IL METODO FEM COME STRUMENTO DI DESIGN - CHECK · tensioni di trazione in direzione normale alla...

13 giugno 2017 - Sala Convegni Ordine Ingegneri della Provincia di Cosenza

IL METODO FEM COME STRUMENTO DI DESIGN - CHECK


1. Introduzione ed aspetti generali.


L’Analisi agli Elementi Finiti (FEA, ovvero Finite Element Analysis) è uno strumento per l’analisi progettuale (Design - Check).

Che cos’è il Design - Check e come si pone in relazione con l’analisi FEA?

Design - CheckProcesso di ricerca riguardante alcune

proprietà di singoli componenti, assiemi ostrutture.

Può essere condotto su oggetti reali o su modelliche rappresentano determinati aspetti

di un oggetto reale.


Se vengono utilizzati i modelli al posto degli oggetti reali, il Design- Check può essere condotto nelle fasi iniziali del processo di progettazione, prima dell’avvio della produzione finale o addirittura prima della costruzione di prototipi.

Modelli

Modelli Fisici(modelli in scala, mockup,modelli fotoelastici, ecc.)

Modelli Matematici(un determinato comportamento

di un componente o di un strutturaviene simulato e descritto

tramite un’astrazione matematica)


Basandosi poi sulla tipologia dei metodi risolutivi impiegati, si può operare l’ulteriore distinzione:

Design Checkbasato su modelli matematici

Modelli matematici semplici Modelli matematici complessi

Risoluzione analitica Risoluzione tramitemetodi numerici


L’analisi FEA è un metodo numerico per la risoluzione di modelli matematici complessi.

Il grado di competenza richiesto dagli utenti FEA dipende dall’entità e dalla complessità dell’analisi condotta.

I presupposti base sono i seguenti:

1. Meccanica dei Continui e dei Materiali2. Progettazione di Componenti Meccanici3. Scienza delle Costruzioni4. Meccanica Razionale ed Applicata5. Termodinamica, Trasmissione del Calore, Fluidodinamica.

E’ opportuno quindi riassumere le caratteristiche proprie dell’analisi FEA in ambito progettuale, come distinguo dall’analisi FEA “pura” condotta dagli analisti.


La FEA è “soltanto” un altro strumentodi progettazione

Viene usata insieme ad altri strumenti quali il CAD, il CAM,la scansione 3D, la stampa 3D di prototipi (sia additiva chesottrattiva), il CNC, i fogli di calcolo, gli ambienti di calcolo

integrati, i manuali ed i cataloghi tecnici, ecc.

La FEA è basata su modelli CAD

La FEA segue (se non scandisce del tutto) le fasi

della progettazione

E’ fondamentale un’esecuzione rapida delle simulazioni,garantendo contemporaneamente un’affidabilità dei dati

in uscita anche quando i dati in ingresso siano non adeguati, se resi disponibili da analisi e valutazioni iniziali.Ciò al fine di garantire scelte progettuali ottimali.

Limitazioni della FEA per i progettistiL’analisi FEA va condotta in maniera rapida ed accurata, anche

quando viene eseguita da ingegneri piuttosto che da analisti.Questa criticità è di primaria importanza ed ha determinato,

negli ultimi anni, la crescente diffusione di ambienti CAE cloud-based, sviluppati sia su tecnologie open-source che proprietarie. Ciò allo scopo di conseguire la validazione continua delle simulazioni

e la collaboratività tra i diversi settori negli ambiti di R&D.


Obiettivo principale della FEA per i progettistiRealizzare la prototipazione virtuale del progetto; ovvero

virtualizzare, tramite la simulazione numerica, le fasi iterative diprogettazione, prototipazione e test.

Approccio progettuale tradizionale Approccio progettuale FEA-based

Progetto

Prototipo

Test

Produzione

Progettazione CAD FEA↔

Prototipazione

Test

Produzione

Progetto


Modello CAD Modello Matematico

Qual è l’importanza di un modello matematico nel processo di analisi FEA?

Per rispondere a questa domanda, si dovrà prima rispondere alle seguenti:

1. Cos’è un modello matematico?2. Come si colloca nel processo di Design-Check?3. Quali sono le differenze tra modello matematico, modello CAD e modello

FE?


Si consideri la puleggia condotta di seguito mostrata. Si vuole determinare lo stato deformativo e tensionale del componente soggetto al carico trasmesso dalla cinghia.


Il primo step per la risoluzione del problema è dato dagli elementi seguenti:

Modello CAD Definizione di un volume, che saràdominio della soluzione

Si assegnano le proprietà del materiale e lecondizioni al contorno definite sulle facce

esterne (contorno del dominio)

Condizioni al contorno Forze, spostamenti, vincoli


Nell’esempio in questione, le condizioni al contorno sugli spostamenti sono definiti sul diametro interno della puleggia: si pongono pari a zero le traslazioni, in modo da rappresentare correttamente il vincolo dato dal cuscinetto.Le condizioni al contorno sui carichi sono applicati su una sezione radiale in termini di pressioni e rappresentano il carico trasmesso dalla cinghia.Queste condizioni al contorno per gli spostamenti ed i carichi sono definite esplicitamente, mentre sulle rimanenti superfici sono imposte implicitamente dalle condizioni al contorno sulle forze in modo che, ad esempio, siano nulle le tensioni di trazione in direzione normale alla superficie.

Le tensioni normali devono essere nulle su una superficie non caricata.


Un’ulteriore rappresentazione della puleggia è la seguente, priva dei dettagli costruttivi (raccordi, smussi, ecc.) e formata da superfici a spessore zero:

Questa rappresentazione è accettabile quando il risultato cercato è il campo degli spostamenti.


E’ spesso possibile utilizzare più di una tipologia di rappresentazione geometrica per lo stesso problema di analisi FEA.


La geometria, da sola, non definisce completamente il modello matematico.

Le condizioni al contorno (carichi, vincoli, temperature, ecc.) e le proprietà del materiale, fanno parte della definizione del modello matematico.

E’ quindi possibile, sulla base della tipologia delle condizioni al contorno, operare la distinzione seguente:

Definizione delle condizioni al contornoe delle proprietà del materiale

Analisi Statica

Analisi Dinamica

Analisi con materiale lineare

Analisi con materiale non lineare

Meccanica della Frattura


Qual è il miglior modello matematico tra i diversi che possono descrivere il problema?

Quello che, dato l’obiettivo della nostra analisi FEA, rappresenta in maniera adeguata quegli aspetti del progetto reale che ci interessano al “costo più basso”.


Metodi Numerici per la risoluzione diun problema al contorno

Assegnazione di un’equazione differenzialesul contorno dell’insieme di definizione

Valore della funzione specificato sulbordo dell’insieme di definizione

(Dirichlet)

Derivata direzionale normaledella funzione (Neumann)

Condizione al contorno di Cauchy

Condizione al contorno imposta


Principali Metodi Numerici

Metodo alle Differenze Finite (formulazione

differenziale di un problema concondizioni al contorno)

Principali Metodi Numerici

Metodo agli Elementi al Contorno(formulazione

integrale di un problema concondizioni al contorno)

Metodo agli Elementi Finiti(formulazione

variazionale di un problema concondizioni al contorno)

Risultati: matrice densamente popolata e mal condizionata con conseguenti gravi difficoltà numeriche.

Il dominio della soluzione è diviso in celle.

Risultati: matrice asimmetrica densamente popolata.Metodo adatto per forma 3D molto compatte e semplificate.

Il dominio della soluzione è diviso in segmenti.

Le funzioni incognite vengono approssimate da funzioni generate da polinomi.Queste funzioni sono efficaci in termini di efficienza numerica.

Il dominio della soluzione (geometria del modello) viene discretizzato(meshato) in sottodomini dalla forma più semplice (elementi finiti)


A seguito della sua introduzione nella pratica ingegneristica sin dai primi anni ‘60, il metodo FEM è diventato il metodo numerico predominante per le sue caratteristiche di versatilità ed efficienza numerica.


Applicazione del Metodo FEM

MeshingSuddivisione del dominio dellasoluzione in sottodomini dalla

forma semplice chiamatiElementi Finiti

Nella pratica, il metodo FEM rappresenta delle variabilidi campo (spostamenti, tensioni, ecc.) per mezzo di funzioni

polinomiali che riproducono un campo di spostamenticompatibile con le condizioni al contorno, minimizzando

contemporaneamente, l’energia potenziale totale del modello.Ciò con lo scopo di semplificare le suddette funzioni polinomiali.


Modello matematico Modello FEM

Come si evince dalle figure precedenti, il processo di discretizzazione riguarderà anche le condizioni al contorno, che passano dall’essere continue all’essere rappresentate da carichi e vincoli agenti sui nodi degli elementi.


Formulazione delle equazioni agli Elementi Finiti

Tra gli infiniti sistemi di spostamenti nodali consentiti dai vincoli,solo un sistema di spostamenti nodali minimizza

l’energia potenziale totaleenergia potenziale totale del modello.

Questa condizione di minimo dell’energia potenziale totalecorrisponde allo stato di equilibrio.


l’energia potenziale totaleenergia potenziale totale del modello.


l’energia potenziale totale del modello.

Determinando l’insieme degli spostamenti nodali checorrisponde al minimo dell’energia potenziale totale del modello,

si può anche determinare una condizione di equilibrio del modello

con i carichi applicati.


L’applicazione del principio di minimo dell’energia potenziale totale porta alla Formulazione Fondamentale del Metodo degli Elementi Finiti:

[F] = [K][d]

dove:

[F] = vettore dei carichi nodali noti[K] = matrice di rigidezza del modello (funzione della geometria del modello, delle proprietà del materiale e dei vincoli)[d] = vettore degli spostamenti nodali incogniti


Errori nell’analisi FEA

Errori di modellazione Si introducono semplificando le ipotesi fattenella formulazione del modello matematico.


Errori di discretizzazione Si introducono quando un modello matematicocontinuo viene discretizzato in un modello agli

Elementi Finiti e gli errori della soluzione si sommano al processo della soluzione numerica

delle equazioni agli Elementi Finiti.


Errori nell’interpretazionedella soluzione

Saranno oggetto del Corso Basesul Metodo FEM in preparazione.

Solo gli errori di discretizzazione possono essere controllati utilizzando le tecniche FEM!


2. Concetti fondamentali del metodo FEM.


Verrà di seguito presentata una breve rassegna dei concetti fondamentali del metodo FEM.


Funzioni di Forma

Il campo degli spostamenti dentro ciascun elemento e lungo i bordi della piastra vengono descritti da funzioni polinomiali chiamate funzioni di forma. L’ordine di tali funzioni polinomiali definisce l’ordine dell’elemento. Gli argomenti delle funzioni di forma sono gli spostamenti nodali; una volta determinati gli spostamenti nodali, si possono calcolare gli spostamenti in qualsiasi punto dell’elemento.

Più avanti considereremo il problema della determinazione del campo degli spostamenti in una piastra sottile. Si modellerà la piastra come un problema di plane-stress (2D). Si utilizzeranno elementi 2D triangolari.


Gradi di Libertà ed Ordine dell’Elemento

Nella fig. a) un elemento a 3 nodi 2D del primo ordine ha 2 g. di l. per nodo (traslazioni lungo x ed y). Il numero di g. di l. totali è 6. A deformazione avvenuta i bordi si mantengono rettilinei.Nella fig. b) un elemento a 6 nodi 2D del secondo ordine ha ancora 2 g. di l. per nodo, mentre il numero di g. di l. totali è ora pari a 12. In questo caso i lati dell’elemento possono deformarsi assumendo una configurazione curva del secondo ordine.

Nella pagina seguente viene rappresentata l’estensione al caso di elementi tetraedrici a 3D.


(Fig. a)). Nell’elemento tetraedrico del primo ordine, le funzioni di forma lineari modellano il campo degli spostamenti lineari lungo i bordi, sulle facce ed all’interno del volume dell’elemento; l’elemento presenta 3 g. di l. per nodo per un totale di 12 g. di l. Si noti come i g. di l. rotazionali non sono richiesti per descrivere la deformazione dell’elemento.(Fig. b)). Nell’elemento tetraedrico del secondo ordine, le funzioni di forma richiedono la presenza dei nodi mediani, per un totale di 30 g. di l.


Il campo deformativo e tensionale verrà quindi determinato derivando il campo degli spostamenti. A spostamenti del primo ordine corrisponderanno deformazioni e tensioni costanti nell’elemento, mentre a spostamenti del secondo ordine corrisponderanno deformazioni e tensioni lineari.I requisiti delle funzioni di forma per la continuità del campo degli spostamenti sia all’interno dell’elemento che in tutta la mesh sono i seguenti:● Compatibilità interna (funzione continua all’interno dell’elemento)● Compatibilità tra gli elementi (congruenza negli spostamenti tra i bordi e/o le

facce in comune di due elementi contigui)● Moto a corpo rigido (la funzione di forma deve essere tale che assicuri

deformazioni nulle in caso di spostamento a corpo rigido con deformazione nulla dell’elemento. La validazione di ciò viene chiamato patch-test)

● Deformazione costante (la funzione di forma deve essere tale da poter modellare i casi di deformazione costante).


Quali sono le conseguenze della scelta delle funzioni di forma di un elemento sui risultati di un’analisi FEM? Si consideri l’esempio citato in precedenza.

La piastra sottile è soggetta ad un carico di trazione orizzontale; il modello matematico relativo consiste in un problema 2D di plane stress. Si vogliono determinare le deformazioni e le tensioni. In particolare, si vogliono determinare i valori della tensione di Von Mises. Si realizza una prima mesh con elementi triangolari del primo ordine.


Si nota subito come il foro centrale viene approssimato da tratti di elemento rettilinei. La mesh risultante, formata da 127 elementi ed 84 nodi, risulta molto grossolana per l’ottenimento di dati di interesse. I vincoli sul bordo sinistro sopprimono 2 g. di l. per ciascuno dei 7 nodi del bordo. Il numero di g. di l. totali risulta quindi pari a 154. Nella pagina seguente vengono mostrati i risultati per gli spostamenti lungo x e quelli per la tensione di Von Mises.


In genere, i risultati di un’analisi FEM non sono così grossolani come quelli proposti nell’immagine precedente. Ciò perché non solo vengono utilizzati elementi più piccoli, ma vengono pure determinati i valori medi degli spostamenti e della tensione ricavati con l’analisi, prima di essere rappresentati. Queste tecniche nascondono la discontinuità delle tensioni che attraversano i contorni degli elementi del primo ordine.

L’utilizzo degli elementi del primo ordine comporta poi un altro fenomeno peggiorativo dei risultati dell’analisi: il self-locking della mesh. Tale fenomeno consiste nell’irrigidimento ulteriore della mesh, dovuto all’imposizione di ulteriori vincoli (artificiosi) imposti dalle funzioni di forma, dovendo il modello agli Elementi Finiti rispettare sia le condizioni al contorno imposte che i pattern di spostamenti imposti dalla definizione dell’elemento stesso. In conclusione, il modello FEM risulterà più rigido del corrispondente modello matematico, con conseguente sottostima dei valori del campo di spostamenti e tensioni.


In base a come gli elementi rappresentano il campo di spostamenti nelle tre dimensioni, si opera la seguente distinzione:

● Elementi solidi

In questi elementi 3D, anche il campo di spostamenti è in 3D; ogni componente di spostamento viene approssimato da polinomi dello stesso grado. Questi elementi modellano il campo di spostamento in 3D con tre variabili.


● Elementi shell

Questi elementi vengono utilizzati per un modello dimensionalmente ridotto, in cui si ipotizza che lo spessore sia piccolo in confronto alle altre due dimensioni. Si ipotizza che le tensioni normali alla sezione trasversale dell’elemento siano distribuite linearmente: di conseguenza, l’elemento shell può modellare la flessione. L’elemento shell modella il campo di spostamenti con due variabili.


● Elemento membranaL’elemento membrana è visivamente simile all’elemento shell, ma le tensioni normali alla sezione trasversali dello shell vengono di solito ipotizzate costanti. Così come implica il nome, l’elemento membrana può modellare soltanto tensioni membranali ma non tensioni da flessione. Il campo degli spostamenti in 3D viene modellato con due variabili.

● Elemento beamNell’elemento beam due dimensioni vengono trascurate. Si ipotizza che la sezione trasversale sia piccola in confronto con la lunghezza. Il campo degli spostamenti è ancora in 3D, ma si considera una variazione lineare nota nelle due dimensioni. Il campo degli spostamenti in 3D viene modellato con una variabile.


Dimensionalità dell’Analisi

Elementi 2D plane-stress

Elementi 2D plane-strain

Elementi 2D assialsimmetrici

Elementi 2D plane-stress Modelli sottili (distribuzione di tensione costante attraverso lo spessore)

Modelli spessi (deformazione costante attraverso lo spessore)

Modelli assialsimmetrici con condizioni al contorno assialsimmetriche


Un’ulteriore diversificazione per gli elementi finiti è basata sulla possibilità di cambiare l’ordine delle funzioni di forma degli spostamenti utilizzate dagli elementi stessi, senza effettuare il remeshing.

Gli elementi per cui non è possibile cambiare l’ordine delle funzioni di forma vengono chiamati h-elements (utilizzano la formulazione h del metodo FEM: migliorare i risultati dell’analisi utilizzando una mesh più fine dello stesso tipo di elementi, ovvero diminuendo la lunghezza caratteristica h degli elementi), mentre quelli per cui è possibile cambiarlo vengono chiamati p-elements (utilizzano la formulazione p del metodo FEM: migliorare i risultati dell’analisi incrementando la precisione del campo degli spostamenti in ciascun elemento, ovvero incrementando il grado del più alto polinomio completo all’interno di un elemento senza infittire la mesh).


E’ possibile quindi applicare i criteri appena visti per la definizione degli elementi h e p per determinare gli errori di discretizzazione. La stima degli errori di discretizzazione è fondamentale per stabilire l’affidabilità della soluzione dell’analisi FEM trovata.

Una soluzione viene definita affidabile quando non dipende in maniera significativa dalla discretizzazione eseguita.

Il processo di variazione sistematica delle strategie di discretizzazione e della valutazione dell’impatto di queste variazioni sui dati ricercati viene chiamato analisi di convergenza.

Si consideri a tal fine l’esempio della lamina forata visto in precedenza.


Analisi di convergenza h: step 1


Analisi di convergenza p. Mesh di p-elements


Analisi di convergenza p: p = 1


Analisi di convergenza p: p = 8


Ulteriori approfondimenti su questi aspetti verranno trattati nel prossimo Corso Base sul Metodo agli Elementi Finiti, attualmente in preparazione.

Di seguito vengono proposte alcuni esempi relativi alle diverse tecniche di meshing.


Meshing manuale (mapped meshing)


Mesh semi-automatica di p-elements (estrusione)


Mesh semi-automatica di p-elements (rivoluzione)


Mesh automatica a) grossolana e b) fine con elementi del secondo ordine

a) b)


Controllo della mesh su: a) bordi, b) due facce scelte e c) spigolo

a) b) c)


3. Tipologie di analisi FEM


Viene di seguito proposta una rassegna delle altre principali tipologie di analisi FEM, evidenziando differenze ed analogie con l’analisi strutturale statica lineare finora considerata.


Analisi Statica Lineare

Analisi Termica

Analisi Statica LineareAnalisi Statica Lineare

Analisi Non Lineare


Analisi Termica

flusso termico indottoda temperature assegnate

flusso termico indottoda carico termico superficiale

e convezione


Analisi Strutturale Tratta lo stato di equilibriosotto carichi applicati

Analisi TermicaNon descrive uno stato di

equilibrio, bensì le condizioni di regime stazionario in cui un flusso

termico continua ma non varia nel tempo

Differenze tra Analisi Strutturaleed Analisi Termica


Analisi Statica Lineare Analisi Termica in Regime Stazionario

Analisi Strutturale Dinamica Analisi TermicaIn Regime Transitorio

Analogie tra Analisi Strutturaleed Analisi Termica


Analogie tra Analisi Strutturaleed Analisi Termica

Analisi strutturale Analisi termica

Spostamenti [m] Temperature [°C]

Deformazioni Gradiente Termico [°C/m]

Tensioni [Pa] Flusso termico [W/m2]

Carichi [N], [N/m2], [N/m3] Sorgente Termica [W], [W/m2], [W/m3]

Spostamenti Imposti Temperature Imposte

Supporti elastici Coefficienti di Scambio Termico


Distribuzione di temperature per effetto di temperature assegnate nel modello


Distribuzione di temperature per effetto di un carico termico superficiale e convezione

Flusso termico


Analisi Non Lineare

Non linearità del materiale Non linearità geometriche


Fino a questo punto la matrice di rigidezza [K], nell’equazione fondamentale dell’analisi FEA vista all’inizio, è stata supposta non dipendente dagli spostamenti. Ovvero si è ipotizzato che la rigidezza non cambia durante il processo di deformazione. Questa è l’ipotesi fondamentale dell’analisi lineare.

Sulla base di queste ipotesi, la matrice di rigidezza [K] va calcolata solo una volta, rimanendo invariata per tutto il processo di deformazione, con notevole semplificazione dei calcoli.

In alcuni problemi, comunque, la deformazione cambia in maniera significativa la rigidezza della struttura, rendendo necessario l’aggiornamento della matrice [K] durante il processo deformativo e quindi il ricorso all’analisi non lineare.


Non linearità del materiale

Un materiale non lineare è quello che non presenta una relazione lineare tra tensione e deformazione; il modulo di elasticità non sarà, quindi, costante. Utilizzare un materiale non lineare implica cambiamenti nella rigidezza del modello durante il processo di carico, per cui la matrice di rigidezza [K] dovrà essere ricalcolata durante il processo di soluzione.

La definizione delle caratteristiche del materiale non lineare risulterà più complessa, dovendo tenere conto della relazione tensione-deformazione scelta per il materiale stesso.


Il più semplice ed usato modello di materiale non lineare è quello elasto-plastico. In questo modello si ipotizza una relazione lineare tra deformazione e tensione fino ad un certo livello di soglia della tensione, chiamato tensione di snervamento. Al di sopra della tensione di snervamento, la tensione rimane costante, a prescindere dal livello di deformazione.

L’informazione aggiuntiva rispetto al materiale lineare è la tensione di snervamento, espressa in termini di tensione di Von Mises.


Questo modello di materiale non lineare è relativamente semplice; altri modelli (Ramberg-Osgood, Neo Hooke, bilineare con incrudimento isotropo, bilineare con incrudimento cinematico, Mooney-Rivlin, ecc.) richiedono l’inserimento di più dati, spesso forniti in termini di diagrammi e tabelle dai fornitori. Si consideri l’esempio seguente:

Massima tensione da carico flessionale, con materiale elastico

non lineare

Incremento di carico al di sopra del carico limite per il modello con

materiale elastico lineare ma al di sotto del limite per il modello con

materiale elasto-plastico

Ulteriore incremento di carico ed estensione della zona plasticizzata per il modello con materiale elasto-

plastico. Il valore del carico è prossimo al carico limite per il

modello con materiale elasto-plastico


Non linearità geometriche

Nell’analisi con non linearità geometriche, le variazioni della rigidezza della struttura sono determinate dalle deformazioni. La rigidezza non sarà quindi costante durante il processo di deformazione, per cui la matrice di rigidezza [K] dovrà essere ricalcolata durante il processo di applicazione del carico.

Le non linearità geometriche vengono spesso chiamate grandi deformazioni. Questo termine risulta comunque improprio, poiché non c’è bisogno che le deformazioni siano grandi per influire in maniera sensibile sulla rigidezza della struttura, rendendo così necessario il ricorso all’analisi non lineare.


Infatti l’analisi lineare (piccole deformazioni), non è in grado di modellare una rigidezza che non esiste prima dell’applicazione del carico.

E’ il caso tipico di una membrana soggetta a pressione; inizialmente, l’unica entità che resiste al carico è la rigidezza flessionale dovuta alla tensione flessionale. Durante il processo deformativo, la membrana acquisisce anche la rigidezza membranale (effetto non lineare); trascurarla può determinare una percentuale di errore pari al 230% nella determinazione del campo di spostamenti.

Per lo stesso motivo, l’analisi lineare non può distinguere tra supporto fisso e mobile di una cerniera; l’analisi lineare ipotizzerà sempre che uno dei due supporti sarà mobile, come di seguito mostrato.


4. Utilizzo dell’analisi FEM nel processo di progettazione.


Di seguito verrà proposta una rassegna delle principali tecniche di preparazione di un modello FEM, partendo da un modello CAD.


Geometria CAD Geometria FEM

Contiene tutte le informazioninecessarie per la realizzazione del

componente o assieme● Deve essere meshabile

● Consente la creazione di una mesh che modellerà

correttamente i dati richiesti● Consente la creazione di

una mesh risolvibilein tempi utili con le risorsehardware a disposizione


Defeaturing


Idealizzazione


Defeaturing + idealizzazione


Cleanup


Defeaturing + Cleanup


4. Presentazione di Z88 Aurora V4


Z88 Aurora è la GUI del programma FEM Z88, il cui risolutore è sviluppato dal Prof. Frank Rieg, del Dipartimento di Ingegneria e Progettazione CAD dell’Università di Bayreuth.

Z88 Aurora verrà utilizzato nel Corso Base sul Metodo agli Elementi Finiti, attualmente in preparazione. Di seguito, un breve filmato di presentazione della versione 4.


Grazie per l'attenzione!

IL METODO FEM COME STRUMENTO DI DESIGN - CHECK · tensioni di trazione in direzione normale alla...

Documents

Transcript of IL METODO FEM COME STRUMENTO DI DESIGN - CHECK · tensioni di trazione in direzione normale alla...