STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI · Prof. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile...

Prof. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile

Università di Salerno

ORDINE DEGLI INGEGNERI ORDINE DEGLI INGEGNERI Corso di aggiornamento sulla normativa sismicaCorso di aggiornamento sulla normativa sismica

Gennaio 2007 Gennaio 2007 –– marzo 2007marzo 2007

STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

Analisi strutturaleAnalisi strutturale

H

B

Idealizzazione struttura e dimensionamento elementi strutturali

Calcolo delle sollecitazioni

Verificas

σs'/n

NCc

As

nyc

A's

eεs

n

εs σs /n

'εc σc

L’analisi è governata

dal comporta-mento dei materiali

Analisi a livello di sezioneAnalisi a livello di sezione

H

B

Verificas

σs'/n

NCc

As

nyc

A's

eεs

n

εs σs /n

'εc σc

Dimensionamento elementi strutturali

Ipotesi di elasticità lineare dei materiali

A.ε

σ

Ipotesi di non linearità meccanica dei materiali

B.ε

σ

Ipotesi di base nel metodo Ipotesi di base nel metodo delle tensioni ammissibilidelle tensioni ammissibili

• Conservazione delle sezioni piane• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo

in zona compressa e dell’armatura• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo• Trascurabilità della resistenza a trazione

del calcestruzzo

Metodo delle tensioni ammissibiliLegami costitutivi dei materiali

Le tensioni e le deformazioni nei materiali vengono limitate a valori bassi

si assume valida l’ipotesi di elasticità lineare dei materiali

s

σs'/n

NCc

As

nyc

A's

eεs

n

εs σs /n

'εc σc

CalcestruzzoRck

400

σc

122.5

72.5εc

0.00034

0.00029 200

AcciaioFeB44k

σsFeB38k

2600

2200εs

0.0012

0.0010

Esempio della sezione a semplice armatura inflessa

−

σ=

32ccc

rcyd b yM

−σ=

3 c

ssrsydAM

calcolo dello stato tensionale nell’ipotesi di elasticità lineare

Equilibrio alla rotazione:

Equilibrio alla traslazione nella direzione dell’asse dell’elemento:

0 1

=σ⋅+σ ∑∫=

s

r

n

ii,si,sA r AdA

Metodo delle tensioni ammissibiliMetodo delle tensioni ammissibili

0 1

,, =

⋅+∫ ∑

=r

s

A

n

iisisrn

c

c AndAyy

σσ

c

nc

yy⋅

=σσ0=nS

++−⋅=

s

sc An

b db

n Ay 211

Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materialiStati limite ultimi per tensioni normali

• Deformazione ultima del calcestruzzo:

00350.cu =ε

01000.su =ε

Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo compresso o dell’acciaio teso.

As

yc

A's

εsn

'εc εcu<

εs =0.010εsu=

• Deformazione ultima dell’acciaio:

As

yc

A's

n

εs'

εs εsu<

εc εcu= =0.0035

n

• Conservazione delle sezioni piane• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in zona compressa e

dell’armatura• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo• Trascurabilità della resistenza a trazione del calcestruzzo

• Deformazione massima del calcestruzzo pari –0.0035 nel caso di flessione semplice e composta con asse neutro interno alla sezione, e variabile da detto valore fino a –0.002 per asse neutro esterno alla sezione

• Deformazione massima dell’armatura tesa pari a +0.010

Ipotesi di base negli Ipotesi di base negli stati limite ultimistati limite ultimi

200

Si considera lo stato tensionale corrispondente alle deforma-zioni ultime dei materiali

Occorre definire un legame costitutivo dei materiali accurato fino alla condizione ultima

Stati limite ultimi per tensioni normali

CALCESTRUZZO ACCIAIO

Stati limite ultimit.a.Stati limite ultimi

t.a.

0.0035 0.010

Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materiali

Legami costitutivi dei materiali:Legami costitutivi dei materiali:• Il legame σ-ε è non lineare fin

da valori modesti della deformazione

• Dopo il valore massimo della resistenza il legame σ-εprocede con un tratto decrescente la cui pendenza aumenta all’aumentare della resistenza

• Il valore della deformazione massima aumenta al diminuire della resistenza

• La deformazione corrispon-dente alla tensione massima è pressoché costante al variare della resistenza del cls

ilil calcestruzzocalcestruzzo

f'c

0.4 fc

ε c1 ε cu

EcEo

ε c

σc

• (introdotta per la prima volta a livello di codici dal CEB nel Model Code del 1976

• EUROCODICE 2 “progettazione delle strutture in c.a.)

1/ cεε=ε

cc

cff

Ek*

10σ

=ε⋅

=( ) cfk

k⋅

ε⋅−+ε−ε

=σ21

2

( ) ( )0037.00029.0400/1500008.00037.0 ÷=−⋅−=ε ccu f

0022.01=εc

cEE ⋅= 1.10

Diagramma per l’analisi strutturale: analisi non lineare o analisi plastica

Legami costitutivi dei materiali:Legami costitutivi dei materiali:il calcestruzzo: legge di il calcestruzzo: legge di SaenzSaenz

Legame costitutivo del calcestruzzo per il Legame costitutivo del calcestruzzo per il progetto e verifica della sezione trasversaleprogetto e verifica della sezione trasversale

f'cd

0.0020 0.0035

σc

εc

Norme contenute nello stesso Decreto 9/1/1996

EUROCODICE 2 con modifiche ed integrazioni

A) Diagramma parabola-rettangolo

B) Stress block

Diagramma parabola-rettangolo

cdf ′⋅ε⋅−⋅ε⋅=εσ )2501(1000)( 0020.<ε

cdf ′=εσ )( 003500020 .. ≤ε≤

Si considera allo s.l.u. un diagramma tensionale costante con tensione pari a f’cd esteso alla parte di sezione compresa tra il bordo più compresso e y’c :Asse neutro interno alla sezione

h d

b

As

A's

d'

yc

d - yc

f'cd

yc0.8

ε

cc y.y ⋅=′ 80

h d

b

As

A's

d'

yc

ε f'cd

y'c

Asse neutro esterno alla sezione

hh.yh.yy

c

cc ⋅

⋅−⋅−

=′750800

Stress Block

h d

b

As

A's

d'

yc

d-yc

f'cd

yc0.8

ε f'cdf'cd

Stress Block

Curva di Saenz

Curva di Saenz

Parabola-rettangolo

Parabola-rettangolo

ε c1 0.0035

f'cd

fck

σc

εc

Ecd

5.183.0 ck

c

ckcdcd

Rfff ⋅==⋅=′ α

γαα

Coeff. γc - Stati limite ultimi (Decreto 9/1/1996)

γc=1.5 c.a.p.

γc=1.6 c.a. e c.a.p. con pre-compressione parziale

Differenti modelli per il calcestruzzo85.0=α

α=0.80 nel caso di STRESS BLOCK con sezione di larghezza crescente dalla fibra maggiormente compressa verso l’asse neutro

L’acciaioL’acciaioε=0.010

ε =0.0035

fsd = fsyγs

fsy

σs

εs

fsd = fsyγsfsy

Es

stf

Analisi globale

fsd = fsyγs

fsy

fsd = fsyγsfsy

Esε=0.010ε =0.0035

σs

εs

Progetto della sezione

Coeff. γs - Stati limite ultimi (Decreto 9/1/1996)

γs=1.15

Legami costitutivi dei materialiLegami costitutivi dei materiali

• Deformazione ultima del calcestruzzo:

00350.cu =ε

01000.su =ε

• Deformazione ultima dell’acciaio:

0020.0' =cuε

Possibili condizioni limiti della sezione generica

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

C5

2

1

yc

εs=εsu

yc

εs=εsu

εc

yc

εs<εsu

εc

εs

=εcu

yc

s<ε sd

εc

ε

=εcu

=f /Esd s

yc

s>0

εc

ε

=εcu

yc

s>0

εc

ε

=0.002

3/7H

( )dh..

.y , ′−⋅+

=00350010

0035032

( ) ( )dhEf

yssd

′−⋅+

=0035.0/

0035.04,3

f /Esd s

0<<−∞ cy

320 ,c yy <<

4332 ,yyy c, <<

dyy c, <<43

hyd c <<

+∞<< cyh

ZONE POSIZIONE ASSE NEUTRO

STATI DI SOLLECITAZIONE

1 (tenso flessione o trazione pura)

2 (tenso-pressoflessione/flessione)



5 (presso flessione)

6 (presso flessione/compr. sempl.)

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

C5

2

1

f /Esd s

Stati di sollecitazione

Equazioni di equilibrio alla traslazione ed Equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione intorno all’asse alla rotazione intorno all’asse baricentricobaricentrico

h

b

Asi

yc

G

y

σsiεsi

Nc

λ yc

σc (y)

εc

h2

di

( ) NAdyyb si

n

isi

yc =⋅+⋅ ∑∫=

σσ1

0

( ) ( )[ ] ( )[ ] MeNhdAdyyyhyb isi

n

isic

yc =⋅=−⋅⋅++−⋅⋅ ∑∫=

2/2/1

0σσ

Equilibrio alla traslazione:

Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:

Ponendo:

Si ottiene:

∑ =σ⋅+′⋅ψ⋅⋅=

n

isisicdc Afyb

1

( )[ ] ( )[ ]∑ −σ⋅+λ−′⋅ψ⋅⋅=

n

iisisiccdc hdAyhfyb

12/2/

( )

cdc

y

fy

dyyc

′⋅

σ=ψ

∫0( ) ( )

( )

( )

′⋅ψ⋅

⋅σ−=

σ

−⋅σ=λ

∫∫

∫cc

y

y

yc

c fy

dyyy

dyy

dyyyy

y

c

c

c

20

0

0 11

uN

uGM=

Equazioni di equilibrio alla traslazione ed Equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione intorno all’asse alla rotazione intorno all’asse baricentricobaricentrico

( )

cdc

y

fy

dyyc

′⋅

σ=ψ

∫0 ( ) ( )

( )

( )

′⋅ψ⋅

⋅σ−=

σ

−⋅σ=λ

∫∫

∫cc

y

y

yc

c fy

dyyy

dyy

dyyyy

y

c

c

c

20

0

0 11

h

b

Asi

yc

G

y

σsiεsi

Nc

λ yc

σc (y)

εcu

h

2

di

f'cd

Coefficienti Coefficienti ψψ e e λλ

ψψ λλξξ νν µµcGcCoefficienti Coefficienti ψψ e e λ λ sezione rettangolaresezione rettangolare

0.05 0.2401 0.3413 0.0120 0.00580.06 0.2852 0.3433 0.0171 0.00820.07 0.3291 0.3453 0.0230 0.01100.08 0.3718 0.3475 0.0297 0.01400.09 0.4130 0.3498 0.0372 0.01740.10 0.4527 0.3523 0.0453 0.02100.11 0.4907 0.3550 0.0540 0.02490.12 0.5269 0.3578 0.0632 0.02890.13 0.5611 0.3610 0.0729 0.03300.14 0.5931 0.3644 0.0830 0.03730.15 0.6228 0.3681 0.0934 0.04160.16 0.6500 0.3721 0.1040 0.04580.17 0.6745 0.3765 0.1147 0.05000.18 0.6963 0.3813 0.1253 0.05410.19 0.7158 0.3861 0.1360 0.05800.20 0.7333 0.3909 0.1467 0.06190.21 0.7492 0.3956 0.1573 0.06560.22 0.7636 0.4001 0.1680 0.06920.23 0.7768 0.4044 0.1787 0.07270.24 0.7889 0.4086 0.1893 0.07610.25 0.8000 0.4125 0.2000 0.07940.30 0.8095 0.4160 0.2429 0.09110.40 0.8095 0.4160 0.3238 0.10800.50 0.8095 0.4160 0.4048 0.11820.60 0.8095 0.4160 0.4857 0.12160.70 0.8095 0.4160 0.5667 0.11830.80 0.8095 0.4160 0.6476 0.10830.90 0.8095 0.4160 0.7286 0.09151.00 0.8095 0.4160 0.8095 0.06801.10 0.8620 0.4428 0.8620 0.04931.20 0.8955 0.4583 0.8955 0.03731.30 0.9181 0.4681 0.9181 0.02931.40 0.9341 0.4748 0.9341 0.02351.50 0.9458 0.4795 0.9458 0.01941.75 0.9644 0.4868 0.9644 0.01272.00 0.9748 0.4908 0.9748 0.00902.50 0.9855 0.4947 0.9855 0.00523.00 0.9906 0.4966 0.9906 0.00343.50 0.9934 0.4976 0.9934 0.00244.00 0.9951 0.4982 0.9951 0.00174.50 0.9962 0.4987 0.9962 0.00135.00 0.9970 0.4989 0.9970 0.0011

Diagramma Parabola-rettangolo

Stress blockψ = 0.8 λ = 0.4

/275.080.0 ψλψ =

⋅−⋅−

=hyhy

c

c

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

Cyc

52

1

Andamento dei coefficienti Andamento dei coefficienti ψψ e e λλ

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξ

PARABOLA-RETTANGOLO

STRESS BLOCK

ψ

νc

λ

µCG

ψ νc,

Zone 1,2,3:

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

Cyc

52

1

f /Esd s

sdss

sds f

Ef ′−=σ⇒≥ε

Zone 4,5:

( )cc

s ydy

−⋅−=0035.0ε

sss E εσ =

Zona 6:

sss E ε⋅=σ

( )dyhy

c

c

s −⋅

⋅−

=ε

73

002.0

Tensione nelle armature teseTensione nelle armature tese

Zone 1,2’:

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

Cyc

52

1

f /Esd s

sdss

sds f

Ef ′=′⇒

′≥′ σε

Zone 2”,3,4,5:

( )cc

s ydyd

−′⋅−

−=′ 01.0ε

sss E εσ ′=′

Zona 6:

2'

f /Esd s

2''

Tensione nelle Tensione nelle armature compressearmature compresse

sdss

sds f

Ef ′=′⇒

′≥′ σε

fsd

fsd

fsd

fsd

fsd

Es⋅εs ;-fsd

0.8 – 1.00.80.80.80.80

ψ

0.4 – 0.5Es⋅εs ; fsd60.4Es⋅εs50.4Es⋅εs40.4-fsd30.4-fsd20-fsd1

λZona 'sσsσ

uGssssccdc

usssscdc

MdAdAyhfyb

NAAfyb

=

−⋅σ⋅−

−⋅σ⋅+

⋅λ−⋅′⋅ψ⋅⋅

=σ⋅+σ⋅+′⋅ψ⋅⋅

''2

''

''

2h

2h

)( duddu MNNMM ≤⇒=

)( dudd

ddu eNN

NMee ≤⇒===

Verifica tipo B:

Verifica tipo C:

)( duddu NMMNN ≤⇒=Verifica tipo A:

Mu

NNd

Md

Mu(Nd) (Nu, M u)

N (M )u d

e =cost

d

u

Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verifica

Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verificaEscludendo la zona 1(relativa alla tensoflessione) e la zona 6 di scarso interesse per ragioni di duttilità, applicando lo Stress block si ha:

a) armatura compressa in campo elastico:L’equazione determinatrice dell’asse neutro si presenta nella forma seguente:

( ) usdscc

sscdc NfAdyyd

.EAfyb. =⋅−′−⋅−

⋅⋅′+′⋅⋅⋅01080

cdfb.a ′⋅⋅= 802

( )usdssscd NfAEA.fdb.a +⋅+⋅′⋅+′⋅⋅⋅−= 010801

dNdfAdEA.a usdsssd ⋅+⋅⋅+′⋅⋅′⋅= 0100

che risulta una equazione di 2° grado in yc con coefficienti a2, a1, a0, forniti dalle seguenti relazioni

Equilibrio alla traslazione (determinazione posizione asse neutro):

Sezione rettangolare: verificaSezione rettangolare: verificab) armature entrambe snervate:

L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:

usdssdscdc NfAfAfyb. =⋅−⋅′+′⋅⋅⋅80

cd

sdssdsuc fb.

fAfANy′⋅⋅

⋅′−⋅+=

80c) armatura inferiore in campo elastico:

L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:

( ) ucc

sssdscdc Nydy

.EAfAfyb. =−⋅⋅⋅−⋅′+′⋅⋅⋅0035080

che risulta una equazione di 2° grado in yc con coefficienti a2, a1, a0, forniti dalle seguenti relazioni

cdfb.a ′⋅⋅= 802 usssds NEA.fAa −⋅⋅+⋅′= 003501 dEA.a ss ⋅⋅⋅−= 003500

Equilibrio alla rotazione intorno al baricentro:

′−⋅σ⋅−

′−⋅σ′⋅′+

⋅λ−⋅′⋅⋅⋅ψ= dhAdhAyhfybM ssssccdcuG 222

Verifica allo stato limite ultimo della sezione in corrispondenza dell’appoggio B, soggetta al momento flettente Md = -30000 kgm

Determinazione della posizione dell’asse neutro:si supponga inizialmente di essere nella zona in cui le armature sono entrambe snervate.L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa, utilizzando il diagramma “stress-block” per il calcestruzzo:

080 ==⋅−⋅′+′⋅⋅⋅ usdssdscdc NfAfAfyb.Cls: Rck=250 kg/cmq – acciaio: FeB38k

Esempio di verifica di sezione Esempio di verifica di sezione rettangolare a flessione semplicerettangolare a flessione semplice

BA C Resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio:

2/1106.1

83.085.085.0 cmkgRff ck

c

ckcd =

⋅==′

γ

2/330415.1

3800 cmkgf

fs

yksd ===

γ

ψ

I limiti della zona in cui le armature sono snervate sono:( )

( ) cm0612003304/21000010

53010566003304/21000)/(010

010)/(22 .

....

Ef.d.dEfy

ssd

ssd, =

⋅⋅+⋅

=⋅

′⋅+⋅=′′′

cm8845)53(7000350000)(3304/2100

00350)(00350)/(

0035043 ..

..dh

.Ef.yssd

, =−⋅+

=′−⋅+

=

per cui si ricade nella zona con l’armatura compressa in campo elastico:

22 ′′′< ,yyc

In tale zona l’equazione determinatrice della posizione dell’asse neutro è:

0)(01080 ==⋅−′−⋅−

⋅⋅′+′⋅⋅⋅ usdscc

sscdc NfAdyyd

.EAfyb.

cui segue

cm32111104080

33040243304081680

..

..fb.

fAfAy

cd

sdssdsc =

⋅⋅⋅−⋅

=′⋅⋅⋅′−⋅

=

che diventa un’equazione di II grado in yc

0012

2 =+⋅+⋅ ayaya cc

dove

35201104080802 =⋅⋅=′⋅⋅= .fb.a cd

371628)03304081621000000240101105664080()001080(1

−=−⋅+⋅⋅++⋅⋅⋅−=−⋅+⋅′⋅+′⋅⋅⋅−=

.....NfAEA.fdb.a usdssscd

38285030566330408165321000000240100100

=+⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+′⋅⋅′⋅=

.....dNdfAdEA.a usdsss

Risulta

038285033716283250 2 =+⋅−⋅ cc yy

cm571135202

3828503352043716283716282

4 22

.A

ACBByc =

⋅⋅⋅−−

=−−−

=

Il momento ultimo si ricava dall’equazione di equilibrio alla rotazione, che per la zona in esame è la seguente:

′−⋅σ⋅−

′−⋅σ′⋅′+

⋅−′⋅⋅⋅= dhAdhAy.hfyb.M ssssccdcuG 22

402

80

dove

2kg/cm3304−=−= sds fσ

2kg/cm3085

)535711(5711566

0102100000)(010

=

=−⋅−

⋅=′−⋅−

⋅=ε′⋅=σ′ ....

.dyyd

.EE cc

ssss

( ) ( )kgm33011kgcm3301138)5335(

33040816533530850245711403511057114080==−⋅

⋅⋅+−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=.

.......M Gu

Si osserva infine che l’asse neutro allo s.l.u. è nella zona 2:

=ξ<===ξ

hd

hyc

u 259.0165.070

57.113,2

Il momento ultimo vale, pertanto:

per cui la verifica è soddisfatta, essendo:

kgmMkgmM uGd 33000 30000 =<=

In assenza di armatura in compressione non occorre verificare se l’armatura compressa è snervata o meno. Si può direttamente valutare il momento ultimo.

Trascurando l’armatura in compressione, il procedimento diventa molto più agevole. Infatti per l’asse neutro si ottiene:

cm09.15110408.0

330408.168.0

=⋅⋅

⋅=

′⋅⋅⋅

=cd

sdsc fb

fAy

( )

m) 33011 a inferiore e(lievement

m )(

daN

daNcmdaNM Gu

32120017.212.35.335330408.1609.154.03511009.15408.0

==−⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=

Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzati

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=νcd

,u,u

fhb

M GG

′⋅⋅=µ

2( ) ( )

cd

sdssfhb

fAA′⋅⋅

⋅′=ω′ω

δ′−=′−

=′=δ′=ξ 1/;/;/h

dhhdhdhyc

Adimensionalizzazione

Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione diventano:

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ

G,usd

s

sd

sff

µ=

δ′−

⋅

σ⋅ω−

δ′−

σ′

⋅ω′+

ξ⋅λ−

⋅ξ⋅ψ

21

21

21

Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:

ucd

n

i sdsdcd

sisi

cd

cdcfhbN

fffhbA

fhbfyb

ν=′⋅⋅

∑ =′⋅⋅

σ⋅+

′⋅⋅′⋅ψ⋅⋅

=1 )/(

Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzatiu

sd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ G,usd

s

sd

sff

µ=

δ′−

⋅

σ⋅ω−

δ′−

σ′

⋅ω′+

ξ⋅λ−

⋅ξ⋅ψ

21

21

21

d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000

0.25

0.50

0.75

1.00

νu

µu

DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.

ω=0.5

1 1, −=′−−= ωων u 021

21

1, =

′−⋅+

′−⋅′−= δωδωµ Gu

−∞=ξ

h

As

A's

ε =0.010su

ε =0.010su

0=ξ

h

b

As

A's

ε =0.010su

ε's

15.021

21

101.0

21,, =

′−⋅+

′−⋅⋅′

′−⋅′−= δωδδ

δωµ

sd

su f

EG66.0

101.0

21,, −=−⋅′′−

⋅′−= ωδδ

ωνsd

su f

E

)1(259.032,

δξξ

′−⋅=

==

h

b

As

A's

ε =0.010su

ε'sεcu=0.0035

yc

20.032,, =−′+= ωωξψν u53.0

21

21

21

32,, =

′−⋅+

′−⋅′+

−⋅= δωδωξλξψµ Gu

43,ξ=ξ

52.043,, =−′+= ωωξψν u 57.021

21

21

43,, =

′−⋅+

′−⋅′+

−⋅= δωδωξλξψµ Gu

h

b

As

A's

ε =su

ε'sεcu=0.0035

y =yc

f /Esd s

3,4

δ′−=ξ=ξ 154,

26.154,, =′+= ωξψν u 32.021

21

54,, =

′−⋅′+

−⋅= δωξλξψµ Gu

h

b

As

A's

εs

ε'sεcu=0.0035

y =yc 4,5

=0

165 =ξ=ξ ,

35.10035.065,, =⋅′⋅+′+=sd

su f

Eδωωψν 28.0210035.0

21

21

65,, =

′−⋅⋅′⋅−

′−⋅′+

−⋅= δδωδωλψµ

sd

su f

EG

h

As

A's

εs

ε'sεcu=0.0035

y =yc 5,6

+∞=ξ

0.216 =′++= ωων u 021

21

6, =

′−⋅−

′−⋅′= δωδωµ Gu

h

b

As

A's

εs

ε'sεcu=0.0020

y =c 8

0.800.700.600.500.400.300.200.10

ωNORMATIVA

SAENZ

Domini di resistenza Domini di resistenza adimensionalizzatiadimensionalizzati

d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000

0.25

0.50

0.75

1.00

νu

µu 0.800.700.600.500.400.300.200.10

DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.

ω

ξ=0

ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4

ξ=ξ4,5

ξ=ξ5,6

Confronto Tensioni AmmissibiliConfronto Tensioni Ammissibili--Stati Limite Stati Limite Ultimi in termini di Dominio ResistenteUltimi in termini di Dominio Resistente

d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000

0.25

0.50

0.75

1.00

νu

µu

0.80

0.40

0.10

ω

ξ=0

ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4

ξ=ξ4,5

ξ=ξ5,6

Stati limite Ultimi

Tensioni ammissibilif'cd

Nb h

Mb h2

f'cd

1.5

1.5

0.700.600.50

0.300.20

Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione informa adimensionale risultano:

Sezione rettangolare: problemi di Sezione rettangolare: problemi di progetto in flessione e progetto in flessione e pressoflessionepressoflessione

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ

Gusd

s

sd

sff

µ=

δ′−⋅

σ⋅ω−

δ′−⋅

σ′⋅ω′+

ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ

21

21

21

( ) ( ) usd

sf

µ=δ′−⋅σ′

⋅ω′+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211

Traslazione

Rotazione intorno al baricentro

Rotazione intorno all’armatura tesa

Flessioneprogetto di h(b) ed As con b(h) ed il rapporto delle armature assegnatiprogetto di As e A′s con b ed hassegnati

A

B

Pressoflessioneprogetto di h(b) ed As noti b(h) e le percentuali meccaniche di armatura progetto della sezione e delle arma-ture mediante abachi (1/νu)-(e/h)

A

B

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ ( ) ( ) usd

sf

µ=δ′−⋅σ′

⋅ω′+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211

( ) ( )[ ]sdssds ff // σ′⋅ρ+σ−

ξ⋅ψ=ω ( )

( ) ( )[ ]( ) u

sd

s

sdssds fffµ=δ′−⋅

σ′⋅

σ′⋅ρ+σ−

ξ⋅ψ⋅ρ+ξ⋅λ−δ′−⋅ξ⋅ψ 211

//

( ) ( )ξµ+ξµ=′⋅⋅

=µ ρccd

uu

fhbM2

( )[ ] sd

cd

sdssdssd

cds f

fhbfff

fhbA′⋅⋅

⋅σ+σ′⋅ρ−

ξ⋅ψ=

′⋅⋅⋅ω=

// sd

cdu

cd

cd

sd

us f

fhbfhbfhb

fhMA

′⋅⋅⋅

ζµ

=′⋅⋅′⋅⋅

⋅⋅⋅ζ

=

s

sAA′

=ωω′

=ρ

( )( ) ( )[ ]ξµ+ξµ⋅′

=ρξδ′′=

ρccd

sdcduuf

,,,f,frr 1

( ) ( )[ ] bMr

bM

fh u

uu

ccd

⋅=⋅ξµ+ξµ⋅′

=

ρ

1

2

2

h

Mrb uu ⋅=

( ) ( )ω

ξµ+ξµ=

ωµ

=ζ pcusd

us fh

MA⋅⋅

=ζ

Flessione: progetto di Flessione: progetto di hh o o bb ed ed AAss mediante Tabellemediante Tabelle

( )ρξδ ,,,, ′′= sdcduu ffrrb

Mrh uu ⋅= 2

2

h

Mrb uu ⋅=

sd

us fh

MA⋅⋅

=ζ

( )ρξδζζ ,,,, ′′= sdcd ff

progetto di h ed As con b ed il rapporto delle armature assegnati

A

progetto di b ed As con h ed il rapporto delle armature assegnati

B

Verifica delle sezioni inflesseC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ξ

0.25

0.50

0.75

1.00

ρ0.00

ru

ζ

AtotC

Flessione: progetto di Flessione: progetto di hh o o bb ed ed AAss mediante Tabellemediante Tabelle

( )ρξδ ,,,, ′′= sdcduu ffrr

( )ρξδζζ ,,,, ′′= sdcd ff

Coefficienti Coefficienti rruu e e ζζ

Esempio di progetto di Esempio di progetto di sezione rettangolare a sezione rettangolare a

flessione sempliceflessione semplice

L1 L2

lunghezza campate: L1= 4.2 ml;

L2 = 5.3 ml;

base: b = 40 cm;

carico permanente: gk = 4200 kg/m

carico accidentale: qk = 2080 kg/m

- calcestruzzo: Rck = 250 kg/cm2

- acciaio: FeB38k

L1 L2

progetto dell’altezza h della sezionee dell‘armatura

Amplificando i carichi caratteristici secondo i coefficienti parziali di sicurezza γg = 1.4 e γq = 1.5, si ottiene il carico di progetto:

kg/m90002080514200415141 =⋅+⋅=⋅+⋅= ..q.g.q kkd

Il momento massimo lungo la trave si ha in corrispondenza dell’appoggio intermedio e vale:

kgm26404)(81

21

32

31 −=+

+⋅−=

LLLLqM d

d,B

Si esegue il progetto tabellare dell’altezza della sezione. La resistenza di progetto ridotta per calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 risulta essere

2kg/cm11061

250830850=

⋅⋅=′

...fcd

2kg/cm110=′cdf 050/ .hd =′, , 2kg/cm3304151/3800 == .f sd

si ricavano i valori dei coefficiente ru e ζ:

846.0)0,3304,05.0/,110(2302.0)0,3304,05.0/,110(

====′=′====′=′

ρζρ

sdcd

sdcdu

fhdffhdfr

e quindi l’altezza minima della sezione:

cm1459400

2640423020 ..

.b

Mrh du =⋅=⋅=

ξ ru h[cm]

0.15 0.3239 83.220.20 0.2635 67.700.25 0.2302 59.140.30 0.2128 54.670.35 0.1995 51.25

Adottando, in fase di dimensionamento un asse neutro di progetto ξ = 0.25, che assicura buoni requisiti di duttilità, dalla tabella di progetto allo s.l.u. per sezione rettangolare a semplice armatura relativa ad

Per confronto si esegue il progetto della sezione secondo il metodo delle tensioni ammissibili. In questo caso si considerano direttamente i carichi caratteristici:

kg/m628020804200 =+=+= kk qgq

per cui il momento massimo in corrispondenza dell’appoggio B vale:

kgm184243524

)3524(628081 33

=+

+⋅⋅=

....M B

2 74.15330460 846.0

2640400 cmfh

MAsd

us =

⋅⋅=

⋅⋅=

ζ

L’armatura minima richiesta risulta:

La tensione ammissibile per Rck = 250 kg/cm2 vale . Dalla tabella di progetto alle t.a. di sezioni rettangolari a semplice armatura si ottiene:

878.0)15;05.0/;2200;85(270.0)15;05.0/;2200;85(

===′==′===′==

nddnddr

sc

sc

σσζσσ

2kg/cm85=σc

Assumendo per l’altezza della sezione h = 65 cm (lievemente superiore al valore ottenuto dal progetto agli s.l. con ξ = 0.25) si ottiene la seguente armatura di progetto:

238.15220062878.0

1842400 cmdMA

sds

=

⋅⋅=

σ⋅⋅ζ=

da cui risulta

cm58400

184242700 =⋅=⋅=.

.b

Mrd B cm61358 =+=′+= ddh

La soluzione è sostanzialmente identica a quella ottenuta agli s.l.u.. Tuttavia con il progetto agli s.l.u. sono possibili molte altre soluzioni con altezze variabili tra 51 ed 83 cm, pur con asse neutro in zona duttile (0.15≤ ξ ≤ 0.35).

PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione rettangolaresezione rettangolare

Il problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando diagrammi che legano le variabili 1/νu ed e/h, essendo e l’eccentricità fornita dal rapporto MuG/Nu.

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ

Gusd

s

sd

sff

µ=

δ′−⋅

σ⋅ω−

δ′−⋅

σ′⋅ω′+

ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ

21

21

21

Traslazione

Rotazione intorno al baricentro

( ) ( )sdssdsu ff //11

σ⋅ω+σ′⋅ω′+ξ⋅ψ=

ν

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )sdssds

sdssds

u

u

ffff

heG

//2/1/2/1/2/1

σ⋅ω+σ′⋅ω′+ξ⋅ψ

δ′−⋅σ⋅ω−δ′−⋅σ′⋅ω′+ξ⋅λ−⋅ξ⋅ψ==

νµ

Si ottiene:


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.05

SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.

0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15


Progetto della sezione (b, h)

Fissata le percentuali delle armature superiore ed inferiore (uguali negli abachi forniti), e note le sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale limite, che dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire all’elemento progettato; sulle curve (1/νu, e/h) relative alle prefissate percentuali ω ed ω′ si leggono i valori di η = e/h corrispondenti; essendo nota la eccentricitàdi progetto e, si possono ricavare l’altezza h e la base b della sezione mediante le relazioni:

cdu

ufh

Nbeh⋅⋅ν

=η

= ,sd

cdss f

fhbAA′⋅⋅⋅ω

=′=

Progetto delle armature

Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/h e νu; negli abachi il punto di coordinate (1/νu, e/h) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armature richieste.


Verifica della sezione

Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella effettiva, si determina il valore di e/h e quindi della eccentricità corrispondente al momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della relazione:

eNhNMM uuud ⋅=⋅η⋅=<

Esempio di progetto di sezione Esempio di progetto di sezione rettangolare a rettangolare a pressoflessionepressoflessione

Si progetti agli s.l.u. una sezione rettangolare soggetta in condizioni di esercizio alle seguenti sollecitazioni di calcolo:

kg72588=dNkgcm2290500=dM

I materiali da utilizzare sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 ed acciaio tipo FeB38k.

Per il progetto della sezione mediante gli abachi, si calcola preventivamente l’eccentricità del carico:

cm553172588

2290500 .NM

ed

dd ===

usd

s

sd

sff

ν=σ

⋅ω+σ′

⋅ω′+ξ⋅ψ uνξψ =⋅ 125.34.08.0

111=

⋅=

⋅=

ξψν u

Fissando il valore di ξ=0.4 (generalmente compreso tra 0.2-0.45 che corrisponde all’incirca alle zone 2”-3), dall’equazione di equilibrio alla traslazione scritta in forma adimensionale, si ottiene un valore di progetto di νu::

63.0/ ==η he

125.31=

uν

Fissando il valore di ω=ω’=0.10 e d’/h=0.10 dall’abaco si ottiene e/h:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.10


0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15

0.5063.055.31

===η

dehcm 2.41

1105032.072588

=⋅⋅

=⋅⋅

=cdu

u

fhNb

ν

2 65.63304

110504010.0 cmf

fhbAAsd

cdss =

⋅⋅⋅=

′⋅⋅⋅=′=

ω

Esempio di verifica di sezione Esempio di verifica di sezione rettangolare a rettangolare a pressoflessionepressoflessione

40

50

Verifica agli s.l.u. di una sezione rettangolare soggetta in condizioni di esercizio alle seguenti sollecitazioni di calcolo:

kg72588=dN kgcm2290500=dM

4φ16

4φ16

I materiali utilizzati sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 ed acciaio tipo FeB38k.

Le resistenze di calcolo del calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 e per l’acciaio FeB38k risultano:

2kg/cm11061

250830850=

⋅⋅=′

...fcd

2kg/cm3304151/3800 == .f sd

Per effettuare la verifica mediante l’abaco occorre preventivamente calcolare 1/νu e ω=ω’:

33.01105040

72588=

⋅⋅=

′⋅⋅=

cd

uu fhb

Nν 03.333.01/1 ==uν 12.0

1105040330404.8' =⋅⋅

⋅==ωω

A VERIFICA MEDIANTE GLI ABACHI

23591105065.072588 65.0/ =⋅⋅=⋅⋅=⇒=== hNMhN

Mhe uuu

u ηη

Dall’abaco si legge:

La verifica è soddisfatta risultando:

23591102290500 =<= ud MM

Per la determinazione della posizione dell’asse neutro, si supponga inizialmente di essere nella zona in cui le armature sono entrambe snervate.L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa

B VERIFICA ANALITICA

725888.0 ==⋅−⋅′+′⋅⋅⋅ usdssdscdc NfAfAfyb

cm62201104080

7258880

..fb.

Ny

cd

uc =

⋅⋅=

′⋅⋅=

cui segue:

( )grafica) via per 2359110 da diverso (poco kgcm 2384723

2325330404.8)62.204.025(1104062.208.0=

=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅=uM

Essendo l’asse neutro nella zona 3 (11.75 ≤ 20.62 ≤ 32.42) segue:

Se si adotta per la valutazione del contributo statico del calcestruzzo l’ipotesi semplificativa dello Stress-Block, il diagramma delle deformazioni al variare della posizione dell'asse neutro serve esclusivamente a valutare il contributo delle barre di armatura, in quanto quello del calcestruzzo è definito dal prodotto dell’area al di sopra della corda posta a 0.8 yc dal bordo compresso per la tensione di progetto

cA′cdcd f.f ⋅=′ 800

NCs

G0

d = rG0

2r

d'

Asidi

u

n

yc

σsi

r

Gy0 ϕ

y'c

f'cdAc,0.8yc

5.183.0 ck

c

ckcdcd

Rfff ⋅==⋅=′ α

γαα

nel caso di STRESS BLOCK con sezione di larghezza crescente dalla fibra maggiormente compressa verso l’asse neutro

80.0=α85.0=α

La sezione circolare:verifica e progettoLa sezione circolare:verifica e progetto

NCs

G0

d = rG0

2r

d'

Asidi

u

n

yc

σsi

r

Gy0 ϕ

y'c

f'cdAc,0.8yc


Determinazione della posizione dell’asse neutro

( ) [ ]cdcdusii sicdcc ffNAfAyF ⋅=′=−σ⋅∑+′⋅′= 80.00

con ϕ l’angolo relativo alla corda per cc y.y ⋅=′ 80

′

−=ϕryarccos c1

il contributo statico del calcestruzzo si scrive

( ) cdccdc fAfrcossenN ′⋅′=′⋅⋅ϕ⋅ϕ−ϕ= 2

Determinazione della posizione dell’asse neutro

( ) [ ]cdcdusii sicdcc f.fNAfAyF ⋅=′=−σ⋅+′⋅′= ∑ 8000


Da un punto di vista operativo, si osserva che la F(yc) è una funzione crescente della posizione dell’asse neutro yc con valore negativo per yc = 0 e positivo per yc= ∞, se Nu è minore del carico massimo sopportabile dalla sezione con eccentricitànulla. Pertanto, individuate due posizioni dell’asse neutro cui corrispondono valori di segno opposto della F(yc), la posizione dell’asse neutro in una iterazione successiva si ottiene costruendo una curva di errore che consente una rapida convergenza verso la soluzione esatta.

+−+

++−

−+

+−+ ⋅

−

−−=⋅

−

−−= −−

iii

i,ci,ci,ci

ii

i,ci,ci,ci,c F

FFyy

yFFFyy

yy 1

h = 2r

)( cyF

cy

+iF

−iF

−i,cy

+i,cy

cy∆

1+i,cy

( )F

sdscd

cfAfr

yFε<

⋅+′⋅⋅π 2

L’arresto del procedimento iterativo è regolato dalla disequazione

con εF errore ammesso (per esempio εF = 1/1000).

NCs

G0

d = rG0

2r

d'

Asidi

u

n

yc

σsi

r

Gy0 ϕ

y'c

f'cdAc,0.8yc

Determinazione del momento ultimo

isii sicu dAMM GG ⋅σ⋅+= ∑

ϕ−ϕϕ⋅

⋅⋅=⋅=223

4 3

0 sensenrNyNM cccG

dove il contributo del calcestruzzo si ottiene dalla seguente relazione:


cd

uu

frN

′⋅⋅π=ν 2

cd

uu

fr

M GG

′⋅⋅π⋅=µ 3

,,

2 cd

sdsfr

fA′⋅⋅π

⋅=ω 2

δ′−=′−

=′=δ′=ξ 12

2/;)2(/;/(2r)rdrhdrdyc

Adimensionalizzazione

Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione diventano:

Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:

ucd

un

i cd

sisi

cd

cdc

frN

frA

frfA

ν=′⋅⋅π

∑ =′⋅π

σ⋅+

′⋅⋅π

′⋅′

= 21 22

La sezione circolare:progetto con abachiLa sezione circolare:progetto con abachi

uisd

si

s

cfnr

Aν=∑

σ⋅

ω+

⋅π

′2

∑ µ=⋅π⋅

σω+

′⋅⋅π=

′⋅⋅πi uG

sd

isi

scd

c

cd

ufd

nfrM

frM GG

222 33

La sezione circolare:progetto con abachiLa sezione circolare:progetto con abachiIl problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando diagrammi che legano le variabili 1/νu ed e/(2r), essendo e l’eccentricità fornita dal rapporto MuG/Nu.

u

uuu GG

rNM

re

νµ

==2

/2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/2r

ν ud'/h = 0.05

ξ0.5 0.4 0.3

0.2

0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω

PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione circolaresezione circolare

Progetto della sezione (r)

Fissata la percentuale geometrica complessiva di armatura e note le sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale limite, che dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire all’elemento progettato; sulla curva (1/νu, e/2r) relativa alla prefissata percentuale ω si legge il valore di η = e/2r corrispondente; essendo nota la eccentricità di progetto e, si può ricavare il raggio r della sezione, nonché l’armatura, mediante le relazioni:

η⋅=

2er

sd

cds f

frA′⋅⋅π⋅ω

=2

Progetto delle armature

Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/2r e νu; negli abachi il punto di coordinate (1/νu, e/2r) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armature richieste.

PressoflessionePressoflessione: abachi per il progetto della : abachi per il progetto della sezione circolaresezione circolare

Verifica della sezione

Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella effettiva, si determina il valore di e/2r e quindi della eccentricità corrispondente al momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della relazione:

eNrNMM uuud ⋅=⋅η⋅=< 2

La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione retta

x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

Metodo generale

A Metodo generale di tipo numericoB Verifica con diagramma Stress-block

Determinazione dell’asse neutro

( ) ( ) uscn NNNyf −+=

( )∑ σ⋅= j jsjss AN ,,

( ) ( )∫ ⋅σ= My

ic ydybyN0

,

La sezione generica:pressoLa sezione generica:presso--flessione rettaflessione rettaMetodo generale numericoMetodo generale numerico

x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

( )∑ σ⋅= j jsjss AN ,,

osjssdjs f ε≥ε=σ ,, per

osjssdjs f ε−≤ε−=σ ,, per

osjsjssjs E ε<εε⋅=σ ,,, per


x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

( ) ( )∫ σ⋅−= +my

iiicr ydyxxN0

1,

( ) ( )∫ −⋅σ⋅

−−

= + My

m

iiict

my

M

M

ydyyyyyxxN 1

,

( )∑ += i icticrc NNN ,,


x

y

nii+1

yi

xi+1 xi

yn

yi+1

ε

yi+1 yi

εmεM σM

σm

σ

yM= ym=

Determinazione del momento ultimo

scu MMM +=

( )∑ += i icticrc MMM ,,

( )∑ ⋅σ⋅= j jsjsjss yAM ,,,

( ) ( )∫ ⋅⋅σ= My

ic ydyybyM0

,

( ) ( )∫ ⋅σ⋅−= +iy

iiicr ydyyxxM0

1,

( ) ( )∫ ⋅−⋅σ⋅−−

= + Myym

iiict

mydyyyy

yyxxM

M

M

1

,

( )GG

yyNMM nuuu −⋅+=,

Sezione generica:Sezione generica:pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata

Nel caso della pressoflessione deviata sono incogniti sia la posizione che l’inclinazione dell’asse neutro. Come nel caso del metodo di verifica alle tensioni ammissibili è possibile pervenire alla soluzione del problema della verifica individuando la sezione reagente per successive approssimazioni

Domini di resistenza per sezioni rettangolari

f'cd

Mh b2

µ y = uy

f'cd

Mb h2

µ x =ux

ρx=ρy=0

b

h

0.1b 0.1b

0.1h

0.1h

NMx

My

x

y Ai

ρxAi

ρyAi

Caso A: ρx= ρy= 0

Caso B: ρx= ρy= 0.5

Caso C: ρx= ρy= 1.0

Caso D: ρy= 0ρx= 0.5 ,

Caso E: ρy= 0ρx= 1.0 ,

Caso F: ρy= 0.5ρx= 1.0 ,

ω=4Ai + 2ρxAi + 2ρyAi( ). fyd

bhfcd

Sezione rettangolare: domini di resistenza Sezione rettangolare: domini di resistenza per per pressopresso--tensotenso flessione deviataflessione deviata

f'cd

Mb h2

µ x = ux

f'cd

Mh b2

µ y =uy

ρx=ρy=0

Rck=250 kg/cmq-FeB44k:Rck=350 kg/cmq-FeB38k:


f'cd

Mb h2

µ x = ux

f'cd

Mh b2

µ y =uy

ρx=ρy=1



f'cd

Mb h2

µ x = ux

f'cd

Mh b2

µ y =uy

ρx=1ρy=0


Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0µ uy

β=0.5β=0.6

β=0.7β=0.8

β=0.9

µ ux

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

ν

β0.100.200.400.600.801.00

w

1=

+

αα

uyo

uy

uxo

uxMM

MM

( ) ( )

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,

α = log (0 .5 )/ log (β )

ω=percentuale meccanica di armatura complessiva della sezione


cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

β β

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

Confronto analisi parametrica-espressione approssimata

Inviluppo max

Inviluppo medio

Inviluppo min

( ) ( )

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,

Sezione rettangolare: Sezione rettangolare: pressopresso--tensotenso flesfles--sione deviata (soluzione approssimata)sione deviata (soluzione approssimata)Confronto analisi parametrica-espressione approssimata

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

β β

cd

uu fhb

N′⋅⋅

=ν

Inviluppo max

Inviluppo medio

Inviluppo min( ) ( )

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,


y

xh =50

b =40

1=

+

αα

uyo

uy

uxo

uxMM

MM

α = log (0 .5 )/log (β )

Cls: Rck = 250 kg/cm2 acciaio FeB44k

armature 16 φ16 N d= 45000 kg ex = 15 cm ey = 19 cm

Calcolo dello sforzo normale ultimo adimensionale ν:

20.01105040

45000=

⋅⋅=

′⋅⋅=ν

cd

ufhb

N

2kg/cm1106.1

83.085.085.0 =⋅

⋅=⋅=′ ckcdcd

Rff 2kg/cm382615.1

4400==

γ=

s

aksd

Rf

Resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio:

Determinazione di Muxo:5

20.011

==ν

Il carico adimensionale vale

La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il copriferro, risultano:

17.01105040

382605.10=

⋅⋅⋅

=′⋅⋅

⋅=ω′=ω

cd

sdsxx fhb

fA 06.0503

==′

=δhd

x

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.05


0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15

15.1/ ==η heyy

=⋅η⋅= hNM yuuxo=⋅⋅= 5015.145000

kgm 25875=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

1/

e/h

νud'/h = 0.10


0.050.100.200.300.400.500.600.700.80

ω ω = '

ξ0.50.4 0.3 0.2 0.15

Determinazione di Muyo:5

20.011

==ν

Il carico adimensionale vale

La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il copriferro, risultano:

17.01105040

382605.10=

⋅⋅⋅

=′⋅⋅

⋅=ω′=ω

cd

sdsxx fhb

fA 075.0403

==′

=δhd

y

05.1/ ==η bexx

=⋅η⋅= bNM xuuyo=⋅⋅= 4005.145000

kgm 18900=

Domini di resistenza approssimato e verifica a pressoflessione deviata:

Calcolo dei coefficienti β e α :

( ) ( ) =

ω−⋅+−ν⋅

ω++=ωνβ 4.105.05.0,4.0

15.05.0max,

( ) 55.0 54.056.04.105.05.0,55.04.056.056.01

5.05.0max =

=−⋅+=−⋅

++=

56.01105040382601.216, =

⋅⋅⋅⋅

=′⋅⋅

⋅=ω

cd

sdtotsfhbfA

16.1)55.0log(

)5.0log()log()5.0log(

==β

=α

158.018900

15.04500025875

19.045000 16.116.1<=

⋅

+

⋅

=

+

αα

uyo

uy

uxo

uxMM

MM

Indicating by ε the following ratio:

0c

cεε

=ε

the following two branches of the relationship are defined:

)1,0(for;aff 2

0c

c ∈εε−ε⋅=

1for;b1ff

0c

c >εε⋅+=

where:

γ+=1a 1b −γ=

with:

0c

1c

0c

0ct0cff

fEf

=ε⋅+

=γ

cc

0ccct

ffE

ε−

=

fcc

fc1

fco

Et

Eo

εccεco

RelazioneRelazione costitutivacostitutiva parabolaparabola--linearelineare

fco, fcc, εcc

C

C

ZONA 3 ZONA 6

Equazioni di equilibrio sezionali (adimensionali):

ys

s

ys

s

cd

ufffhb

N σω+

σω+ξψ=

⋅⋅=ν

''

)'5.0()'5.0('

')5.0(2 δσ

ωδσ

ωλξξψµ −−−+−⋅=⋅⋅

=ys

s

ys

s

cd

ufffhb

M

DOMINI DI RESISTENZADOMINI DI RESISTENZA ((νν--µµ))

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

ξ

ψ0,60,50,40,30,20,10,05unconfined

fl,d

region 6regions 3 to 5

region2

ξ2,3

PARAMETROPARAMETRO ψψ

cdc

y

y

fy

dyy

⋅

σ

=ψ

∫2

1

)(

cd

y

y

fh

dyy

⋅

σ

=ψ

∫2

1

)(

PARAMETPARAMETEER R λλ

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

ξ

λ

0,60,50,40,30,20,10,05unconfined

fl,d

cdc

y

y

fy

ydyy

⋅ψ⋅

⋅σ

−=λ

∫2

2

1

)(

1cd

y

y

fh

ydyy

⋅ψ⋅

⋅σ

−=λ

∫2

2

1

)(

1

Case A- region 2a, where ξ < 1 and α =α(ξ)≤1:

3)(

2)(

)1()(2ξα

−ξα

⋅γ+=ξψ ( )( )

( )

ξα−⋅γ+

ξα⋅−γ+

−=ξλ)(

231

4)(3

11

Case B- region 2b where ξ < 1 and α=α(ξ) >1:

( ) ( )2

)(1

)(311

ξα⋅−γ+

ξα⋅−=ξψ

( )( )

( ) 2

32

)(2

)(1)(3

11

13

)(2

)(121

1ξα⋅

ξα⋅−γ+

ξα⋅−

−γ

ξα+

ξα+−

−=ξλ

Case C- regions 3, 4 and 5, where ξ ≤ 1 and α >1?? (= ?constant):

( ) ( ) tcos2

1311 =

α⋅−γ+

α⋅−=ξψ

( )( )

( )cost

α2α1γ

α311

1γ3α

2α

121

1ξλ2

32

=⋅

⋅−+

⋅−

−++−

−=

Case D- region 6a, where 1<ξ ≤ α/(α−1) and α>1 (= ?constant):

[ ]2

223333

6

)1(221362)1(2)(

αξ

γ+ξ−γ+ξ+⋅ξα−αξ+ξ−−ξα=ξψ

[ ][ ]{ }γ)(1ξ2γξ21ξα3αξ6ξ21)(ξα2αξ2

γ)ξ(13γ)2(1ξ2ξα2ξ)(31)(ξαξ)α6α4(1)λ(

223333

333442

+⋅−++⋅−+−−⋅⋅

+−++⋅−+⋅−⋅+⋅+−=ξ

Case E - region 6b, where ξ > α/(α−1) and 1>α (= ?constant):

( )( )ξ

−γ−ξα+ξ=ξψ

21122)( ( )( )

( )( )[ ]112231233)(

−γ−ξα+ξ−γ−ξα+ξ

=ξλ

FunzioniFunzioniψψ e e λλ

0c

cεε

=αhyc=ξ

Espressioni semplificate di ψ e λ

Region ψ λ

Region 2 (ξ ≤ ξ23) 23ξξ

ψ=ψ λ=λ

Regions 3,4,5 (ξ23≤ ξ ≤ 1) ψ=ψ λ=λ

Region 6 (ξ >1) Ψ⋅−ξ

+β−βξ=Ψ

75.025.0 ( )

75.05.015.0

−ξλ⋅−−ξ

⋅=λ

ξξ2,3 ξ = 1

λ

λlim

β ψλ,ψ

ψψ

λ

ν−µ INTERACTION CURVESν−χu DIAGRAMS

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

νu

µu

0,60,50,40,30,20,10,05Unconfined

ω = ω' = 0,1d'/h = 0,05

10(χu d)

fl,d

ν−µ INTERACTION CURVESν−χu DIAGRAMS

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

νu

µu 0,60,50,40,30,20,10,05Unconfined

ω = ω' = 0,3d'/h = 0,0510(χud)

fl,d

concrete failure

steel failure

INCREMENTO DI DUTTILITA’

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

νu

Iχ0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

Unconfined

fl,d

d'/h = 0,05I'χ = 30νu-0,7

ncu,

ncy,

cy,

cu,

ncu,

cu,χ χ

χχχ

χχ

I ⋅≅=8.0

8.03.016.1

0035.0

015.00035.0)('' ,,,

,++

⋅⋅+

=ψψ

εε

=χdldldl

un

c

cu

ccudl

ffffI

Influenza di Influenza di ξξ sulla duttilità della sezionesulla duttilità della sezione

Al crescere di ξ si riduce la duttilitàdella sezione; per le travi si consigliano valori di ξ compresi tra 0.1-0.45.

La normativa consente il calcolo plastico senza richiedere il controllo delle rotazioni plastiche se ξ èminore di 0.25 ed il calcolo elastico con ridistribuzione se ξ è minore di 0.45

43

6

-10

23.5

y 2,3

y 3,4

y 4,5

y c=

y c=-

A

B

C5

2

1

f /Esd s

SEZIONI PRESSOINFLESSESEZIONI PRESSOINFLESSEDIAGRAMMA MOMENTODIAGRAMMA MOMENTO--CURVATURA (M CURVATURA (M –– φ φ –– N)N)

H d

b

d’

As’

As

T’

T

χ

εc

ε’a

εa

Cx

λx

N M

Determinazione del diagramma momento-curvatura (M-φ) a sforzo normale N costante.Per ogni assegnato valore della curvatura φ si determina il valore dell’asse neutro delle deformazioni tale che sia soddisfatto l’equilibrio alla traslazione: N = C + T’ – T .Dall’equazione di equilibrio alla rotazione si determina il momento corrispondente, ottenendo quindi un punto di coordinate (M , φ).

M

φ

Mu

My

φuφy

Determinazione della curvatura di snervamento φy (snervamento delle armature) e della curvatura ultima φu (raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo).

DIAGRAMMA MOMENTODIAGRAMMA MOMENTO--CURVATURA (M CURVATURA (M –– φφ –– N)N)

Diagrammi MomentoDiagrammi Momento--Curvatura al variare di NCurvatura al variare di N

M(tm)

φ 106

ν =0

ν =0.2580

60

40

20

100 300200 400 500 700600

ν =b d f’cd

Ν

70

40

4φ20

4φ20

ν φu /φy

00,050,100,150,200,25

18,412,58,625,834,093,10

Rck 250 kg/cmqFeB44k

MECCANISMO GLOBALE E MECCANISMO GLOBALE E MECCANISMO LOCALE DI COLLASSOMECCANISMO LOCALE DI COLLASSO

MODELLI DI CAPACITÀMODELLI DI CAPACITÀ

Travi e pilastri: flessione con e senza sforzo normaleTravi e pilastri: flessione con e senza sforzo normale

LvM+

Elemento traveM-

La capacità La capacità deformativadeformativa θ θ di travi e pilastri è definita come rapporto tra lo di travi e pilastri è definita come rapporto tra lo spostamento trasversale spostamento trasversale della sezione di momento nullo e la della sezione di momento nullo e la distanzadistanza di tale di tale sezione dalla cerniera plastica (sezione dalla cerniera plastica (luce di taglioluce di taglio).).

La capacità La capacità deformativadeformativa così valutata si differenzia in relazione ai così valutata si differenzia in relazione ai 3 stati limite considerati.3 stati limite considerati.

Stato limite di Danno Limitato Stato limite di Danno Limitato (SL(SL--DL)DL)Stato limite di Danno Severo Stato limite di Danno Severo (SL(SL--DS)DS)Stato limite di Collasso Stato limite di Collasso (SL(SL--CO)CO)

VMLv =

Capacità rotazionaleCapacità rotazionale

( ) 5.0 dl plplplpl ⋅⋅=⋅= φφθ

L’espressione più semplice:

v

vt

yu

u

yupl

l

lff

VM

MMM

l

⋅ψ⋅=

=⋅

−⋅=⋅

−⋅=

5.0

15.05.0'

La lunghezza della cerniera plastica considerando il rapporto Mu/My e la snellezza di taglio (λ=Mu/Vd)

Influenza del cedevolezza del Influenza del cedevolezza del vincolo/nodo vincolo/nodo

ε

ε

ε

θ

4

4 ,

,,

,ua

tbua

ya

ybya

fdl

fdl

ττ ⋅⋅

=⋅

⋅=

ua

tbspl

uat

ytsysuyauapl

fd

lfff

dd

ll

,,

,**,,

4 τ⋅⋅

⋅ψ⋅φ≅

≅⋅

−⋅

ε−ε=

∆−∆=θ∆

Le espressioni della lunghezza Le espressioni della lunghezza della cerniera plasticadella cerniera plastica

dklkdτfψψlll bv1b

ua,

t''pl

'plpl ⋅+⋅=⋅

⋅⋅+⋅⋅=+= 24

50 vl.

dfll byvpl ⋅⋅+⋅= 022.008.0 Priesteley (1996)

bya

tv d

fll ⋅

τ⋅⋅ψ⋅+⋅ψ⋅=

,42.15.0pl Lehman (1998)

byvpl dfll ⋅⋅+⋅= 014.012.0 Panagiotakos & Fardis (2001)

c

byvpl

f

dfhll

⋅⋅++⋅=

24.017.01.0 O.P.C.M. 3274

Lunghezza della cerniera plastica in Lunghezza della cerniera plastica in funzione della luce di taglio (M/V)funzione della luce di taglio (M/V)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 500 1000 1500 2000 2500

LV [mm]

l pl [m

m]

PriestleyLehmanPan & FardisModello generale

La capacità rotazionale rispetto alla La capacità rotazionale rispetto alla corda secondo corda secondo O.P.C.M.O.P.C.M. 32743274

( )

−⋅⋅φ−φ+θ⋅

γ=θ

v

plplyuy

el LL

L5.0

11u

( ) ( )( )

( ) d

el

ρραν ⋅⋅

⋅

⋅

ωω

⋅⋅⋅γ

=θ 100/35.0225.0

25.125,01.0

',01.03.0016.01 cwysx ff νcu h

l fmaxmax

Opzione n.1 (regressione numerico-sperimentale)

Opzione n.2 (teorica con taratura sperimentale)

c

yby

v

vy

f

fdLhL ⋅

φ⋅+

+⋅+φ=θ 13.05.110013.0

3y

con

MODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE MODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE Diagrammi MomentoDiagrammi Momento--RotazioneRotazione

c

yby

v

vy

f

fdLhL ⋅

φ⋅+

+⋅+φ=θ 13.05.110013.0

3y

θy 3/4 θu θu

My

Mu

θ

M

Ordinanza n. 3274 del 20 Marzo 2003

Stato Limite di Danno Limitato DL

Stato Limite di Danno Severo DS

Stato Limite di Collasso CO

Rotazione allo snervamento:

Rotazione ultima:

( )

−⋅⋅φ−φ+θ=θ

V

plplyuyu L

LL

5.01


Rotazione di snervamentoRotazione di snervamento

Contributo flessionale

Contributo tagliante

Scorrimento delle barre

Lv

My

c

yby

v

vy

f

fdLhL ⋅

φ⋅+

+⋅+φ=θ 13.05.110013.0

3y


Rotazione ultimaRotazione ultima

−φ−φ+θ=θ

V

plplyuyu L

LL

5.01)(

φu è la curvatura ultima valutata considerando la deformazione ultima del cls

φy è la curvatura a snervamento valutata considerando la deformazione di snervamento dell’armatura tesa

Lv

Mu

Lv

φu

φy

Lpl

My

−φ−φ+θ=θ=θ

V

plplyuyuCO,u L

L5.01L)(

SL-DL

SL-DS

SL-DC

yDL,u θ=θ

)(43

yuyDS,u θ−θ+θ=θ


I valori di massima capacità deformativa sono differenti in relazione a i 3 stati limite

Un programma sperimentaleUn programma sperimentale

Linea 2- Obiettivo NODI:UR dell’Università di Salerno

FRP propertiesFiber tj [mm] EFRP [GPa] fu,FRP [MPa] εu,FRP [%]

CFRP* 0.22 390 3000 0.80 GFRP** 0.48 80.6 2560 3-4

*commercialized by SIKA; ** commercialized by MAPEI

Test setTest set--upup

Tests on FRP confined columnsTests on FRP confined columns

Tests on FRP confined columns

Hysteretic loops andHysteretic loops andloadload--displacement envelopesdisplacement envelopes

“more pinching”

Column reinforced with smooth rebars (barre lisce)

Column reinforced with deformed rebars (barre ad ader. migliorata)

“less pinching”

Hysteretic loops andHysteretic loops andloadload--displacement envelopesdisplacement envelopes

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C3-S C1-S-G C4-S-GC10-S-CC13-S-C C2-S-A1C11-S-A1 C6-S-A2

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C9-D/R

C9-D

C3-S/R

C3-S

spostamento al collasso convenzionale

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C9-D/R

C9-D

Fmax

Fmax

0.90 Fmax

0.90 Fmax

-120000

-80000

-40000

0

40000

80000

120000

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

Displacement [mm]

Lateral Force [N]

C2-S-A1

Fmax

Fmax

0.90 Fmax

0.90 Fmax

r

Prof. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile

Università di Salerno

ORDINE DEGLI INGEGNERIORDINE DEGLI INGEGNERICorso di aggiornamento sulla normativa sismicaCorso di aggiornamento sulla normativa sismica

gen.gen. 2006 2006 –– mar.mar. 20072007

STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI · Prof. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile...

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