Santi Caltabiano

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SOSTITUZIONI NOTEVOLI

Le seguenti sostituzioni risultano di fondamentale importanza. Infatti nella

maggior parte dei casi, applicandole una o più volte, in un integrale assegnato, lo si

riconduce ad un integrale di una funzione razionale.

1 SOSTITUZIONE NOTEVOLE 1) Integrali del tipo:

R(f(x)) )(xf dx

dove R è una funzione dipendente dall’argomento f. Ad esempio:

xxx 5)ln(3)(ln3 2 dx

La sostituzione da fare è:

t= )(xf

2 SOSTITUZIONI PER LA RAZIONALIZZAZIONE D’INTEGRALI IRRAZIONALI

La sostituzione da ricercare in un integrale irrazionale è quella che razionalizza il

radicando.

2) Integrali del tipo:

R

x,

dcxbax

1m

,

dcxbax

2m

,…,

dcxbax

nm

dx

con m1,…, mn numeri razionali e a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzione

razionale dipendente dagli n argomenti. Ad esempio:

5352

xx

xx dx oppure )sen( xx dx

La sostituzione da fare è:

tN=dcxbax

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dove N è il m.c.m. dei denominatori di m1,…, mn. Si esplicita la x in funzione di t, si

differenzia e si sostituisce.

3) Integrali del tipo:

R

x, 2xa

dx

con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Ad

esempio:

22

22

3125

3

xxx

xx

dx

La sostituzione da fare è:

x= a sin(t) oppure x= a cos(t)

4) Integrali del tipo:

R

x, ax 2

dx

con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Esempio:

3125

322

22

xxx

xx dx

La sostituzione da fare è:

x= a cosh(t)

5) Integrali del tipo:

R

x, ax 2

dx

con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Ad

esempio:

3125

322

22

xxx

xx dx

La sostituzione da fare è:

x= a sinh(t)

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3

6) Integrali del tipo:

R

x, cbxax 2

dx

con a,b,c reali con a0 e tali che se :=b2–4ac0 allora a>0 e dove R è una funzione

razionale dipendente dai due argomenti. Ad esempio:

172125

17222

22

xxxx

xxx dx

Evidentemente tale tipo d’integrale ingloba gli integrali del tipo: 3), 4), 5). Se :=0

allora ax2+bx+c si può scrivere come un quadrato perfetto cioè del tipo a(x–)2, ed in

tal caso non è necessaria alcuna sostituzione. Mettiamoci quindi nel caso 0.

Osservando che:

ax2+bx+c= a

2

2

42 aabx = sgn(a)|a|

2

2

42 aabx

pertanto facendo la sostituzione:

t=a

bx2

si ricade in un’integrale del tipo: 3), 4), 5).

Vediamo qualche metodo alternativo.

Se a>0 (e ovviamente 0) una sostituzione efficace è:

cbxax 2 = a (x+t)

quadrando:

ax2+bx+c=a(x+t)2

si esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce cbxax 2 con

a (x+t) ed x con l’espressione di x in funzione di t.

Se >0, allora dette e le radici (reali e distinte) del polinomio ax2+bx+c,

osserviamo che:

cbxax 2 = ))(( xxa =

xxax )(

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e si ricade quindi nell’integrale del tipo 2).

7) Integrali del tipo:

R

x, bax , dcx

dx

con a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzione razionale dipendente dai tre

argomenti. Ad esempio:

xx

72223 dx

La sostituzione da fare è:

t= bax

quadrando:

t2=ax+b

si esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce bax con t ed x con

l’espressione di x in funzione di t. E si ricade così in un integrale del tipo 6).

8) Integrali del tipo: (integrali di un differenziale binomio)

xm(axn+b)pdx

dove m,n,p razionali. Gli integrale del tipo 3), 4), 5) risultano un caso particolare di

quest’ultima tipologia di integrali. Si presentano tre casi:

Se p è intero, la sostituzione da fare è:

tN=x

dove N è il m.c.m. dei denominatori di m ed n.

Se n

m 1 è intero, la sostituzione da fare è:

tN= axn+b

dove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e si

sostituisce.

Se n

m 1 +p è intero, la sostituzione da fare è:

tN=a+bx–n

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dove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e si

sostituisce.

3 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

1) Integrali del tipo:

R(ex)dx

dove R è una funzione dipendente dall’argomento ex. Ad esempio:

x

x

ee

212 dx

La sostituzione da fare è:

t=ex

2) Integrali del tipo:

R(ln(x))dx

dove R è una funzione dipendente dall’argomento ln(x). Ad esempio:

)ln(21)(ln 2

xx dx

La sostituzione da fare è:

t=ln(x)

4 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

1) Integrali del tipo:

R(sin(x),cos(x),tg(x))dx

dove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio:

)(tg21)cos()(sin 2

xxx dx

La sostituzione da fare è:

t=

2tg x

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Ricordando che:

sin(x)=21

2tt

; cos(x)=

2

2

11

tt

; tg(x)=tt

21 2

2) Integrali del tipo:

R(sin2(x),cos2(x),tg(x))dx

dove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio:

)(tg21)(cos)(sin 22

xxx dx

La sostituzione da fare è:

t=tg(x)

Ricordando che:

sin2(x)=2

2

1 tt

e cos2(x)=21

1t

Evidentemente quest’ultimo tipo d’integrale è inglobato dall’integrale del tipo 1).