaria di un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x) la quantità:

Statistiche

n

i

nin XXn

S1

22

1

1


9

Teorema: dato un campione {X1,X2,..,Xn} proveniente da una popolazione avente densità f(x), si ha che:

Statistiche

dove 2 è la varianza di f(x)


10

Teorema: sia data una popolazione distribuita con densità f(x) avente media e varianza e 2 finite, sia Xn la media di un campione casuale di numerosità n estratto da essa, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n al tendere di n all’infinito.

Teorema Limite Centrale


11

Definizione: si definisce intervallo fiduciario per il parametro un intervallo entro il quale il parametro può assumere i valori con una prefissata probabilità chiamata livello di fiducia (1-)

Stima per intervalli

1ULP


12

Sia {X1,X2,..,Xn} un campione estratto da una popolazione avente distribuzione normale con media e varianza 2 nota.

Stima per intervalli della media

n

XZ

n

Allora la media campionaria è uno stimatore per la media della popolazione ed inoltre segue una distribuzione normale con media e varianza 2/n.

Consideriamo


13


Si ha che Z segue la distribuzione normale standardizzata, dunque

1

21

21

ZZZP


14


e quindi:

1

21

21 n

ZXn

ZXP nn

12

12

1Z

n

XZP

n


15


dunque un intervallo fiduciario per la media

nZX

nZX nn

2

12

1


16

Se la varianza 2 non è nota allora si ha che la quantità


n

SX

Tn

n

segue una distribuzione chiamata di student con n-1 gradi di libertà


17


e quindi, in modo analogo a quanto appena visto, si ha:

1

1,2

11,2

1 n

StX

n

StXP n

nn

n

nn

11,

211,

21 nn

n

nt

n

SX

tP


18


e dunque un intervallo fiduciario per la media, in questo caso è dato da

n

StX

n

StX n

nn

n

nn

1,2

11,2

1


19

Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995

n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01

1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845


20

Tabella per la distribuzione di studentp 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995

n 0.2 0.1 0.05 0.04 0.02 0.01

1 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.6562 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.9253 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.8414 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.6045 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.0326 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.7077 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.4998 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.3559 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.16911 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.10612 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.05513 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.01214 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.97715 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.94716 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.92117 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.89818 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.87819 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.86120 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845

306.28,975.0 t


21

Talvolta è interessante poter stimare la differenza fra le medie di due popolazioni.

Stima per intervalli della differenza tra due medie

Esaminando le varianze delle due popolazioni 2 e

2, abbiamo tre casi particolari:

2 e

2 sono note;

2 e

2 non note ma uguali;

2 e

2 non note e non uguali.


22

2

22

1

212222

2121 nnXXXX

Se X1 e X2 sono distribuite normalmente con varianza nota

2 e 2, allora la variabile casuale

=X1-X2 è distribuita normalmente con media pari a - , inoltre si ha:


(varianze note)


23

2

22

1

21

2121

nn

XXZ

Considerando la variabile Z così definita


(varianze note)

è distribuita normalmente con media nulla e varianza unitaria (normale standardizzata)


24

1

21

2

22

1

21

2121

21

Z

nn

XXZP

e quindi si ha:


(varianze note)

dunque

1

2

22

1

21

21

21212

22

1

21

21

21nn

ZXXnn

ZXXP


25

Riassumendo l’intervallo fuduciario per la differenza delle medie risulta


(varianze note)

2

22

1

21

21

21212

22

1

21

21

21nn

ZXXnn

ZXX


26

2

11

21

222

2112

nn

SnSnSP

Se le varianze delle popolazioni non sono note ma è ragionevole ritenerle uguali si ha che la miglior stimata per la varianza delle popolazioni è data da:

Stima per intervalli della differenza tra due medie(varianze non note ma uguali)

e dunque la stima della varianza di è data da

21

22 11ˆ

nnSP


27

21

2121

11nn

S

XXT

p

Quindi, analogamente a quanto già visto, risulta che la quantità T definita da


segue la distribuzione di student con n1+n2-2 gradi di libertà


28

21

2121

21 21,2

2121

21,2

21 XXnnXXnnStXXStXX

E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta:


21

1121 nnSS pXX

:con


29

Se le varianze delle popolazioni non sono note e non è ragionevole ritenerle uguali si ha che la quantità T definita da:


(varianze non note e non uguali)

segue approssimativamente la distribuzione di student con gradi di libertà

2

22

1

21

2121

nS

nS

XXT


30

Dove è dato da:



11 2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

n

nS

n

nS

nS

nS


31

2121

21,

2121

21,

21 XXXXStXXStXX

E dunque l’intervallo fiduciario per la differenza delle medie risulta:



2

22

1

21

21 n

S

n

SS

XX:con


32

n

i

ni XXSnV

1

2

2

2

1

Analogamente a quanto visto per media e differenza di medie si può costruire un intervallo fiduciario per la varianza di una popolazione.

Stima per intervalli della varianza

questa segue una distribuzione chiamata chi-quadrato (2) con n-1 gradi di libertà.

Considerando la quantità definita da:


33


E dunque risulta:

2

2,1

n

2

21,1

n

21n

11 2

21,12

22

2,1 nn

SnP


34


E l’intervallo fiduciario:

2

2,1

22

2

21,1

2 11

nn

nSnS


35

Tabella per la distribuzione 2

p 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995n

1 3.93E-05 1.57E-04 6.28E-04 9.82E-04 3.93E-03 1.58E-02 2.71E+00 3.84E+00 5.02E+00 5.41E+00 6.63E+00 7.88E+002 0.0100 0.0201 0.0404 0.0506 0.1026 0.2107 4.6052 5.9915 7.3778 7.8241 9.2104 10.59653 0.0717 0.1148 0.1848 0.2158 0.3518 0.5844 6.2514 7.8147 9.3484 9.8374 11.3449 12.83814 0.207 0.297 0.429 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.8605 0.412 0.554 0.752 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.832 13.388 15.086 16.7506 0.676 0.872 1.134 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.5487 0.989 1.239 1.564 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.2788 1.344 1.647 2.032 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.9559 1.735 2.088 2.532 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 19.679 21.666 23.58910 2.156 2.558 3.059 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 21.161 23.209 25.188

11 2.603 3.053 3.609 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 22.618 24.725 26.75712 3.074 3.571 4.178 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 24.054 26.217 28.30013 3.565 4.107 4.765 5.009 5.892 7.041 19.812 22.362 24.736 25.471 27.688 29.81914 4.075 4.660 5.368 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 26.873 29.141 31.31915 4.601 5.229 5.985 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 28.259 30.578 32.80116 5.142 5.812 6.614 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 29.633 32.000 34.26717 5.697 6.408 7.255 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 30.995 33.409 35.71818 6.265 7.015 7.906 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 32.346 34.805 37.15619 6.844 7.633 8.567 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 33.687 36.191 38.58220 7.434 8.260 9.237 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 35.020 37.566 39.997


36

Tabella per la distribuzione 2

p 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995n

1 3.93E-05 1.57E-04 6.28E-04 9.82E-04 3.93E-03 1.58E-02 2.71E+00 3.84E+00 5.02E+00 5.41E+00 6.63E+00 7.88E+002 0.0100 0.0201 0.0404 0.0506 0.1026 0.2107 4.6052 5.9915 7.3778 7.8241 9.2104 10.59653 0.0717 0.1148 0.1848 0.2158 0.3518 0.5844 6.2514 7.8147 9.3484 9.8374 11.3449 12.83814 0.207 0.297 0.429 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.8605 0.412 0.554 0.752 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.832 13.388 15.086 16.7506 0.676 0.872 1.134 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.5487 0.989 1.239 1.564 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.2788 1.344 1.647 2.032 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.9559 1.735 2.088 2.532 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 19.679 21.666 23.58910 2.156 2.558 3.059 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 21.161 23.209 25.188

11 2.603 3.053 3.609 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 22.618 24.725 26.75712 3.074 3.571 4.178 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 24.054 26.217 28.30013 3.565 4.107 4.765 5.009 5.892 7.041 19.812 22.362 24.736 25.471 27.688 29.81914 4.075 4.660 5.368 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 26.873 29.141 31.31915 4.601 5.229 5.985 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 28.259 30.578 32.80116 5.142 5.812 6.614 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 29.633 32.000 34.26717 5.697 6.408 7.255 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 30.995 33.409 35.71818 6.265 7.015 7.906 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 32.346 34.805 37.15619 6.844 7.633 8.567 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 33.687 36.191 38.58220 7.434 8.260 9.237 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 35.020 37.566 39.997

736.242975.0,13 009.52

025.0,13


37

La quantità:

Stima per intervalli del rapporto tra le varianze

di due popolazioni

segue una distribuzione di Fisher con =n1-1 gradi di libertà a numeratore e =n2-1 gradi di libertà a denominatore

21

21

22

22

S

S

F

21 ,nnf


38


E dunque risulta:

21,1,1 21

nn

fF

12

1,1,1

21

21

22

22

2,1,1 2121 nnnn

fS

S

fP

2,1,1 21

nnf


39

Stima per intervalli del rapporto delle varianze

E l’intervallo fiduciario:

2,1,12

2

21

22

21

21,1,12

2

21

2121

nnnn

fS

Sf

S

S


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