Crosstalk tra cellule normali e neoplastiche influenza vari stadi della carcinogenesi.
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1
Prof. Ing. Roberto Realfonzo
Università di Salerno
Dipartimento di Ingegneria Civile
Appunti di Tecnica delle CostruzioniAppunti di Tecnica delle CostruzioniANNO ACCADEMICO 2010ANNO ACCADEMICO 2010--20112011
CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A.
STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI
2
CONTENUTI
Stato Limite Ultimo per Tensioni NormaliStato Limite Ultimo per Tensioni Normali
MaterialiMateriali
• Calcestruzzo
• Acciaio
• Controlli di accettazione
• Legami di normativa
• Flessione semplice o composta
• Presso-flessione deviata
3
RICAPITOLANDO ...
EEd d ≤≤ RRdd
COMBINAZIONE DELLE AZIONI
MODELLI DI ANALISI
EFFETTI DELLE AZIONI
MATERIALI
MODELLI RESISTENTI
RESISTENZE DI CALCOLO
4
I MATERIALI
Cosa c’è nel capitolo 11
Cosa c’è nel capitolo 4
Legami costitutivi del calcestruzzo
Legami costitutivi dell’acciaio
Tensione tangenziale di aderenzaacciaio-calcestruzzo
Resistenze di calcolo
Prove
Controlli di qualità
sul calcestruzzosull’acciaiodi aderenza
5
IL COMPORTAMENTO DEI MATERIALI
H
B
Verificas
σs'/n
NCc
As
nyc
A's
eεs
n
εs σs /n
'εc σc
Dimensionamento elementi strutturali
Ipotesi di elasticità lineare dei materiali
SLE
A.ε
σ
Ipotesi di non linearità meccanica dei materiali
SLU
B.ε
σ
6
11
22
33PP
ΔΔ
2*2*
7
I MATERIALI
LEGAMI COSTITUTIVILEGAMI COSTITUTIVI
8
I MATERIALI
LEGAMI COSTITUTIVILEGAMI COSTITUTIVI
9
I MATERIALI
LEGAMI COSTITUTIVILEGAMI COSTITUTIVI
10
I MATERIALI
IL CALCESTRUZZO IL CALCESTRUZZO –– tensione di rotturatensione di rottura
Rck = resistenzadi provini cubici
fck = resistenza di provini cilindrici
Che relazione c’e’ tra fck e Rck ?
11
I MATERIALI
Che relazione c’e’ tra fck e Rck ?
12
I MATERIALI
Che relazione c’e’ tra fck e Rck ?
13
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZO
Legame costitutivo del materialeLegame costitutivo del materiale
• Dopo il valore massimo della resistenza il legame σ−ε procede con un tratto decrescente la cui pendenza aumenta all’aumentare della resistenza
• Il valore della deformazione ultima aumenta al diminuire della resistenza
• Il legame σ−ε è non lineare fin da valori modesti della deformazione
• La deformazione corrispondente alla tensione massima èpressoché costante al variare della resistenza del cls
I MATERIALI
14
IL CALCESTRUZZO (IL CALCESTRUZZO (§§ 11.2)11.2)
La prescrizione del calcestruzzo all’atto del progetto deve essere caratterizzata almenomediante la classe di resistenza ed ildiametro massimo dell’aggregato.
La classe di resistenza è contraddistinta daivalori caratteristici delle resistenze cubica Rcke cilindrica fck a compressione uniassiale, misurate su provini normalizzati e cioèrispettivamente su cilindri di diametro 150 mm e di altezza 300 mm e su cubi di spigolo150 mm
La resistenza caratteristica a compressione èdefinita come la resistenza per la quale siha il 5% di probabilità di trovare valoriinferiori
• Rck : resistenza cubica del calcestruzzo a 28 gg
• fck = 0.83 Rck : resistenza cilindrica del calcestruzzo– È quella che si usa nel
progetto• fcm = fck + 8
Rck Rcm
fR
Rc0
P = 5%
K Sc.
RcmRck
P = 5%
k·s
Rc
fR
I MATERIALI
15
IL CALCESTRUZZO CONFINATOIL CALCESTRUZZO CONFINATO
INCREMENTO DI RESISTENZA E DUTTILITÀ
I MATERIALI
16
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZO
CLASSE DI RESISTENZA MINIMA
Strutture non armate o a bassa percentuale di armatura
Strutture semplicemente armate
Strutture precompresse
Resistenza cilindrica Resistenza cubica
I MATERIALI
17
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZO
In sede di progettazione...In sede di progettazione...
Modulo elastico
Ecm = 22.000×[fcm/10]0,3 [N/mm2]
Resistenza a trazioneResistenza a trazione
• Resistenza media a trazione semplice (assiale) del calcestruzzo (in N/mm2):
fctm = 0,30 × fck 2/3 per classi ≤ C50/60 fctm = 2,12 × ln[1+fcm/10] per classi > C50/60
• I valori caratteristici corrispondenti ai frattili 5% e 95% sono assunti, rispettivamente, pari a 0,7 fctm, ed 1,3 fctm.
Il valore medio della resistenza a trazione per flessione è assunto, in mancanza di sperimentazione diretta, pari a: fcfm =1, 2 fctm
Resistenza a compressioneResistenza a compressione
• fck = 0.83 Rck : resistenza cilindrica del calcestruzzo
• fcm = fck + 8
I MATERIALI
18
LEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVALEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVA
0 2778 cu. ε⋅
εc2=2‰ εcu=3.5‰
fcd
ε
σ0 416 cu. ε⋅0 584 cu. ε⋅
G
εc3=1.75‰ εcu=3.5‰
fcd
σ
ε
0 7222 cu. ε⋅
G
= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 75
εc4=0.70‰ εcu=3.5‰
fcd
σ
ε
0 40⋅ cu. ε0 60⋅ cu. ε
G
= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 80
fyd
σ
fyd
σ
εyd
arctg Es arctg Es
εyd εud=0.9·εuk
k·fyd
CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO
ACCIAIOACCIAIO . k .≤ ≤1 15 1 35ykyd
ff
.=
1 15
ckcd
ff .
.= ⋅0 85
1 5
cd cuA . f ε⋅ ⋅0 8095
19
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZO
Legame di normativaLegame di normativa
I MATERIALI
20
LEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVALEGAMI COSTITUTIVI DI NORMATIVA
0 2778 cu. ε⋅
εc2=2‰ εcu=3.5‰
fcd
σ
ε
0 416 cu. ε⋅0 584 cu. ε⋅
G
εc3=1.75‰ εcu=3.5‰
fcd
σ
ε
0 7222 cu. ε⋅
G
= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 75
εc4=0.70‰ εcu=3.5‰
fcd
σ
ε
0 40⋅ cu. ε0 60⋅ cu. ε
G
= ⋅ ⋅cd cuA . f ε0 80
CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO ckcd
ff .
.= ⋅0 85
1 5
I valori delle ε indicati in figura sono validi per classi di resistenza inferiore a C50/60
cd cuA . f ε⋅ ⋅0 8095
21
CFR. TRA I VARI MODELLI PER IL CALCESTRUZZOCFR. TRA I VARI MODELLI PER IL CALCESTRUZZO
Stress Block
Parabola-rettangolo
Parabola-rettangolo
5.183.0 ck
c
ckcdcd
Rfff ⋅==⋅=′ α
γαα
Coeff. γc – Stato limite ultimo
γc=1.5 c.a. nel DM del 2008
γc=1.6 c.a. nel DM del 1996
85.0=α
h d
b
As
A's
d'
yc
d-yc
f'cd
yc0.8
ε f'cd
ε c1 0.0035
f'cd
fck
σc
ε
c
Ecd
22
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZO
In sede di progettazione...In sede di progettazione...
Coefficiente di PoissonCoefficiente di Poisson
A seconda dello stato di sollecitazione, si assume un valore compreso tra 0 (calcestruzzo fessurato) e 0,2 (calcestruzzo non fessurato)
CoefficienteCoefficiente di di dilatazionedilatazionetermicatermica
Si un valor medio pari a 10 x 10-6 °C-1, fermo restando che tale quantitàdipende significativamente dal tipo di calcestruzzo considerato (rapportoinerti/legante, tipi di inerti, ecc.) e puòassumere valori anche sensibilmentediversi da quello indicato.
I MATERIALI
23
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOIn sede di progettazione...In sede di progettazione...
• DEFORMAZIONE TOTALE DA RITIRO:- εcs è la deformazione totale per ritiro- εcd è la deformazione per ritiro da essiccamento- εca è la deformazione per ritiro autogeno.εcs = εcd + εca
• valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da essiccamento
εcd,∞ = kh · εc0
RitiroRitiro
Tabella 11.2.Va – Valori di εc0
Tabella 11.2.Vb – Valori di kh
con fck in N/mm2εca,∞ = -2.5 · (fck-10)·10-6
• valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro autogeno
h0 = 2 Ac /uAc: l’area della sezione in calcestruzzo
u: è il perimetro della sezione in calcestruzzo esposto all’aria
I MATERIALI
24
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOIn sede di progettazione...In sede di progettazione...
ViscositaViscosita’’Se lo stato tensionale del calcestruzzo, al tempo t0 = j di messa in carico, non è superiore a 0,45×fckj, il coefficiente di viscosità φ(∞, t0), a tempo infinito, puo’ essere dedotto dalle seguentitabelle
I MATERIALI
25
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZO
Durabilita’Per garantire la durabilità delle strutture in calcestruzzo armato ordinario o precompresso, esposte all’azione dell’ambiente, si devono adottare i provvedimenti atti a limitare gli effettidi degrado indotti dall’attacco chimico, fisico e derivante dalla corrosione dellearmature e dai cicli di gelo e disgelo.
A tal fine in fase di progetto la prescrizione, valutate opportunamente le condizioni ambientalidel sito ove sorgerà la costruzione o quelle di impiego, deve fissare le caratteristiche del calcestruzzo da impiegare (composizione e resistenza meccanica), i valori del copriferro e le regole di maturazione.
Al fine di ottenere la prestazione richiesta in funzione delle condizioni ambientali, nonché per la definizione della relativa classe, si potrà fare utile riferimento alle indicazioni contenute nelleLinee Guida sul calcestruzzo strutturale edite dal Servizio Tecnico Centrale del ConsiglioSuperiore dei Lavori Pubblici ovvero alle norme UNI EN 206-1:2006 ed UNI 11104:2004.
In sede di progettazione...In sede di progettazione...
I MATERIALI
26
ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO
Comportamento SperimentaleComportamento Sperimentale
ykfykt kff =
ukε
sε
sσ
εyk
Es
Modulo elastico2210000 N/mmsE =
In trazioneIn trazione
I MATERIALI
27
ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO
Comportamento SperimentaleComportamento Sperimentale
In compressioneIn compressione
I MATERIALI
28
ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO
B450 AB450 A
stessi del B450C
≥ 2.5 %
I MATERIALI
29
ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO
B450 CB450 C
≥ 7.5 %
I MATERIALI
30
ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO
Diagramma di normativaDiagramma di normativa
I MATERIALI
31
ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO
Diagramma di normativaDiagramma di normativa
ykfykt fkf =
ukε sε
sσ idealizzato
di calcolo
ykfk
sykfk γ/
sykyd ff γ= /
/yd yd sf Eε = 0.010suε =
DM ’96
I MATERIALI
32
ADERENZA ACCIAIOADERENZA ACCIAIO--CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO
I MATERIALI
33
ADERENZA ACCIAIOADERENZA ACCIAIO--CALCESTRUZZOCALCESTRUZZO
I MATERIALI
34ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O
ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O ––
barr
e e
roto
liba
rre
e ro
toli
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
Prove di aderenza
35
GENERALITAGENERALITA’’ ((§§ 11.1)11.1)
I materiali e prodotti per uso strutturale devono essere:- identificati univocamente a cura del produttore, secondole procedure applicabili;-qualificati sotto la responsabilità del produttore, secondo le procedure applicabili;- accettati dal Direttore dei lavori mediante acquisizione e verifica della documentazione di qualificazione, nonchémediante eventuali prove sperimentali di accettazione
I MATERIALI
36
GEN
ERA
LITA
GEN
ERA
LITA
’’ ((§§
11.1
)11
.1)
37
IL CALCESTRUZZO (IL CALCESTRUZZO (§§ 11.11..2.2.2.2))Controlli di Controlli di qualita’qualita’
• VALUTAZIONE PRELIMINARE DELLA RESISTENZAServe a determinare, prima dell’inizio della costruzione delle opere, la miscela per produrre ilcalcestruzzo con la resistenza caratteristica di progetto.
• CONTROLLO DI PRODUZIONERiguarda il controllo da eseguire sul calcestruzzo durante la produzione del calcestruzzo stesso.
• CONTROLLO DI ACCETTAZIONERiguarda il controllo da eseguire sul calcestruzzo prodotto durante l’esecuzione dell’opera, con prelievo effettuato contestualmente al getto dei relativi elementi strutturali.
• PROVE COMPLEMENTARISono prove che vengono eseguite, ove necessario, a complemento delle prove di accettazione. Le prove di accettazione e le eventuali prove complementari, sono eseguite e certificate dailaboratori di cui all’art. 59 del DPR n. 380/2001.
Il calcestruzzo va prodotto in regime di controllo di qualità, con lo scopo di garantire che rispetti le prescrizioni definite in sede di progetto
FASI
DI
CONTR
OLL
OI MATERIALI
38
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOControlli di Controlli di qualita’qualita’: fasi: fasi
• 11.2.3 VALUTAZIONE PRELIMINARE DELLA RESISTENZAIl costruttore, prima dell’inizio della costruzione di un’opera, deve effettuare idonee prove preliminari di studio, per ciascuna miscela omogenea di calcestruzzo da utilizzare, al fine di ottenere le prestazioni richieste dal progetto
11.2.5 CONTROLLO DI ACCETTAZIONEIl Direttore dei Lavori ha l’obbligo di eseguire controlli sistematici in corsod’opera per verificare la conformità dellecaratteristiche del calcestruzzo messo in opera rispetto a quello stabilito dal progettoe sperimentalmente verificato in sede di valutazione preliminare. Il controllo di accettazione va eseguito su misceleomogenee e si configura, in funzione del quantitativo di calcestruzzo in accettazione, nel:- controllo di tipo A di cui al § 11.2.5.1- controllo di tipo B di cui al § 11.2.5.2
Il controllo di accettazione è positivo ed ilquantitativo di calcestruzzo accettato se risultano verificate le disuguaglianze di cui alla
Tab. 11.2.
I MATERIALI
39
CONTR
OLL
O D
I ACC
ETTA
ZIONE
CONTROLLO DI TIPO B
CONTROLLO DI TIPO A
40
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOControlli di Controlli di qualita’qualita’: fasi: fasi
11.2.6 CONTROLLO DELLA RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO IN OPERA
Nel caso in cui le resistenze a compressione dei provini prelevati durante il getto non soddisfino i criteri di accettazione della classe di resistenza caratteristica prevista nel progetto, oppure sorganodubbi sulla qualità e rispondenza del calcestruzzo ai valori di resistenza determinati nel corsodella qualificazione della miscela, oppure si renda necessario valutare a posteriori le proprietà di un calcestruzzo precedentemente messo in opera, si può procedere ad una valutazione dellecaratteristiche di resistenza attraverso una serie di prove sia distruttive che non distruttive. Taliprove non devono, in ogni caso, intendersi sostitutive dei controlli di accettazione. Il valor medio della resistenza del calcestruzzo in opera (definita come resistenza strutturale) è in genere inferiore al valor medio della resistenza dei prelievi in fase di getto maturati in condizionidi laboratorio (definita come resistenza potenziale). È accettabile un valore medio della resistenzastrutturale, misurata con tecniche opportune (distruttive e non distruttive) e debitamentetrasformata in resistenza cilindrica o cubica, non inferiore all’85% del valore medio definito in fasedi progetto. Per la modalità di determinazione della resistenza strutturale si potrà fare utile riferimento alle norme UNI EN 12504-1:2002, UNI EN 12504-2:2001, UNI EN 12504-3:2005, UNI EN 12504- 4:2005 nonché alle Linee Guida per la messa in opera del calcestruzzo strutturale e per la valutazione delle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo pubblicate dal Servizio TecnicoCentrale del Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici.
I MATERIALI
41
IL CALCESTRUZZOIL CALCESTRUZZOControlli di Controlli di qualita’qualita’: fasi: fasi
11.2.7 PROVE COMPLEMENTARI
Sono prove che eventualmente si eseguono al fine di stimare la resistenza del calcestruzzo in corrispondenza a particolari fasi di costruzione (precompressione, messa in opera) o condizioni particolari di utilizzo (temperature eccezionali, ecc.).Il procedimento di controllo è uguale a quello dei controlli di accettazione.Tali prove non possono però essere sostitutive dei “controlli di accettazione” chevanno riferiti a provini confezionati e maturati secondo le prescrizioni precedenti.I risultati di tali prove potranno servire al Direttore dei Lavori od al collaudatoreper formulare un giudizio sul calcestruzzo in opera qualora non sia rispettato il“controllo di accettazione”.
I MATERIALI
42
ACCIAIO (ACCIAIO (§§ 11.3.1)11.3.1)Controlli di Controlli di qualita’qualita’
Le presenti norme prevedono tre forme di controllo obbligatorie:
- IN STABILIMENTO DI PRODUZIONE, DA ESEGUIRSI SUI LOTTI DI PRODUZIONE
- NEI CENTRI DI TRASFORMAZIONE, DA ESEGUIRSI SULLE FORNITURE
- DI ACCETTAZIONE IN CANTIERE, DA ESEGUIRSI SUI LOTTI DI SPEDIZIONE
A tale riguardo si definiscono:Lotti di produzione: si riferiscono a produzione continua, ordinata cronologicamentemediante apposizione di contrassegni al prodotto finito (rotolo finito, bobina di trefolo, fasciodi barre, ecc.). Un lotto di produzione deve avere valori delle grandezze nominali omogenee(dimensionali, meccaniche, di formazione) e può essere compreso tra 30 e 120 tonnellate.
Forniture: sono lotti formati da massimo 90 t, costituiti da prodotti aventi valori dellegrandezze nominali omogenee.
Lotti di spedizione: sono lotti formati da massimo 30 t, spediti in un’unica volta, costituiti daprodotti aventi valori delle grandezze nominali omogenee.
I MATERIALI
43
CONTR
OLL
I
44
CONTR
OLL
I
45
CONTR
OLL
I
46
CONTR
OLL
I
47
ACCIAIO PER CEMENTO ARMATOACCIAIO PER CEMENTO ARMATO
Procedure di controllo (per barre e rotoli)Procedure di controllo (per barre e rotoli)
I MATERIALI
48ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O
ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O ––
barr
e e
roto
liba
rre
e ro
toli
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
49ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O
ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O ––
barr
e e
roto
liba
rre
e ro
toli
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
50ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O
ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O ––
barr
e e
roto
liba
rre
e ro
toli
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere
51ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O
ACCI
AIO P
ER C
EMEN
TO A
RMAT
O ––
barr
e e
roto
liba
rre
e ro
toli
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
Proc
edur
e di c
ontr
ollo
11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere11.3.2.10.4 Controlli di Accettazione in cantiere
52
STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI
53
SLU per Tensioni Normali: ipotesi di calcoloSLU per Tensioni Normali: ipotesi di calcolo
• Conservazione delle sezioni piane
• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in zona compressa
• Perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo
• Calcestruzzo non resistente a trazione
• Comportamento non lineare dei materiali
• Deformazione massima del calcestruzzo compresso pari a 0.0035
• Deformazione ultima dell’armatura +0.9εuk nel caso di legame con incrudimento (acciaio infinitamente duttile nel caso di legame elasto-plastico)
54
Se consideriamo il legame dell’acciaio Se consideriamo il legame dell’acciaio elasticoelastico--incrudente...incrudente...
Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?
Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo compresso o dell’acciaio teso.
00350.cu =ε
0.90.0250 0.0750
ε = ⋅ ε
ε = ÷ud uk
ukAs
yc
A's
εsn
'εc εcu<
εs =0.010εsu=
•• Deformazione ultima Deformazione ultima delldell’’acciaio:acciaio:
As
yc
A's
n
εs'
εs εsu<
εc εcu= =0.0035
n
(B450A − B450C)
• Deformazione ultima delcalcestruzzo:
s udε = ε
s udε < ε
fyd
σ
arctgEs
εyd εud=0.9·εuk
k·fydfyd
σ
arctgEs
εyd εud=0.9·εuk
k·fyd
55
Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal raggiungimento della massima deformazione del calcestruzzo compresso
00350.cu =εAs
yc
A's
n
εs'
εs εsu<
εc εcu= =0.0035
n
• Deformazione ultima delcalcestruzzo:
s ydε ≥ ε
0 0035c cu .= =ε ε
Se si rispettano i limiti di armatura previsti dalle NTC, nel caso di sezioni inflesse l’armatura in trazione risulta snervata: εs≥ εyd
'sε
sε
n nyc
Se consideriamo il legame dell’acciaio Se consideriamo il legame dell’acciaio elastoelasto--plastico indefinitoplastico indefinito fyd
σ
arctg Es
ε
fyd
σ
arctg Es
ε
56
Consideriamo il legame Consideriamo il legame dell’acciaiodell’acciaio--elastico incrudente...elastico incrudente...
Se consideriamo per l’acciaio un legame costitutivo elasto-plastico incrudente, è possibile riconoscere 6 regioni di rottura.
In tal caso si procede in maniera analoga rispetto a quanto fatto operando con il precedente DM’96che assumeva per l’acciaio un comportamento di tipo elasto-plastico con deformazione ultima convenzionale pari al 10‰
fyd
σ
arctgEs
εyd εud=0.9·εuk
k·fydfyd
σ
arctgEs
εyd εud=0.9·εuk
k·fyd
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
C5
2
1
f /Esd s
udε/y d sf E
57
Stati di SollecitazioneStati di Sollecitazione
0<<−∞ cy
320 ,c yy <<
4332 ,yyy c, <<
dyy c, <<43
hyd c <<
+∞<< cyh
ZONE POSIZIONE ASSE NEUTRO
STATI DI SOLLECITAZIONE
1 (tenso flessione o trazione pura)
2 (tenso-pressoflessione/flessione)
3 (tenso-pressoflessione/flessione)
4 (tenso-pressoflessione/flessione)
5 (presso flessione)
6 (presso flessione/compr. sempl.)
Semplificazione per legame acciaio elasto-plastico indefinito
43
6
-10
23.5
y 2,3
y 3,4
y 4,5
y c=
y c=-
A
B
C5
2
1
f /Esd s
udε/y d sf E
58
Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio
( )0
1=
⋅ + ⋅ =∑∫nyc
si sii
b y dy A Nσ σ
( ) ( ) [ ]nyc
c si si i0i 1
b y h / 2 y y dy A h / 2 d N e Mσ σ=
⎡ ⎤⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = ⋅ =⎣ ⎦ ∑∫
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:
Asse neutro internoalla sezione
59
Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio Sezione Rettangolare: Equazioni di Equilibrio
( )nyc
si siy hc i 1
b y dy A Nσ σ−
=
⋅ + ⋅ =∑∫
( ) ( ) [ ]nyc
c si si iy hc i 1
b y h / 2 y y dy A h / 2 d N e Mσ σ−
=
⎡ ⎤⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = ⋅ =⎣ ⎦ ∑∫
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:
Asse neutroesterno allasezione
h
b
Asi
G yc
ε si
εc
yc -h
h2
di Nc
λNc
60
Coefficienti Coefficienti ψ ψ e e λλ
Ponendo (per asse neutro interno alla sezione):
Si ottiene:
n
c cd si sii 1
b y f A Nψ σ=
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =∑
( ) [ ]n
c cd c si si ii 1
b y f h / 2 y A h / 2 d Mψ λ σ=
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − =∑⎣ ⎦
( )0
yc
c cd
y dy
y f
σψ =
⋅∫ ( ) ( )
( )( )
0 02
0
1 1y yc c
c
ycc c cd
y y y dy y y dy
y y fy dy
σ σλ
ψσ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫∫
uGN=
uGM=
Le precedenti relazioni possono scriversi in forma piu’ sempliceintroducendo le funzioni adimensionali ψ e λ
61
I coefficienti I coefficienti ψψ e e λλ sono funzioni della sono funzioni della profondità dell’asse neutroprofondità dell’asse neutro
( )yc
c cd
0 y dyy fσ
ψ ∫=⋅
( ) ( )( )
( )y yc cc
ycc c cd
0 02
0
y y y dy y y dy1 1y y fy dy
σ σλ
ψσ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅∫ ∫= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
h
b
Asi
yc
G
y
σsiεsi
Nc
λ yc
σc (y)
εcu
h
2
di
f'cd
62
Coefficienti Coefficienti ψ ψ e e λλ
Analogamente, per asse neutro esterno alla sezione:
( ) ( ) ( )y y y h2 c c
y1
cd cd
0 0y dy y dy y dy
h f h f
σ σ σψ
−−
= =⋅ ⋅
∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( )
y y hc c
c y y hc c
0 0
0 0
y y dy y y dyh y
y dy y dy
σ σλ
σ σ
−
−
⋅ − ⋅⋅ = −
−
∫ ∫∫ ∫
63
Coefficienti Coefficienti ψ ψ e e λλ
ψ = 0.8 λ = 0.4
Se si considera il legamecostitutivo dello stress-block, ilcalcolo dei coefficienti ψ e λ sisemplifica enormemente; in particolare:
Per asse neutrointerno alla sezione
c
c
y 0.80 h/2
y 0.75 hψ λ ψ
− ⋅= =
− ⋅Per asse neutroesterno alla sezione
εc4=0.70‰ εcu=3.5‰
fcd
σ
ε
In compressione centrata: ψ = 1; λ=0.5
64
Sezione Rettangolare: VerificaSezione Rettangolare: Verifica
Calcestruzzo (Calcestruzzo (fcfc<55 MPa)<55 MPa)
ckcd
ff .
.= ⋅0 85
1 5
fyd
σ
εyd
arctg Es
ykyd
ff
.=
1 15yd
yds
fE
ε =
ESAMINIAMO IL PROBLEMA DI VERIFICA ESAMINIAMO IL PROBLEMA DI VERIFICA CONSIDERANDO I SEGUENTI LEGAMI COSTITUTIVI...CONSIDERANDO I SEGUENTI LEGAMI COSTITUTIVI...
STRESSSTRESS--BLOCKBLOCKAcciaioAcciaio
ELASTICOELASTICO--PLASTICO INDEFINITOPLASTICO INDEFINITO
εc4=0.70‰ εcu=3.5‰
fcd
σ
ε
0 40⋅ cu. ε0 60⋅ cu. ε
G
cd cuA . f ε⋅ ⋅0 80
65
Sezione Rettangolare: VerificaSezione Rettangolare: Verifica
N
N
MRd-
MRd+
NRd- NRd
+Trazionecentrata
Flessione semplice
Flessione semplice
Compressionecentrata
A’s
As
se As=A’s
Dominiosimmetrico
1
nsRd ydi i
N A f−
== ⋅∑ 1
nc s cRd Rd cd yd cdi i
N N f A A f f A+ −
== + ⋅ = ⋅ + ⋅∑
66
Sezione Rettangolare: VerificaSezione Rettangolare: VerificaA’s
As
As=A’s
Dominiosimmetrico
N
M
MRd (NEd )
e Ed=co
st
MEd
NEd NRd (MEd )
(NRd ,MRd )
( )Rd Ed Ed Rd EdM M N N M= ⇒ ≤
( )EdRd Ed Ed Rd Ed
Ed
Me e N N eN
= = = ⇒ ≤
Verifica tipo B:
Verifica tipo C:
( )Rd Ed Ed Rd EdN N M M N= ⇒ ≤Verifica tipo A:
67
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
Ed Ed RdN 0 M M ( 0 )= ⇒ ≤VERIFICA:
M
N
MRd (NEd=0)
0
MEd
68
c cd s s s sy b f A A⋅ ⋅ + ⋅ σ − ⋅ σ =0.8 ' ' 0EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE:
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO AL BARICENTRO ARMATURA TESA (AS)
c cd c s s Rdy b f d y A d d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ σ − =0.8 ( 0.4 ) ' ' ( ') 1 2( 0.4 ) ( ')c RdC d y C d d M⋅ − + ⋅ − =
EQUAZIONE DI CONGRUENZA:cu s s
c c cy y d d yε ε ε
= =− −'
'
1 2 0EdC C T N+ − = =
A’s
εs
CC1
0.8 yc
σsσs
d’
MEd
dh
d’
b
As
3.5‰ fcd fcd
yc
d*
T
C2ε’s
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
69
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
2 ' 's sC A= ⋅σ
1 0.8 c cdC y b f= ⋅ ⋅
s sT A= ⋅σRISULTANTE DI TRAZIONE NELL’ARMATURA METALLICA T :
RISULTANTE DI COMPRESSIONE NEL CALCESTRUZZO C1:
RISULTANTE DI COMPRESSIONE NELL’ARMATURA C2 :
DATI DEL PROBLEMA INCOGNITE
s s
ck yk
Ed
b h cA Af f
M
, ,' ,
,
geometria
armature
materiali
Sollecitazionidi calcolo
' ,
c
s s
R d
y
M
ε ε
Asse neutro
Deform. armature
MomentoResistente
A’s
εs
CC1
0.8 yc
σsσs
d’
MEddh
d’
bAs
εcu fcd fcd
yc
d*
T
C2ε’s
70
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
IPOTESI: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE 's yd s ydf fσ = σ =
DALL’EQ. DI EQUILIBRIO ALLA TRASLASIONE SI CALCOLA yc 0.8
s yd s ydc
cd
A f A fy
b f
′⋅ − ⋅=
⋅ ⋅
A’s
d’
MEd
dh
d’
b
As
1. Armatura dissimmetrica: As≠A’s
NOTO yc,DALL’ EQ. DI CONGRUENZA SI RICAVANO LE DEFORMAZIONI DELLE ARMATURE AL FINE DI VERIFICARE L’IPOTESI DI PARTENZA
( )0.0035' 's cc
y dy
ε = − ( )0.0035s c
cd y
yε = −
71
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
CASO 1: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE
' 's yd s ydfε ≥ ε → σ = s yd s ydfε ≥ ε → σ = Generalmentee’ snevata
L’IPOTESI DI PARTENZA E’ SODDISFATTA E DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
0.8 ( 0.4 ) ' ( ')c cd c s yd Rdy b f d y A f d d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =
PUO’ VERIFICARSI:
72
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
CASO 2: ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA
' ''s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε s yd s ydfε ≥ ε → σ = Generalmentee’ snevata
L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA
( )0.00350.8 ' ' 0c cd s s c s ydc
y b f A E y d A fy
⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ = Equazione di 2°grado in yc
NOTO yc, DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
( ) ( )0.00350.8 ( 0.4 ) ' ' 'c cd c s s c Rdc
y b f d y A E y d d d My
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
73
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
CASO 3: ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA (poco frequente)
s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε' 's yd s ydfε ≥ ε → σ =
L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA
( )0.00350.8 ' 0c cd s yd s s cc
y b f A f A E d yy
⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − = Equazione di 2°grado in yc
NOTO yc, DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
( )0.8 ( 0.4 ) ' 'c cd c s yd Rdy b f d y A f d d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − =
74
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
Osservando l’equazione di equilibrio alla traslazione si deduce facilmente che è impossibile che entrambe le armature siano snervate
A’s
d’
MEd
dh
d’
b
As
c cd s s s sy b f A A⋅ ⋅ + ⋅ σ − ⋅ σ =0.8 ' ' 0
2. Armatura simmetrica: As=A’s
75
Sezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONESezione Rettangolare: Verifica a FLESSIONE
' 's yd s s sf Eσ = σ = ⋅ε DALL’EQUILIBRIO ALLA TRASLASIONE SI CALCOLA yc
( )0.00350.8 ' ' 0c cd s s c s ydc
y b f A E y d A fy
⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ = Equazione di 2°grado in yc
NOTO yc, DALL’EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
( ) ( )0.00350.8 ( 0.4 ) ' ' 'c cd c s s c Rdc
y b f d y A E y d d d My
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
OVVIAMENTE L’ARMATURA IN TRAZIONE E’ QUELLA SNERVATA !!!
76
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
Rd Ed Ed Rd EdN N M M (N )= ⇒ ≤VERIFICA:
M
N
MRd (NEd)
0 NEd
MEd
77
N
MMRd (NEd )
NEd
MRd
N
IN PRESSOFLESSIONE...IN PRESSOFLESSIONE...
A’s
εs
0.8 yc
d’
MRd
NEddh
d’
bAs
fcd
ycε’s
A. ASSE NEUTRO INTERNO ALLA SEZIONEA. ASSE NEUTRO INTERNO ALLA SEZIONE
B. ASSE NEUTRO ESTERNO ALLA SEZIONEB. ASSE NEUTRO ESTERNO ALLA SEZIONEA’s
εs
ψ h
d’
MRd
NEddh
d’
bAs
εcu fcd
yc
ε’s '
ydyd
s yd
s
ε = ε
≥ ε⎧ε = ⎨< ε⎩
Si Si puo’puo’ avere...avere...
' ,s s ydε ε ≥ εgeneralmentegeneralmente
's yds yd
ε = ε
ε < ε
.....ma.ma anche anche
εcu
78
2 ' 's sC A= ⋅σ
1 0.8 c cdC y b f= ⋅ ⋅
s sT A= ⋅σRISULTANTE DI TRAZIONE NELL’ARMATURA METALLICA T :
RISULTANTE DI COMPRESSIONE NEL CALCESTRUZZO C1:
RISULTANTE DI COMPRESSIONE NELL’ARMATURA C2 :
DATI DEL PROBLEMA INCOGNITE
, ,' ,
,
,
s s
ck yk
Ed Ed
b h cA Af f
N M
geometria
armature
materiali
Sollecitazionidi calcolo
' ,
c
s s
R d
y
M
ε ε
Asse neutro
Deform. armature
MomentoResistente
A’s
εs
CC1
0.8 yc
σsσs
d’
MEd
NEddh
d
bAs
εcu fcd fcd
yc
d*
T
C2ε’s
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
79
0.8 ' 'c cd s s s s Edy b f A A N⋅ ⋅ + ⋅ σ − ⋅ σ =
EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE:
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO ALL’ASSE BARICENTRICO:
0.8 ( 0.4 ) ' ' ( ') ( ')2 2 2c cd c s s s s Rdh h hy b f y A d A d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ σ − + ⋅ σ − = 1 2( 0.4 ) ( ') ( ')
2 2 2c Rdh h hC y C d T d M⋅ − + ⋅ − + − =
EQUAZIONE DI CONGRUENZA:
''
cu s s
c c cy y d d yε ε ε
= =− −
1 2 EdC C T N+ − =
A’s
εs
CC1
0.8 yc
σsσs
d’
MEd
NEddh
d’
b
As
fcd fcd
yc
d*
T
C2ε’s
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
εcu
80
IPOTESI: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE 's yd s ydf fσ = σ =
DALL’ EQ. DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE SI CALCOLA yc
( )0.8
Ed s ydsc
cd
N A A fy
b f
′+ − ⋅=
⋅ ⋅
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
A’s
d’
MEd
NEddh
d’
b
As
ASSE NEUTRO INTERNO ALLA SEZIONE CON YC<d
In genere si ha As=A’s
NOTO yc,DALL’ EQ. DI CONGRUENZA SI RICAVANO LE DEFORMAZIONI DELLE ARMATURE AL FINE DI VERIFICARE L’IPOTESI DI PARTENZA
( )0.0035' 's cc
y dy
ε = − ( )0.0035s c
cd y
yε = −
81
CASO 1: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE
' 's yd s ydfε ≥ ε → σ = s yd s ydfε ≥ ε → σ =
L’IPOTESI DI PARTENZA E’ SODDISFATTA E DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
PUO’ VERIFICARSI (3 casi):
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
0.8 ( 0.4 ) ' ( ') ( ')2 2 2c cd c s yd s yd Rdh h hy b f y A f d A f d M⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =
82
CASO 2: ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA
s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε' 's yd s ydfε ≥ ε → σ =
L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN TRAZIONE IN FASE ELASTICA
( )0.00350.8 'c cd s yd s s c Edc
y b f A f A E d y Ny
⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − = Equazione di 2°grado in yc
NOTO yc, DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
( )0.00350.8 ( 0.4 ) ' ( ') ( ')2 2 2c cd c s yd s s c Rd
c
h h hy b f y A f d A E d y d My
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
83
CASO 3: ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA (IMPROBABILE)
' ''s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε s yd s ydfε ≥ ε → σ =
L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA IN COMPRESSIONE IN FASE ELASTICA
( )0.00350.8 ' 'c cd s s c s yd Edc
y b f A E y d A f Ny
⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ = Equazione di 2°grado in yc
NOTO yc, DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
( ) ( ) ( )2 20.00350.8 ( 0.4 ) ' ' ' ' '
2h h
c cd c s s c s yd Rdc
hy b f y A E y d d A f d My
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − + ⋅ − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
84
' 'cd s s s s Edh b f A A Nψ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ σ + ⋅ σ =
EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE:
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO ALL’ASSE BARICENTRICO:
( ) ' ' ( ') ( ')2 2 2cd c s s s s Rdh h hh b f y A d A d Mψ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − λ ⋅ + ⋅ σ − − ⋅ σ − = 1 2 3( ) ( ') ( ')
2 2 2c Rdh h hC y C d C d M⋅ − λ ⋅ + ⋅ − − ⋅ − =
EQUAZIONE DI CONGRUENZA:
''
cu s s
c c cy y d y dε ε ε
= =− −
1 2 3 EdC C C N+ + =
C1
C3
C2
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
A’s
εs
ψ h
d’
MEd
NEddh
d’
bAs
εcu fcd
yc
ε’s
fcd
0.8 10.4 0.5
≤ ψ ≤≤ λ ≤
85
IPOTESI: ARMATURE ENTRAMBE SNERVATE 's yd s ydf fσ = σ =
DALL’ EQ. DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE SI CALCOLA yc
( )′− + ⋅=
ψ ⋅ ⋅Ed s yds
ccd
N A A fy
b f
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
ASSE NEUTRO ESTERNO ALLA SEZIONE CON YC >h
In genere si ha As=A’s
NOTO yc,DALL’ EQ. DI CONGRUENZA SI RICAVA LA DEFORMAZIONE DELL’ARMATURA INFERIORE (As) AL FINE DI VERIFICARE L’IPOTESI DI PARTENZA
( )εε = −cu
s cc
y dy
A’s
d’
MEd
NEddh
d’
bAs
0.80.75
− ⋅ψ =
− ⋅c
c
y hcon
y h
86
CASO 1: ARMATURA ENTRAMBE SNERVATE
' 's yd s ydfε ≥ ε → σ = s yd s ydfε ≥ ε → σ =
L’IPOTESI DI PARTENZA E’ SODDISFATTA E DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
PUO’ VERIFICARSI (solo 2 casi !!!):
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
( ) ' ' ( ') ( ')2 2 2
ψ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − λ ⋅ + ⋅σ − − ⋅σ − =cd c s s s s Rdh h hh b f y A d A d M / 2λ = ψcon
87
CASO 2: ARMATURA INFERIORE (AS) IN FASE ELASTICA
s yd s s sEε < ε → σ = ⋅ε' 's yd s ydfε ≥ ε → σ =
L’IPOTESI DI PARTENZA NON E’ SODDISFATTA. Si RICALCOLA LA POSIZIONE DI YC DALL’EQ. ALLA TRASLAZIONE CONSIDERANDO L’ARMATURA INFERIORE (As) IN FASE ELASTICA
( )'ε
ψ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − =cucd s yd s s c Ed
ch b f A f A E y d N
yEquazione di 2°grado in yc
NOTO yc, DALL’ EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE SI RICAVA MRd
( )( ) ' ( ') ( ')2 2 2
⎡ ⎤εψ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − λ + ⋅ − − ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦cu
cd c s yd s s c Rdc
h h hh b f y A f d A E y d d My
Sezione Rettangolare: Verifica a Sezione Rettangolare: Verifica a PRESSOFLESSIONEPRESSOFLESSIONE
0.80.75
− ⋅ψ =
− ⋅c
c
y hcon
y h
/ 2λ = ψcon
88
SEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONESEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONE
Esempio Numerico n. 1 (AEsempio Numerico n. 1 (Ass≠≠AA’’ss))
A’s
d’
MEd
dh
d’
bAs
NEd =0
DATIDATI
• altezza geometrica h = 600 mm • base b = 300 mm • armatura superiore A’
s = 628 mm2 (2φ20) • armatura inferiore As = 1256 mm2 (4φ20) • copriferro d’ = 30 mm
MATERIALI • Calcestruzzo: Classe 20/25 Acciaio: B450C
• SOLLECITAZIONI DI PROGETTO : NEd=0; MEd = 200 kN m
0.85 /1.5 11.3= ⋅ =cd ckf f MPa /1.15 391.3yd ykf f MPa= =
89
IPOTESI: VERIFICA DELL’IPOTESI DI PARTENZA calcolo delle deformazioni
CALCOLO DI MRd VERIFICA
( ) ( )s s ydc
cd
A ' A f 1256 628 391.3y 91 mm
0.8 b f 0.8 300 11.3− −
= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )
( ) ( )
cus c
c
cus c
c
0.0035' y d ' 91 30 2.34y 91
0.0035d y 570 30 1.84y 91
εε = − = − =
εε = − = − =
‰
%
s yd s yd
s yd s yd
' ' f OK
f OK
ε > ε → σ = →
ε > ε → σ = →
ydyd
s
f 391.3 1.86E 210000
ε = = = ‰
( ) ( )( ) ( )
Rd c cd c s ydM 0.8 y b f d 0.4y A ' f d d '
0.8 91 300 11.3 570 0.4 91 628 391.3 570 30 264 kN mm
= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅
Rd EdM M> → OK
s s yd' fσ = σ =
( )s s ydA A ' f− ⋅
91 18.4 ‰
90
SEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONESEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A FLESSIONE
Esempio Numerico n. 2 (AEsempio Numerico n. 2 (Ass==AA’’ss))
A’s
d’
MEd
dh
d’
bAs
NEd =0
DATIDATI • altezza geometrica h = 600 mm • base b = 300 mm • armatura superiore A’
s = 1256 mm2 (4φ20) • armatura inferiore As = 1256 mm2 (4φ20) • copriferro d’ = 30 mm
MATERIALI • Calcestruzzo: Classe 20/25 Acciaio: B450C
• SOLLECITAZIONI DI PROGETTO : NEd=0; MEd = 200 kN m
0.85 /1.5 11.3= ⋅ =cd ckf f MPa /1.15 391.3yd ykf f MPa= =
91
PER ARMATURA SIMMETRICA IN SEZIONI INFLESSE: CALCOLO DI MRd VERIFICA
( )
s yd
cus s s s c
c
f
' E ' dove: ' y d 'y
σ =
εσ = ⋅ε ε = −
( )
( )
cuc cd s s c s yd
c2
cd c s s cu s yd c s s cu
cd 2s s cu s yd c
s s cu
0.8 y b f A' E y d' A f 0y
0.8 b f y A' E A f y A' E d' 0
A 0.8 b fB B 4 A CB A' E A f y 49 mm
2 AC A' E d'
ε⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ε − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ε ⋅ =
⎫= ⋅ ⋅⎪ − + − ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ε − ⋅ → = =⎬ ⋅⎪= − ⋅ ⋅ε ⋅ ⎭
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cuRd c cd c s s c
cM 0.8 y b f d 0.4y A' E y d' d d '
y
0.00350.8 49 300 11.3 570 0.4 49 1256 210000 49 30 570 30 266 kN m49
⎡ ⎤ε= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
Rd EdM M> → OK
92
SEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A PRESSOFLESSIONESEZIONE RETTANGOLARE: VERIFICA A PRESSOFLESSIONE
Esempio Numerico n. 3 (AEsempio Numerico n. 3 (Ass==AA’’ss))
A’s
d’
MEd
dh
d’
bAs
NEd
DATIDATI
• altezza geometrica h = 400 mm • base b = 300 mm • armatura superiore A’
s = 1256 mm2 (4φ20) • armatura inferiore As = 1256 mm2 (4φ20) • copriferro d’ = 30 mm
MATERIALI • Calcestruzzo: Classe 20/25 Acciaio: B450C
SOLLECITAZIONI DI PROGETTO : NEd=70 KN; MEd = 150 kN m
0.85 /1.5 11.3= ⋅ =cd ckf f MPa /1.15 391.3yd ykf f MPa= =
93
IPOTESI: VERIFICA DELLE IPOTESI DI PARTENZA calcolo delle deformazioni POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO CON ARMATURA AS IN FASE ELASTICA
s s yd3
Edc
cd
' f
N 700 10y 258 mm0.8 b f 0.8 300 11.3
σ = σ =
⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )
( ) ( )
ydyd
s
cus c
c
cus c
c
s yd s ydc
s yd s s s
f 391.3 1.86E 210000
0.0035' y d ' 258 30 3y 258
0.0035d y 370 258 1.52y 258
' ' f OKsi deve ricalcolare y
E ARMATURA IN FASE ELASTICA
ε = = =
εε = − = − =
εε = − = − =
ε > ε → σ = → ⎫⎪ →⎬ε < ε → σ = ε → ⎪⎭
‰
‰
‰
( )
( )
cuc cd s yd s s c Ed
c2
cd c s yd s s cu Ed c s s cu
cd 2s yd s s cu Ed c
s s cu
0.8 y b f A ' f A E d y Ny
0.8 b f y A ' f A E N y A E d 0
A 0.8 b fB B 4 A CB A ' f A E N y 247 mm
2 AC A E d
ε⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − =
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ε − ⋅ − ⋅ ⋅ ε ⋅ =
⎫= ⋅ ⋅⎪ − + − ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅ ε − → = =⎬ ⋅⎪= − ⋅ ⋅ε ⋅ ⎭
94
CALCOLO DI MRd VERIFICA
( )
( ) ( ) ( ) ( )
cuRd c cd c s yd s s c
c
h h hM 0.8 y b f 0.4y A' f d ' A E d y d '2 2 y 2
0.00350.8 247 300 11.3 200 0.4 247 1256 391.3 200 30 1256 210000 200 247 200 30 229 kN m247
⎡ ⎤ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
Rd EdM M> → OK
95
Costruzione dei domini di resistenza allo SLUCostruzione dei domini di resistenza allo SLU
Per la determinazione della FRONTIERA del dominio di resistenzadi una sezione in c.a. presso o tenso inflessa, occorre determinare le caratteristiche della sollecitazione allo s.l.u. della sezione al variare della posizione dell’asse neutro, e quindi della condizione limite, nell’intervallo (-∞, +∞).
N
M
MRd (NEd )
e Ed=co
st
MEd
NEd NRd (MEd )
(NRd ,MRd )
N
M
MRd (NEd )
e Ed=co
st
MEd
NEd NRd (MEd )
(NRd ,MRd )
N
M
MRd (NEd )
e Ed=co
st
MEd
NEd NRd (MEd )
(NRd ,MRd )
( )Rd Ed Ed Rd EdM M N N M= ⇒ ≤
( )EdRd Ed Ed Rd Ed
Ed
Me e N N eN
= = = ⇒ ≤
Verifica tipo B:
Verifica tipo C:
( )Rd Ed Ed Rd EdN N M M N= ⇒ ≤Verifica tipo A:
( )Rd Ed Ed Rd EdM M N N M= ⇒ ≤
( )EdRd Ed Ed Rd Ed
Ed
Me e N N eN
= = = ⇒ ≤
Verifica tipo B:
Verifica tipo C:
( )Rd Ed Ed Rd EdN N M M N= ⇒ ≤Verifica tipo A:
96
Domini di Resistenza AdimensionalizzatiDomini di Resistenza Adimensionalizzati
La rappresentazione di domini di resistenza allo s.l.u. di sezioni èpreferibilmente effettuata in FORMA ADIMENSIONALE con il notevole vantaggio di utilizzare un abaco unico per un insieme di sezioni caratterizzate da geometrie e disposizioni di armatura simili.
In particolare per la sezione rettangolare a doppia armatura, si introducono le seguenti QUANTITA’ ADIMENSIONALI
=⋅ ⋅
RdRd
cd
Nb h f
ν =⋅ ⋅
GG 2
Rd ,Rd ,
cd
M
b h fμ ( )
( )s s yd
cd
A A fb h f
ω ω′ ⋅
′ =⋅ ⋅
ch dy /h ; d /h ; d/h 1
hξ δ δ
′−′ ′ ′= = = = −
% % meccanicameccanica
97
ε’s
A’s
εs σs
d’
MEddh
d’
bAs
fcd
yc 0.8 yc
σ’sεc
G
LE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE ED ALLA ROTAZIONE DIVENTANO:
′′⋅ + ⋅ + ⋅ =s s
Rdyd ydf f
σ σψ ξ ω ω ν
′⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Gs s
Rd ,yd yd
1 1 12 f 2 f 2
σ σψ ξ λ ξ ω δ ω δ μ
Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali nell’equazione di equilibrio alla traslazione:
1 ( / )=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑n
c cd si siRd
icd cd yd yd cd
b y f A Nb h f b h f f f b h f
ψ σν
Le tensioni dell’armatura vanno prese con illoro segni (“-” trazione; “+” compressione)
98
Domini di Resistenza AdimensionalizzatiDomini di Resistenza Adimensionalizzati
Il dominio può essere ricavato assegnando valori dell’asse neutro adimensionale variabili con continuità nell’intervallo (−∞, +∞) e valutando νu
e μu,G dopo avere calcolato le deformazioni nell’acciaio ed i coefficienti ψ e λ. Come detto in precedenza, se si utilizza il legame costitutivo stress-block per il calcestruzzo, i coefficienti ψ e λ assumono valore costante per asse neutro interno alla sezione e sono funzione della posizione dell’asse neutro quando questo è esterno alla sezione
Una definizione sufficiente del dominio può ottenersi valutando i valori del momento e dello sforzo normale ultimi per i seguenti punti
A. trazione puraB 0ξ
ξ = −∞=
→
' cu
dycuC ( 1 ')
εξ δ
ε ε= −
+
E compD. 1
ressione pu'
raξξ δ
= += −
∞ →
99
A
B
E
C’
N
MC
D
ε ≥ εyd
εud
ε=0
ε>εyd
εcu
εyd
ε=0
εcu
εcu
εc2
B 0ξ =
A. trazione puraξ = −∞ →
' cu
dycuC ( 1 ')
εξ δ
ε ε= −
+
E compressione puraξ = +∞ →
Il dominio e’ simmetricorispetto all’asse N se As=A’s
D. 1 'ξ δ= −
100
1
G1
u,
u,
ν ω ω 2ω
μ 0
′= − − = −
=
ξ = +∞
A N
M
A
ε ≥ εyd
ω= ω’
101
A
B
N
M
1 2
G1 2
ud su, ,
yd
ud su, ,
yd
Eν ω δ ω
1 δ f
E 1 1μ ω δ δ ω δ1 δ f 2 2
ε
ε
′ ′= − ⋅ ⋅ −′−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟′− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ξ 0=
B
εud
ε=0 ω= ω’
102
A
B
N
MC
2 3
G 2 3
su, ,
yd
su, ,
yd
σ 'ν 0.8 ξ ω ω
f
σ '1 1 1μ 0.8 ξ 0.4 ξ ω δ ω δ2 f 2 2
′= + ⋅ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3cu
,cu s
εξ ξ ( 1 δ )
ε ε′= = ⋅ −
+C
εcu
εs
ω= ω’
103
A
B
N
MC C’
3 4
G 3 4
u, ,
u, ,
ν 0.8 ξ ω ω
1 1 1μ 0.8 ξ 0.4 ξ ω δ ω δ2 2 2
′= + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 4cu
,cu yd
εξ ξ ( 1 δ )
ε ε′= = ⋅ −
+C’
εcu
εyd
ω= ω’
104
A
B
N
MC C’
D
D
ξ 1 'δ= −
4 5
G 4 5
u, ,
u, ,
ν 0.8 ω
1 1μ 0.8 0.4 ω δ2 2
ξ
ξ ξ
′= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ε=0
εcu ω= ω’
105
A
B
N
MC C’
D
εc2
E
6
G6
u
u,
ν 1 ω ω 1 2ωμ 0
′= + + = +
=
ξ = +∞
E
ω= ω’
106
d'/h = 0.05ω ω/ '= 1.00
-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.000
0.25
0.50
0.75
1.00
νu
μu 0.800.700.600.500.400.300.200.10
DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
ω
ξ=0
ξ=ξ2,3 ξ=ξ3,4
ξ=ξ4,5
ξ=ξ5,6
Domini di Resistenza AdimensionalizzatiDomini di Resistenza Adimensionalizzati
107
Costruzione semplificata dei domini di Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetricasimmetrica
2 /8cdbh f
A’s =
c
MNdh
c
bAs
As
N
M
Nc/2 Nc
/ 2cdbhf/ 2cdbhfCompressione centrata
Nc
c cdN bhf=
2 /8cdbh f
Nc/2
Nc/2
2 4cN h
Il dominio della sola sezione in calcestruzzo ha Eq.⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠1
2 c
h NM NN
108
Costruzione semplificata dei domini di Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetricasimmetrica
2 /8cdbh f
A’s =
c
MNdh
c
bAs
As
N
M
ATrazione centrata
2 s ydA f
F
F
Flessione semplice
F
F
( ) ( 2 )cs ydRdM A f h c≅ −
Nc/2 Nc
F
FNc
( ) ( ) ( );E C EcRd Rd RdM M N N= =
B
2 s ydA f/ 2cdbhf/ 2cdbhfCompressione centrata
F
FNc
s yd
c cd
F A fN bhf
=
=
2 /8cdbh f
Nc/2
C
D
F
F Nc/2
Massimo Momento flettente
( ) ( ) ( );2 4 2
D C Dc cRd Rd Rd
N NhM M N= + =
E
109
Dal dominio si rileva che la presenza di sforzo normale inferiore a Nc
produce necessariamente un aumento della resistenza flettente rispetto alla flessione semplice. Il massimo aumento e’ dato da:
2( ) ( )
( ) ( )/ 8 0.125 1 0.1581 1 1
( 2 ) 1 2 /
cdD CcRd Rd
C C s ydRd Rd
bh fM M N h
A f h c c hM M
+= ≅ + = + ≅ +
− ω − ω
2 /8cdbh f
N
M
A
Trazione centrata2 s ydA f
F
F
Flessione semplice
F
F
( ) ( 2 )cs ydRdM A f h c≅ −
Nc/2 Nc
E
F
FNc
( ) ( ) ( );E C EcRd Rd RdM M N N= =
2 s ydA f/ 2cdbhf/ 2cdbhfCompressione centrata
F
FNc
D
F
F Nc/2
Massimo Momento flettente
( ) ( ) ( );2 4 2
D C Dc cRd Rd Rd
N NhM M N= + =
s yd
c cd
F A fN bhf
=
=
B
C
110
L’aumento di resistenza flessionale fra i punti C e D è dunque
ASCRIVIBILE AL CONTRIBUTO DEL CALCESTRUZZO
2 /8cdbh fN
M
A
Trazione centrata
2 s ydA f
F
F
Flessione semplice
F
F
( ) ( 2 )cs ydRdM A f h c≅ −
Nc/2 Nc
E
F
FNc
( ) ( ) ( );E C EcRd Rd RdM M N N= =
2 s ydA f/ 2cdbhf/ 2cdbhfCompressione centrata
F
FNc
D
F
F Nc/2
Massimo Momento flettente
( ) ( ) ( );2 4 2
D C Dc cRd Rd Rd
N NhM M N= + =
s yd
c cd
F A fN bhf
=
=
B
C
111
Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su Costruzione semplificata dei domini di pressoflessione retta su sezioni ad armatura simmetricasezioni ad armatura simmetrica
Considerando i diagrammi a stress-block è quindi possibile la costruzione del dominio individuando 5 punti significativi:
( )
( )
2 2
0
As syd ydRd
ARd
N A f F con F A fA
M
⎧ ⎫= = =⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭
( )
( )
0
( 2 ) ( 2 )
CRdC
s ydRd
NC
M A f h c F h c
⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬
≅ − = −⎪ ⎪⎩ ⎭
( )
( ) ( )
/ 2
2 4
DcRd
D C cRd Rd
N ND N hM M
⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬
= +⎪ ⎪⎩ ⎭
( ) ( )
( )
2 2
0
B As c c cyd cd cdRd Rd
BRd
N A f bhf N N F N conN bhfB
M
⎧ ⎫= + = + = + =⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭
( )
( ) ( )
EcRd
E CRd Rd
N NE
M M
⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ = ⎪⎩ ⎭
A
C
B
E
D
N
M
Trazione centrata Compressione centrata
Flessione semplice (Simmetrico di C)
Massimo Momento flettente
112
Limitazione di armatura longitudinale Limitazione di armatura longitudinale ((§7.4.6.2.1)
1.4 3.5'< ρ < ρ +yk ykf f
ρ= percentuale geometrica di armatura tesa =As/(bh)
ρ’= percentuale geometrica di armatura compressa = A’s/(bh)
fyk = tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio (MPa)
In tale limitazione e’ implicito che la profondita’ dell’asse neutro a rottura non puo’ essere eccessiva, conferendo un’ adeguata duttilità alla sezione
La normativa impone delle limitazioni alle percentuali geometrice di armatura tesa ρ e compressa ρ’
In particolare, in una sezione inflessa la percentuale della geometricadell’armatura tesa ρ deve rispettare la seguente limitazione
113
Limitazione di armatura longitudinale Limitazione di armatura longitudinale ((§7.4.6.2.1)
Per fyk=450 MPa si ha:
ρmin=0.3%
ρmax=1.56%
114
Limitazione di armatura longitudinale Limitazione di armatura longitudinale ((§7.4.6.2.1)
''0.8 0.8
⎛ ⎞−⎜ ⎟= − → = →⎜ ⎟⎝ ⎠
s syd ydc s s ccd yd yd
cd
A f A fy bf A f A f y h
bhf
( ) ( )1.25 ' 1.25 '→ = ω − ω → = ρ − ρydc c
cd
fy yh h f
ε’s> εyd
A’s
εs> εyd σs=fyd
c
MEd
dh
c
bAs
3.5‰ fcd
yc 0.8 yc
σ’s=fyd
max
3.5 1.25 3.5 3.8 ( )1.15
⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ ≤ = = ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ydc c
cd yk cd cd
fy y MPah h f f f f
UTILIZZANDO LA LIMITAZIONE INDICATA DALLA NORMATIVA:
EQ. ALLA TRASLAZIONE DI UNA SEZIONE INFLESSA
115
max
3.8 ( )⎛ ⎞ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠
c
cd
y MPah f
3.5‰ 0.653 0.59ε⎛ ⎞ ≅ = = ≅⎜ ⎟ ε + ε ε + ε⎝ ⎠c cu
cu y cu yy
y d d dh h h h
VALUTIAMO DALL’EQ. DI CONGRUENZA LA PROFONDITA’ DELL’ASSE NEUTRO CUI CORRISPONDE LA CRISI CON L’ACCIAIO AL LIMITE ELASTICO (yc/h)y
CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55
19.83 25.50
(yc/h)max 0.419 0.335 0.268 0.239 0.192 0.168 0.149
14.17
0.134
22.6715.87
50/60
fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33
Al variare della classe di calcestruzzo e’ possibile quindiconoscere il valore di (yc/h)max nel rispetto dei limitiforniti dalla normativa
A’s
εyd
c
MEd
dh
c
bAs
3.5‰
yc
Ben maggiori di quelliriportati in Tabella
L’ACCIAIO TESO IN UNA SEZIONE RETTANGOLARE INFLESSA, A SEMPLICE O DOPPIA ARMATURA, E’ AMPIAMENTE SNERVATO
1.1≅hd
116
,min/ 3.8 // /
/ 3.8 /−− −
ε = ε = ε ≥ ε = εc c cds cu cu s cu
c c cd
d h fd y d h y hy y h f
CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55
19.83 25.50
(yc/h)max 0.419 0.335 0.268 0.239 0.192 0.168 0.149 0.134
(εs )min 0.57% 0.80% 1.09% 1.26% 1.66% 1.95% 2.23%
14.17
2.52%
22.6715.87
50/60
fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33
VALUTIAMO DALL’EQ. DI CONGRUENZA LA DEFORMAZIONE NELL’ACCIAIO TESO (εs,min) IN CORRISPONDENZA DEL MASSIMO DI ARMATURA DI NORMATIVA
1.1≅hd
LA CRISI AVVIENE CON L’ACCIAIO AMPIAMENTE IN CAMPO PLASTICO, GARANTENDO UN’ADEGUATA DUTTILITA’ ALLA SEZIONE
117
VALUTIAMO IL BRACCIO DELLA COPPIA INTERNA PER UNA SEZIONE INFLESSA IN SEMPLICE ARMATURA IN CORRISPONDENZA DELLA LIMITAZIONE INDICATA DALLA NORMATIVA
1.1≅hd
*min
1.52* 1 0.4 1⎛ ⎞⎛ ⎞= − ≥ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c
cd
y hd d d dd f d
CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55
19.83 25.50
(d*/d)min 0.816 0.852 0.882 0.895 0.916 0.926 0.934
14.17
0.941
22.6715.87
50/60
fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33
εs> εyd σs=fyd
c
MEd
dh
bAs
3.5‰ fcd
yc 0.8 yc
d*
C
T
LA LIMITAZIONE DEL MASSIMO DI ARMATURA IMPLICA
CHE IL BRACCIO DELLA COPPIA INTERNA E’ ≈ 0.9 d
118
εs> εyd σs=fyd
c
MEd
dh=?
b
As=?
3.5‰ fcd
yc 0.8 yc
d*
C
T
Progetto a flessione allo SLU Progetto a flessione allo SLU (Progetto di h ed (Progetto di h ed AsAs))
( ) 20.8 0.4 0.8 0.4⎛ ⎞− = → − =⎜ ⎟⎝ ⎠
c cc c ED EDcd cd
y ydy bf d y M bf h Mh h h
1
0.8 0.4= =
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
ED EDu
c ccd
M Mh ry yd b bfh h h
( )0.4− =s c EDydA f d y M
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO A T
( )0.4=
−ED
sc yd
MAd y f
EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE INTORNO A C
2.
1.
119
CLASSE 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/5519.83 25.50
(yc/h)max 0.419 0.335 0.268 0.239 0.192 0.168 0.149 0.134(εs)min 0.57% 0.80% 1.09% 1.26% 1.66% 1.95% 2.23% 2.52%
(d*/d)min 0.816 0.852 0.882 0.895 0.916 0.926 0.934
14.17
0.941
22.6715.8750/60
fcd (MPa) 9.07 11.33 28.33
Progetto a flessione allo SLUProgetto a flessione allo SLU
1
0.8 0.4= =
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
ED EDu
c ccd
M Mh ry yd b bfh h h
1.
( )0.4=
−ED
sc yd
MAd y f2. 0.9
=⋅
EDs
yd
MAd f
≈ 0.9 d
Per garantire un’adeguata duttilita’ alla sezione, per la quale la crisi avvienecon acciaio ampiamente in campo plastico, occorre fissare un valore di
yc/h ≤ (yc/h)max riportato in tabella per ciascuna classe di calcestruzzo
Per classi di calcestruzzo di resistenza ordinaria
c
MEddh=?
b
As=?
yc
120
Armatura in compressione Armatura in compressione ((§7.4.6.2.1)
121
Influenza delle staffe sulla duttilitàInfluenza delle staffe sulla duttilità
122
VERIFICHE A PRESSO-FLESSIONE
DEVIATA
123
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
Una sezione soggetta a pressoflessione deviata e’caratterizzata dalla presenza contemporanea di sforzo normale e momento flettente secondo una direzione non principale di inerzia della sezione
Occorre verificare la seguente condizione:
( )
( ')
Ed Rd Ed
Ed
Rd
Ed
M M N
M momento agenteM momento ultimo capacita sotto lo sforzo
assiale agente N
≤
• =
• =
124
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
Si consideri una sezione rettangolare con armatura su ogni latosoggetta a pressoflessione deviata
La verifica della sezione richiede la costruzione del dominiod’interazione
Approccio classico
MEd,x
NEdh
b
MEd,xNRd
MRd,x MRd,y
MSd
MSd
MRdOK
NO
125
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
x
ys NEd
xn
n
σ
ε
s
Il procedimento per la costruzione del dominio limite:
- concettualmente analogo a quello descritto per la pressoflessione retta
- piu’ complicato per l’inclinazione dell’asse neutro (n-n), non piu’ortogonale all’asse di sollecitazione (s-s)
Approccio classico
126
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
Approccio classico
Ciascun punto sulla frontiera del dominio (NEd, MRd,x, MRd,y) è definito da:
- Inclinazione dell’asse asse neutro rispetto all’orizzontale (θ)
- Profondita’ dell’ asse neutro (y)
x
ys NEd
yn
n
σ
ε
s
θ
127
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
A causa della forma complessa della porzione compressa, il dominio di collasso è costruito per integrazione del diagramma delle tensioni per ciascuna combinazione di θ e y
Le terne (NEd, MRd,x, MRd,y ) sono calcolate risolvendo, per ciascunacombinazione di θ e y, le seguenti equazioni di equilibrio:
Approccio classico
NEd
MRd,x
MRd,y
Tali procedure sono pertanto iterative e richiedono un’integrazione al passo delle tensioni agenti sulla sezione difficolta’ ad eseguire manualmente la verifica di sezioni anche semplici come le sezioni rettangolari
128
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
In metodo in esame è il “load contourmethod” (Bresler,1960) che approssima la superficie con sezioni a sforzo assiale costante tramite l’equazione:
Approccio approssimato NRd
MRd,x MRd,y
Piano a NRdcostante
MRdy,0MRdx,0
MRd
MRdx,MRdy = momenti resistenti lungo x ed y nel caso di pressoflessione deviata
MRdx0,MRdy0 = momenti resistenti rispetto agli assi x ed y in regime di pressoflessione retta di una sezione rettangolare con armatura simmetrica
α = log(0.5)/log(β), dove β e’ l’ordinata o l’ascissa dell’intersezione del dominio adimensionalizzato con la bisettrice
,0 ,01RdyRdx
Rdx Rdy
MMM M
αα ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
129
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0μuy
β=0.5β=0.6
β=0.7β=0.8
β=0.9
μux
μ Rdy
μRdx
,0 ,01RdyRdx
Rdx Rdy
MMM M
αα ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Definizione approssimata del dominio di resistenza per sezioni rettangolari
Al variare del parametro β tra 0.5 ed 1 il dominio semplificato può assumere una forma variabile tra quella triangolare e quella quadrata. Per β = 0.5 α = 1 il dominio e’rappresentato da una retta passante per i punti di coordinate (0,1) e (1,0); Per β =0.707 α = 2 il dominio e’rappresentato da una circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario, Per β = 1 α=∞ il dominio e’rappresentato da due rette parallele agli assi passanti per i punti (0,1) e (1,0)
α = log(0.5)/log(β)
130
Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
Valori del coefficiente α
NEd/NRd(B) 0.1 0.7 1.0
α 1.0 1.5 2.0
( ),
Bs tot yd cdRdN A f bhf= +
As,tot = area totaledell’armatura longitudinale
Per valori intermedi di NEd/NRd(B) e’ suggerita l’interpolazione lineare
NEd c γ ϕ ψ θ
>0 1.15 -0.01 -0.03-0.06-0.13
-0.07-0.03-0.14-0.30
=0 1.18 -0.02<0 1.30 -0.06 0.18
( ) ( ) ( )x ybch
γ ψϕ ϑ⎛ ⎞α = ω ω ν⎜ ⎟⎝ ⎠
sx ydx
cd
A fbhf
ω = sy ydy
cd
A fbhf
ω = Ed
cd
Nbhf
ν =
1- EC2 (2004)
2- Monti e Alessandri (2007)
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Verifiche in pressoflessione deviataVerifiche in pressoflessione deviata
Cosa dice il DM’08 (§ 4.1.2.1.2.4)