Reazioni vincolari - PCI · Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Condizioni di equilibrio...
24
Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì REAZIONI VINCOLARI AGGIORNAMENTO DEL 23/09/2012
Transcript of Reazioni vincolari - PCI · Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Condizioni di equilibrio...
Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
REAZIONI VINCOLARI
AGGIORNAMENTO DEL 23/09/2012
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
Un vincolo è qualsiasi condizione che limita il moto di un corpo.di forze dette REAZIONI VINCOLARIimpedirgli il movimento nelle direzioni “proibite”.
COSTRUZIONI E IMPIANTI
Vincoli Un vincolo è qualsiasi condizione che limita il moto di un corpo. L'azione dei vincoli si esplica attraverso un insieme
REAZIONI VINCOLARI. La reazione vincolare è la forza esercitata dal vincolo sul corpo per impedirgli il movimento nelle direzioni “proibite”.
PENDOLO o BIELLA (m=1)
BIPENDOLO o
DOPPIO BIPENDOLO
o PENDOLO IMPROPRIO (m=1)
Prof. Ing. Francesco Zanghì
2
L'azione dei vincoli si esplica attraverso un insieme è la forza esercitata dal vincolo sul corpo per
PENDOLO o BIELLA (m=1)
BIPENDOLO o BIELLA (m=2)
DOPPIO BIPENDOLO ENDOLO IMPROPRIO (m=1)
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
3
Realtà e schema statico Il primo passo che facciamo per studiare qualunque tipo di struttura reale è crearne una equivalente, cioè in grado di cogliere in maniera più o meno precisa il comportamento della struttura reale, ma estremamente semplificata. Passiamo, cioè dalla struttura reale al suo schema statico. Trascuriamo volutamente aspetti secondari e non rilevanti facendo delle ipotesi sia sulla configurazione geometrica della struttura, sui materiali di cui è costituita è sulle modalità con cui essa è vincolata esternamente e/o internamente. Lo schema statico più semplice è la TRAVE, in cui prendiamo in considerazione, dal punto di vista geometrico, solo la lunghezza, che è la dimensione prevalente, studiandola come una linea vincolata e caricata in modo da simulare il problema reale.
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
4
L'ARCO è un elemento strutturale curvilineo costituito, generalmente da conci, cioè pietre tagliate, o da laterizio, i cui giunti sono disposti in maniera radiale. I conci sono tenuti insieme grazie alle spinte laterali che si scambiano reciprocamente.
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
5
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
Condizioni di equilibrioUna struttura in un'assegnata configurazione geometrica è in equilibrio se tale equilibrio sussiste per ognuna delle parti in cui la struttura può essere decomposta.pertanto ricondotto al problema dell'equilibrio statico di tutte le sue parti. In tali relazioni di equilibrio intervengono non solo le forze (e le coppie) esterne applicate, ma anche le azioni (le sollecitazioni interne) che le varie parti si scambiano reciprocamente. Ai fini della valutazione dell'equilibrio, le varie parti della struttura possono essere considerati come corpi rigidi.
Equazioni cardinali della statica
Per un sistema composto da un numero generico c di parti, dovendo le equazioni della statica valere per ognuna delle sue parti, il loro numero complessivo è 6xc nel caso tridimensionale e 3xc nel caso piano.
COSTRUZIONI E IMPIANTI
Condizioni di equilibrio Una struttura in un'assegnata configurazione geometrica è in equilibrio se tale equilibrio sussiste per ognuna delle parti in cui la struttura può essere decomposta. Il problema dell'equilibrio statico di una struttura può essere pertanto ricondotto al problema dell'equilibrio statico di tutte le sue parti. In tali relazioni di equilibrio intervengono
) esterne applicate, ma anche le azioni (le sollecitazioni interne) che le varie parti si scambiano reciprocamente. Ai fini della valutazione dell'equilibrio, le varie parti della struttura possono essere
Equazioni cardinali della statica
un numero generico c di parti, dovendo le equazioni della statica valere per ognuna delle sue parti, il loro numero complessivo è 6xc nel caso tridimensionale e 3xc nel caso piano.
Prof. Ing. Francesco Zanghì
6
Una struttura in un'assegnata configurazione geometrica è in equilibrio se tale equilibrio sussiste per ognuna delle
Il problema dell'equilibrio statico di una struttura può essere pertanto ricondotto al problema dell'equilibrio statico di tutte le sue parti. In tali relazioni di equilibrio intervengono
) esterne applicate, ma anche le azioni (le sollecitazioni interne) che le varie parti si scambiano reciprocamente. Ai fini della valutazione dell'equilibrio, le varie parti della struttura possono essere
un numero generico c di parti, dovendo le equazioni della statica valere per ognuna delle sue parti, il loro numero complessivo è 6xc nel caso tridimensionale e 3xc nel caso piano.
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
7
Caratterizzazione statica e cinematica dei sistemi vincolati
• SISTEMA ISOSTATICO (3xN - Σme – Σmi =0): il grado di vincolo eguaglia il grado di libertà e i vincoli sono ben posti, cioè tra loro indipendenti. Il sistema è staticamente determinato (a qualsiasi valore dei carichi esterni sono associate reazioni vincolari che rendono il sistema equilibrato) e cinematicamente determinato (i vincoli sono strettamente sufficienti ad impedire atti di moto rigido delle sue parti).
3 x 3 – (2 + 2 + 1 ) – ( 2 + 2 ) = 9 – 5 – 4 = 0
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
8
• SISTEMA LABILE (3xN - Σme – Σmi >0): il grado di vincolo è inferiore al grado di libertà del sistema. I vincoli applicati, sono insufficienti ad impedire atti di moto rigido del sistema. Il sistema è cinematicamente indeterminato. La classificazione statica dipende dal sistema di carico presente.
3 x 3 – (2 + 1 ) – (2+2) = 9 – 3 – 4 = 2
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
9
• SISTEMA IPERSTATICO (3xN - Σme – Σmi <0): il grado di vincolo è superiore al grado di libertà. Il sistema è staticamente indeterminato. I vincoli sono sovrabbondanti e gli atti di moto del sistema sono sempre impediti.
3 x 4 – (3 + 3 + 3 ) – ( 4 + 2 ) = 12 – 9 – 6 = -3
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
10
Calcolo delle reazioni vincolari
Trave appoggiata con forza concentrata
=+⋅+⋅−
=+−
=
rotazioneallaequilibriobaVaF
verticaleetraslazionallaequilibrioVFV
eorizzontaletraslazionallaequilibrioO
b
ba
a
0)(
0
0
=⋅+−
=+
=
=+⋅+⋅−
=+−
=
05000.20
000.10
0
0)32(2000.10
0000.10
0
b
ba
a
b
ba
a
V
VV
O
V
VV
O
=
=−=
=
==
−=
=
=⋅
=+
=
NdV
NdV
O
NdV
VV
O
V
VV
O
ab
aa
a
ab
ba
a
b
ba
a
000.4
000.6000.4000.10
0
000.45
000.20
000.10
0
000.205
000.10
0
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
COSTRUZIONI E IMPIANTI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
11
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
12
Trave appoggiata con carico uniformemente distribuito
=⋅⋅−⋅
=⋅−+
=
02
0
0
llqlV
lqVV
O
b
ba
a
=−⋅
=−+
=
=⋅⋅−⋅
=⋅−+
=
0000.255
0000.10
0
02
55000.25
05000.2
0
b
ba
a
b
ba
a
V
VV
O
V
VV
O
daN
daNV
V
O
daNV
VV
O
V
VV
O
b
a
a
b
ba
a
b
ba
a
=
=−=
=
==
−=
=
=⋅
=+
=
000.5
000.5000.5000.10
0
000.55
000.25
000.10
0
000.255
000.10
0
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
13
Trave incastrata con forza concentrata all’estremità
⋅=
=
=
=−
=
=
=⋅−
=−
=
=⋅−
=−
=
mNdM
NdV
O
M
V
O
M
V
O
lFM
FV
O
ai
a
iii 000.32
000.16
0
0000.32
000.16
0
02000.16
0000.16
0
0
0
0
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
14
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
15
Trave incastrata con carico uniformemente distribuito
⋅=
=
=
⋅=
⋅=
=
⋅+=
⋅+=
=
=⋅⋅−
=⋅−
=
mNdM
NdV
O
M
V
O
lqM
lqV
O
llqM
lqV
O
ai
a
iii
250.6
000.5
0
2
5,2000.2
5,2000.2
0
2
0
02
0
0
22
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
16
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
17
Trave appoggiata con forza concentrata inclinata
NdFF
NdsensenFF
ao
av
24,660.830cos000.10cos
000.530000.10
=°⋅=⋅=
=°⋅=⋅=
α
α
( ) ( )
=⋅+−
−+=
−=
=+⋅+⋅−
=−+
=+
=+⋅+⋅−
=−+
=+
05000.10
000.5
24,660.8
0322000.5
0000.5
024,660.8
0
0
0
b
ba
a
b
ba
a
bv
vba
oa
V
VV
O
V
VV
O
baVaF
FVV
FO
=
=−+=
−=
==
−+=
−=
=⋅
−+=
−=
NdV
NdV
NdO
V
VV
O
V
VV
O
ab
aa
aa
b
ba
a
b
ba
a
000.2
000.3000.2000.5
24,664.8
000.25
000.10
000.5
24,664.8
000.105
000.5
24,664.8
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
18
Trave appoggiata con sbalzo e carico uniformemente distribuito
q = 1000 daN/m ; l = 4,00 m; a = 1,00 m
( )
( )( )
=
=+
+−⋅
=+⋅−+
eorizzontaletraslazionallaequilibrioO
Aadrispettorotazioneallaequilibrioal
alqlV
verticaleetraslazionallaequilibrioalqVV
a
b
ba
0
02
0
( )
( )( )
=
=+
+⋅−⋅
=+⋅−+
0
02
141410004
0141000
a
b
ba
O
V
VV
=
=−⋅
=−+
0
0125004
05000
a
b
ba
O
V
VV
=
=⋅
=−+
0
125004
05000
a
b
ba
O
V
VV
=
==
−=
0
31254
12500
5000
a
ab
ba
O
NdV
VV
=
=
=−=
0
3125
187531255000
a
ab
aa
O
NdV
NdV
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
19
Trave appoggiata con sbalzi
q= 4.000 daN/m; F=10.000 daN
( )
( )
=
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅−⋅
=−+⋅−+
0
02
11
2
44144
041
b
b
ba
O
qqFV
FqVV
=
=⋅+⋅−⋅−⋅
=−⋅−+
0
02
1000.48000.45000.104
0000.105000.4
b
b
ba
O
V
VV
=
=⋅
−=
0
000.804
000.30
b
b
ba
O
V
VV
=
=−⋅
=−+
0
0000.804
0000.30
b
b
ba
O
V
VV
=
=⋅
−=
0
000.804
000.30
b
b
ba
O
V
VV
=
==
−=
0
000.204
000.80
000.30
b
b
ba
O
V
VV
=
=
=−=
NdO
NdV
NdV
ab
ab
aa
0
000.20
000.10000.20000.30
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
20
Trave incastrata ed appoggiata con cerniera interna
q = 2000 daN/m ; l = 4,00 m ; a = 1,00 m 3xN – me – mi = 3x2 – (3+1) – 2(2-1) = 6 – 4 – 2 = 0 STRUTTURA ISOSTATICA
( )
( ) ( )
=
=⋅⋅−⋅
=+
⋅+⋅−++⋅
=+⋅−+
0
02
02
0
A
b
Ab
ba
O
aaqaV
alalqMalV
alqVV
( )
( ) ( )
=
=⋅⋅−⋅
=+
⋅+⋅−++⋅
=+⋅−+
0
02
1120001
02
1414200014
0142000
A
b
Ab
ba
O
V
MV
VV
=
=−
=−+⋅
=−+
0
01000
0250005
010000
A
b
Ab
ba
O
V
MV
VV
=
=
⋅−=
=+
0
1000
525000
000.10
A
b
bA
ba
O
V
VM
VV
=
=
⋅−=
=+
0
1000
5000.125000
000.10
A
b
A
ba
O
V
M
VV
=
=
=
−=
0
1000
000.20
000.10
A
b
A
ba
O
V
M
VV
=
=
=
−=
0
1000
000.20
000.1000.10
A
b
A
a
O
V
M
V
=
=
⋅=
=
NdO
NdV
mNdM
NdV
aA
ab
aA
aa
0
000.1
000.20
000.9
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
21
Portale zoppo a tre cerniere
=⋅+⋅−−
=⋅+⋅++−
=+
=+−
022000.4
041000.8000.30
0
0000.6
bb
bb
ba
ba
VO
VO
VV
OO
⋅+=⋅
=−⋅+⋅
=+
=+−
2000.42
0000.2241
0
0000.6
bb
bb
ba
ba
OV
VO
VV
OO
⋅+=
=−⋅+
=+
=+−
2
2000.4
0000.224
0
0000.6
b
b
bb
ba
ba
OV
VO
VV
OO
⋅+=
=−⋅⋅+
+
=+
=+−
2
2000.4
0000.2242
2000.4
0
0000.6
b
b
b
b
ba
ba
OV
OO
VV
OO
⋅+=
=−⋅++
−=
−=
2
2000.4
0000.224000.8
000.6
b
b
bb
ba
ba
OV
OO
VV
OO
⋅+=
=−⋅
−=
−=
2
2000.4
0000.145
000.6
b
b
b
ba
ba
OV
O
VV
OO
=⋅+
=
==
−=
−=
800.42
2800.2000.4
800.25
000.14
000.6
b
b
ba
ba
V
O
VV
OO
=
=
−=
−=
800.4
800.2
000.6800.2
b
b
ba
a
V
O
VV
O
=
=
−=
−=
NdV
NdO
NdV
NdO
ab
ab
aa
aa
800.4
800.2
800.4
200.3
=⋅+⋅−⋅⋅−
=⋅+⋅+
+⋅⋅++⋅−
=+
=⋅−−+
02
42
2
22
04112
22)12(
0
000,2
bb
bb
ba
ba
VOq
VOqF
VV
qOFO
=⋅+⋅−⋅⋅−
=⋅+⋅+
+⋅⋅++⋅−
=+
=⋅−−+
0222
22000.2
04112
22000.2)12(000.10
0
000,2000.2000.10
bb
bb
ba
ba
VO
VO
VV
OO
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
COSTRUZIONI E IMPIANTI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
22
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
23
Arco a tre cerniere
⋅−⋅=
⋅=
−=
−⋅=
RqR
qO
RqV
OO
VRqV
b
b
ba
ba
2
2
⋅−=
⋅−⋅=
⋅=
−=
⋅−⋅=
22
2
2
RqRqRqO
RqV
OO
RqRqV
b
b
ba
a
⋅−=
⋅−⋅=
⋅=
⋅−−=
⋅=
22
2
2
RqRqRqO
RqV
RqO
RqV
b
b
a
a
⋅−=
⋅−⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
22
2
2
RqRqRqO
RqV
RqO
RqV
b
b
a
a
n.b. La reazione Ob va invertita.
=⋅⋅−⋅+⋅
=⋅⋅−⋅
=+
=⋅−+
02
022
0
02
RRqRORV
RRqRV
OO
RqVV
bb
b
ba
ba
⋅−⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅
−=
−⋅=
RVR
RqRO
RRqRV
OO
VRqV
bb
b
ba
ba
2
22
2
−⋅=
⋅⋅⋅=
−=
−⋅=
bb
b
ba
ba
VR
qO
RRRqV
OO
VRqV
2
2
12
2
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì
24
Fonti
• Giacomo Sacco – Esercizi di statica • Gaetano Carbonaro – Materiale didattico
