1

Sistemi bidimensionali

Sistemi lineariSistemi non lineari

Cicli limiteTori

2

Sistemi lineari

3

I sistemi monodimensionali hanno traiettorie che si muovono monotonicamente o rimangono costanti.

I sistemi di ordine più elevato presentano un comportamento dinamico più complesso.I più semplici sono i sistemi linearilineari bidimensionali:

dycxy

byaxx

+=

+=.

.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

yx

dcba

xA Axx.

=

Il sistema è lineare:

22

11

Axx

Axx.

.

=

=

2211333 xxxAxx.

cc +==⇒

Il punto x*= 0 è un punto fisso per qualunque scelta di A

4

Esempi

Circuito LC/RLC

Sistema massa-molla

Reattore CSTR non isotermo – reazione a b

5

Esempio 1

+∞<<∞⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

== aa

- 10

0AAxx

.

yy

axx

−=

=.

.

t

at

eyyexx

−=

=

0

0Equazioni disaccoppiate caso semplice

y decresce esponenzialmente per qualunque valore di a

x decresce esponenzialmente per a < 0

Gli assi x e y giocano un ruolo particolare: una traiettoria che parte su uno di essi vi rimane per sempre e mostra semplice decadimento/crescita esponenziale.

6

1. a < -1x decade più rapidamente di y le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (y)

x*=0 è un nodo stabile t

at

eyyexx

−=

=

0

0

2. a = -1

x*=0 è un nodo simmetrico o stella

3. -1< a < 0y decade più rapidamente di x le traiettorie si avvicinano all’origine tangenti alla direzione più lenta (x)

x*=0 è un nodo stabile

7

4. a = 0x(t)=x0 linea di punti fissi lungo l’asse xLe traiettorie si avvicinano all’origine lungo linee verticali

5. a > 0x*= 0 diventa instabile e le traiettorie si muovono verso l’infinito, a meno che la traiettoria non parta sull’asse y

x*=0 è un punto sella

L’asse y è la varietà stabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che x(t) x* per t ∞L’asse x è la varietà instabile del punto sella, ovvero il set di condizioni iniziali tali che x(t) x* per t -∞.

8

nodo stabilelinea di punti fissi stabili

nodo simmetrico o stellainstabile sella

9

Definizioni legate alla stabilitDefinizioni legate alla stabilitààx* è un punto fisso attrattore se tutte le traiettorie che partono vicino a x* finiscono in x* per

Se x* attrae tutte le traiettorie, è detto globalmente attrattore

∞→t t ∞

x* è un punto fisso stabile secondo Lyapunov se tutte le traiettorie che partono vicino a x* rimangono vicine a x* per ∀t.

Un punto fisso x* stabile ma non attrattore è dettoneutralmente stabile

Un punto fisso x* stabile attrattore è detto stabile o asintoticamente stabile.

Un punto fisso x* non stabile e non attrattore è detto instabile

10

StabilitStabilitàà di di sistemi linearisistemi lineari

Limitato per ogni x(0) sistema STABILE

Illimitato per qualche x(0) sistema INSTABILE

x(t)

Sistema stabile

x(t) 0 per qualche x(0) SEMPLICEMENTE STABILE

x(t) 0 per ogni x(0) ASINTOTICAMENTE STABILE

11

Autovalori ed autovettoriCerchiamo particolari traiettorie rettilinee della forma

vx tet λ=)( Moto esponenziale lungo la linea individuata dal vettore v

,Axx.

=Sostituendo in

AvvAvv =→= λλ λλ tt ee

La traiettoria esiste se v è un autovettore di A con autovalore λ

vx tet λ=)( è detta autosoluzioneLa soluzione

12

xx

AxAxx è un autovettore con λ<0x non è un autovettore

In generale, l’azione della matrice A su x produce una rotazione per cui x e Ax non sono allineati

Se x è un autovettore l’azione di A si traduce in un allungamento/accorciamento del vettore ed eventualmente in un cambio di verso.

13

RichiamoGli autovalori di una matrice A sono dati dall’equazione caratteristica

0)det( =− IλA

Per una matrice 2*2 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

dcba

A

l’equazione caratteristica diventa

24

)det(

0det

2

2,1

∆−±=

−==∆+==

=∆+−→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

ττλ

τ

τλλλ

λ

Allora

;)traccia( con

0 2

bcaddaAdc

ba

A

Il sistema è asintoticamente stabile se Re(λi)<0 per ogni i

14

Sottospazi invarianti

ΧΧ, AAn

∈∀∈ℜ⊂Χ

xxse sotto invariante è osottospazi Un

.instannodiitrasformatiovvero, Χx

Teorema Il sottospazio descritto da un autovettore è un sottospazio invariante.Dim. Infatti Ax=λx

Allora la traiettoria che parte da uno stato x(0) che èun autovettore rimane nel sottospazio descritto dall’autovettore

x2

x1

x0x1x2

x1

x0x1

λ1<0

x0 è un autovettore associato a λ1

λ1>0

15

Nodo: Autovalori reali e concordi in segno

Sella: Autovalori reali e discordi in segno

Centro: Autovalori immaginari puri:

Fuoco: Autovalori complessi coniugati

16

Ritratto delle fasiAUTOVALORI DISTINTI

21

021021

vvx

xvvxvv

tt ecect

cc

21

21

2121

)(

,

λλ

λλ

+=

∀+=→⇒≠forma la avrà generale soluzione La

tiindipendenelinearment e

E’ una soluzione generale perché

•è una combinazione lineare di (auto) soluzioni e quindi è una soluzione.

•soddisfa le condizioni iniziali

quindi per il teorema di esistenza ed unicità è la sola soluzione.

17

y

x

Per disegnare le traiettorie nello spazio delle fasi è però sufficiente conoscere gli autovalori

leesponenzia odecadiment con oneautosoluzi leesponenzia crescitacononeautosoluzi

λ λ

⇒−=⇒=

32

2

1

L’origine è un punto sellaLa linea individuata da v1 è la varietà instabile, quella individuata dav2 è la varietà stabile.

v2(più ripida)

v1;32 21 −== ; λ λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

41

11

2

12

2

1

vv

vv

v

v1

yCosa accade se λ2 < λ1 <0

λ2Direzione lenta

x

18

λ1Direzione veloce

•Entrambe le autosoluzioni decadono esponenzialmente•Il punto fisso è un nodo stabile•Le traiettorie convergono verso il punto fisso tipicamente lungo la direzione dell’autovettore col più piccolo |λ| (λ2)•Invertendo le frecce otteniamo il ritratto delle fasi per un nodo instabile

19

Cosa accade se

Il punto fisso è un centro o una spirale (fuoco)

C∈21,λλ

(oscillatore armonicosmorzato)(oscillatore armonico)

221

2

2

2,1

421

2;04

24

τ∆ ω;ταjωαλ , −==±=⇒<∆−

∆−±=

τ

ττλ

)]()()cos()[(2

)()(Re2)()(

)(

1111

11

)(11

)(11

*1

*11

*11

tsencctccejejcce

ejccejccecect

irirt

irtj

irt

tjir

tjir

tt

ωωα

ωα

ωαωα

λλ

1r1i1i1r

11

*11

1

vvvvvv

vvvvx

+−−

=++=

=−++=

+=−+

Punto fisso circondato da una famiglia di orbite chiuse

20

)()cos(

tsenete

t

t

ωω

α

α

Oscillazioni modulate da un esponenziale

instabile ocospirale/fustabileocospirale/fu

fisso Punto 0 se crescenti0sesmorzate

niOscillazio⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

><

αα

0≠α

0=αOscillazioni di ampiezza fissa Punto fisso: centroSoluzioni periodiche di periodo 2π/ω

21

AUTOVALORI COINCIDENTI

λλλ == 21

Esistono 2 autovettori indipendenti:Consideriamo un vettore arbitrario xg

g2121g21 xvvvvAAxvvx λλλ =+=+=+= 212121 )(;)( cccccctg a

Ovvero xg (ogni vettore) è un autovettore con autovalore λ. Poiché la moltiplicazione per A moltiplica qualunque vettore per λ, Α deve essere del tipo

⎟⎠

⎞⎜⎛

=λ

⎝ λ00≠

0A

λ

originel' attraverso rette lineeat

oet λxx =)(

nodo stella

00 ===⇒= xxx.

λλ A

Ogni punto è un punto fisso

22

Esiste un solo autovettore

Il punto fisso è un nodo degenerato

autodirezioneone.autodirezi

unicaall' parallele diventanoetraiettorile tutte t Per ∞→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

λλ0

bA

nodo degenerato: nodo proveniente dalla deformazione di un nodo ordinario con 2 autovettori (autodirezioni) indipendenti in cui tutte la traiettorie sono parallele alla direzione lenta come

lenta

veloce.∞→t

Classificazione dei punti fissi

∆

τ

∆<0 autovalori reali con segni opposti punto sella

242

2,1∆−±

=ττλ

Punt

i sel

la04 =∆−2τ

∆=0 un autovalore nullo intera linea di punti fissi o intero piano (se A=0)

Nodi instabili

Spirali instabili

Spirali stabili

Nodi stabiliPunti fissi non isolati Stelle, nodi

degenerati

centri

23stabile teneutralmen (centro) fisso punto0)( 0

instabile fisso punto0)( 0 stabile fisso punto0)( 0

centri) o (spirali coniugati complessi (nodi) segno stesso lo con reali

autovalori

1,2

1,2

1,2

2

2

⇒=ℜ→=

⇒>ℜ→>

⇒<ℜ→<⎩⎨⎧

<∆−>∆−

>∆

λτλτλτ

ττ

0404

0

24

Sistemi non lineariSistemi non lineari

25

Il piano delle fasi Il piano delle fasi La forma generale è

),(

),(

2122

.

2111

.

xxfx

xxfx

=

=)(xfx

.

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

2

1

2

1

)()(

)(xx

ff

xxx

xf

x è un punto nel piano delle fasi e il vettore velocità in quel punto. Durante l’evoluzione del sistema la soluzione x rappresenta la traiettoria nel piano delle fasi.

.

x

.

x)(tx

Ogni punto può essere un punto iniziale Le traiettorie riempiono l’intero piano

delle fasi

Tipicamente non è possibile trovare a soluzione analitica ci occuperemo di comportamento qualitativo delle soluzioni.

26

Caratteristiche principali

I punti fissi come A, B, C; f(x*)=0

Le orbite chiuse come D

Le traiettorie vicino ai punti fissi ed alle orbite chiuse

La stabilità (D) e l’instabilità (A, B, C) dei punti fissi e delle orbite chiuse

Trovare il ritratto delle fasi direttamente dalle proprietàdi f(x)

27

Molteplicità degli equilibri

0 21

Infinità numerabile Infinità non numerabile

NON in un sistema lineare

28

Esistenza, unicitEsistenza, unicitàà e conseguenze topologiche e conseguenze topologiche

unica. è soluzione tale e ) ,(- temporale intervallo un in soluzione una esiste D per allora ,D connesso

aperto insieme un in continue sono n, 1,....,ji, ,xf parziali

derivate sue le e continua è f se sistema il Dato

j

i

ττ)(

0

0

0

t

, ,

n xx

x)x(f(x)x .

∈ℜ⊂

=∂∂

==

Teorema

f continuamente differenziabile una ed una sola soluzione

CorollarioTraiettorie diverse non si intersecano mai

2 soluzioni che partono dallo stesso punto viola l’unicità

29

Conseguenze (negli spazi bidimensionali )

Ogni traiettoria che parte dentro un’orbita chiusa vi è intrappolata per sempre.

Se all’interno vi sono punti fissi può convergere verso di loro. Se non vi sono punti fissi deve convergere verso l’orbita (vedremo Teorema di Bendixon-Poincaré).

30

Stabilità degli equilibriUn equilibrio x* è stabile (LOCALMENTE) se per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che

t, ||||δ||)- (|| 00 ** ≥∀∀<⇒< x(0)x -x(t)xx ε

x*x(0)

ε δ

Una piccola perturbazione non porta il sistema lontano dall’equilibrio

Un equilibrio x* è asintoticamente stabile se è stabile e se x(0)xx(t) ∀∞→→ ,* t

Una piccola perturbazione viene asintoticamente riassorbita

31

Un equilibrio x* è instabile se non è stabile

** :)( x)x(x(0)x →= tBDato un equilibrio x* asintoticamente stabile, l’insieme

è detto bacino di attrazione di x*

Un equilibrio x* asintoticamente stabile è detto globalmente stabile se

nB ℜ=)( *x

con l’eccezione al più di un insieme di misura nulla

32

N.B.N.B.

Nei sistemi non lineari, la stabilitNei sistemi non lineari, la stabilitàà èè una proprietuna proprietàà

delldell’’equilibrio, non del sistema: lo stesso sistema puòequilibrio, non del sistema: lo stesso sistema può

possedere equilibri stabili e instabili.possedere equilibri stabili e instabili.

33

Punti fissi e Punti fissi e linearizzazionelinearizzazioneObiettivo: approssimare l’evoluzione del sistema vicino ad un punto fisso col corrispondente sistema lineare.

),(),(

yxgyyxfx

==&

& ;

00

fisso; punto un è ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛),(),(

),(**

****

yxgyxf

yx

Dato il disturbo che allontana dal punto fisso vediamo se cresce o si smorza

),,(

),,(),(

),(

22

)*,*()*,*(

22

)*,*()*,*(

**

**

uvvuOyfv

xfu

uvvuOyfv

xfuyxf

vyuxfxu

yxyx

yxyx

+∂∂

+∂∂

=

=+∂∂

+∂∂

+=

=++== &&

y-y* v y x-x* , u x ==∂==∂

34

)( fisso punto nel Jacobiana matrice

quadratici termini

),,(

),,(

)*,*(

)*,*(

22

)*,*()*,*(

22

)*,*()*,*(

**

yx

yx

yxyx

yxyx

,yx

yg

xg

yf

xf

J

vu

yg

xg

yf

xf

vu

uvvuOygv

xguv

uvvuOyfv

xfuu

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+∂∂

+∂∂

=

+∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

&

&

&

&

(analogo di f’(x*))

35

)(

tolinearizza sistema

quadratici terminii oTrascurand

)*,*(

xxx *.

∂=∂

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

J

vu

yg

xg

yf

xf

vu

yx

&

&

Il sistema Il sistema linearizzatolinearizzato rispecchia qualitativamente il rispecchia qualitativamente il comportamento del sistema non lineare vicino a (comportamento del sistema non lineare vicino a (xx*,*,yy**)?)?

36

Se il punto fisso per il sistema linearizzato è

una sella, un nodo o una spirale,

allora il punto fisso è realmente una sella, un nodo o una spirale per il sistema non lineare

Se il punto fisso per il sistema linearizzato è

un centro, un nodo degenere, una stella o punto fisso non isolato

i piccoli termini trascurati possono alterarne il comportamentoEx. il sistema linearizzato predice un centro mentre si tratta di una spirale

37

? ?

Re

Im Im Im Im Im

Reautovaloridi J Re Re Re

xxx * ∂=∂ )(.

J

)(.

xx f=

38

? ?

Re

Im Im Im Im Im

ReRe Reautovaloridi J Re

xxx * ∂=∂ )(.

J

)(.

xx f=

39

Esempio 1

)()()(

fissi Punti 010100

0020

10

00

2

3

3

,- , ,

y yy

xx

xxx

yyxxx

.

.

.

.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−→=

⎩⎨⎧

±==

=+−→=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−=

; ;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=±

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

2002

)0,1(

2001

)0,0(

20031 2

..

..

J

Jx

yy

xy

yx

xx

J

nodo stabile

punti sella

I punti fissi del sistema non lineare sono stati predetti correttamente (poiché si tratta di nodo stabile e sella).

40

Anche stelle e nodi degeneri possono essere alterati dalla non linearità, ma la loro stabilità non cambia.

Se siamo interessati alla stabilità e non alla geometria della traiettoria, possiamo classificare i punti fissi in

Casi robustiRepulsori (sorgenti) Re(λ1,2)>0

Attrattori (pozzi) Re(λ1,2)<0

Selle λ1<0 λ2>0

Casi marginaliCentri Re(λ1,2)=0

Punti fissi di ordine λ1=0superiore e non isolati

41

Punti fissi iperbolici

La stabilità non è influenzata dai termini non lineari0)( 2,1 ≠ℜ λ

Teorema di Hartman-GrobmanIl ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è‘topologicamente equivalente’ al ritratto delle fasi della linerizzazione.

In particolare la stabilità del punto fisso è individuata dalla linearizzazione.

Topologicamente equivalente esiste un omeomorfismo* che mappa un ritratto nell’altro, tale che traiettorie sono mappate in traiettorie ed il verso del tempo è preservato.

*deformazione continua con inversa continua

42

Stabilità strutturale

Il ritratto delle fasi vicino ad un punto fisso iperbolico è‘strutturalmente stabile’.

Strutturalmente stabile la sua topologia non è cambiata da una perturbazione arbitrariamente piccola del campo vettoriale.

Il ritratto delle fasi di un punto sella è strutturalmente stabile, ma quello di un centro no: una piccola perturbazione trasforma un centro in una spirale.

43

Il modello di competizione Lotka –Volterra

Conigli e pecore competono per l’erba che è disponibile in quantità limitata.

Si trascurano predatori, effetti stagionali, ed altre fonti di cibo.

Ogni specie, in assenza dell’altra, cresce secondo la sua capacità di carico (crescita logistica).

I conigli hanno un tasso di crescita più alto.

Conigli e pecore entrano in conflitto quando si incontrano.

I conflitti riducono il tasso di crescita per ogni specie, con effetti più drammatici per i conigli.

44

)2(

)23(.

.

yxyy

yxxx

−−=

−−=Il modello

x(t) popolazione dei conigliy(t) popolazione delle pecore

0, ≥yx

Classificazione dei punti fissi

)1,1(),0,3(),2,0(),0,0(

110130

020

0

0)2(0

0)23(0.

.

:fissi Punti

;xy -yxx

yyy

x

yxyy

yxxx

==→=⎩⎨⎧

==

=⎩⎨⎧

==

=

=−−=

=−−=

45

; (0,0)

;

; λλJP

yxyxyx

yy

xy

yx

xx

J

;232003

222223

211

..

..

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−

−−−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

> nodo instabile

)(asse 02 y v == 11λ

y Nel nodo, la traiettoria è tangente all’autodirezione piùlenta

x

46

;2122

01212 −=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−= ; λλJP ; (0,2) > nodo stabiley

- )2,1(021 211 −→=−= vv λx

;131063

213 −=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−

= ; λλJP ; (3,0) > nodo stabiley

- )1,3(0621 211 −→=−−= vv λ

x

;21211121

214 −−=+−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−−

= ; λλJP ; (1,1) > nodo sellay

x

47

y pecore

varietàstabile

xconigli

Una specie generalmente porta l’altra all’estinzione

Traiettorie che partono sotto la varietà stabile portano all’estinzione delle pecore, mentre quelle che partono sopra portano all’estinzione dei conigli (Principio di competizione esclusiva).

48

pecore

Bacino di attrazione per (3,0)

conigli(3,0)

limite del bacino

Dato un punto fisso x*, il suo bacino di attrazione èl’insieme delle condizioni iniziali x0, tali che x(t) x*, per t inf.

(0,2)

La varietà stabile separa i bacini dei 2 nodi la varietà stabile è detta limite del bacinole traiettorie che comprendono la varietà stabile sono dette

separatrici

I bacini ed i loro limiti dividono lo spazio di stato in regionicon un diverso comportamento a lungo termine.

49

Cicli limiteCicli limiteUn ciclo limite è una traiettoria chiusa isolata.

Isolata le traiettorie vicine non sono chiuse; esse spiralanoverso il ciclo limite o lontano da esso.

Ciclo limite stabile o attrattore tutte le traiettorie vicine tendono verso il ciclo limite.Ciò significa che se il sistema è leggermente disturbato dall’oscillazione standard, torna poi nel ciclo limite.Altrimenti ciclo limite instabile o semi-stabile.

I cicli limite stabili modellano sistemi con oscillazioni autosostenute, (oscillanti anche in assenza di sollecitazione periodica esterna).Ex., battito cardiaco, ritmi quotidiani di temaperatura corporea o livelli ormonali, pericolose vibrazioni autosostenute nei ponti o nelle ali degli aerei,etc.

50

Ciclo limite stabile Ciclo limite instabile Ciclo limite semi stabile

51

Un ciclo limite è un fenomeno non lineare.

Un sistema lineare può avere orbite chiuse ma non isolate.

cx(t)x(t)

Se x è una soluzione periodica, lo è anche cx(t).

x è circondata da una famiglia di orbite chiuse. .

Quindi l’ampiezza dell’oscillazione lineare dipende interamente dalle condizioni iniziali; ogni leggero disturbo persisterà per sempre.

Invece in un ciclo limite le oscillazioni sono determinate dalla struttura del sistema stesso.

52

Esempio: il più semplice ciclo limite

. a limiteciclo il verso menteasintotica spiralano etraiettori le costante, angolare velocità

con rotazione una è direzione nella moto il Poiché . a nicamentemonoto tendono (eccetto etraiettori le tutte fasi delle piano Nel

cartesiane coordinate Instabile fisso punto

instabile fisso punto linea. sulla vettoriale campo un come Trattiamo

.

1

1)0

cos

10

)1(

01

)1(

2.

2.

=

=

=⎩⎨⎧

==

=

=

−=

≥

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

*

*

*

*

*

r

rr

(t)r(t)seny(t)(t)r(t)x(t)

rr

rrr

r

rrr

ϑ

ϑϑ

ϑ

.r

r1

Crescita logistica

y

x1

53

Oscillatore di Van der Pol

Un semplice oscillatore armonico ma con un termine di smorzamento non lineareIl termine non lineare agisce come uno smorzamento per |x|>1 Decadimento for grandi x, y;uno smorzamento negativo per |x|<1 Crescita for grandi x, y;

-xdtdx) - x b(

dtxd2

2

= 21Circuiti delle prime radio

Un resistore passivo dissipa energia per qualunque livello di corrente; un semiconduttore opera come se stesse pompando energia nel circuito a basse correnti, e assorbendo energia per altre correnti. Lo scambio tra iniezione ed assorbimento di energia si traduce in un’oscillazione periodica di tensioni e correnti.

54

x(t)

Il ciclo limite non è un cerchio

55

Teorema di Bendixon (condizione di non esistenza)

.(

)(

2

2

2

1

1

2

Ω⇒ℜ⊂Ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

ℜ=

in cicli sono ci nonlinee) delle su annulla si più al o limitato e chiuso

insieme un in segno cambia non divergenza la se

in , vettoriale campo un Dato

xf

xf

xfx.

Teorema di Poincaré (condizione di esistenza)

ciclo. un almeno contiene A A in (escono) entrano etraiettori

le e equilibri sono ci non Aanulare regione una in se in , vettoriale campo un Dato

⇒

ℜ⊂

ℜ=2

2)(xfx.

56

Il Teorema di Bendixon-Poincaré è uno dei risultati centrali della dinamica non lineare. Afferma che le possibilità dinamiche nel piano delle fasi sono molto limitate. Se una traiettoria èconfinata in una regione chiusa, limitata che non contiene puntifissi, allora la traiettoria deve tendere ad un’orbita chiusa.Ciò è conseguenza delle bidimensionalità del piano.

In sistemi di ordine maggiore di 2 il teorema non è più valido e le traiettorie possono vivere per sempre in una regione limitatasenza tendere ad un punto fisso o ad un’orbita chiusa. In alcuni casi le traiettorie sono attratte da un complesso oggetto geometrico detto strano attrattore, un set frattale nel quale ilmoto è aperiodico e sensibile alle condizioni iniziali. Tale sensibilità rende il moto impredicibile a lungo termine; è il CAOS.Il Teorema di Bendixon-Poincaré esclude che il caos possa verificarsi in sistemi di ordine 2.

57

Metodi per escludere orbite chiuseMetodi per escludere orbite chiuse

Teoria dell’indice

Sistemi gradiente

Funzioni di Lyapunov

Criterio di Dulac

Metodi per stabilire lMetodi per stabilire l’’esistenza di orbite chiuseesistenza di orbite chiuse

Teorema di Bendixson-Poincaré

58

Sistemi conservativiUna particella di massa m si muove lungo l’asse x soggetta ad una forza non lineare F(x) (nessun attrito o dipendenza dal tempo).

)(xFxm =&& equazione del motoSotto queste assunzioni l’energia si conserva:

Definiamo l’energia potenziale V(x) tale che

0)(210 per ndoMoltiplica

0 )()(

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +→=+

=+⇒−=

xVxmdtdx

dxdV(x)xxmx

dxdV(x)x m

dxxdVxF

&&&&&&

&&

)(21 2 xVxmE += &L’energia totale E è costante nel tempo.

59

L’energia è spesso chiamata una quantità conservata, una costante del moto o un’integrale primo.

I sistemi per i quali esiste una quantità conservata sono detti sistemi conservativi.

In generale, dato un sistema, una quantità conservata E è una funzione continua a valori reali

costante lungo le traiettorie (dE/dt =0).E(x), non costante in ogni insieme aperto

f(x)x =&

60

Un sistema conservativo non può avere punti fissi attrattori

se x* fosse un punto fisso attrattore, tutti i punti nel suo bacino di attrazione dovrebbero essere alla stessa energia E(x*) perché l’energia è costante lungo le traiettorie e tutte le traiettorie nel bacino vanno verso x*.

Quindi E(x)=costante nel bacino.

Ma questo contraddice la definizione di sistema conservativo che richiede E(x) non costante in tutti gli insiemi aperti.

(Generalmente i punti fissi sono selle e centri)

Teorema

Sia x* un punto fisso isolato per un sistema conservativo continuamente differenziabile. Se x*è un minimo locale di E, tutte le traiettorie sufficientemente vicine a x* sono curve chiuse.

61

Il pendolo

In assenza di smorzamento e forzante esterna, il moto ègovernato dalla

lineare centro (0,0) 0110

,0)(),( :fissi Punti

0

e Posto

0

)0,0(

**

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=⎩⎨⎧

−==

=+

==

=+

A

kπ

senv

sen

g/Lt

senLg

dtd

νϑ

ϑνϑ

ϑϑ

ωωτ

ϑϑ

&

&

&&

L

θ

mg

62

In realtà l’origine è un centro non lineare. Infatti:

Il sistema è reversibile

Il sistema è conservativo

( )

( ) ( ). piccoliper 1- 21 poichè (0,0)in locale minimoun ha

cos21

energia funzione La

costante;cos21 0)(

integrando e per ndoMoltiplica

22

2

2

.

,ννE

ν,νE

sen

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑϑ

ϑ

+≅

−=

=−=+ &&&&

63

)1,1()1,1(

1,1;01;0110

)0,(

=−=

→=−==−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

21

212

v v :iAutovettor

sella punto λλλπA

ν

θ

Per riempire il piano del fasi è sufficiente introdurre i contorniE=1/2 ν2 - cosθ per diversi valori di E .

64

ν

θ

Interpretazione fisicaCentro: equilibrio neutralmente stabile col pendolo a

riposo dritto. E’ lo stato di minima energia, E=-1.Orbite intorno ai centri: piccole oscillazioni intorno

all’equilibrio (librazioni); le orbite aumentano al crescere di E.

Selle: il pendolo capovolto a riposoTraiettorie eterocline: il pendolo rallenta per fermarsi

precisamente nella posizione capovolta.Traiettorie oltre le eterocline: il pendolo ruota

ripetutamente facendo giri completi, E>1.

65

Smorzamento

In presenza di smorzamento il moto è governato dalla

selle. restano selle le e stabili spirali diventano centri I0.b osmorzament ,0 >=++ ϑϑϑ senb &&&

ν

θ

66

Quasi periodicità

Il toro è un importante spazio delle fasi bidimensionale. E’lo spazio naturale per descrivere i sistemi della forma

),(

),(

2122

2111

ϑϑϑ

ϑϑϑ

f

f

=

=&

&con f1 e f2 periodiche in θ1 e θ2

( )

( )12222

.12111

.

ϑϑωϑ

ϑϑωϑ

−+=

−+=

senK

senK θ1 e θ2 sono le fasiω1 e ω2 sono le frequenze naturaliK1, K2 sono le costanti di accoppiamento

67

θ1, Τ1

θ2,Τ2

Esempio: 2 corridori amici (K1,2>0) che corrono in cerchio

θ1 e θ2 sono le posizioniω1 e ω2 sono le velocità ‘preferite’

( )

( )12222

.12111

.

ϑϑωϑ

ϑϑωϑ

−+=

−+=

senK

senK

2 punti che corrono intorno al cerchio con velocità1 punto sul toro con coordinate θ1 e θ2

2

.

1

.ϑϑ e

θ1, Τ1

θ2, Τ2× =

θ1

θ2

Il loro prodotto

68

Un modo equivalente di costruire un torotopologico è quello di considerare un quadratoe "incollare" i lati opposti. θ2

2π

0 2πθ1

θ1, Τ1

θ2,Τ2

22

.

11

.

ωϑ

ωϑ

=

=

Esempio 1: 2 corridori che non si conoscono (K=0)

oscillatori disaccoppiati

69

ω1/ω2 = p/q razionale ω1/ω2 irrazionale

212121

22 qT pTqpqp===

ωπ

ωπ

ωω

Il corridore 1 completerà p giri quando ilcorridore 2 ne completerà q. Dopo T=pT1=qT2 i 2 corridori saranno nella stesse condizioni.L’attrattore è un ciclo

Il flusso è detto quasiperiodico. La traiettoria non si chiude mai su se stessa coprendo più densamente la superficie del toro.La traiettoria è densa nel toro (passa arbitrariamente vicino ad ogni punto del toro).

p=3, q=2

70

p=3, q=2

p=5, q=2

71

Una traiettoria periodica di un sistema può essere governata da più di unafrequenza. Se due di queste frequenze sono in rapporto IRRAZIONALE (cioè sonoincommensurabili), la traiettoria non sarà più chiusa, e il ciclo limite diventa un TORO limite.

Due traiettorie che partono da punti vicini sul toro rimangono vicine indefinitamente, cioè non convergono né divergono l’una dall’altra.Si parla di N-toro se sono presenti N frequenze incommensurabili.

Una successione temporale che corrisponde a questo tipo di attrattore viene dettasuccessione quasiperiodica: un campionamento discreto di una somma di Nfunzioni periodiche (non necessariamente sinusoidali) con frequenzeincommensurabili.

Una successione di questo tipo non possiede una vera periodicità, ma il suospettro di potenza è composto soltanto da linee verticali.

72

Esempio: 2 corridori amici (K≠0) (aggancio in fase)

θ1, Τ1

θ2,Τ2

ϕωωϑϑϕ

ϑϑϕϑϑωϑ

ϑϑωϑ

senkk

senk

senk

)(

)(

)(

21212

.

1

..

21

21222

.

12111

.

+−−=−=

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

−+=

corridori i tra distanza

*21

*.

2

.

1

2121

21

21*

|

0

ϕϑϑωϑϑ

ωω

ωωϕϕ

ϕ

=−

==

+<−+−

=⇔=

fissa fase di differenza con correre a tendono corridori I

| Se

?equilibrio ammette .

kkkk

sen

Ciclo su toro

La soluzione è periodica

73

21

1221*222

.

1

.*

kkkksenk

++

=+===ωωϕωϑϑω pulsazione di

compromesso

ω1 ω∗ ω2

Sono oscillatori accoppiati

74

Equazioni non autonome

•Compare t a destra

•Esempio: sistema massa-molla forzatomd2x/dt2 = -kx + A sin ωt per semplicità m = k = 1dv/dt = -x + A sin ωt dx/dt = v

Posto ωt = fdx/dt = v dv/dt = -x + A sin f df/dt = ω

•Posso sempre eliminare t aggiungendo una variabile•f è periodica (periodo 2π) •Il moto è un toro

75

Esempio: sistema di Van der Pol forzato

( )taxddxxb

dxd

Ω+−−= cos)1( 22

2

ττ

LC

LC

IAa

10

0

0

=

=Ω

=

ω

ωω

Acos(ωt)

La soluzione può sincronizzarsi con qualche multiplo del periodo dell’ingresso (ciclo su toro).

Oppure nessun periodo emerge e si ha un moto quasi periodico (le traiettorie riempiono densamente il toro).

76

Mappe di Poincarè

Consideriamo un sistema n-dimensionale

f(x)x =&

S superficie n-1 dimensionale trasversa al flussoxk kma intersezione

La mappa di Poincarè è un mappaggio da S a S stessa ottenuto seguendo le traiettorie da un’intersezione con S alla successiva.

)(xx kk P=+1

77

Se x* è un punto fisso di P, P(x*)=x*, la traiettoria del sistema originale èun’orbita chiusa. Si può studiare la stabilità dell’orbita studiando la mappa nell’intorno del punto fisso.

Problemi di orbite chiuse problemi su punti fissi

f(x)x =&Dato il sistema con un’orbita chiusa, come posso dire se l’orbita e’ stabile?Si analizza il corrispondente punto fisso della mappa di Poincarè.Sia v0 una perturbazione tale che x*+ v0 sia in S.x*+ v1= P(x*+ v0)= P(x*)+ DP(x*) v0+O(|| v0

2||)Trascurando i termini di ordine superiorev1= DP(x*) v0

L’orbita chiusa è linearmente stabile solo se |λj|<1 j=1,…,n-1

λj moltiplicatori caratteristici o di Floquet