STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA

Corso di Laurea Triennale in InfermieristicaAnno III

SECONDA LEZIONE

INDICI DI POSIZIONE(variabili quantitative)

Gli indici di posizione denotano un valore intorno a cui colloca la distribuzione di frequenza

Gli indici di posizione più comuni sono la MEDIANA e la MEDIA

La mediana e la media sono espresse nella stessa unità di misura della variabile (se la variabile è espressa in Kg anche la mediana e la media sono espresse in Kg)

MEDIANA è il valore che occupa la posizione centrale nella sequenza delle osservazioni ordinate

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2 si ordinano le osservazioni

2.6, 2.8, 3.4, 3.5, 4.2 il valore centrale è il terzo ↑la mediana è 3.4 Kg

REGOLA GENERALE

Se n è dispari la mediana è l’osservazione di posto(n+1)/2 nella sequenza delle osservazioni ordinate

Es.

se n=9 la mediana è l’elemento di posto 10/2=5

se n=27 la mediana è l’elemento di posto 28/2=14

se n=389 la mediana è l’elemento di posto 390/2=195

Es peso di n=6 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4.2, 3.2 si ordinano le osservazioni

2.6, 2.8, 3.2, 3.4, 3.5, 4.2 il valori centrali sono il terzo e il quarto ↑ ↑la mediana è la semisomma (punto intermedio) tra i due

(3.2+3.4)/2=6.6/2=3.3 Kg

REGOLA GENERALE

Se n è pari la mediana è la semisomma tra l’osservazione di posto n/2 e quella di posto n/2+1 nella sequenza delle osservazioni ordinate

Es.

se n=10 la mediana è la semisomma tra gli elemento di posto 10/2=5 e 6

se n=28 la mediana è la semisomma tra gli elementi di posto 28/2=14 e 15

se n=390 la mediana è la semisomma tra gli elementi di posto 390/2=195 e 196

MEDIA

La media e la somma delle osservazioni diviso il numero delle stesse

n

xxxx n

21

n

iixn

x1

1

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2

(2.6+3.4+2.8+3.5+4.2)/5=16.5/5=3.3 la media è 3.3 Kg

PROPRIETA’ DELLA MEDIA

La media è sempre compresa tra l’osservazione più piccola e quella più grande

maxmin xxx

La somma degli scarti dalla media è nulla

01

n

ii xx )(

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2 ↑la media è 3.3 Kg che è un valore compreso tra 2.6 e 4.2 kg

scarti dalla media

-0.7, 0.1, -0.5, 0.2, 0.9

somma degli scarti -0.7+0.1-0.5+0.2+0.9 = 0

La media è più sensibile della mediana alle osservazioni estreme

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2 media 3.3 kg mediana 3.4 kg ↑1.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2 media 3.1 kg mediana 3.4 kg

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 5.2 media 3.5 kg mediana 3.4 kg

La media segue l’unità di misura con cui sono espresse le osservazioni

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2 media 3.3 kg

si passa da Kg a g

2600, 3400, 2800,3500, 4200 media 3300 g

INDICI DI VARIABILITA’

↑media

↑media

stessa media ma diversadispersione attorno alla media

gli scarti dalla media tendono ad essere maggiori nel secondo caso

La media degli scarti dalla media potrebbe essere preso come indice di variabilità

La somma degli scarti dalla media è sempre nulla, questo indice risulta sempre uguale a 0

Gli scarti positivi si compensano con quelli negativi

Occorre fare perdere il segno agli scarti

VARIANZA

Media dei quadrati degli scarti dalla media

n

iix xx

ns

1

22 1)(

varianza corretta (più utilizzata)

n

iix xx

ns

1

22

11

)(

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2 la media è 3.3 Kg

scarti dalla media

-0.7, 0.1, -0.5, 0.2, 0.9

quadrati degli scarti

0.49, 0.01, 0.25, 0.04, 0.81

(0.49+0.01+0.25+0.04+0.81)/5 = 1.6/5 = 0.32 kg2 varianza

(0.49+0.01+0.25+0.04+0.81)/4 = 1.6/4 = 0.4 kg2 varianza corretta

PROBLEMA

La varianza si interpreta con difficoltà perché è espressa nel quadrato dell’unità di misura delle osservazioni

da m a m2 , da Kg a Kg2, da cm3 a cm6 , ecc

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2 la media è 3.3 Kg

che significa una varianza di 0.4 kg2 ??????

SCARTO QUADRATICO MEDIO (DEVIAZIONE STANDARD)

E’ la radice quadrata della varianza sx

E’ espresso nella stessa unità di misura delle osservazioni

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2

la media è 3.3 Kg , la varianza è 0.4 Kg2

lo scarto quadratico medio è 0.63 Kg

mediamente le osservazioni si discostano dalla media di 0.63 Kg

OSSERVAZIONI

Come la media lo scarto quadratico medio (sqm) segue l’unità di misura delle osservazioni

Es peso di n=5 neonati

la media è 3.3 Kg e lo sqm è 0.63 Kg

se si passa da Kg a g

la media è 3300 g e lo sqm è 630 g

Se tutte le osservazioni sono uguali (assenza di variabilità) la varianza (e dunque lo sqm) sono nulli

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE (CV)

E’ il rapporto tra lo sqm e la media delle osservazioni

xsCV x /

non dipende dall’unità di misura in cui sono espresse le osservazioni

Es peso di n=5 neonati

la media è 3.3 Kg e lo sqm è 0.63 Kg

il cv è 0.63/3.3 = 0.19

se si passa da Kg a g

la media è 3300 g e lo sqm è 630 g

il cv è 630/3300 = 0.19 (invariato)

in media le osservazioni si scostano dalla media del 19% dellamedia stessa

Non dipendendo dall’unità di misura il CV è idoneo a confrontare la variabilità tra variabili di diversa natura

Es peso e altezze di n=5 neonati

Pesi (Kg) 2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2

media 3.3 Kg, sqm 0.63 kg, CV=0.19

Altezze (cm) 41, 48, 43, 46, 52

media 46 cm, sqm 4.3 cm, CV=0.093

Le altezze sono meno variabili dei pesi

INDICI DI FORMA

↑media

↑media

↑media

gli scarti positivi tendono a essere più grandicoda rivolta verso destraasimmetria positiva

gli scarti negativi tendono a essere più grandicoda rivolta verso sinistraasimmetria negativa

simmetria degli scarti rispetto alla media

Gli scarti devono mantenere il segno

INDICE DI ASIMMETRIA

Media delle potenze terze degli scarti dalla media

n

iix xx

nm

1

33 1)(

Altamente influenzato dall’unità di misura33

3 xx sma /non dipende dall’unità di misuravalori superiori a 2 o inferiori a -2 indicano forte asimmetria

Es peso di n=5 neonati

2.6, 3.4, 2.8, 3.5, 4,2

la media è 3.3 Kg lo sqm è 0.63 Kg

scarti dalla media

-0.7, 0.1, -0.5, 0.2, 0.9

potenze terze degli scarti

-0.343, 0.001, -0.125, 0.008, 0.729

momento terzo 0.27/5 = 0.054 Kg3

indice di asimmetria a3 = 0.054/(0.63)3 = 2.16

DISTRIBUZIONI NORMALI (GAUSSIANE)

Distribuzioni campanulari simmetriche attorno alla media, tali che media ± 2 sqm contiene il 95% delle osservazioni media ± 3 sqm contiene il 99% delle osservazioni

sono rarissime le osservazioni che distano dalla media più di 3 volte lo sqm

Es Altezza italiani maschi

media 175 cm sqm 10 cm

175 ± 2x10 = 155 – 195 cm circa il 95 % degli italiani maschi

175 ± 3x10 = 145 – 205 cm circa il 99 % degli italiani maschi

un individuo che fosse più basso della media di una quantità pari a 5volte lo sqm avrebbe altezza

175 – 5x10 = 125 cm !!!!!!!

un individuo che fosse più alto della media di una quantità pari a 5volte lo sqm avrebbe altezza

175 + 5x10 = 225 cm !!!!!!!