Forza di Lorentz

Correnti e magneti

Campi lentamente variabili e correnti indotte

Esperienza di Oerstead

Ad aprire gli studi sull’elettromagnetismo e sull’origine del campo magnetico fu l’esperienza di Oerstead

L’azione del campo magnetico su una carica puntiforme dotata di movimento è descritta dalla forza di Lorentz:

secondo cui, una carica elettrica, q, in moto in un campo magnetico, è soggetta ad una forza agente solo sulla direzione e il verso di .

Questa forza è perpendicolare al piano individuato dalla direzione della velocità di q e dalla direzione del campo magnetico, ecco perché non agisce sul modulo della velocità di q e quindi sulla sua energia cinetica.

Fasci descritti da elettroni in situazioni diverse di campo magnetico

q è la carica elettrica, la velocità di q, il campo magnetico attraversato dalla carica.

Forza di Lorentz1-7

N. B.: In generale la forza di Lorentz si scrive considerando anche il contributo del campo elettrico:

ma noi consideriamo la sola presenza del campo magnetico, supponendo nullo il campo elettrico.

f = qE + qv B⋀

uscente

+

-

n

La deviazione della traiettoria di una particella carica da parte di un campo magnetico avviene in ragione del segno della carica.

Forza di Lorentz

Se non c’è nessun effetto di sul moto di q

Forza di Lorentz3-7

uscente

Basta che non sia e la forza di Lorentz produce l’effetto di curvare la traiettoria della carica.

Forza di Lorentz4-7

Se v ha una componente parallela ed un’altra perpendicolare a B, il moto della particella nel campo sarà elicoidale. Una volta uscita riprenderà il suo moto rettilineo. La componente di v parallela al campo non subisce alcuna influenza da B.

Particellacarica

Forza di Lorentz5-7

v

B

LA componente non è influenzata dal C.M., per cui fa traslare la particella, invece interagisce con il C.M. inducendo una rotazione della carica, che quindi trasla e ruota

𝑉 ⊥𝑉 ⊥

è una forza sempre perpendicolare alla velocità, quindi alla traiettoria, di q.La forza di Lorentz è una forza centripeta e genera una traiettoria circolare.

Quanto vale il raggio di questa traiettoria?

ricordando che l’accelerazione centripeta vale:2v

ar

Dalla seconda legge della dinamica: f = ma

2vm qvBsenα

r

Da cuimv

rqBsenα

Non è detto che la traiettoria sia una circonferenza completa, dipende dalle relative intensità di B, q e .

Forza di Lorentz6-7

La forza di Lorentz compie lavoro?

cos SFSFL LL

Siccome

Dal teorema dell’energia cinetica la F.di L. non può cambiare il modulo di .

Influenza solo la direzione ed il verso della velocità.

E quindi il lavoro è nullo

Forza di Lorentz7-7

𝐹𝐿⊥𝑉 ∥ 𝑆⇒ 𝐹𝐿⊥𝑆

Moto di una carica in un c.m. uniforme• Una carica q  che si muove con velocità v

perpendicolarmente alle linee di forza di un campo magnetico uniforme B è sottoposta alla forza di Lorentz il cui modulo è:   F = qvB

• La forza di Lorentz • FL = qvB

fornisce la forza centripeta del moto: Fc = mv2/r

• Essendo quindi • Fc = FL => qvB = mv2/r => r = mv/qB

Moto circolare in campo magneticoConsideriamo una particella carica che entra in un campo

magnetico con velocità perpendicolare al campo magnetico

Poichè la forza di Lorentz (e quindi l’accelerazione) è perpendicolare alla velocità, il moto è circolare uniforme

Forza centripeta:R

vmvBq

2

Bq

mvR Raggio di curvatura:

Periodo:Bq

m π2

v

R π2T

S

Le direzioni di i e di B in questo caso sono perpendicolari

B

Interazione corrente magnete: forze su conduttori percorsi da corrente

i

FB

i

N

quando le linee di campo sono perpendicolari al filo percorso da corrente percorso da corrente la forza magnetica sul filo percorso da corrente ha intensità massima. la forza magnetica sul filo percorso da corrente ha intensità minore quando il filo percorso da corrente è inclinato rispetto alle linee di campo.

la forza magnetica sul filo percorso da corrente ha intensità nulla quando il filo percorso da corrente è parallelo alle linee di campo.

Volendo generalizzare l’esperienza si dovrebbe studiare la dipendenza della forza magnetica anche in funzione dell’angolo fra la direzione di i e le linee del campo magnetico. Si osserverebbe che:

In ogni caso ha importanza solo la parte di filo percorso da corrente immersa nel campo magnetico.

Interazione corrente-magnete6-8

La forza cui è sottoposto il filo percorso da corrente e immerso nel campo magnetico dipende: 1. dal campo magnetico B. 2. da i (vettore con la direzione del filo e il verso della corrente). 3. dall’angolo che il filo forma con le linee di forza del campo magnetico.

L’operazione definita nella matematica dei vettori: Prodotto Vettoriale, per-mette di sintetizzare le proprietà della forza magnetica appena descritte.

In particolare:1. Non c’è forza magnetica se le direzioni di i e B sono parallele. 2. Fissato i e B, la forza cresce con l’angolo fino a raggiungere il massimo a

90°, poi decresce.3. La forza dipende solo dalla parte di filo completamente attraversata

dalle linee di campo magnetico.

Riassumiamo le considerazioni mostrate.

Interazione corrente-magnete7-8

F i Bl

seni

FB

l

B è il vettore campo magnetico (d’induzione magnetica) il cui verso è dato dall’orientamento sud-nord di un ago magnetico ed il suo modulo vale:

B si misura in tesla,( simbolo: T ). B ha intensità di 1T in un punto quando un conduttore rettilineo lungo 1m e percorso da una corrente di 1A è soggetto alla forza di 1N quando è posto in quel punto perpendicolarmente (sen90°= 1) alla direzione del campo magnetico. 1T equivale ad 1N/1A∙1m .

BF

i

i

F

B

FiB

B

i F

interazione corrente-magnete, Faraday 1821Vettore di induzione magnetica B 8-8

L’intensità del campo magnetico terrestre sulla superficie varia dall’equatore ai poli da circa 2 10∙ -5 T a 7 10∙ -5 T.

Che succede se inseriamo una spira (per comodità quadrata) in un campo magnetico e con i lati AD e BC perpendicolari a B?

B

CD

A

B

Vista dall’alto

A

Momento torcente di B su una spira 1-5

Con questa scelta, su AB e su CD la forza di Lorentz non produce effetti, o meglio, se i lati AB e CD non sono paralleli a B, la forza di Lorentz tendereb-be a dilatare la spira, che però la supponiamo rigida.

A B

CD

Momento torcente di B su una spira

i

Invece, su BC e DA la forza di Lorentz agisce e produce una coppia di forze che fa ruotare la spira fino a portare il suo piano perpendicolare a B.

A B

A

B

Vista dall’alto ×●

B

C

Le frecce rosse rappresentano

la forza di Lorentz

Le frecce rosse rappresentano la forza di Lorentz

2-5

Consideriamo una spira quadrata di lato l disposta come in figura (col piano che la contiene parallelo a B e con due lati perpendicolari a B), quanto vale il momento della coppia?

2M F b i B i B l l lTenendo presente che l

2 è l’area della spira, possiamo scrivere il momento torcente di B sulla spira:

mM μ B

Momento torcente di B su una spira

×●

Questa è una disposizione particolare, non appena la spira si mette in rotazio-ne il braccio della coppia non sarà più l. Si generalizza considerando l’angolo tra la spira e B così che il braccio della coppia sarà lsenα, pertanto:

Vista dall’alto

●

×

μmα

l senα

Le frecce rosse rappresentano

la forze che formano la coppia

dovute alla

forza di Lorentz

Si badi che mentre le forze della coppia, fissati i e B, non

variano, il momento della coppia varia fra un valore

massimo (μmB) e zero.A

i

M

B

μm

1-1

Siccome una spira percorsa da corrente può ruotare intorno ad una asse, è utile introdurre un vettore riferito alla spira detto momento magnetico.

Tenendo conto che la spira si orienta ruotando in base alle sue dimensioni ed alla corrente che in essa circola, il momento magnetico di una spira è un vettore che ha:

Direzione perpendicolare al piano contenente la spira.Verso ottenuto con la regola della mano destra (dita che si chiudono seguendo il verso della corrente e pollice indicante il verso)

Modulo pari al prodotto fra la corrente, i, che circola nella spira e l’area, A, della spira: μm = iA.

Momento magnetico di una spira: μm

Si tenga presente che due spire di diversa area e differente corrente in esse circolante, possono mostrare gli stessi effetti di rotazione causati da un campo magnetico esterno. Basta, infatti, che abbiano lo stesso μm = iA

μm = iA

A

μm

i

1-1

B

E

v

EF

BF

Q+Q+

B

EvvqBqEFF

BE

Se E e B sono costanti, anche v è costante in modulo direzione e verso

Spettrografo di massa

Misurando il raggio di curvatura si può risalire alla massa degli ioni:

v

BRqm