Lezione 2 alberi e differenze finite

Giovanni Della Lunga

Università degli Studi di Bologna

Alberi Binomiali, Trinomiali e Differenze Finite

Applicazioni al Pricing di Prodotti Derivati

Perchè i metodi numerici

Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali

Volatilità Implicita e Smile

Prezzi di Arrow-Debreu e Probabilità Implicite

Alberi Binomiali Impliciti

Alberi Trinomiali Impliciti

Alberi per tassi di interesse

Il modello di Hull & White

Richiami di Analisi Numerica: Sistemi Lineari

Equazioni Differenziali a Derivate Parziali

Metodi alle Differenze Finite

Perché preoccuparsi dei metodi numerici? Esistono soluzioni analitiche al problema del

pricing di derivati? Il modello di Black & Scholes offre una soluzione

in forma chiusa al problema del pricing di un’opzione europea?

Cosa significa esattamente soluzione in forma chiusa o analitica?

Perché preoccuparsi dei metodi numerici?

Se per metodo in forma chiusa si intende una formula risolutiva priva di errore numerico, allora in pratica nel problema del pricing di prodotti derivati non esistono soluzioni in forma chiusa!

)()( 21 dNEedSNC rt )()( 21 dNEedSNC rt

Perché preoccuparsi dei metodi numerici?

Ogni metodo numerico comporta uno o più tipi di errore! E’ necessario conoscerne

L’origine La propagazione

La mancata considerazione di questi aspetti può condurre a risultati del tutto privi di senso

Questi aspetti sono particolarmente importanti nel settore della risoluzione numerica delle equazioni differenziali a derivate parziali in cui, come vedremo, vengono utilizzati metodi iterativi.

Analisi degli Errori Un computer è in grado di rappresentare soltanto un numero finito di cifre

Un numero reale può essere approssimato

Errore di arrotondamento

Il risultato prodotto da un algoritmo differisce, in generale, dal risultato

esatto cioè da quel risultato che si otterrebbe lavorando con un numero

infinito di cifre.

Senza un’idea, più precisamente una maggiorazione, della differenza dei

due risultati, il risultato numerico può essere del tutto illusorio. Infatti esso

può dipendere dal numero di cifre utilizzate e/o dall’ordine in cui vengono

effettuale le operazioni.

-1E-14

0

1E-14

2E-14

3E-14

4E-14

5E-14

6E-14

0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008

-1E-14

0

1E-14

2E-14

3E-14

4E-14

5E-14

6E-14

0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008

Analisi degli Errori Un esempio estremo con Excel: calcolo del grafico della funzione (x-1)6 in un intorno di zero

Analisi degli Errori Sorgenti di Errore

Semplificazioni introdotte nel modello Errori nei dati

Sistematici Casuali

Errori di arrotondamento Sono gli errori introdotti nella rappresentazione dei numeri sul

calcolatore Errori di troncamento

Sono gli errori che vengono introdotti quando un procedimento infinito viene approssimato mediante un procedimento finito (es. calcolo di una derivata)

Analisi degli Errori Dato un problema matematico possiamo distinguere, per quanto riguarda la

propagazione degli errori, il comportamento del problema e il comportamento di un particolare algoritmo utilizzato per risolvere il

problema

Nel primo caso si è interessati a vedere come eventuali perturbazioni sui dati del problema si trasmettono sui risultati

Per caratterizzare un problema rispetto a questo tipo di comportamento si usa comunemente il termine condizionamento.

Un problema è ben condizionato (o mal condizionato) a seconda che le perturbazioni sui dati non influenzino (o influenzino) eccessivamente i risultati

Analisi degli Errori

Nel caso di un algoritmo, per indicare il suo comportamento rispetto alla propagazione degli errori è più usuale il termine di stabilità.

Si dirà quindi che un algoritmo è stabile (instabile) se la successione delle operazioni non amplifica (amplifica) eccessivamente gli errori di arrotondamento.

Analisi degli Errori

Tecniche di controllo degli errori Backward analysis Aritmetica dell’intervallo Perturbazioni sperimentali

L’idea è semplice (anche se talvolta può essere eccessivamente costosa): si esegue il calcolo più volte a partire da diversi dati perturbati e usando precisioni diverse.


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Il modello Binomiale

In ogni periodo assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni (Modello Binomiale);

Backward induction: partendo dalla data di scadenza del contratto derivato in cui si conosce il valore dell’opzione si risale verso la radice dell’albero calcolando ad ogni nodo la probabilità risk adjusted;

Il modello Binomiale Sia S il valore del sottostante e f il valore

dell’opzione scritta su di esso. Formiamo un portafoglio con una posizione

lunga in unità del sottostante e una corta in un’opzione call. Il valore del portafoglio nei due stati del

mondo sarà pari a

Sf

Su

fu

Sd

fd

d0

u0

fdS

fuS

d0

u0

fdS

fuS

Determiniamo il valore di che rende uguali questi due valori

dSuS

fffdSfuS

00

dud0u0

dSuS

fffdSfuS

00

dud0u0

Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso di rendimento risk-free.

Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero

Il modello Binomiale

rTu00

rTu00 efuSSfefuSfS rT

u00rT

u00 efuSSfefuSfS

sostituendo ...sostituendo ...

du

depfp1pfef

rT

durT

dove )( du

depfp1pfef

rT

durT

dove )(

Il modello Binomiale: Un Esempio Numerico

S = 5.414

f = 0.432

Su = 5.630

fu = 0.630

Sd = 5.2

fd = 0.2

Opzione CALL su ENEL

Data Valutazione 8/11/2003

Consegna 19/11/2003

Strike = 5.00

S = 5.414

Var% giornaliera = 1.18%

tasso risk free ~ 1%

Variazione a scadenza stimata al 4%

t = 11/365 ~ 0.03

4150fp1pfef durT .

2

0.20.630 )(

4150fp1pfef du

rT .2

0.20.630 )(

21080

040

080

960e

du

dep

030010rT

/.

.

.

...

21080

040

080

960e

du

dep

030010rT

/.

.

.

...

Y(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LH)

Y(LL)

Y(HL)

Y(HH)

Estensione a più periodi

1-

H

L

1-L

1-H

Bushy trees/Recombining trees Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero

solo dopo 100 steps genera

1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi

Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)

Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi

Recombining trees

Sostituendo un albero a cespuglio con un albero “ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri che portano allo stesso nodo

L’informazione può essere rilevante per valutare opzioni con pay-off path-dependent modelli della dinamica del tasso di interesse

Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per ridurre la crescita dei bushy-trees

Y(0)

Y(H)

Y(L)

Y(LL)

Y(HL)Y(LH)

Y(HH)

Estensione a più periodi

1-

H

L

1-L

1-H

Come costruire un albero binomiale

Generalizzazione a più livelli

Riprendiamo la definizione di

probabilità risk-neutral

Poniamo

Inoltre ricordiamo che

)()(

)(),(

)(

*LYHY

LYTtPtY

)()(

)(),(

)(

*LYHY

LYTtPtY

SdLY

SuHY

StY

)(

)(

)(

SdLY

SuHY

StY

)(

)(

)(

)(),( tTreTtP )(),( tTreTtP

Generalizzazione a più livelli

Possiamo quindi scrivere

Come determiniamo i fattori u e d? In funzione della volatilità del sottostante

La scelta d = 1/u garantisce che l’albero sia ricombinante (infatti con questa posizione si ha (Su)d = S)

teu

ud

1

du

de tr

*du

de tr

*

Generalizzazione a più Livelli

22

2

0

T

0

T

2

2

0

T

2

0

T2

0

T22

0

T

d1uS

SE

d1uS

SE

tS

SE

S

SEr

S

Sr1

S

Sr

)(

)(

)(

)(

22

2

0

T

0

T

2

2

0

T

2

0

T2

0

T22

0

T

d1uS

SE

d1uS

SE

tS

SE

S

SEr

S

Sr1

S

Sr

)(

)(

)(

)(

La scelta di u e d si giustifica ricordando che la volatilità del rendimento dell’azione, nel nostro modello deve essere pari a 2t

tr2tr

trtr2trtr

222

22

2222222

euddue

eudedudu

eu

du

de

du1ud2du1

ud12d11u

ud12d1ud1ur

)(

))(()(

))(())((

)()()(

)()()()(

tr2tr

trtr2trtr

222

22

2222222

euddue

eudedudu

eu

du

de

du1ud2du1

ud12d11u

ud12d1ud1ur

)(

))(()(

))(())((

)()()(

)()()()(

Generalizzazione a più Livelli

Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo...

))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr ))(())(()( 2dutr1tr211dutr1euddue tr2tr

Generazione a più Livelli Verifichiamo che la posizione

porta al risultato desiderato. Sviluppando al primo ordine in t abbiamo infatti

da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine)

tt edeu ,tt edeu ,

t2

1t1dt

2

1t1u 22 , t

2

1t1dt

2

1t1u 22 ,

t2t2

1t1t

2

1t1tr1

2dutr1

222

)(

))((

t2t2

1t1t

2

1t1tr1

2dutr1

222

)(

))((

Generazione dei valori per il sottostante

125.5

120.8

116.3 116.3

112 112

107.9 107.9 107.9

103.9 103.9 103.9

100 100 100 100

96.29 96.29 96.29

92.72 92.72 92.72

89.28 89.28

85.97 85.97

82.78

79.71

Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d.

s(0, 0) = PrezzoSottostanteFor n = 1 To NumeroSteps For j = n To 1 Step -1 s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1) Next j s(0, n) = d * s(0, n - 1)Next n

Generazione dei valori per l’opzione

25.62125.5

21.12120.8

16.8 16.48116.3 116.3

12.86 12.33112 112

9.482 8.763 8.013107.9 107.9 107.9

6.766 5.975 5.054103.9 103.9 103.9

4.691 3.941 3.073 1.968100 100 100 100

2.53 1.821 1.00696.29 96.29 96.29

1.058 0.514 092.72 92.72 92.72

0.263 089.28 89.28

0 085.97 85.97

082.78

079.71

For j = 0 To NumeroSteps V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall)Next j

For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto Next jNext n

Opzioni Americane Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di

tipo europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza; Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la

scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale; Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra

il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro (continuation value)

il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff)

For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _ * FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall)) Next jNext n

Esempio ProgrammazioneVBA


Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale

Alberi Binomiali in più dimensioni E’ relativamente semplice costruire un albero in tre

dimensioni per rappresentare i movimenti di due variabili non correlate;

Dapprima si costruisce separatamente un albero a due dimensioni per ciascuna delle due variabili;

quindi si combinano i due alberi in un solo albero a tre dimensioni.

Le probabilità relative ai rami del nuovo albero sono pari al prodotto delle probabilità dei corrispondenti rami degli alberi a due dimensioni.

Alberi Binomiali in più dimensioni Si supponga ad esempio che le variabili siano date dai prezzi

S1 ed S2. Ciascuna di queste due variabili può essere rappresentata in

due dimensioni da un albero binomiale CCR; supponiamo che p1 sia la probabilità che S1 aumenti e 1-p1 la

probabilità che diminuisca, analogamente con p2 e S2; nell’albero a tre dimensioni ci saranno quindi quattro rami che

vengono generati da ciascun nodo con le seguenti probabilità p1p2 S1 aumenta, S2 aumenta

p1(1-p2) S1 aumenta, S2 diminuisce

(1-p1)p2 S1 diminuisce, S2 aumenta

(1-p1)(1-p2) S1 diminuisce, S2 diminuisce

Alberi Binomiali in più dimensioni Il caso più interessante è naturalmente quello in cui le variabili

siano correlate; Rubinstein ha suggerito un modo di costruire un albero a tre

dimensioni disponendo i nodi secondo un approccio binomiale;

Dal nodo (S1, S2) si può passare ad uno dei seguenti nodi con probabilità 0.25 (albero con probabilità uguali lungo i rami, tipo JR):

);(

);(

);(

);(

DSdS

CSdS

BSuS

ASuS

211

211

211

211

);(

);(

);(

);(

DSdS

CSdS

BSuS

ASuS

211

211

211

211

Alberi Binomiali in più dimensioni

22

222

22

222

22

222

22

222

1211

1211

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

tt2qr1

tt2qr1

eD

eC

eB

eA

ed

eu

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

22

222

22

222

22

222

22

222

1211

1211

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

1tt2qr

tt2qr1

tt2qr1

eD

eC

eB

eA

ed

eu

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

Deriva dalla “Cholesky Decomposition”

Opzioni con due sottostanti: Alcuni Esempi

Spread Options call max(0, Q1S1-Q2S2-X) put max(0,X+Q2S2-Q1S1)

Opzione sul massimo call max(0,max(Q1S1,Q2S2)-X) put max(0,X-max(Q1S1,Q2S2))

Opzione sul minimo call max(0,min(Q1S1,Q2S2)-X) put max(0,X-min(Q1S1,Q2S2))

Dual Strike Options call max(0,(Q1S1-X1),(Q2S2-X2)) put max(0,(X1-Q1S1),(X2-Q2S2))

Reverse Dual Strike Options call max(0,(Q1S1-X1),(X2-Q2S2)) put max(0,(X1-Q1S1),(Q2S2-X2))

Portfolio Options call max(0, (Q1S1+Q2S2)-X) put max(0,X-(Q1S1+Q2S2))

Exchange Options max(0,Q2S2-Q1S1)



Un Albero Binomiale Tridimensionale Un Albero Binomiale Tridimensionale

Alberi Binomiali e Barriere Se, per valutare un’opzione con barriera, si usa un albero binomiale

standard la convergenza è lenta; per ottenere un risultato accurato è necessario usare un numero

elevato di intervalli; la ragione di questa lenta convergenza è che la barriera ipotizzata

dall’albero è diversa da quella effettiva. Definiamo barriera interna la barriera formata dai nodi

immediatamente all’interno della barriera effettiva e barriera esterna la barriera formata dai nodi immediatamente all’esterno della barriera;

i calcoli standard assumono implicitamente che la barriera esterna coincida con la barriera effettiva;

Il problema può essere affrontato cercando di posizionare accuratamente i nodi nulle barriere.

Alberi Binomiali e Barriere

Alberi Binomiali e Barriere Una possibile soluzione è la seguente; Supponiamo di voler porre esattamente m livelli (per ogni intervallo

n) fra la barriera H e il valore iniziale S del prezzo; avremo

n

Tmtm

S

H

SeHeuSuH

2222

2

tmtm

ln

,

2

22

SH

Tmn

ln

2

22

SH

Tmn

ln



Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale Come Inserire una Barriera in un Albero Binomiale


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Alberi Trinomiali In alternativa agli alberi binomiali, si possono

usare gli alberi trinomiali

Alberi Trinomiali



Un Esempio di Albero Trinomiale Un Esempio di Albero Trinomiale


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Informazione implicita

I mercati delle opzioni trasmettono informazioni sulla distribuzione, aggiustata per il rischio, del sottostante.

Nel modello di Black & Scholes, tutta l’informazione necessaria è rappresentata dalla volatilità dei rendimenti .

Estrarre il valore di volatilità che nel modello di Black e Scholes produce il valore del prezzo di un’opzione osservato sul mercato significa calcolare il valore della volatilità implicita.

La volatilità implicita Smile

Spesso sulla stessa azione sono quotate più opzioni con prezzi di esercizio e scadenza diversi;

Se il modello di Black & Scholes fose corretto le opzioni avrebbero prezzi differenti ma un identico valore per la volatilità implicita;

infatti è funzione dell’attività sottostante e non del prezzo di esercizio o del tempo;

La volatilità implicitaTuttavia è stato osservato che la volatilità implicita

per contratti con identica vita residua varia in

funzione del prezzo di esercizio!

18.00%

18.20%

18.40%

18.60%

18.80%

19.00%

19.20%

19.40%

19.60%

19.80%

20.00%

85.000 90.000 95.000 100.000 105.000 110.000 115.000

18.00%

18.20%

18.40%

18.60%

18.80%

19.00%

19.20%

19.40%

19.60%

19.80%

20.00%

85.000 90.000 95.000 100.000 105.000 110.000 115.000

La volatilità implicita Smile Di norma le opzioni “out” e “in” the money hanno un valore di volatilità implicita

maggiore di quelle at-the-money.

L’effetto, noto come volatility smile è accentuto per i contratti con scadenza breve ed

è quasi inesistente per quelli di lunga durata;

l’effetto smile contrasta con la teoria e rivela che il modello non è corretto;

il fatto che, dopo il crash del 1987, l’effetto sia più evidente ha indotto alcuni studiosi a

formulare l’ipotesi che il vero processo diffusivo dei prezzi sia a salti e non continuo.

Volatilità implicita Dato il prezzo di mercato di un’opzione, Invertendo l’equazione di

Black & Scholes possiamo ricavare la volatilità implicita nella quotazione.

La volatilità implicita deve essere calcolata numericamente. Brenner Subrahmanian (accurata at-the-money)

Corrado Miller (accurata at-the-money 10%)

Nell’esempio in VBA utilizzeremo l’algoritmo di Newton-Raphson

tY

TetYtYcalltT

tT ,;,2

tY

TetYtYcalltT

tT ,;,2

KetYKetY

callKetY

callKetY

tTtTtTtT

tT

22

22

2

KetYKetYcall

KetYcall

KetYtT

tTtTtT

tT

22

22

2

Volatilità implicita

L’algoritmo di Newton-Raphson

Data una funzione f(x) il problema consiste nel determinare il valore di x* tale che f(x*) = 0.

L’idea geometrica che sta alla base del metodo è la seguente. Partendo da una stima iniziale x0 della soluzione si genera una

successione di valori {xk} approssimando, per ogni k, la curva

y = f(x) con la tangente nel punto (xk, f(xk)) e calcolando xk+1

come l’intersezione della tangente con l’asse delle x.

L’algoritmo di Newton-Raphson

All’equazione f(x) = 0 si sostituisce così l’equazione della retta tangente

0)(')()( kkk xfxxxf 0)(')()( kkk xfxxxf

)('

)(1

k

kkk xf

xfxx )('

)(1

k

kkk xf

xfxx

Input X0, EPS, MAX_ITER

Calcola f(X0)

E’ vera almeno una delle seguenti affermazioni:

1) |X – X0| < EPS 2) Numero Iterazioni >

MAX_ITER

?

START

END

Calcola f’(X0)

Calcola

X = X0 – f(X0)/f’(X0) Incrementa di un’unità il Numero Iterazioni

Poni X0 = X

SI

NO

Input X0, EPS, MAX_ITER

Calcola f(X0)

E’ vera almeno una delle seguenti affermazioni:

1) |X – X0| < EPS 2) Numero Iterazioni >

MAX_ITER

?

START

END

Calcola f’(X0)

Calcola

X = X0 – f(X0)/f’(X0) Incrementa di un’unità il Numero Iterazioni

Poni X0 = X

SI

NO

Diagrammi di FlussoL’algoritmo di Newton-Raphson



Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni CallCalcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call

Volatilità Implicita Il metodo della secante

L’efficienza del metodo di Newton-Raphson dipende dalla volatilità iniziale scelta;

una procedura meno sensibile al valore iniziale di è il metodo della secante;

il primo passo da compiere è di scegliere due valori per , uno basso e uno alto.

Il valore basso b stima C(b) minore di C, il valore alto a stima C(a) maggiore di C.

La volatilità implicita risulta dalla seguente interpolazione lineare:

ba

babb1 CC

CC

ba

babb1 CC

CC

Volatilità Implicita Il metodo della secante

se il valore di C() ottenuto inserendo nel modello di Black & Scholes è inferiore al prezzo di mercato C, la nuova stima di è ottenuta sostituendo b con il valore della volatilità interpolata

Se il valore di C() ottenuto inserendo 1 nel modello è superiore al prezzo di mercato per la nuova stima di si sostituisce a a il valore della volatilità interpolata.

Quando C() coincide con C il processo iterativo termina è si è trovata la volatilità implicita.

Il metodo è in generale preferito a quello di Newton-Raphson perché non richiede la stima di Vega ad ogni iterazione.

1a

1a112 CC

CC

1a

1a112 CC

CC


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu E' noto che i mercati dei contratti derivati hanno un forte

contenuto informativo. Le quotazioni di un future o di un opzione su un titolo

rischioso riassumono la valutazione del mercato sull'evoluzione di quel titolo.

Possiamo quindi utilizzare i prezzi dei contratti derivati per estrarre uno schema binomiale di evoluzione del prezzo del titolo rischioso.

Questo tema è al centro dell'attenzione della letteratura finanziaria sulle opzioni dei nostri giorni, ed ha dato vita ad un filone di tecniche note come alberi binomiali impliciti, che generalizzano l'idea di probabilità implicita proposta da Breeden e Litzenberger alla fine degli anni 70.

I titoli di Arrow-Debreu

Supponiamo di disporre di un titolo che garantisce un pay-off unitario se e solo se si verifica un preciso stato di natura.

Tale prodotto finanziario è noto come titolo di Arrow-Debreu. Il pay-off dei due titoli di Arrow-Debreu del modello binomiale sono

descritti nella seguente tabella.

Titoli di Arrow-Debreu

T T

Stato H Stato L

Prezzo dello stato H H(t) 1 0

Prezzo dello stato L L(t) 0 1

Titolo risk-free P(t,T) 1 1

Portafoglio immunizzato H(t)+ L(t) 1 1

Titoli di Arrow-Debreu

T T

Stato H Stato L

Prezzo dello stato H H(t) 1 0

Prezzo dello stato L L(t) 0 1

Titolo risk-free P(t,T) 1 1

Portafoglio immunizzato H(t)+ L(t) 1 1

I titoli di Arrow-Debreu

Possiamo anche utilizzare i prezzi di Arrow-Debreu per fornire una definizione alternativa del requisito di esclusione delle possibilità di arbitraggio.

Nella tabella precedente notiamo infatti che il portafoglio immunizzato può essere costruito semplicemente acquistando i titoli di Arrow-Debreu corrispondenti a tutti gli stati di natura.

Il requisito di esclusione delle possibilità di arbitraggio richiede quindi che

TtPLH , TtPLH ,

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu Come Sappiamo, in un modello binomiale il valore al tempo 0

di un generico contratto derivato di tipo europeo, descritto da una funzione di pay-off con possibilità di esercizio al tempo n è ottenuto, sulla base del principio di non-arbitraggio, attraverso la formula

Si noti che la probabilità che compare nella formula è la probabilità che il nodo i-esimo dell’n-esimo livello sia raggiunto e non la classica probabilità di transizione tra due nodi dell’albero che compare nelle precedenti formule di pricing.

n

0j=n j) (nodopayoff j) (nodoàprobabilit contratto del prezzo

fR1

1

n

0j=n j) (nodopayoff j) (nodoàprobabilit contratto del prezzo

fR1

1

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu Naturalmente le due probabilità sono

strettamente collegate...

1 2

21p 21p

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu Il prezzo di un titolo di Arrow-Debreu individua il valore

scontato della probabilità associata al nodo nel quale il titolo paga un'unità.

Infatti ricordando la definizione di titolo di Arrow-Debreu di scadenza n e nodo i ...

... segue che

0

, altrimenti

nstepalloinodosul1P AD

ni

0

, altrimenti

nstepalloinodosul1P AD

ni

1 i) (nodo Probn,

f

ADni

R1

1P 1 i) (nodo Probn,

f

ADni

R1

1P

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu Ritornando alla notazione matematica possiamo scrivere che il

prezzo di mercato di un contratto derivato con data di esercizio n e payoff descritto dalla funzione g(.) è dato da

dove j(n) denota il prezzo del titolo di Arrow-Debreu che paga

un’unità di valore nel nodo j al tempo n e yj(n) rappresenta il valore

del titolo rischioso su tale nodo. Se fossimo in grado di osservare e operare su titoli di Arrow-Debreu

potremmo valutare e replicare qualsiasi contratto derivato.

n

jjj nygnyg

0

0,

n

jjj nygnyg

0

0,

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu Assumete di avere un albero binomiale in cui il valore del titolo

rischioso su ogni nodo differisce di una quantità h rispetto al nodo adiacente...

... e di calcolare il valore di 1/h unità di un butterfly spread centrato sul valore yi(n).

Il payoff corrispondente, PBS, sarà descritto dalla funzione

per i, j = 0, 1…n.

se

se;,

1

ji0

ji1nynyP

h iBS

se

se;,

1

ji0

ji1nynyP

h iBS

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu Abbiamo così costruito un titolo di Arrow-Debreu! Con questa tecnica, suggerita per la prima volta da Breeden e

Litzenberger (1978), siamo in grado di estrarre dai valori delle opzioni quotate sul mercato la probabilità implicita assegnata al nodo i dell'albero al tempo n.

Più precisamente,

Inoltre, l'insieme dei butterfly spread con data di esercizio al tempo n può essere usato come base per la determinazione, in coerenza con il principio di non arbitraggio, di tutti i contratti di tipo europeo con stessa data di esercizio.

;, 1

=, nynyPh

R1niP iBSn

fimp ;, 1

=, nynyPh

R1niP iBSn

fimp

Probabilità implicite

Valore di un call spread verticale

C(Mib30,t;T,40000-h)- C(Mib30,t;T,40000)

Dividiamo per h e prendiamo il limite per h che tende a zero per ottenere

- dC(C(Mib30,t;T,K)/dK = Prob(Mib30 > 40000)Prob(.) è la probabilità aggiustata per il rischio

Nello stesso modo possiamo costruire una butterfly prendendo la differenza tra due spread verticali

d2C(C(Mib30,t;T,K)/dK2 = f(Mib30 = 40000)f è la densità aggiustata per il rischio

Bull spread: Mib30 - 40000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

Butterfly spread

Calcolo della densità implicita: gli step Analisi dei prezzi di mercato delle opzioni Calcolo dei prezzi degli spread verticali Calcolo dei prezzi delle butterfly Dividiamo il valore delle butterfly per il loro pay-off (h) Dividiamo il valore così ottenuto per il fattore di sconto

Data esercizio

Prezzo strike Prezzo opzione Spread verticale Butterfly spread

Arrow-Debreu

APR. 35000 2624

APR. 36000 1786

APR. 37000 1440 1184 342 17.10%

APR. 38000 911 875 307 15.35%

APR. 39000 598 842 422 21.10%

APR. 40000 343 568 334 16.70%

APR. 41000 178 420

APR. 42000 109 234

I prezzi di Arrow Debreu impliciti nelle opzioni: un esempio sul MIB30 (Fonte: Il Sole24Ore 11/03/1999)

Data esercizio

Prezzo strike Prezzo opzione Spread verticale Butterfly spread

Arrow-Debreu

APR. 35000 2624

APR. 36000 1786

APR. 37000 1440 1184 342 17.10%

APR. 38000 911 875 307 15.35%

APR. 39000 598 842 422 21.10%

APR. 40000 343 568 334 16.70%

APR. 41000 178 420

APR. 42000 109 234

I prezzi di Arrow Debreu impliciti nelle opzioni: un esempio sul MIB30 (Fonte: Il Sole24Ore 11/03/1999)

“Butterflay Spread” e prezzi di Arrow-Debreu Abbiamo così descritto una tecnica per estrarre dai prezzi

delle opzioni informazione sulle probabilità da assegnare ai

nodi dell'albero.

Il passo successivo è ovviamente il tentativo di costruire

l'intero albero a partire dalle informazioni contenute nei prezzi

di mercato, dando così una descrizione completa della

dinamica del prezzo in essi implicita.

La ricerca più recente nel campo degli alberi binomiali è stata

indirizzata in questa direzione ed ha dato vita ad un filone di

letteratura noto come: alberi impliciti (implied trees).


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Alberi Binomiali Impliciti Due tecniche opposte

Rubinstein (backward induction) Stima della probabilità implicita a un temp T >t Ricostruzione della dinamica del titolo da T a t

Derman & Kani (forward induction) Osservazione del valore di opzioni al tempo t Costruzione della dinamica del titolo da t a T

Il metodo di Rubinstein Questo metodo rappresenta un primo tentativo di riprodurre la dinamica, aggiustata

per il rischio, del prezzo di un titolo, a partire dai prezzi di mercato di contratti

derivati.

Assumiamo di osservare un insieme di opzioni con data di esercizio nel periodo n e

diversi prezzi d'esercizio.

Utilizzando l'approccio di Breeden e Litzenberger sopra descritto sappiamo che sulla

base di queste informazioni siamo in grado di estrarre i prezzi dei titoli di Arrow-Debreu.

Partendo da questa informazione vogliamo ricostruire la dinamica del prezzo.

Un algoritmo che è in grado di produrre questo risultato è stato proposto da Mark

Rubinstein (1994).

Il metodo di Rubinstein sfrutta le proprietà dei prezzi di Arrow-Debreu e della misura di

probabilità aggiustata per il rischio. Un'importante assunzione che è necessaria allo

sviluppo del modello è che sia noto il legame tra le probabilità attribuite a ciascun

nodo e le probabilità dei vari sentieri che conducono a quel nodo.

Il metodo di Rubinstein Nel modello originale proposto da Rubinstein si ipotizza che ai

sentieri che portano allo stesso nodo sia attribuita la stessa probabilità.

Esplicitamente:

dove pj (n) è la probabilità assegnata a ciascun sentiero che porta al nodo j al tempo n.

npj

nj

=

sentieri dei prob. n)(j, a portano che n.sentieri

=n)(j, nodo prob.

npj

nj

=

sentieri dei prob. n)(j, a portano che n.sentieri

=n)(j, nodo prob.

Il metodo di Rubinstein: due livelli

Analizziamo prima l'algoritmo proposto da Rubinstein in un semplice modello con n = 2.

Quello che assumiamo di conoscere è l'insieme dei valori del titolo rischioso al tempo 2 e le rispettive probabilità aggiustate per il rischio associate ad ogni sentiero (cioè yi(2) e pi(2), i = 0, 1, 2).

Richiamiamo l’attenzione sull’ipotesi di equiprobabilità dei sentieri che portano allo stesso nodo, che ci consente di scrivere p1(2) = (1- H ) = (1- ) L.

Vogliamo ricavare: i) i due possibili valori del titolo rischioso al tempo 1 (cioè yi(1), i =

0,1); ii) la probabilità di un aumento o una diminuzione tra t = 0 e t = 1 e tra

t = 1 e t = 2.

Il metodo di Rubinstein: due livelli

0t 1t 2t

)(0y0

)(1y0

)(1y1

)(2y0

)(2y1

)(2y2

H0 2p )(

))(()( L2 112p

L

H1

1

12p

)(

)()(

H

L

Il metodo di Rubinstein: due livelli L'algoritmo proposto da Rubinstein è molto semplice

e consiste di quattro fasi. Fase 1: determinazione del tasso non rischioso. E' ottenuta

direttamente utilizzando le proprietà della misura aggiustata per il rischio. In particolare

22222221

10 22110020 ypypyp

Ry

f

22222221

10 22110020 ypypyp

Ry

f

0

22

0

222

0

221

0

22

0

11

0

00

2

y

yp

y

yp

y

ypR f

0

22

0

222

0

221

0

22

0

11

0

00

2

y

yp

y

yp

y

ypR f

Il metodo di Rubinstein: due livelli Fase 2:

determiniamo le probabilità dei sentieri che portano ai due nodi al tempo t = 1, cioè p0 (1) = e p1(1) =1 - .

Poiché le probabilità attribuite ai sentieri sono probabilità composte di sequenze di aumenti e diminuzioni del prezzo otteniamo che, prendendo ad esempio p0(2) = H e p1(2) = (1 - H ),

Fase 3: in ciascun nodo raggiungibile al tempo t = 1 calcoliamo le probabilità di

un aumento del prezzo, cioè H e L. Utilizzando p0(2) = H ed il calcolo di p0(1) = ricavato nella fase 2

otteniamo (e L in modo analogo)

221 100 ppp 221 100 ppp

12

0

0

p

pH

12

0

0

p

pH

Il metodo di Rubinstein: due livelli Fase 4:

calcoliamo i possibili valori del titolo rischioso al tempo 1, cioè y0(1) e y1(1).

Sfruttiamo ancora una volta le proprietà della misura aggiustata per il rischio per ottenere

e ricaviamo y1(1) in maniera analoga. Si noti che a questo punto dell'algoritmo i termini che compaiono

a destra nell'equazione sono noti.

2121

11 100 yy

Ry HH

f

2121

11 100 yy

Ry HH

f

Il metodo di Rubinstein: caso generale L'estensione ad un numero generico di periodi e di nodi è soltanto

una questione di notazione. Nella fase 1 avremo infatti

Il coefficiente binomiale rappresenta il numero dei possibili sentieri che portano al nodo j in n mosse;

Si noti che in questo modo abbiamo utilizzato l'ipotesi di

equiprobabilità dei sentieri che portano allo stesso nodo.

n

j

jj

nf y

nynp

j

nR

0 0 01

n

j

jj

nf y

nynp

j

nR

0 0 01

Il metodo di Rubinstein

Nelle fasi 2 e 3 avremo ancora

e infine

npnpnp jjj 11 npnpnp jjj 11

1np

np

j

j

j 1np

np

j

j

j

nynyR

ny jjjjf

j 111

11

nyny

Rny jjjj

fj 11

1

11

Il metodo di Rubinstein A questo punto conosciamo i valori del titolo rischioso e le

rispettive probabilità (yj (n – 1) e pj (n – 1)) e siamo in grado di

ripetere l'algoritmo dalla fase 2 alla fase 4 per ricavare la

stessa informazione riferita al tempo n - 2, e così via fino a

raggiungere la radice dell'albero.

Come abbiamo visto, il metodo di Rubinstein utilizza una

strategia di backward induction, che partendo da una certa

data futura ricostruisce l'albero procedendo all'indietro, fino

alla radice.

Subito dopo l’esempio discuteremo invece di una metodologia

che sfrutta una strategia di segno opposto (forward induction).



Calcolo di un Albero Binomiale Implicito con il metodo di RubinsteinCalcolo di un Albero Binomiale Implicito con il metodo di Rubinstein

Il metodo di Derman e Kani Una metodologia alternativa a quella sopra descritta

è stata proposta da Emmanuel Derman e Iraq Kani di Goldman & Sachs.

Come anticipato poco sopra, l'idea è di partire dalla radice dell'albero e procedere in avanti, utilizzando i prezzi di opzioni osservate sul mercato su scadenze diverse.

Come nelcaso precedente, è utile sviluppare in prima battuta l'analisi su un modello di due periodi, ed estenderla poi su un orizzonte arbitrario.

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli Vediamo innanzitutto di definire lo sviluppo dell'albero subito dopo la

radice, al tempo t = 1.

Le incognite sono tre:

valore del titolo rischioso nel nodo zero del primo livello y0(1)

valore del titolo rischioso nel nodo zero del primo livello y1(1)

la probabilità aggiustata per il rischio, di un aumento o diminuzione del prezzo,

.

Assumiamo invece di osservare: il valore del titolo rischioso al tempo 0, y(0)

il tasso d'interesse non rischioso Rf

il prezzo di mercato di un'opzione call, con data di esercizio al tempo t = 1 e

prezzo di esercizio pari al valore corrente del titolo rischioso, y(0) (un'opzione at-

the-money).

Il metodo di Derman e Kani: due livelli

0t 1t 2t

)(0y0

)(1y0

)(1y1

)(2y0

)()( 0y2y1

)(2y2

H

L

call(.;y (0),1) = y0(1) – y(0) call(.;y 0(1),2) = y0(2) – y0(1)

put(.;y1(1),2) = y1(1) - y2(2)

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli Il problema è di sfruttare le variabili osservate e le proprietà

della misura aggiustata per il rischio per definire un sistema di equazioni che consenta di ricavare le tre incognite: y0(1), y1(1) e .

Una prima proprietà della misura di probabilità aggiustata per il rischio consente di esprimere il prezzo forward del titolo rischioso, definito come F0(0) (1 + Rf)y0(0), usando la proprietà di martingala

1110 100 yyF 1110 100 yyF

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli Possiamo poi utilizzare l'equazione di valutazione dell'opzione

call, della quale osserviamo il prezzo sul mercato, per ottenere una seconda equazione del modello

dove abbiamo assunto il caso non degenere y0(1) > y(0) > y1(1)

(l'opzione viene esercitata solo su uno dei due nodi).

011 00 yy

RC

f

01

1 00 yyR

Cf

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli La chiusura del modello richiede l'introduzione di una terza equazione. Derman e Kani propongono di sfruttare questo grado di libertà per definire la traiettoria

della parte centrale dell'albero, con la scelta di una centering condition. In particolare propongono di sviluppare la parte centrale dell'albero intorno al valore

corrente y(0) del titolo rischioso, in parallelo con il modello binomiale a volatilità costante

che segue immediatamente da

Utilizzando la centering condition nelle equazioni del prezzo forward e dell'opzione otteniamo la probabilità aggiustata per il rischio ed il valore del titolo rischioso sui due nodi.

110 102 yyy 110 10

2 yyy

con , 1udd0y1yu0y1y 0100 con , 1udd0y1yu0y1y 0100

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli Procediamo avanti nell'albero, cercando di determinarne i

valori rilevanti al tempo 2.

Le incognite adesso sono cinque: i valori del titolo rischioso sui tre nodi (y0(2) e y1(2) e y2(2)); le probabilità di un aumento del prezzo a partire da ciascuno dei

due nodi raggiungibili al tempo 1, cioè H e L.

Assumiamo di osservare: tutte le variabili dell'albero fino al tempo 1; il prezzo di mercato di un'opzione call con data di esercizio al

tempo 2 e prezzo di esercizio pari a y0(1); il prezzo di mercato di un'opzione put con data di esercizio al

tempo 2 e prezzo di esercizio pari a y1(1).

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli A questo punto possiamo seguire una strategia analoga alla precedente e

definire due equazioni per i prezzi forward

Per quanto riguarda l'opzione call, avremo

0(1) è valore corrente di un titolo Arrow-Debreu che paga un’unità di valore in corrispondenza

dello stato y0(1) e dove ancora una volta poniamo y0(2) > y0(1) > y1(2)

212111 1000 yyFyR Huf 212111 1000 yyFyR Huf

212111 2111 yyFyR Ldf 212111 2111 yyFyR Ldf

121

112

12,1.; 00

00020 yy

Ryy

RyCall

f

H

f

H

12

1

112

12,1.; 00

00020 yy

Ryy

RyCall

f

H

f

H

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli Analogamente, per l'opzione put abbiamo:

dove 1(1) è un prezzo di Arrow-Debreu e assumiamo ancora y1(2) > y1(1) > y1(2). Abbiamo ancora una volta un grado di libertà da utilizzare, con quattro equazioni a fronte di cinque incognite.

Ancora una volta, il modello è chiuso definendo la centering condition, che in questo caso impone al prezzo del titolo di ritornare al valore corrente:

211

11

211

112,1;0,

211

2121

yyR

yyR

yyPut

f

d

f

d

211

11

211

112,1;0,

211

2121

yyR

yyR

yyPut

f

d

f

d

02 01 yy 02 01 yy

Il Metodo di Derman e Kani: due livelli Passiamo adesso ad analizzare l'algoritmo per un arbitrario nodo i al tempo

n - 1. Al tempo n - 1 assumiamo di conoscere, per averli già calcolati con il nostro

meccanismo di forward induction, gli n valori del titolo rischioso ed i rispettivi prezzi di Arrow-Debreu.

Vogliamo calcolare i valori delle variabili al tempo n, su n + 1 nodi. Consideriamo il generico nodo i e assumiamo di osservare al tempo 0 il

valore di un'opzione call con data di esercizio al tempo n e prezzo di esercizio pari a yi(n - 1).

Scriviamo l'equazione di valutazione dell'opzione nel modo seguente

1i

0ji1jjijjj

f

iif

ii

1nyny11nynyR1

1

1nynyR1

Call

1i

0ji1jjijjj

f

iif

ii

1nyny11nynyR1

1

1nynyR1

Call

Il modello di Derman e Kani: n livelli

t=n-1 t=n

y1(n)

0 y0(n)

n-1

yn(n)

yi(n)

yi+1(n)

yn-1(n)

i

.

.

0 , y0(n-1)

i, yi(n-1)

n-1, yn-1(n-1)

Il modello di Derman e Kani (generalizzazione)

t=n-1 t=n

y1(n)

0 y0(n)

n-1

yn(n)

yi(n)

yi+1(n)

yn-1(n)

i

.

.

0 , y0(n-1)

i, yi(n-1)

n-1, yn-1(n-1)

Il modello di Derman e Kani (generalizzazione)

Il modello di Derman e Kani: n livelli Utilizzando la definizione di prezzo forward e le proprietà della

misura aggiustata per il rischio:

nynynyRF jjjjjfj 1111 nynynyRF jjjjjfj 1111

1

0

1

01

1

111

i

jijj

i

jijjijjj

nyF

nynynyny

1

0

1

01

1

111

i

jijj

i

jijjijjj

nyF

nynynyny

Il modello di Derman e Kani: n livelli Il nuovo termine S è calcolabile a partire dall'informazione disponibile al tempo n - 1.

L'equazione di valutazione dell'opzione può quindi essere scritta in forma più succinta

D'altronde, la proprietà della probabilità aggiustata per il rischio implica

Sostituendo nell'equazione di valutazione dell'opzione e riordinando i termini otteniamo

cosicché il valore yi (n) è ottenuto in funzione di variabili note al tempo n - 1 e del valore yi + 1 (n).

1nynyCR1 iiiif 1nynyCR1 iiiif

nyny

nyF

ii

iii

1

1

nyny

nyF

ii

iii

1

1

nyFCR

nyFnyCRnyny

iiif

iiiifii

1

11

1

11

nyFCR

nyFnyCRnyny

iiif

iiiifii

1

11

1

11

Il modello di Derman e Kani: n livelli Possiamo notare la struttura ricursiva dell'algoritmo, e il fatto che è

necessario definire un grado di libertà ulteriore per l'inizializzazione. Tale grado di libertà consente l'introduzione della centering

condition, che ricordiamo essere

dove osserviamo che la numerazione dei nodi include 0, cosicché al tempo n abbiamo n + 1 nodi.

Così, ponendo ad esempio i + 1 = n/2 nel caso in cui n sia pari, siamo in grado di inizializzare l'algoritmo e calcolare y i (n) utilizzando un'opzione call con prezzo di esercizio yi (n - 1).

pari è se 0

dispari è se 0 condition centering

2/0

2/)1(2/)1(2

0

nnyy

nnynyy

n

nn

Il modello di Derman e Kani: n livelli Utilizzando poi il valore yi(n) così ottenuto, insieme al prezzo di un'opzione con

prezzo di esercizio pari a yi - 1(n - 1) siamo in grado di calcolare yi - 1(n), e così via fino all'ultimo nodo della parte superiore dell'albero.

I nodi della parte inferiore verranno invece ricavati in maniera speculare utilizzando opzioni put.

Infine, le probabilità di un aumento del prezzo in ogni nodo verranno calcolate utilizzando l'equazione dei prezzi forward. I prezzi di Arrow-Debreu al tempo n saranno calcolati come

A questo punto, disponiamo dei prezzi del titolo rischioso e dei titoli di Arrow-Debreu per ogni nodo al tempo n e possiamo continuare il calcolo per definire la struttura dell'albero al tempo n + 1, n + 2 e così via.

f

iii R

nn

1

1

f

iii R

nn

1

1


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Derman, Kani & Chriss

Alberi Trinomiali Impliciti Gli alberi trinomiali impliciti rappresentano una generalizzazione del

caso binomiale implicito; anche in questo caso l’albero viene “distorto” in modo da incorporare

una volatilità locale dipendente dal tempo e dal sottostante (smile e struttura a termine di volatilità)


Alberi Trinomiali Impliciti Nel determinare i parametri di un albero binomiale implicito, si

hanno un uguale numero di equazioni e di incognite; l’albero che si viene così a determinare è unico; Questa caratteristica di unicità talvolta può essere

svantaggiosa in quanto non permette di aggiustare i valori per calibrare situazioni in cui la volatilità cambia molto al variare del tempo e del livello del sottostante;

Per questo talora è preferibile ricorrere ad alberi trinomiali impliciti;

questo tipo di alberi possiedono un numero di parametri naturalmente più elevato e permettono di fissare in maniera arbitraria i prezzi dei nodi (price state);

Nel caso di un albero trinomiale, al termine di ogni step dobbiamo determinare cinque incognite la probabilità p la probabilità q il prezzo Su

il prezzo Sm

il prezzo Sd



Per l’assenza di arbitraggio abbiamo

... e per ottenere nel continuo la volatilità desiderata deve essere

Abbiamo quindi due vincoli e cinque incognite, per cui in ogni nodo restano tre parametri liberi che possiamo fissare a piacere



0mdu FSqp1qSpS )( 0mdu FSqp1qSpS )(

)()( tOtFFSqp1FSqFSp 220

20m

20d

20u )()( tOtFFSqp1FSqFSp 22

02

0m2

0d2

0u

Possiamo utilizzare questa libertà per scegliere in maniera adeguata l’albero dei prezzi (price state);

La scelta deve essere fatta in modo da garantire che le probabilità di transizione restino comunque confinate all’interno dell’intervallo [0, 1];

Una volta fissati i prezzi (ad esempio tramite la procedura utilizzata per generare un albero trinomiale standard) possiamo utilizzare i dati delle opzioni e dei forward in nostro possesso per calcolare i valori della probabilità di transizione;

Le formule che si ottengono sono simili al caso precedentemente visto a proposito dell’albero implicito binomiale;




Alberi Trinomiali Impliciti Forward Price

Option Price

ponendo K = Si+1 e riordinando otteniamo

i1iii2ii FSqp1Sp )( i1iii2ii FSqp1Sp )(

j

jjj1j1j1j2j2jtr

1n 0KSqqp1petKC ,max),(

j

jjj1j1j1j2j2jtr

1n 0KSqqp1petKC ,max),(

n2

1ij1ijj1i2iii1n1i

tr SFSSptSCe )()(,

n2

1ij1ijj1i2iii1n1i

tr SFSSptSCe )()(,

Nella precedente equazione l’unica incognita è la probabilità di transizione in quanto i prezzi sono fissati a priori e i valori delle opzioni e del forward sono noti; possiamo pertanto scrivere



)(

)(),(

1i2ii

n2

1ij1ijj1n1i

tr

i SS

SFtSCe

p

)(

)(),(

1i2ii

n2

1ij1ijj1n1i

tr

i SS

SFtSCe

p

1ii

1i1i2iiii SS

SSSpFq

)(

1ii

1i1i2iiii SS

SSSpFq

)((eq. forward price)

Utilizzando i prezzi di opzioni put possiamo calcolare le probabilità per i nodi del livello centrale e di quelli ad esso sottostanti



)(

)(),(

i1ii

1i

0jj1ij1n1i

tr

i SS

FStSPe

q

)(

)(),(

i1ii

1i

0jj1ij1n1i

tr

i SS

FStSPe

q

1i2i

1ii1iiii SS

SSSqFp

)(

1i2i

1ii1iiii SS

SSSqFp

)((eq. forward price)


Alberi Trinomiali Impliciti Una situazione che genera probabilità negative



Alberi Trinomiali ImplicitiAlberi Trinomiali Impliciti


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Alberi per tassi di interesse L’albero per i tassi di interesse è una rappresentazione in

tempo discreto del processo stocastico per il tasso a breve così come l’albero per i prezzi di un’azione è una rappresentazione in tempo discreto del processo seguito dal prezzo di un’azione;

Se l’intervallo di tempo usato è t, i tassi di interesse riportati sull’albero sono i tassi composti continuamente relativi ad un periodo di ampiezza pari a t.

L’assunzione che si fa di solito quando si costruisce un albero è che il tasso relativo al periodo t segua lo stesso processo stocastico del tasso istantaneo nel corrispondente modello in tempo continuo.

Alberi per tassi di interesse Una delle principali differenze fra gli alberi per i tassi di interesse e

gli alberi per i prezzi di un’azione sta nel modo in cui si effettua l’attualizzazione: nell’albero per i prezzi di un’azione si assume di solito che il tasso di

attualizzazione sia lo stesso ad ogni nodo... ... nell’albero per i tassi di interesse il tasso di attualizazione cambia da

nodo a nodo.

Per i tassi di interesse, spesso risulta conveniente usare un albero trinomiale piuttosto che binomiale;

il principale vantaggio di un albero trinomiale è che esso offre un ulteriore grado di libertà facilitando la rappresentazione di proprietà del processo seguito dal tasso di interesse come la mean reversion.


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Il modello ad alberi di Hull e White

Hull e White hanno proposto una procedura a due stadi per costruire alberi trinomiali relativi ad un ampio insieme di modelli ad un fattore.

Vediamo come si applica questa procedura al modello dinamico di Hull e White per il tasso istantaneo di interesse.

H&W hanno dimostrato in una serie di lavori che la procedura può essere generalizzata in modo relativamente semplice ad un’ampia categoria di modelli stocastici per la dinamica di r .

Il modello ad alberi di Hull e White Ramificazioni non standard

Hull e White hanno proposto delle modifiche al metodo di ramificazione standard di un albero trinomiale;

le ramificazioni non standard (riportate in figura) si rivelano utili per incorporare il fenomeno della mean reversion quando i tassi di interesse sono molto alti o, rispettivamente, molto bassi.

Primo stadio Ricordiamo che la dinamica del tasso di interesse istantaneo nel

modello di Hull e White è descritta da un processo stocastico del tipo

dove a e sono delle costanti come vedremo la funzione Theta viene scelta in modo da calibrare

il modello sulla struttura a termine iniziale.

dzdtartdr )( dzdtartdr )(

Primo stadio

il primo passo della procedura prevede di implementare un albero che tenga conto del fenomeno della mean reversion

A tale scopo si considera la variabile ausiliaria r* la cui dinamica è descritta dall’equazione

dzdtardr dzdtardr

Primo stadio

Si tratta di un processo simmetrico attorno a r* = 0 ; se consideriamo l’incremento

questo ha una distribuzione normale; inoltre se si ignorano termini di ordine superiore a t, il valore atteso

dell’incremento è pari a

e la sua varianza risulta

)()( trttr )()( trttr

ttar )( ttar )(

t2 t2

Primo stadio

Nell’albero la spaziatura fra i tassi di interesse viene scelta uguale a

secondo H&W questo valore risulta ottimale dal punto di vista della minimizzazione degli errori

Nel modello vi è l’assunzione implicita che il tasso istantantaneo si riferisca in realtà all’istante t che comunque si suppone piccolo.

t3r t3r

Primo stadio

Nel corso del primo stadio l’obiettivo è quello di costruire un albero i cui nodi siano equispaziati sia rispetto a r* che rispetto a t;

al fine di implementare la mean reversion occorrerà scegliere per ciascun nodo quale sia il metodo di ramificazione appropriato per proseguire la costruzione dell’albero;

Questa scelta determinerà la forma complessiva dell’albero; Infine dovremo calcolare le probabilità corrispondenti ad ogni

ramificazione;

Primo stadio

Primo stadio

La scelta del modello di ramificazione è determinata in base alla condizione che in ciascun nodo tutte e tre le probabilità di transizione devono risultare definite positive;

Nella maggior parte dei casi risulta valida la ramificazione simmetrica...

Primo stadio

Quando a > 0 è necessario passare alla ramificazione orientata verso il basso per un valore di j sufficientemente elevato;

analogamente, per valori di j sufficientemente bassi, è necessario utilizzare la ramificazione orientata verso l’alto

Primo stadio

Sia jmax il valore di j in corrispondenza del quale si passa dalla ramificazione simmetrica a quella orientata verso il basso e jmin il valore per il quale deve avvenire il cambiamento con la ramificazione orientata verso l’alto;

Hull e White hanno mostrato che per ottenere probabilità sempre positive è sufficiente scegliere

maxminmax ,.

int min jjta

1840j

maxminmax ,

.int min jj

ta

1840j

Primo Stadio

Siano pu , pm e pd le probabilità connesse con i rami

superiore, intermedio e inferiore che vengono generati dal nodo;

Le probabilità vengono scelte in modo coerente con il valore atteso e la varianza della variazione di r* nell’intervallo t ;

Inoltre la somma delle tre probabilità deve essere 1;

Primo stadio

Se al nodo (i, j) il metodo di ramificazione è quello simmetrico, le tre condizioni si traducono nelle seguenti equazioni:

1ppp

trjatrprp

trajrprp

dmu

222222d

2u

du

1ppp

trjatrprp

trajrprp

dmu

222222d

2u

du

Primo stadio

Ricordando che

t3r 22 t3r 22

2

tajtja

6

1p

tja3

2p

2

tajtja

6

1p

222

d

222m

222

u

2

tajtja

6

1p

tja3

2p

2

tajtja

6

1p

222

d

222m

222

u

Primo stadio

2

taj3tja

6

7p

taj2tja3

1p

2

tajtja

6

1p

222

d

222m

222

u

2

taj3tja

6

7p

taj2tja3

1p

2

tajtja

6

1p

222

d

222m

222

u

Primo stadio

2

tajtja

6

1p

taj2tja3

1p

2

taj3tja

6

7p

222

d

222m

222

u

2

tajtja

6

1p

taj2tja3

1p

2

taj3tja

6

7p

222

d

222m

222

u

Secondo Stadio

Il secondo stadio nella costruzione dell’albero consiste nel convertire l’albero per r* nell’albero per r;

ciò si ottiene spostando i nodi nell’albero di r* in modo da assicurare la coerenza con la term structure iniziale

Questo significa che una volta calibrato l’albero, i prezzi degli zero coupon che maturano ad ogni periodo dell’albero devono coincidere con i prezzi implici nella struttura per scadenza dei tassi correntemente osservata sul mercato.

Secondo Stadio

Definiamo la funzione

E’ facile verificare che la dinamica seguita da questa funzione è descritta da

di fatto calibrare il modello significa, come avevamo accennato all’inizio, scegliere un’opportuna funzione Theta in grado di rendere coerente l’albero dei tassi con la struttura a termine iniziale.

)()()( trtrt )()()( trtrt

dttatd )()( dttatd )()(

Secondo stadio

Secondo Stadio

Indichiamo con i la differenza fra il valore di r e r* al

tempo it ;

sia poi Qi,j il valore attuale di un titolo che paga 1 unità

di valore se viene raggiunto il nodo (i,j) e zero altrimenti (prezzo di Arrow-Debreu);

le i e le Qi,j vengono calcolate iterativamente tramite

un processo di induzione forward .

Secondo stadio da un punto di vista generale, supponiamo che le Qi,j siano state determinate

fino al livello m ;

il passo successivo consiste quindi nel determinare m in modo che l’albero

valuti correttamente un titolo a sconto con scadenza al tempo (m+1)t ;

Il tasso di interesse al nodo (m, j) è pari a jr + m per cui il prezzo di un

titolo a sconto con scadenza al tempo (m+1)t è pari a

dove nm è il numero di nodi al tempo mt su ciascuno dei due lati rispetto al

nodo centrale.

m

m

m

n

nj

trjjm1m eQP )(

,

m

m

m

n

nj

trjjm1m eQP )(

,

Secondo stadio La soluzione di questa equazione è

una volta determinato m, possiamo calcolare le Qi,j per i = m+1, infatti se indichiamo con q(k,j) la probabilità di passare dal nodo (m,k) al nodo (m+1,j) possiamo scrivere

t

PeQ 1m

n

nj

trjjm

m

m

m

lnln ,

t

PeQ 1m

n

nj

trjjm

m

m

m

lnln ,

k

trkkmj1m

mejkqQQ )(,, ),(

k

trkkmj1m

mejkqQQ )(,, ),(


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










Sistemi Lineari

La risoluzione di un sistema lineare ha un ruolo basilare nell’analisi

numerica Es. la discretizzazione di un’equazione differenziale porta alla soluzione di

un sistema lineare

Per questo scaturisce la necessità di avere a disposizione algoritmi

efficienti e per i quali siano note le proprietà di stabilità

Anche nell’ambito di una stessa categoria di problemi, quali ad esempio

quelli derivanti dalla risoluzione di equazioni differenziali, il tipo di

sistema può variare a seconda del metodo di discretizzazione utilizzato.

Sistemi Lineari

I metodi per la risoluzione dei sistemi lineari vengono, usualmente, divisi in due raggruppamenti Metodi Diretti: sono i metodi che in assenza di errori di

arrotondamento danno la soluzione in un numero finito di operazioni. Si tratta sostanzialmente dei metodi che utilizzano l’idea dell’eliminazione di Gauss.

Metodi Iterativi: la soluzione è ottenuta come limite di una successione di soluzioni di problemi lineari più semplici. Diversamente dal caso precedente, la matrice dei coefficienti non viene modificata durante il calcolo e quindi è più agevole sfruttarne la sparsità.

Sistemi Lineari: Metodi Diretti L’idea centrale dei metodi diretti è l’idea dell’eliminazione L’idea consiste nel ricavare (eliminare) da una fissata equazione

una particolare incognita e nella sua sostituzione nelle equazioni rimanenti

La sostituzione diminuisce la dimensione del problema Iterando il procedimento si riduce il problema originario ad un

problema ad una sola dimensione in una sola incognita Determinata tale incognita le altre componenti della soluzione

sono successivamente ottenute mediante una procedura di sostituzione all’indietro.

Sistemi Lineari: Sistemi Triangolari

Si tratta di un caso particolarmente importante perché la forma triangolare è il risultato finale dell’applicazione del metodo di

eliminazione a sistemi generali La soluzione è estremamente semplice

La matrice dei coefficienti è una matrice triangolare superiore o inferiore cioè rispettivamente della forma:

nn

n

n

u

uu

uuu

U

00

0 222

11211

nn

n

n

u

uu

uuu

U

00

0 222

11211

nnnn lll

ll

l

L

21

2221

11

0

00

nnnn lll

ll

l

L

21

2221

11

0

00

Sistemi Lineari: Sistemi Triangolari

Forward substitution

Backward substitution

bLy bLy

yUx yUx

N

jjiji

iii ylb

ly

l

by

1

11

11

1

N

jjiji

iii ylb

ly

l

by

1

11

11

1

N

ijjiji

iii

NN

NN

xuyu

x

u

yx

1

N

ijjiji

iii

NN

NN

xuyu

x

u

yx

1

Sistemi Lineari: Decomposizione LU

Supponiamo di dover risolvere un generico sistema del tipo

Se riusciamo a trovare due matrici, una triangolare inferiore L ed una triangolare superiore U tali che

Il nostro problema si riconduce alla risoluzione di due sistemi triangolari

bAx bAx

LUALUA

bLy bLy yUx yUx

Sistemi Lineari: Matrici Sparse In numerosi casi la matrice che descrive il sistema ha numerosi elementi nulli. Quale sia la percentuale di elementi necessaria per far ritenere una matrice

sparsa dipende naturalmente dal contesto. Comunemente una matrice è ritenuta sparsa se il numero di elementi diversi

da zero è dello stesso ordine di grandezza del numero di righe (e di colonne!) della matrice stessa: O(n).

La presenza di sparsità in una matrice rappresenta a priori un vantaggio dal momento che memorizzando solo gli elementi diversi da zero si possono ottenere notevoli vantaggi in termini di occupazione di memoria e di tempo di calcolo.

Tuttavia l’applicazione dei metodi diretti porta ad una modifica della matrice del sistema che tipicamente riduce o annulla la sparsità della matrice iniziale (fill-in).

Un’interessante alternativa ai metodi diretti, quando la matrice è sparsa e di grandi dimensioni è fornita dai metodi iterativi e dai metodi tipo gradiente. In essi, a differenza dei metodi diretti, la matrice di partenza non viene modificata e quindi per essi non esiste il problema del fill-in.

Sistemi Lineari: Studio dell’Errore Norme

Norma di un VettoreNel caso particolare di un vettore a valori reali con n dimensioni si definisce come norma p, con p compreso fra 1 e infinito, la quantità

Casi particolari: p = 2 Norma Euclidea p = Norma del Massimo (o di Chebichev)

pn

i

p

ipxx

/1

1

pn

i

p

ipxx

/1

1

ini

xx

1max i

nixx

1max

Sistemi Lineari: Studio dell’Errore Norme

Norma di una Matrice

La norma è “indotta” dalla norma dei vettori

BAAB BAAB

x

AxA

x 0sup

x

AxA

x 0sup

Sistemi Lineari: Studio dell’Errore Norma del massimo

La norma di matrice indotta dalla norma del massimo è la seguente

Cioè la massima delle somme dei moduli delle righe

n

jij

iaA

1

max

n

jij

iaA

1

max

Sistemi Lineari: Studio dell’Errore Matrici Convergenti

Per studiare la convergenza di procedure iterative è spesso necessario, come vedremo in seguito, stabilire quando per una matrice A si ha la convergenza a zero delle successive potenze, cioè quando

In questo caso si dice che la matrice è convergente. Una condizione sufficiente affinché una matrice risulti convergente è che per una norma si abbia

0lim

m

mA 0lim

m

mA

10lim

AAm

m10lim

AAm

m

Sistemi Lineari:Condizionamento Si tratta di studiare come varia la soluzione di un sistema lineare al variare dei

dati, cioè della matrice A e del termine noto b Iniziamo dal caso in cui venga modificato solo il termine noto…

bAx bAx bbxxA )( bbxxA )(

Sottraendo

Sottraendo

bAxbxA 1)( bAxbxA 1)(

Sistemi Lineari:Condizionamento

bAbAx 11 bAbAx 11

b

A

xxAAxb

1b

A

xxAAxb

1

b

bAA

x

x

1

b

bAA

x

x

1

Sistemi Lineari: Condizionamento Nel caso di variazione di A si ottiene…

bAx bAx bxxAA )( bxxAA )(

A

AAA

xx

x

1

A

AAA

xx

x

1

Numero di Condizionamento del Problema

Sistemi Lineari: Condizionamento Una matrice è detta ben condizionata

relativamente alla risoluzione di un sistema lineare se il numero di condizionamento non è “troppo grande” (questo naturalmente dipende dal contesto);

Si può dimostrare che il numero di condizionamento da una misura di quanto vicina sia una matrice all’essere singolare.

Sistemi Lineari: Metodi Iterativi

Rispetto ai metodi diretti hanno il vantaggio di preservare la struttura della matrice preservandone quindi l’eventuale sparsità

In generale sono di più facile implementazione Poiché tuttavia la soluzione è ottenuta come limite di una

successione per essere una valida alternativa possono aver bisogno di opportune tecniche di accelerazione

Introducono in ogni caso un errore dovuto all’approssimazione (studio della convergenza)

Sistemi Lineari: Metodi Iterativi Metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, Rilassamento

L’idea comune ai differenti metodi è la seguente. Data una stima iniziale x(0) del sistema lineare

Ax = bsi costruisce una successione di vettori {x(k)} risolvendo successivamente dei sistemi lineari semplici.

0)det( MNMA 0)det( MNMA

bNxMx

bNxMxbAx

kk

)()1( bNxMx

bNxMxbAx

kk

)()1(

Sistemi Lineari: Metodi Iterativi La matrice

è detta matrice di iterazione;

essa individua un particolare metodo ed il suo studio è fondamentale per stabilire la convergenza e la rapidità di convergenza del corrispondente metodo;

E’ utile considerare la seguente decomposizione di A

AMIAMMNMB 111 )( AMIAMMNMB 111 )(

superiore etriangolar

inferiore etriangolar

diagonale

FEDA superiore

etriangolarinferiore

etriangolardiagonale

FEDA


Metodo di Jacobi

L’implementazione del metodo richiede due vettori xold, xnew; alla fine di ogni ciclo si pone xnew = xold. Le componenti del vettore xnew sono costruite a partire dal vettore xold in maniera indipendente; l’algoritmo è quindi in forma parallela.

FENDM , FENDM , ADIFEDBJ11 ADIFEDBJ

11

1

1 1

)()()1( 1 i

j

n

ij

kjij

kjiji

ii

ki xaxab

ax

1

1 1

)()()1( 1 i

j

n

ij

kjij

kjiji

ii

ki xaxab

ax


Metodo di Gauss-Seidel

A differenza del metodo di Jacobi, per l’implementazione del metodo di Gauss-Seidel è sufficiente un solo vettore; le componenti del vettore iterato, infatti, sono utilizzate non appena vengono calcolate.

FNEDM , FNEDM , FDEDIFEDBJ1111 FDEDIFEDBJ

1111

1

1 1

)()1()1( 1 i

j

n

ij

kjij

kjiji

ii

ki xaxab

ax

1

1 1

)()1()1( 1 i

j

n

ij

kjij

kjiji

ii

ki xaxab

ax

Sistemi Lineari: Metodi Iterativi Metodo di Rilassamento

Con l’obiettivo di accelerare la convergenza si possono modificare i metodi precedenti scegliendo di aggiornare il vettore al passo k + 1 con una opportuna media pesata del valore al passo k-esimo e del nuovo valore calcolato;

Ad esempio il metodo di Gauss-Siedel può essere così modificato; una voltà calcolata la quantità

Si assume come nuovo valore la combinazione lineare

1

1 1

)()1(1 i

j

n

ij

kjij

kjiji

iii xaxab

ay

1

1 1

)()1(1 i

j

n

ij

kjij

kjiji

iii xaxab

ay

)()1( )1( ki

ki xyx )()1( )1( k

ik

i xyx


Studio della convergenzaConsiderando la decomposizione generale ed indicando con x* la soluzione del sistema Ax = b, possiamo scrivere:

da cui, ponendo

Si ha la seguente relazione ricorrente sull’errore

che, per applicazione successiva, può essere scritta come

bMBxx

bMBxxkk 1)()1(

1**

bMBxx

bMBxxkk 1)()1(

1**

)()( * kk xxe )()( * kk xxe

)()1( kk Bee )()1( kk Bee

)0()1( eBe kk )0()1( eBe kk


Il metodo iterativo definito dalla matrice di iterazione B converge se e solo se

Da questo risultato discende che il metodo di rilassamento converge solo per

1B 1B

20 20


Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










PDE: Definizioni e Classificazione L’equazione di Black & Scholes

Dinamica del sottostante descritta da un’equazione differenziale stocastica

Utilizzo del principio di non arbitraggio

02

12

222

rfS

frS

S

fS

t

f 02

12

222

rfS

frS

S

fS

t

f

Per trovare delle specifiche soluzioni è necessario aggiungere opportune condizioni al contorno

L’equazione ha alcune caratteristiche distintive È del secondo ordine È lineare È un’equazione parabolica

PDE: Definizioni e Classificazione

L’ordine di un’equazione differenziale è l’ordine più alto fra quelli delle derivate presenti all’interno dell’equazione

La forma generica di un’equazione differenziale lineare del secondo ordine è la seguente (dove è una funzione di x e y):

02

22

2

2

gfy

ex

dy

cyx

bx

a 02

22

2

2

gfy

ex

dy

cyx

bx

a


Per semplicità ci occuperemo solo di equazioni differenziali lineari; Sebbene in finanza la maggior parte dei modelli di pricing si basi

su PDE lineari, è interessante notare che si possono ottenere equazioni non lineari semplicemente eliminando alcune delle semplificazioni implicite nel modello di Black e Scholes;

Ad esempio introducendo i costi di transazione, l’equazione di Black & Scholes diventa… (Wilmott, Derivatives, Cap. 21)


La classificazione delle equazioni differenziali del secondo ordine dipende dal segno assunto dall’espressione

Se > 0 l’equazione è iperbolica Se = 0 l’equazione è parabolica Se < 0 l’equazione è ellittica

acb 42 acb 42


Equazione Ellittica Equazione di Laplace

Equazione Iperbolica Equazione delle Onde

02

2

2

2

yx

02

2

2

2

yx

01

2

2

22

2

xvt

01

2

2

22

2

xvt


Equazione Parabolica

Equazione della diffusione del calore

Perché è così interessante per la finanza?

Perché l’equazione di Black & Scholes è un’equazione

parabolica, anzi con un opportuno cambio di variabile si può

dimostrare che è esattamente uguale all’equazione della

propagazione del calore!

2

2

xk

t

2

2

xk

t


Per integrare l’equazione occorre

aggiungere una condizione iniziale

e delle condizioni al contorno

10 )()0,( xxux

Nei problemi finanziari la condizione iniziale è usualmente sostituita da una condizione terminale. Ad esempio il payoff di un’opzione è conosciuto solo alla scadenza.

Nei problemi finanziari la condizione iniziale è usualmente sostituita da una condizione terminale. Ad esempio il payoff di un’opzione è conosciuto solo alla scadenza.

0 ),1(),0( 0 tutt


Limiti del dominio di integrazione Da un punto di vista computazionale, il dominio di integrazione

deve essere comunque limitato sia nel tempo che nell’altra variabile (es. valore del sottostante)

Le condizioni al contorno sono molto semplici per le opzioni europee plain vanilla; per le opzioni con barriera di solito possono addirittura semplificare il

problema; per altri tipi di opzione esotiche le condizioni al contorno possono a

loro volta richiedere particolari tecniche numeriche per la loro espressione;

il caso delle opzioni americane è invece più complesso: siamo in presenza di un cosiddetto free boundary.


La forma dell’equazione e l’insieme delle condizioni iniziali e al

contorno determinano se un dato problema è ben posto;

Un problema è ben posto se Esiste una soluzione;

La soluzione è unica (almeno all’interno di una famiglia di

soluzioni di interesse);

La soluzione non risente della dipendenza sensibile dai dati del

problema (cioè una “piccola” perturbazione nei dati deve

risultare in una “piccola” perturbazione nella soluzione)



Alberi Binomiali

Alberi Trinomiali










L’idea di base

L’idea di base dei metodi alle differenze finite è intuitiva e pericolosa allo stesso tempo!

Si tratta di approssimare le derivate parziali con quozienti di differenze finite

S

C

S

C

• Forward Approximation

•Backward Approximation

•Central Approximation )(2

)()()( 2hO

h

hxfhxfxf

)()()(

)( hOh

xfhxfxf

)(

)()()( hO

h

xfhxfxf

)()()(

)( hOh

hxfxfxf

)(

)()()( hO

h

hxfxfxf

Approssimazione discreta della derivata del primo ordine

Approssimazione discreta della derivata del primo ordine

Dallo sviluppo in serie di Taylor possiamo ottenere un’approssimazione valida fino a termini del secondo ordine

)()()(2)(

)( 22

hOh

hxfxfhxfxf

)(

)()(2)()( 2

2hO

h

hxfxfhxfxf

Approssimazione discreta

della derivata del secondo ordine

Schemi di discretizzazione

In generale applicheremo i nostri schemi di discretizzazione a funzioni di due variabili

È naturale pertanto definire una griglia di punti della forma

I valori della funzione sulla griglia formano pertanto una matrice

),( yjxi ),( yjxi

),(),( yjxiyx ij ),(),( yjxiyx ij

Nei casi che andremo a studiare le variabili saranno S (valore del sottostante) e t (tempo alla scadenza del contratto)

Poiché non disponiamo di una condizione iniziale bensì di una condizione finale, è conveniente scegliere

SiS SiS

tjTt tjTt

Ii0

Jj 0



Osservazione 1 Poiché il dominio della soluzione all’equazione di Black e

Scholes nel continuo è 0 ≤ S < , IS rappresenta la nostra approssimazione dell’infinito;

In pratica questo limite superiore non necessità di essere eccessivamente grande, è sufficiente prendere un valore pari a tre o quattro volte il prezzo di esercizio;

Per le opzioni con barriera il problema talora si semplifica in quanto non è necessario trovare soluzioni per tutti i valori di S; ad esempio per un’opzione up-and-out non è necessario generare punti della griglia corrispondenti a valori di S che superano la barriera.


Osservazione 2 Notate che il tempo “scorre” al contrario,

all’aumentare di j , t diminuisce; Il valore della funzione sulla griglia sarà pertanto

indicato come

),( tjTSiffij ),( tjTSiffij

A seconda del tipo di equazione e dell’approsimazione utilizzata per

calcolare le derivate, otterremo un insieme di equazioni algebriche;

La definizione delle condizioni al contorno merita particolare attenzione;

In ogni caso ci aspetteremo che facendo tendere a zero gli incrementi

x e y la soluzione del set di equazioni algebriche converga alla

soluzione della PDE…

… ma questo non è assolutamente garantito!



Utilizziamo come esempio l’equazione di Black &

Scholes Approssimazione di

Approssimazione di

Approssimazione di

t

ff

t

f jiji

1,,

S

ff

S

f jiji

2,1,1

2

,1,,1

2

2 2

S

fff

S

f jijiji

Condizioni finali e payoff Alla scadenza il valore dell’opzione è pari al payoff da cui

ricaviamo la condizione:

Il payoff è una funzione nota di S, ad esempio per una call porremo:

)(),( 0, SiPayofffTSf i )(),( 0, SiPayofffTSf i

)0,max(0, KSifi )0,max(0, KSifi

Condizioni al contorno


Dobbiamo specificare il valore assunto dalla funzione f per

S = 0 e S = IS;

La specifica delle condizioni al contorno dipende dal tipo di

opzione;

Vediamo alcuni esempi…


Call Option Se il sottostante è nullo anche il valore dell’opzione è zero

Per grandi valori del sottostante il valore dell’opzione tende asintoticamente a

0,0 jf 0,0 jf

)( tTrKeS trj

jI KeSIf ,

trjjI KeSIf ,


Put Option Per S = 0 abbiamo la condizione

Mentre per grandi valori del sottostante la put diventa priva di valore, ovvero

trjj Kef ,0

trjj Kef ,0

0, jIf 0, jIf


Ulteriori condizioni

02

12

222

rfS

frS

S

fS

t

f 02

12

222

rfS

frS

S

fS

t

f

0),0(),0(

0

trf

t

tfS

1,0,0,01,0,0 10

jjj

jj ftrfrft

ff


Ulteriori condizioni: se il payoff è lineare in S per grandi valori di S

02

12

222

rfS

frS

S

fS

t

f 02

12

222

rfS

frS

S

fS

t

f

0),(

2

2

S

tSfS

jIjIjI fff ,2,1, 2


Opzioni con Barriere Es. up-and-out Call

V(Sb, t) = 0

Volendo inserire questa condizione nella griglia di valutazione, l’ideale sarebbe avere il valore della barriera lungo una linea della griglia stessa, cioè Sb/S dovrebbe essere un numero intero.



Opzioni con BarriereSpesso non è possibile verificare questa condizione, al fine di mantenere basso l’errore, in questi casi è conveniente considerare il punto che si trova oltre la barriera ed effettuare un’interpolazione.


Es. Condizione sulla Barriera Supponiamo quindi di avere una barriera che possiamo esprimere

nella forma

Ad esempio per un opzione di tipo “out” il valore di sarà 0 mentre per un’opzione di tipo “in” dovrà essere uguale al valore dell’opzione che entra in esercizio alla barriera.

)(),( ttSf B )(),( ttSf B

Condizioni al contorno Es. Condizione sulla Barriera

Se indichiamo quindi con fI-1,j un punto situato subito prima della barriera e con fI,j il punto della griglia subito oltre la barriera stessa, possiamo porre come condizione al contorno

In questo modo la retta che unisce i due punti assume esattamente valore sulla barriera.

S

SIS

dove

ff

b

jIjI

)1(

)1(1

,1,

S

SIS

dove

ff

b

jIjI

)1(

)1(1

,1,

Metodo Esplicito

0),(),(),(2

2

ftScS

ftSb

S

ftSa

t

f 0),(),(),(2

2

ftScS

ftSb

S

ftSa

t

f

),(2

2

2,,

,1,1,

2

,1,,1,

1,,

StOfcS

ffb

S

fffa

t

ff

jijijiji

ji

jijijiji

jiji

Riscriviamo l’equazione alle differenze finite ponendo il termine j + 1 a sinistra del segno di uguale

Metodo Esplicito

jijijijijijiji fCfBfAf ,1,,,,1,1, )1( jijijijijijiji fCfBfAf ,1,,,,1,1, )1(

jijiji

jijiji

jijiji

bcacC

S

tc

S

tctcacB

bcacA

,2,1,

221,,1,

,2,1,

2

1

, 2

2

1

Metodo Esplicito Nei casi che prenderemo in considerazione, i coefficienti A, B e C

non dipendono dal tempo e quindi non contengono l’indice j;

Esplicitando la dipendenza dai parametri dell’equazione

differenziale, possiamo quindi scrivere

triiC

triBtriiA

i

ii

22

2222

2

1

2

1

triiC

triBtriiA

i

ii

22

2222

2

1

2

1

Metodo Esplicito

Il metodo alle differenze finite esplicito è equivalente al calcolo con alberi trinomiali

Il valore dell’opzione in questo punto

E’ calcolato a partire dai valori dell’opzione in questi punti

L’equazione appena scritta vale solo per i punti interni alla griglia;

Abbiamo pertanto I – 1 equazioni per I + 1 incognite;

Le ulteriori due equazioni provengono dalle condizioni al contorno per i = 0 e i = I;

Se conosciamo fi,j per ogni i allora possiamo ricavare il valore di fi,j+1;

Metodo Esplicito

Metodo Esplicito Poiché conosciamo il valore di fi,0 che è pari al

valore del payoff, possiamo calcolare step by step tutti i valori nella griglia corrispondenti agli istanti precedenti fino al valore attuale.

Dal momento che il valore della funzione al passo temporale j + 1 è una funzione esplicita del valore agli step precedenti, il metodo appena descritto viene detto metodo alle differenze finite esplicito.

Esempio 1ProgrammazioneVBA


Calcolo del Prezzo di una Call Europea Calcolo del Prezzo di una Call Europea

Metodo Esplicito

Esempio 1 – Call Europea

'' loop di calcolo'For j = 0 To NumTStep - 1 For i = 1 To NumSStep - 1 A = 0.5 * dt * i * (Volatility * Volatility * i - RiskFreeRate) B = -(Volatility * Volatility * i * i + RiskFreeRate) * dt C = 0.5 * dt * i * (Volatility * Volatility * i + RiskFreeRate) f(i, j + 1) = A * f(i - 1, j) + (1 + B) * f(i, j) + C * f(i + 1, j) Next i ' ' condizioni al contorno per S = 0 e per S "molto grande" ' If TipoOpzione = 0 Then ' call option f(0, j + 1) = 0 f(NumSStep, j + 1) = NumSStep * dS - Strike * Exp(-RiskFreeRate * (j + 1) * dt) ElseIf TipoOpzione = 1 Then ' put option f(0, j + 1) = Strike * Exp(-RiskFreeRate * (j + 1) * dt) f(NumSStep, j + 1) = 0 End IfNext j

Metodo Esplicito

Problemi di convergenza

jijijijijijiji fCfBfAf ,1,,,,1,1, )1( jijijijijijiji fCfBfAf ,1,,,,1,1, )1(

..

10000

010

001

0001

,1

,3

,2

,1

1

333

222

11

1,1

1,3

1,2

1,1

cc

f

f

f

f

B

CBA

CBA

CB

f

f

f

f

jn

j

j

j

njn

j

j

j

..

10000

010

001

0001

,1

,3

,2

,1

1

333

222

11

1,1

1,3

1,2

1,1

cc

f

f

f

f

B

CBA

CBA

CB

f

f

f

f

jn

j

j

j

njn

j

j

j

Affinché il sistema converga è necessario che la norma della matrice sia minore di 1

Da questo si ricavano due limiti importanti sulla dimensione degli step

Metodo Esplicito


r

SS

S

St

2

22

2

r

SS

S

St

2

22

2

Significato finanziario dei limiti sugli intervalli Vediamo quale relazione

intercorre fra il metodo esplicito e gli alberi trinomiali

Ripristiniamo il normale “scorrere” del tempo ed approssimiamo le derivate rispetto ad S al tempo t con i valori stimati al tempo t + t

Metodo Esplicito


Metodo Esplicito

Problemi di convergenza Applicando questa approssimazione si giunge alla seguente espressione

che rappresenta un’altra forma del metodo alle differenze esplicito

1,11,1,1,ˆˆˆ

jiijiijiiji fCfBfAf 1,11,1,1,ˆˆˆ

jiijiijiiji fCfBfAf

tr

triiC

tr

tiB

tr

triiA

i

ii

121

1

1

1

21

ˆ

22

2222

tr

triiC

tr

tiB

tr

triiA

i

ii

121

1

1

1

21

ˆ

22

2222

Metodo Esplicito


ui

ui

i

trtr

triiC

trtr

tiB

trtr

triiA

1

1

121

ˆ

1 1

1

1

1ˆ

1

1

1

21

ˆ

22

0d0

22

d

22

ui

ui

i

trtr

triiC

trtr

tiB

trtr

triiA

1

1

121

ˆ

1 1

1

1

1ˆ

1

1

1

21

ˆ

22

0d0

22

d

22

Metodo Esplicito

Problemi di convergenza Possiamo interpretare queste quantità come

probabilità risk-neutral ;

Infatti l’incremento di valore nell’intervallo di tempo avviene al tasso privo di rischio!

trStSriSSSE ud 00 trStSriSSSE ud 00

Metodo Esplicito

Problemi di convergenza Le condizioni di stabilità del metodo esplicito si traducono

quindi nella richiesta che tali probabilità siano sempre non negative!

tSS

StStSi

r

SSSrSi

u

d

, 0

0

00

22

22222

0

22

tSS

StStSi

r

SSSrSi

u

d

, 0

0

00

22

22222

0

22



Calcolo del Prezzo di un’Opzione Parigina Calcolo del Prezzo di un’Opzione Parigina

Metodo Esplicito

Esempio 2 – Parigina

Introduciamo una nuova variabile di stato che rappresenta il tempo in cui il valore dell’asset si trova oltre la barriera

In questo caso la barriera divide la regione di integrazione in due parti, nella prima il prezzo dell’asset si trova fuori dalla regione di attivazione e quindi l’equazione differenziale che descrive il comportamento dinamico dell’opzione è la stessa; nella seconda entra in gioco la variabile e l’equazione diventa

Metodo Esplicito

Esempio 2 – Parigina

02

12

222

rfS

frS

S

fS

f

t

f

02

12

222

rfS

frS

S

fS

f

t

f

Metodo Implicito

0),(),(),(2

2

ftScS

ftSb

S

ftSa

t

f 0),(),(),(2

2

ftScS

ftSb

S

ftSa

t

f

),(2

2

21,1,

1,11,11,

2

1,11,1,11,

1,,

StOfcS

ffb

S

fffa

t

ff

jijijiji

ji

jijijiji

jiji

Metodo Implicito

Sono calcolati a partire dai valori dell’opzione in questo punto

I valori dell’opzione in questi punti

Riscriviamo l’equazione alle differenze finite ponendo il termine i, j a sinistra del segno di uguale

Metodo Implicito

1,11,1,1,1,11,, )1( jijijijijijiji fCfBfAf 1,11,1,1,1,11,, )1( jijijijijijiji fCfBfAf

1,21,11,

2211,1,11,

1,21,11,

2

1

, 2

2

1

jijiji

jijiji

jijiji

bcacC

S

tc

S

tctcacB

bcacA

Metodo Implicito

Contrariamente alle apparenze il metodo implicito presenta

caratteristiche completamente diverse dal metodo esplicito Il metodo non soffre delle problematiche legate allo step lungo la

direzione temporale; lo step lungo S può essere piccolo e lo step lungo t più grande senza per questo creare problemi di convergenza;

La soluzione dell’equazione alle differenze finite non è più immediata; occorre risolvere un sistema di equazioni algebriche;

Allo stesso costo computazione è comunque possibile trovare un’approssimazione ancora migliore…

Metodo di Crank-Nicolson

Il metodo di Crank-Nicolson può essere pensato come una sorta di media dei due metodi visti fino a questo momento, di fatto esso utilizza i valori in sei punti come mostrato in figura

Metodo di Crank-Nicolson Lo schema di discretizzazione è il seguente

Questo schema risulta corretto fino al secondo ordine in entrambe le variabili!

),(2

1

2

1

22

1

22

1

2

2

12

2

1

22,,1,1,

,1,1,

1,11,11,

2

,1,,1,2

1,11,1,11,

1,,

StOfcfc

S

ffb

S

ffb

S

fffa

S

fffa

t

ff

jijijiji

jijiji

jijiji

jijijiji

jijijiji

jiji

),(2

1

2

1

22

1

22

1

2

2

12

2

1

22,,1,1,

,1,1,

1,11,11,

2

,1,,1,2

1,11,1,11,

1,,

StOfcfc

S

ffb

S

ffb

S

fffa

S

fffa

t

ff

jijijiji

jijiji

jijiji

jijijiji

jijijiji

jiji

Metodo di Crank-Nicolson Lo schema può essere riscritto nella seguente forma

Dove i valori dei coefficienti vengono dedotti come al solito dai coefficienti dell’equazione differenziale nel continuo.

Il metodo è stabile come il metodo implicito (possono essere utilizzati valori qualunque per gli step) e risulta più preciso.

jijijijijiji

jijijijijiji

fCfBfA

fCfBfA

,1,,,,1,

1,11,1,1,1,11,

)1(

)1(

jijijijijiji

jijijijijiji

fCfBfA

fCfBfA

,1,,,,1,

1,11,1,1,1,11,

)1(

)1(

Metodo di Crank-Nicolson L’espressione appena vista può essere posta in forma matriciale

Le due matrici hanno I-1 righe e I+1 colonne, si tratta quindi di un sistema di I-1 equazioni in I+1 incognite.

jI

jI

j

j

III

II

jI

jI

j

j

III

II

f

f

f

f

CBA

CB

BA

CBA

f

f

f

f

CBA

CB

BA

CBA

,

,1

,1

,0

111

22

22

111

1,

1,1

1,1

1,0

111

22

22

111

)1(0

0)1(

0000

)1(0

0)1(

)1(0

0)1(

0000

)1(0

0)1(

jI

jI

j

j

III

II

jI

jI

j

j

III

II

f

f

f

f

CBA

CB

BA

CBA

f

f

f

f

CBA

CB

BA

CBA

,

,1

,1

,0

111

22

22

111

1,

1,1

1,1

1,0

111

22

22

111

)1(0

0)1(

0000

)1(0

0)1(

)1(0

0)1(

0000

)1(0

0)1(

Metodo di Crank-Nicolson Le due equazioni aggiuntive vengono fornite dalle condizioni al contorno.

Utilizzando anche le condizioni al contorno possiamo riformulare il problema

in termini di un sistema di equazioni con matrici quadrate del tipo

r è un vettore noto che dipende dalle condizioni al contorno e/o iniziali

(Per una rassegna completa della forma da attribuire alle condizioni al contorno si veda Wilmott Derivatives.)

jj

Rjjj

L vMrvM

11

jj

Rjjj

L vMrvM

11

Metodo di Crank-Nicolson Es. Condizione al contorno per f0,j

0

0

0

10000

010

001

0001

)1(0

0)1(

0000

)1(0

0)1(

1,01

1,1

1,3

1,2

1,1

1

333

222

11

1,

1,1

1,1

1,0

111

22

22

111

j

jI

j

j

j

n

jI

jI

j

j

III

II

fA

f

f

f

f

B

CBA

CBA

CB

f

f

f

f

CBA

CB

BA

CBA

0

0

0

10000

010

001

0001

)1(0

0)1(

0000

)1(0

0)1(

1,01

1,1

1,3

1,2

1,1

1

333

222

11

1,

1,1

1,1

1,0

111

22

22

111

j

jI

j

j

j

n

jI

jI

j

j

III

II

fA

f

f

f

f

B

CBA

CBA

CB

f

f

f

f

CBA

CB

BA

CBA


Le matrici M che compaiono nella risoluzione dello schema di Crank-Nicolson sono matrici tri-diagonali;

Possiamo utilizzare i vari metodi di risoluzione discussi predentemente LU Decomposition Metodi Iterativi


Decomposizione LU Per problemi in cui la matrice M non dipende dal tempo, tale

approccio è sicuramente conveniente in quanto la decomposizione viene effettuata una sola volta;

Nei casi frequenti in cui si abbia dipendenza dal tempo, tuttavia, tale processo va ripetuto ad ogni step temporale rallentando significativamente il processo di calcolo;

Inoltre tale metodo non si presta ad essere facilmente modificabile per trattare l’eventualità di esercizio anticipato.


Metodi Iterativi I metodi iterativi sono, in generale, più facili da

programmare della decomposizione LU; Inoltre sono facilmente estendibili al caso di opzioni

americane o altri derivati con esercizio anticipato; Di contro possono essere più lenti della

decomposizione LU nel caso di derivati di tipo Europeo

Metodo di Crank-Nicolson Metodi Iterativi

Esercizio Europeo

Esercizio Americano

1

1 1

11i

j

N

j

njij

njiji

ii

ni

ni vMvMq

Mvv

1

1 1

11i

j

N

j

njij

njiji

ii

ni

ni vMvMq

Mvv

PayoffvMvMqM

vvi

j

N

j

njij

njiji

ii

ni

ni ,max

1

1 1

11

PayoffvMvMqM

vvi

j

N

j

njij

njiji

ii

ni

ni ,max

1

1 1

11



Calcolo del Prezzo di una Call Americana Calcolo del Prezzo di una Call Americana

Lezione 2 alberi e differenze finite

Education

Transcript of Lezione 2 alberi e differenze finite