Richiami di algebra delle matrici - - Università degli ... · Analisi statistica e matematico-...

Richiami di algebradelle matrici

A. Iodice

Operazioni di basesui vettori

Operazioni di basesulle matrici

matrici particolari

Alcune proprietadelle operazioni tramatrici

Interpretazionegeometrica divettori

Trasformazionimatriciali dei datidi partenza

Il coefficiente dicorrelazione

Richiami di algebra delle matriciAnalisi statistica e matematico-finanziaria II

Alfonso Iodice D’[email protected]

Universita degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale


A. Iodice



matrici particolari





Outline

1 Operazioni di base sui vettori

2 Operazioni di base sulle matrici

3 matrici particolari

4 Alcune proprieta delle operazioni tra matrici

5 Interpretazione geometrica di vettori

6 Trasformazioni matriciali dei dati di partenza

7 Il coefficiente di correlazione


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matrici particolari





Vettori riga e vettori colonna

vettore colonna

a(5×1) =

13420

vettore riga

b(1×5) =(10 3 8 7 1

)

trasposizione di un vettore

a(5×1) =

13420

−→ aT(1×5) =

(1 3 4 2 0

)

b(1×5) =(

10 3 8 7 1)−→ bT

(5×1) =

103871


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matrici particolari





Somma vettoriale

L’operazione somma e definita solo tra vettori aventi le stesse dimensioni, ovvero i vettori addendodevono essere entrambi riga (o entrambi colonna) ed avere lo stesso numero di elementi. Poiche a hadimensioni (5× 1) e b ha dimensioni (1× 5), la somma a + b non puo essere eseguita.

somma di vettori colonnaE possibile effettuare la somma tra i vettori a e

bT, che hanno entrambi dimensioni (5× 1).

a + bT =

13420

+

103871

=

1161291

somma di vettori rigaE possibile effettuare la somma tra i vettori b e

aT, che hanno entrambi dimensioni (1× 5).

b + aT =(10 3 8 7 1)+(1 3 4 2 0) =(11 6 12 9 1)


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matrici particolari





prodotto vettoriale

Dato un vettore colonna c avente per elementi {6, 4, 1}, sidefinisce prodotto vettoriale

a ∗ cT =

13420

× ( 6 4 1)=

6 4 118 12 324 16 418 8 20 0 0

Concetto di MatriceLa struttura che risulta dal prodotto vettoriale di a per c si definisce matrice di dimensione 5× 3,ovvero e caratterizzata da un numero di righe (5) pari al numero di elementi del primo vettore e ilnumero di colonne (3) pari al numero di elementi del secondo vettore.In generale una matrice di dimensioni n× p e una struttura definita da n vettori riga di p elementiincolonnati, o equivalentemente da p vettori di n elementi affiancati.


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matrici particolari





prodotto scalare

Il prodotto vettoriale determina una matrice, il prodotto tragli elementi di due vettori che ha per risultato un singolovalore (scalare) si definisce prodotto scalare. Il prodottoscalare non puo essere applicato a vettori che abbiano unnumero di elementi diverso. Si consideri un vettore colonnad con elementi {1, 8, 2} si definisce prodotto scalare cT ∗ d:

cT ∗ d =(6 4 1

)×

182

=

(6× 1) + (4× 8) + (1× 2) = 40


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matrici particolari





Somma tra matrici

L’operazione di somma e definita solo tra matrici cheabbiano le stesse dimensioni (stesso numero di righe ecolonna). Il risultato della somma di due matrici A e B didimensioni n× p e una matrice delle stesse dimensioni i cuielementi sono la somma degli elementi di postocorrispondente in A e B.

A + B =

6 4 118 12 324 16 418 8 20 0 0

+

19 15 125 9 1612 0 1810 16 1518 9 4

=

25 19 1323 21 1936 16 2228 24 1718 9 4


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Prodotto tra matrici

Il prodotto tra due matrici e possibile solo se il numero dicolonne della prima matrice corrisponde al numero di righedella seconda: poiche A e B sono di dimensioni 5× 3, ilprodotto A ∗B non e possibile; utilizzando l’operatoretrasposizione, si possono effettuare i prodotti AT ∗B eA ∗BT

AT ∗B =

6 18 24 12 04 12 16 8 01 3 4 2 0

∗

19 15 125 9 1612 0 1810 16 1518 9 4

=

612 444 972408 296 648102 74 162


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matrici particolari





Matrici rettangolari e matrici quadrate

Matrice rettangolare

Xn×p =

x1,1 x1,2 . . . x1,px2,1 x2,2 . . . x2,p. . . . . . . . . . . .xn,1 xn,2 . . . xn,p

Matrice quadrata

Xp×p =

x1,1 . . . x1,px2,1 . . . x2,p. . . . . . . . .xp,1 . . . xp,p


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Matrici diagonali e matrici scalari

Matrice diagonaleUna matrice quadrata che ha elementi nullieccetto la diagonale principale si definiscematrice diagonaleDp×p =

d1,1 0 . . . 00 d2,2 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . dp,p

Esempio matricediagonale

Dp×p =

3 0 . . . 00 4 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 2

Matrice scalareUna matrice diagonale che ha tutti gli elementiuguali ad una costante K si definsce matricescalare

Kp×p =

K 0 . . . 00 K . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . K

Esempio matrice scalareSi consideri K = 8

Kp×p =

8 0 . . . 00 8 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 8


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Matrice identita e matrice unitaria

Matrice identitaLa matrice identita I e una matrice scalare con K = 1.

Ip×p =

1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

La matrice identita e tale che

AI = IA = A

Matrice unitariaLa matrice unitaria ha tutti gli elementi uguali ad 1.

Un×p =

1 . . . 11 . . . 1. . . . . . . . .1 . . . 11 . . . 1


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matrici particolari





Trasposizione del prodotto tra matrici

(AB)T = BTAT

Esempio trasposizione prodotto tra matriciSi considerino le matrici A e B

(A2×3B3×2)T =

( 4 7 18 6 7

) 2 47 19 9

T

=

(66 12132 101

)

BT3×2AT

2×3 =

(2 7 94 1 9

) 4 87 61 7

=

(66 12132 101

)


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matrici particolari





Prodotto tra una matrice uno scalare

Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determinauna matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicatiper λ

λA = Aλ

Esempio

Sia λ = 2.

λA2×3 = A2×3λ =

(4 7 18 6 7

)× 2 =

(8 14 216 12 14

)


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Prodotto tra matrici

Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi diA moltiplicati per λ

An×pBp×n = Pn×n

(A2×3B3×2) =

(4 7 18 6 7

) 2 47 19 9

=

(66 32121 101

)

Proprieta del prodotto tra matrici

Siano A =

(4 7 18 6 7

),B =

2 47 19 9

,C =

(3 82 18

)

AB 6= BA

ABC = (AB)C = A(BC)

(AT + B)C = (ATC) + (BC)


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matrici particolari





Traccia di una matrice

La traccia di una matrice quadrata e la somma degli elementi della diagonale principale

tr(Xp×p) =

p∑i=1

xii

tr(P2×2) =

(66 32121 101

)= 66 + 101 = 167

Proprieta della tracciatr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(A) = tr(AT)

tr(AB) = tr(BA)

tr(AAT) = tr(ATA) =∑n

i=1

∑mj=1 a2

ij


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Determinante di una matrice

Ciascuna matrice quadrata e identificabile attraverso un singolo valore detto determinante

Determinante di unamatrice 2× 2

det(X2×2) = det

(x11 x12x21 x22

)=

x11x22 − x21x12

Determinante di unamatrice 2× 2

det

(66 32121 101

)=

(66∗101)−(121∗32) = 6666−3873 = 2794

Determinante per matrice 3× 3


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Inversa di una matrice

TeoremaSia A una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora esiste ed e unica la matrice B taleche

AB = BA = I

La matrice B rappresenta la matrice inversa si A e si indica con B = A−1

Proprieta della matrice inversa(k ∗A)−1 = k−1 ∗A−1

(AB)−1 = B−1A−1

det(A) = det(A)−1


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Interpretazione geometrica di vettori

Un vettore v = [x,y] avente punto di applicazione nell’origine degli assi O, e un segmento orientatoavente per estremi O ed il punto P di coordinate (x, y).

Caratteristiche di vettoriLe caratteristiche distintive di un vettore sono

intensita (norma): ovvero la lunghezza delvettore

direzione: individuata dalla retta passanteper gli estremi (OP ) del vettore

verso: la semiretta con origine in O epassante per P

Rappresentazione di vettoriin R2

Si considerino i seguenti vettori: v1 = [7, 3],v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7].


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matrici particolari





La norma di un vettore

La norma (lunghezza di un vettore v e data dalla radice quadrata della somma dei quadrati deglielementi di v )

‖v‖ = [v1, v2, . . . , vp] =

√√√√ p∑i=1

v2i

Calcolo della norma divettoriCon riferimento ai vettori v1 = [7, 3],v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7] le norme sono

‖v1‖ =√

72 + 32 = 7.61

‖v2‖ =√

52 + 52 = 7.07

‖v3‖ =√

32 + 72 = 7.61



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matrici particolari





Vettori collineari

Due vettori si dicono collineari se sono caratterizzati dauguale direzione, anche se da intensita differente.Considerando i vettori v2 = [5, 5] e v4 = [8, 8]


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Vettori con norma unitaria

Vettore di norma unitariaIl verrore di lunghezza unitaria si definisce versore eidentifica una direzione. Una direzione identificainfiniti vettori, pertanto quello cui si fa riferimentoe il versore. Per ottenere il versore ucorrispondente al vettore v e necessario dividereciascuno degli elementi di v per ‖v‖.Con riferimento ai vettori v1 = [4, 1],v2 = [3, 3.5] e v3 = [1, 3.5], i corrispondentivettori unitari (versori sono)

u1 = [ 44.12

, 14.12

] = [0.97, 0.24]

u2 = [ 34.61

, 3.54.61

] = [0.65, 0.76]

u3 = [ 13.64

, 3.53.64

] = [0.27, 0.96]



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Interpretazione geometrica della somma travettori

Somma travettoriDati due vettori vettoriv1 = [x1, y1] ev2 = [x2, y2] il vettorerisultante dalla sommav1 + v2 corrisponde alladiagonale maggiore delparallelogramma avente perlati v1 e v2.Con riferimento ai vettoriv1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] ev3 = [1, 3.5], i corrispondentivettori somma sono

v1 + v2 = [7, 4.5]

v2 + v3 = [4, 7]

Rappresentazione della somma divettori in R2


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matrici particolari





Interpretazione geometrica della differenza travettori

Differenza travettoriDati due vettori vettoriv1 = [x1, y1] ev2 = [x2, y2] il vettorerisultante dalla sommav1 − v2 corrisponde alladiagonale minore delparallelogramma avente perlati v1 e v2.Con riferimento ai vettoriv1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] ev3 = [1, 3.5], i corrispondentivettori somma sono

v1 − v2 = [1,−2.5]

v2 − v3 = [2, 0]

Rappresentazione della differenza divettori in R2


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Interpretazione geometrica del prodotto scalaretra vettori

Dati due vettori vettori v1 = [x1, y1] e v2 = [x2, y2] il prodotto scalare e proporzionale allaproiezione ortogonale del vettore v1 sul vettore v2

Il prodottoscalare travettori tra vettoriIl prodotto scalare eproporzionale al cosenodell’angolo θ formato tra i duevettori.

cos(θ) =vT1v2

‖v1‖‖v2‖

da cui

vT1v2 = cos(θ)‖v1‖‖v2‖

da cui deriva il fatto che, sev1 e v2 sono perpendicolari,θ = 90o, dunquecos(θ) = cos(90o) = 0

allora vT1v2 = 0

Rappresentazione della proiezione di v1su v2


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Proiezione ortogonale di un vettore

...graficamentesi consideri il vettore x = [5, 4]


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...graficamentesi vuole proiettare il vettore x sull’asse U passante per il punto (11, 1).


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...graficamenteper effettuare la proiezione di x sull’asse U occorre calcolare il versore v dell’asse U; il versore ev = [0.995, 0.0905]


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...graficamentecoordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore daproiettare per il versore v dell’asse U,


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...graficamenteavendo ottenuto α, e ora possibile calcolare il vettore x che rappresenta l’ ‘immagine’ di x sull’asse U


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matrici particolari






Ciascun asse individua una direzione nello spazio; poiche ciascuna direzione identifica infiniti vettori didiversa intensita si fa riferimento al versore che ha norma (intensita ) pari ad 1. Dunque tutti i punti chegiacciono su un asse U che ha per versore v avranno come coordinata un multiplo di v. Questo perchea ciascuno dei punti su U corrisponde un vettore di direzione identificata dall’asse U di versore v. Sia xla proiezione ortogonale del vettore x sull’asse U di versore v.

x = αvDeterminare α, la coordinata sull’asseLa proiezione di x su U deve essere ortogonale, quindi il vettore differenza (x− x) deve essereortogonale all’asse U, di conseguenza (x− x) deve essere ortogonale a v. Due vettori sono ortogonali

se il loro prodotto scalare e nullo, il vincolo e quindi (x− x)Tv = 0 da cui, facendo alcuni passaggi, siha

xTv − xTv = 0 poiche x = αv e xT = αvT allora

xTv − αvTv = 0 essendo v un versore, vTv = 1, quindi

xTv− α = 0 =⇒ α = xTv che rappresenta la coordinata di x sull’asse U di versore v.

dunque la coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando ilvettore da proiettare per il versore v dell’asse U.La coordinata α sara dunque una combinazione lineare (somma ponderata) di x

α = xTv = [5, 4]

[0.9950.905

]= 5× 0.995︸︷︷︸

peso

+4× 0.905︸︷︷︸peso

= 8.595


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la media aritmetica

media semplice:

µ =1

n

n∑i=1

xi

media per dati organizzati in frequenze:

µ =1

n

n∑i=1

xini

media per frequenze relative:

µ =

n∑i=1

xinin


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Definizione di varianza

La varianza un’indice che misura la variabilita di una variabile Xrispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ2 datadalla media dei quadrati degli scarti (delle modalita dalla media)

σ2 =(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . .+ (xn − µ)2

n=

=1

n

n∑i=1

(xi − µ)2

per dati organizzati in frequenze

σ2 =(x1 − µ)2 × n1 + (x2 − µ)2 × n2 + . . .+ (xk − µ)2 × nk

n1 + n2 + . . .+ nk=

=1

n

k∑i=1

(xi − µ)2 × ni


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Misura del legame

Le componenti della variabile doppia X e Y possono esserecaratterizzate da diversa posizione e variabilita, risulta in genereche

µx 6= µy e σx 6= σy

Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalita di X ed Y ,si fa riferimento alla versione standardizzata delle variabili, data da

Zx =X − µx

σxe Zy =

Y − µy

σy

questo per escludere dalla misura del legame gli effetti delladifferente media e varianza (essendo µx 6= µy e σx 6= σy)


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Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ

L’indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalitastandardizzate delle variabili si definiscecoefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da

ρxy =1

n

n∑i=1

(zx,izy,i) =1

n

n∑i=1

(xi − µx

σx×yi − µy

σy

)Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione

ρxy =1n

∑ni=1(xi − µx)(yi − µy)

σxσy=

σxy

σxσy

La quantita al numeratore si definisce covarianza: essa corrisponde alla media

del prodotto degli scarti delle modalita di X e Y dalle rispettive medie. La

covarianza misura la contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle

loro medie.


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Tabella individui × variabili

Si considerino p variabili quantitative osservate su un collettivo din unita statistiche. La corrispondente matrice di dati A

An×p =

a1,1 a1,2 . . . a1,pa2,1 a2,2 . . . a2,p. . . . . . . . . . . .an,1 an,2 . . . an,p

esempio

A5×3 =

25 19 1323 21 1936 16 2222 24 1718 9 4


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Calcolo del vettore delle medie delle p variabili

Utilizzando il prodotto vettoriale e possibile ottenere il vettore delle medie

m = ATp×n ∗ un×1 =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n. . . . . . . . . . . .ap,1 ap,2 . . . ap,n

×

1n1n. . .1n

=

=

1n(a1,1+ a1,2+ . . . a1,n)

1n(a2,1+ a2,2+ . . . a2,n). . . . . . . . . . . .

1n(ap,1+ ap,2+ . . . ap,n)

=

µ1µ2. . .µp

esempio

25 23 36 22 1819 21 16 24 913 19 22 17 4

︸︷︷︸

AT3×5

×

1/51/51/51/51/5

︸︷︷︸

u5×1

=

(25+23+36+22+18)

5(19+21+16+24+9)

5(13+19+22+17+4)

5

=

24.817.815

︸︷︷︸

m3×1


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Calcolo della matrice delle medie delle p variabili

A partire da m, vettore delle medie, si ottiene la matrice delle medie, utile alla successiva operazione dicentratura.

Mn×p = 1n×1 ∗mT1×p =

11. . .1

× ( µ1 µ2 . . . µp)=

=

µ1 µ2 . . . µpµ1 µ2 . . . µp. . . . . . . . . . . .µ1 µ2 . . . µp

esempio11111

︸︷︷︸

15×1

×(

24.8 17.8 15)︸︷︷︸

mT1×3

=

24.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 15

︸︷︷︸

M5×3


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Centratura della matrice

Sottraendo alla matrice dei dati di partenza A e la matrice delle medie M si ottiene la matrice dei daticentrati X.Xn×p = An×p −Mn×p =

=

a1,1 a1,2 . . . a1,pa2,1 a2,2 . . . a2,p. . . . . . . . . . . .an,1 an,2 . . . an,p

−

µ1 µ2 . . . µpµ1 µ2 . . . µp. . . . . . . . . . . .µ1 µ2 . . . µp

=

=

(a1,1 − µ1) (a1,2 − µ2) . . . (a1,p − µp)(a2,1 − µ1) (a2,2 − µ2) . . . (a2,p − µp)

. . . . . . . . . . . .(an,1 − µ1) (an,2 − µ2) . . . (an,p − µp)

esempio25 19 1323 21 1936 16 2222 24 1718 9 4

︸︷︷︸

A5×3

−

24.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 1524.8 17.8 15

︸︷︷︸

M5×3

=

0.2 1.2 −2−1.8 3.2 411.2 −1.8 7−2.8 6.2 2−6.8 −8.8 −11

︸︷︷︸

X5×3


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Matrice di devianza e codevianza

Una volta ottenuta la matrice centrata X, e possibile, attraverso il prodotto di X per la sua trasposta,ottenere la matrice di devianza e codevianza .Tale matrice avra elementi della diagonale principale le

devianze); gli elementi extra-diagonale le codevianze. XTp×n ∗Xn×p =

x1,1 x1,2 . . . x1,nx2,1 x2,2 . . . x2,n. . . . . . . . . . . .xp,1 xp,2 . . . xp,n

×

x1,1 x1,2 . . . x1,px2,1 x2,2 . . . x2,p. . . . . . . . . . . .xn,1 xn,2 . . . xn,p

=

=

dev(X1) codev(X1, X2) . . . codev(X1, Xp)

codev(X2, X1) dev(X2) . . . codev(X2, Xp). . . . . . . . . . . .

codev(Xp, X1) codev(Xp, X2) . . . dev(Xp)

esempio

0.20 −1.80 11.20 −2.80 −6.801.20 3.20 −1.80 6.20 −8.80−2.00 4.00 7.00 2.00 −11.00

︸︷︷︸

XT3×5

×

0.2 1.2 −2−1.8 3.2 411.2 −1.8 7−2.8 6.2 2−6.8 −8.8 −11

︸︷︷︸

X5×3

=

182.8 16.8 14016.8 130.8 107140 107 194

︸︷︷︸

V3×3


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Matrice di varianze e covarianze

A questo punto e immediato definire la matrice di varianze e covarianze Σ. Per fare questo si considerila matrice diagonale come una matrice quadrata (stesso numero di righe e di colonne) i cui elementiextradiagonali sono nulli. In particolare si faccia riferimento alla matrice U di dimensione (p× p) i cui

elementi diagonali siano tutti uguali a 1n

.

U =

1n

0 0 0

0 1n

. . . 0. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1n

Utilizzando la matrice U e possibile ricavare la matrice Σ di dimensioni p× p a partire da quella di

devianze e codevianze XTX precedentemente ottenuta.

XTXU = VU = Σ =

σ2X1

σ(X1,X2) . . . σ(X1,Xp)

σ(X2,X1) σ2X2

. . . σ(X2,Xp)

. . . . . . . . . . . .

σ(Xn,X1) σ(Xn,X2) . . . σ2Xp


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Matrice di varianze e covarianze

esempio 182.8 16.8 14016.8 130.8 107140 107 194

︸︷︷︸

V3×3

1/5 0 00 1/5 00 0 1/5

︸︷︷︸

U3×3

=

36.56 3.36 283.36 26.16 21.428 21.40 38.8

︸︷︷︸

Σ3×3


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Matrice standardizzata

Per ottenere la matrice dei dati standardizzati Z di dimensione n× p i cui elemento generico

zij =aij−µjσj

, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , p. Avendo gia ottenuto la matrice dei dati centrati X e

necessario moltiplicare ciascuno degli elementi di tale matrice per 1σj

. Si ricorre anche in questo caso

ad una matrice diagonale: la matrice e D di dimensione (p× p) i cui elementi diagonali sono tutti

uguali a 1σj

, j = 1, . . . , p.

D =

1σ1

0 . . . 0

0 1σ2

. . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1σp

Utilizzando la matrice D e possibile ricavare la matrice Z di dimensioni n× p: post-moltiplicando Dad X si ottiene

Z = XD =

a11−µ1σ1

a12−µ2σ2

. . .a1p−µpσp

a21−µ1σ1

a22−µ2σ2

. . .a2p−µpσp

. . . . . . . . . . . .an1−µ1σ1

an2−µ2σ2

. . .anp−µpσp


A. Iodice



matrici particolari





Matrice standardizzata

esempio0.2 1.2 −2−1.8 3.2 411.2 −1.8 7−2.8 6.2 2−6.8 −8.8 −11

︸︷︷︸

X5×3

1√

36.560 0

0 1√26.16

0

0 0 1√38.8

︸︷︷︸

D3×3

=

0.03 0.23 −0.32−0.30 0.63 0.641.85 −0.35 1.12−0.46 1.21 0.32−1.12 −1.72 −1.77

︸︷︷︸

Z5×3


A. Iodice



matrici particolari





Matrice di correlazione

Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson che caratterizza una coppia di variabili e definito come lamedia aritmetica dei prodotti delle modalita standardizzate. Pertanto, avendo calcolato Z, matricestandardizzata, risulta agevole ottenere la matrice di correlazione:

R = ZTZU =

1 ρ1,2 . . . ρ1,pρ2,1 1 . . . ρ2,p. . . . . . . . . . . .ρp,1 ρp,2 . . . 1

In particolare gli elementi diagonali di tale matrice sono

rjj =1

n

[(a1,j − µj

σj

)2

+

(a2,j − µj

σj

)2

+ . . . +

(an,j − µj

σj

)2]=

1

n

n∑i=1

(aij − µj

)2︸︷︷︸

varianza σ2j

1

σ2j

=σ2j

σ2j

= 1


A. Iodice



matrici particolari






Gli elementi extra-diagonali sono

rkj =1

n

[(a1,k − µk

σk

)×(a1,j − µj

σj

)+

(a2,k − µk

σk

)×(a2,j − µj

σj

)+ . . .+

+

(an,k − µk

σk

)×(an,j − µj

σj

)]=

covarianza σkj︷︸︸︷1

n

n∑i=1

(ai,k − µk

) (ai,j − µj

)σkσj

=

=σkj

σkσj= ρkj → coefficiente di correlazione lineare tra le variabili k e j


A. Iodice



matrici particolari






esempioR = 0.03 −0.30 1.85 −0.46 −1.12

0.23 0.63 −0.35 1.21 −1.72−0.32 0.64 1.12 0.32 −1.77

︸︷︷︸

ZT3×5

0.03 0.23 −0.32−0.30 0.63 0.641.85 −0.35 1.12−0.46 1.21 0.32−1.12 −1.72 −1.77

︸︷︷︸

Z5×3

U3×3 =

=

5 0.54 3.720.54 5 3.363.72 3.36 5

︸︷︷︸(

ZTZ)3×3

15

0 0

0 15

0

0 0 15

︸︷︷︸

U3×3

=

1 0.11 0.740.11 1 0.670.74 0.67 1

︸︷︷︸

R3×3

Richiami di algebra delle matrici - - Università degli ... · Analisi statistica e matematico-...

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