Settima Lezione

Differenze finite per equazioni differenziali, la corrente, legge di Ohm, Campo magnetico e forza di Lorentz, Effetto di Hall

Riassunto della lezione precedente Energia e densità di energia nei condensatori Interpretazione fisica matrice di capacità Equazioni di Laplace e di Poisson Le funzioni complesse analitiche: come

rappresentano possibili soluzioni di Laplace in 2D; lo spigolo a lama di coltello

Unicità della soluzione eq di L e P Soluzione eq L. e P con separazione delle

variabili e serie

Metodi numerici: differenze finite Una tecnica di “discretizzazione” molto diffusa: discretizzare:

sostituire a equazioni differenziali/integrali, equazioni algebriche

Costruiamo una griglia di punti, ed in alcuni dei punti il potenziale sia assegnato (condizioni al contorno). Siano i quadretti distanziati h

Possiamo espandere in serie di Taylor il potenziale in un intorno del punto (x,y)

2

22 ,

2

,,,

x

yxh

x

yxhyxyhx

2

22 ,

2

,,,

x

yxh

x

yxhyxyhx

Combinando le due si ottiene

22

2 ,,2,,

h

yhxyxyhx

x

yx

Metodi numerici: differenze finite

Per ogni punto della griglia (x0,y0) possiamo rimpiazzare l’equazione differenziale con il suo equivalente alle differenze finite: in esse non compaiono più derivate ma solo (x0,y0), che divengono le incognite di un sistema ad n incognite ed n equazioni, n è il numero di punti considerato

(x0,y0)

(x0+h,y0)

Sul sito http://www.av8n.com/physics/laplace.html due file Excel (versione “base” e “avanzata” -con un metodo più veloce-) che implementano quest’ultima strategia

2

,4,,,,h

yxhyxhyxyhxyhx

Un modo approssimato: notate che, dato un punto ed i 4 confinanti, l’eq di Laplace è soddisfatta se il punto centrale ha un potenziale pari alla media dei punti confinanti

Corrente elettrica Abbiamo visto che in un buon conduttore anche a temperatura

ambiente una notevole quantità di elettroni è disponibile per il fenomeno della conduzione

Si muovono caoticamente a velocità grandi (ordine 106 m/s), ma data una sezione, statisticamente tanti elettroni entrano quanti escono, ed il flusso medio di carica è nullo

Se si applica un campo elettrico, il loro moto caotico trasla lentamente, in direzione opposta al campo, così da aversi un flusso netto di carica: velocità di “deriva”; calcoliamola; seconda legge di Newton

meE

a

Definiamo tempo medio tra due collisioni

m

edE

v

E

I

+

++

++ +

+

++

+

++

j

v dt

A

v

In un istante dt quanti portatori attraversano una sezione A?immaginiamo di avere n densità volumetrica di elettroni di conduzione e calcoliamo il flusso dsndtN

A nv

qnvAdtqNdQ

qnvAdt

dQI

Densità di corrente [A]/[m2] qnvJA

I

Corrente elettrica

Quanta carica portano?

Definiamo la corrente Misura in Ampère [C/s]

Se consideriamo v uniforme tutto ortogonale ad A possiamo scalarizzare e togliere l’integrale:

nvAdtN

Legge di Ohm Inserendo nella definizione di J il valore della velocità di

deriva:

dqnvJ

E

m

eqn

EJ

m

eqn

Conducibilità:

Siemens/metro [S/m]

oppureJE

/1

Resistività: Ohm metro [ m]I

VA

l Applichiamo una ddp V ad un tratto di

conduttore: con un flusso di corrente uniforme, E e J saranno uniformi:

EAJAI l

VA RII

A

lV

Legge di Ohm

RIIA

lV

Unità di misura R nel sistema SI: ohm= volt/ampère ()

Unità di misura G [1/R] nel sistema SI: siemens= ampère/volt (S)

V

I

(1826, George Simon Ohm)

Semiconduttori intrinseci

Si Si

Si

Si

Si

Si

Si

Semiconduttori

Gap piccolo: salto termico

(rottura legame)

Abbiamo visto che la conduzione avviene per due contributi: elettroni e lacune

Ev

ne

La velocità dei portatori è legata al campo da un fattore (di solito dipendente dal campo) definito mobilità

Ev

pl Posto:n (m-3) = concentrazione degli elettronip (m-3) = concentrazione delle lacune

EJ

pn pnq

Per semiconduttori intrinseci n=p

Semiconduttori Drogati

Si Si

Si

Si

P

Si

Si

++++++donatori

Drogati n

Si Si

Si

Si

B

Si

Si

----------accettori

Drogati p

Giunzione p-n (diodo) Semiconduttore drogato n: eccesso elettroni Semiconduttore drogato p: eccesso lacune

p n

Le lacune diffondono in n e gli elettroni in p, lasciando atomi ionizzati (regioni ”svuotate”)

------

+++

E

Gli atomi ionizzati producono un campo che impedisce ulteriore diffusione

La corrente può riprendere solo se si applica una ddp esterna che cancella tale campo elettrico: effetto soglia

Se la ddp esterna produce un campo nella stessa direzione di quello prodotto dagli ioni, aumentano le regioni svuotate

Soluzione diretta Poisson in giunzione p-n È un caso semplice in cui possiamo trovare la soluzione analitica

p n

Supponiamo “svuotamento completo”: nella regione p essendo NA densità accettori

------

+++

E

Integriamo l’eq di Poisson, che in questo caso è monodimensionale, tra -dp ed x

Avendo assunto zero il campo all’esterno della regione di carica; integriamo di nuovo, assumendo zero anche il potenziale in x=-dp (tanto contano le differenze….)

x-dp dA

AeN

AeN

dx

d

2

2

)( pA

dpx

dxeN

dx

d

dx

d

2)(2

)( pA dx

eNx

In particolare in zero avremo quelle che saranno le condizioni al contorno per la regione n:

pA

pA d

eN

dx

dd

eN

;)(

2)0( 2

Soluzione diretta Poisson in giunzione p-n Nella regione p l’eq sarà analogamente

Che, integrata due volte come abbiamo appena fatto, e con le condizioni poste per x=0, danno

Nell’ottenere l’eq di sopra abbiamo aggiunto l’ulteriore vincolo della conservazione della carica: dopo la migrazione la quantità totale di carica positiva uguaglia quella negativa, cioè

pAnD dNdN

Vedete che la differenza di potenziale massima si ha per x=dn, cioè

DeN

dx

d

2

2

pnpp

A

dd

x

d

xd

eNx

22 21

2)(

D

Ap

A

p

np

An N

Nd

eN

d

dd

eNd 1

21

2)( 22

In assenza di potenziale esterno applicato, tale differenza dipende dalla

diffusione, ed è chiamato potenziale di “built-in”. Applicando un potenziale esterno si può modificare la posizione di dp (e dn)

Soluzione diretta

p n------

+++

E

x-dp dA

(x)

eNA

eND

ddx

x)

Potenza

Applicata una ddp V scorre una corrente I

Il campo, nello spostare la carica dq, compie il lavoro

VdqdU VIdt VIdt

dUP Potenza: Watt=Volt Ampère

Nei conduttori:R

VRIVIP

22 Effetto Joule

Conservazione della carica Se in un volume V la carica diminuisce dobbiamo dedurre che c’è

un flusso di cariche (corrente) che esce da tale volume

quindi

dt

dQds

S

nJ

Se applichiamo tale principio ad un volume infinitesimo, in modo analogo con quanto facemmo per la legge di Gauss, otteniamo la legge di conservazione di carica in forma differenziale

dt

d J

Conservazione della carica: 1a legge di Kichhoff

Dato un insieme di conduttori che confluiscono in un nodo, ovvero un punto privo di fenomeni di accumulo di carica, il principio di conservazione della carica può essere riscritto convenientemente

iiS

Ids nJ

S0

dt

dQ

0 ii I

Gli esperimenti di Oersted: il Campo MagneticoGli esperimenti di Oersted: il Campo Magnetico

Hans Christian Oersted, in Danimarca il 4 settembre del 1820 scoprì che un filo

percorso da una corrente elettrica deviava l’ago di una bussola.

Non riuscì a dare alcuna spiegazione al fenomeno, anche considerato che l’ago non veniva né attratto né respinto, ma si

disponeva ad angolo retto con il filo

Un passo avanti nella comprensione del Campo Magnetico: gli esperimenti di Ampère

Un passo avanti nella comprensione del Campo Magnetico: gli esperimenti di Ampère

André Marie Ampère capì immediatamente l’importanza dell’esperimento di Oersted:

•intuì che una medesima forza dovesse agire tra due fili percorsi da corrente•che un ago magnetizzato poteva essere usato per misurare la corrente (concetto che in seguito portò a realizzare il galvanometro)

•postulò che i magneti naturali contenessero piccoli circuiti con correnti in permanente movimento

Pubblicò i risultati il 6 novembre dello stesso anno!

Forza di Lorentz•Corrente = cariche in movimento•Le cariche, una volta in movimento, producono una forza addizionale: il campo di forza magnetico•Tale forza è a sua volta rivelato solo da cariche in movimento•…Ma il movimento di chi rispetto a cosa?? E’ una forza che dipende dal sistema di riferimentoDefiniamo un campo vettoriale B, che chiameremo densità di flusso magnetico o induzione magnetica, per mezzo della forza esercitata su una carica in movimento

BvF

q

21 L

VT

LT

E

qv

FB

B si misura in Tesla [Vs/m2]= Weber / m2

oppure Gauss (10-4 T)

qvBsinF

Il Campo Magnetico: qualche risultato in “dettaglio” Il Campo Magnetico: qualche risultato in “dettaglio”

v

uE

B

P

Data una carica in moto, cosa “vede” un osservatore in P?

2c

EvB

La risposta viene dalle trasformazioni relativistiche che restituiscono:

1702

0

1041

Hmc

Se si sostituisce in E il valore di campo prodotto dalla carica e si definisce

Si ha HB

0 (nel vuoto)uvB

2

0

4 r

q

ovvero

H è “l’intensità del Campo Magnetico” e si misura in Ampère/metro

Effetto di HallI

B

F

L

--------

++++++++

Sia un conduttore percorso da corrente in un campo magnetico

Gli elettroni subiscono una deviazione dovuta alla forza di LorentzCariche negative si accumulano da un lato e richiamano cariche positive sull’altro

envBF

vnBE nLvBLEV Nota: forza e spostamento ortogonali:Lavoro Nullo

Le cariche accumulate inducono un campo elettrico, fino a compensare la forza magnetica (e quindi riprendere il normale moto rettilineo)