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Rapporti e proporzioni

Def: Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia diverso da zero, il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo.

𝑎 ∶ 𝑏 =𝑎𝑏

a e b si dicono TERMINI del rapporto e il primo si chiama ANTECEDENTE, mentre il secondo CONSEGUENTE. Il rapporto fra due numeri si può rappresentare come: divisione: 3 ∶ 2 ! rapporto 3 a 2

frazione: !! ! rapporto tre mezzi

numero naturale o decimale: 3 ∶ 2 = 1,5 ! rapporto 1,5 OSS: ogni rapporto dà luogo a un numero naturale o a un numero decimale.

Proprietà INVARIANTIVA dei rapporti: Ogni rapporto non varia moltiplicando o dividendo i suoi termini per uno stesso numero diverso da zero. Esempio:

1218 =

12 ∶ 318 ∶ 3 =

46 =

23 = 0, 6

1218 =

12 ∙ 218 ∙ 2 =

2436 =

23 = 0, 6

Def: Se in un rapporto si scambia l’antecedente con il conseguente, si ottiene un nuovo rapporto, detto RAPPORTO INVERSO o RECIPROCO.

Esempio: il rapporto inverso di !!  è

!!

Regole per trovare l’antecedente o il conseguente in un rapporto. Per trovare l’antecedente:

es. 𝑥 ∶   !!= 1+ !

!

𝑥 = !!∙ 1+ !

!

𝑥 = !!∙ !!= !

!

Per trovare il conseguente:

es. 1+ !!∶ 𝑥 = !

!

𝑥 = 1+ !!: !!

𝑥 = !!!∙ !!= !!

!

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RAPPORTO FRA GRANDEZZE OMOGENEE Def: Due grandezze si dicono omogenee se è possibile confrontarle e stabilire se una di esse è maggiore o minore o uguale all’altra. Due grandezze omogenee si esprimono quindi con la stessa unità di misura. Def: Il rapporto tra due grandezze omogenee (se la seconda è diversa da zero) è uguale al rapporto fra le rispettive misure, riferite a una stessa unità di misura. Tale rapporto è un numero. Esempio: il rapporto tra la base di un rettangolo e la sua altezza 𝐴𝐵 = 10  𝑐𝑚 𝐵𝐶 = 4  𝑐𝑚

Rapporto tra la base e l’altezza: !"!"= !"  !"  

!  !"= !

!

Def: due grandezze si dicono COMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero RAZIONALE, ovvero ammettono un sottomultiplo comune. Esempio: due lati di un rettangolo, altezza e ipotenusa di un triangolo,….. Def: due grandezze si dicono INCOMMENSURABILI se il loro rapporto è un numero IRRAZIONALE, ovvero non ammettono sottomultipli comuni. Esempio: lato e diagonale di un quadrato

RAPPORTO FRA GRANDEZZE NON OMOGENEE Def: due grandezze si dicono NON omogenee se non è possibile confrontarle e non possono essere espresse con la stessa unità di misura. Def: il RAPPORTO FRA DUE GRANDEZZE NON OMOGENEE è il quoziente fra le loro misure ed è un’altra grandezza non omogenea a quelle date e il cui valore dipende dalle unità di misura delle due grandezze date.

Esempio: hkm

hkm

hkm 60605

300==

PROPORZIONI

Def: PROPORZIONE è l’uguaglianza di due rapporti. Quattro numeri formano una proporzione se il rapporto fra il primo e il secondo è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto.

dcba :: = a e c ! ANTECEDENTI b e d ! CONSEGUENTI a e d ! ESTREMI b e c ! MEDI

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Def: Se una proporzione ha i medi uguali si dice CONTINUA e il termine medio si dice MEDIO PROPORZIONALE e l’ultimo termine si dice TERZO PROPORZIONALE. PROPRIETÀ:

1. Proprietà fondamentale delle proporzioni: in ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.

dcba :: = ! cbda ⋅=⋅

9 : 14 = 27 : 42 9 ∙42 = 14 ∙ 27

Definizione di PROPORZIONE: Quattro numeri formano una proporzione se il prodotto del primo per il quarto è uguale al prodotto del secondo per il terzo.

2. Proprietà dell’invertire:

se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente, si ottiene una nuova proporzione.

dcba :: =

Scambio antecedente con conseguente ! cdab :: = Es. 3 : 6 = 7 : 14 ! 6 : 3 = 14 : 7

3. Proprietà del permutare:

se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi o entrambi, si ottiene una nuova proporzione.

dcba :: =

Scambio i medi ! dbca :: =

Scambio gli estremi ! acbd :: =

Scambio medi ed estremi ! abcd :: =

Es. 3 : 6 = 7 : 14 Scambio i medi ! 3 : 7 = 6 : 14 Scambio gli estremi ! 14 : 6 = 7 : 3 Scambio medi ed estremi ! 14 : 7 = 6 : 3

4. Proprietà del comporre:

in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) termine, come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto) termine.

dcba :: =

I CASO: cdcaba :)(:)( +=+

4

II CASO: ddcbba :)(:)( +=+

Es. 3 : 6 = 7 : 14 (3+6) : 3 = (7 + 14) : 7 (3 + 6) : 6 = (7 + 14) : 14 9 : 3 = 21 : 7 9 : 6 = 21 : 14

5. Proprietà dello scomporre: se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo (e quindi il terzo è maggiore del quarto), la differenza fra il primo e il secondo sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).

dcba :: =

I CASO: cdcaba :)(:)( −=−

II CASO: ddcbba :)(:)( −=− OSSERVAZIONE: se il primo termine è minore del secondo, si deve applicare la PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE e poi quella dello SCOMPORRE. Es. 3 : 6 = 7 : 14 Non possiamo applicare la proprietà dello scomporre perché 3 < 6. Quindi prima applichiamo la proprietà dell’invertire: 6 : 3 = 14 : 7 (6-3) : 6 = (14 - 7) : 14 (6 - 3) : 3 = (14 - 7) : 7 3 : 6 = 7 : 14 3 : 3 = 7 : 7

Def: L’uguaglianza di tre o più rapporti costituisce una SUCCESSIONE DI RAPPORTI UGUALI. Per le successioni di rapporti uguali, vale la PROPRIETÀ DEL COMPORRE: la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al suo conseguente.

fedcba ::: ==

I CASO ! bafdbeca :)(:)( =++++

II CASO ! dcfdbeca :)(:)( =++++

III CASO ! fefdbeca :)(:)( =++++ Esempio: 4 : 2 = 6 : 3 = 8 : 4 Propr. Del comporre: (4 + 6 + 8) : (2 + 3+ 4) = 4 : 2 18 : 9 = 4 : 2 CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO DI UNA PROPORZIONE Data una proporzione con un termine incognito, risolverla significa trovare il valore di quel termine applicando le proprietà delle proporzioni.

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I CASO: calcolo di un ESTREMO incognito  𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒄 ∶ 𝒙

Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 ∙ 𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑐, quindi 𝑥 = !∙!!

.

In ogni proporzione un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso l’altro estremo.

𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 = 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶   ∙  𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 ∶ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶

Esempio: 𝑥 ∶ 16 = 5 ∶ 20 𝑥 =   !"∙!!"

= !"!"= 4

II CASO: calcolo di un MEDIO incognito 𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒙 ∶ 𝒅

Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑥, quindi 𝑥 = !∙!!

.

In ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio. 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶   ∙ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 ∶  𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶

Esempio. 4 ∶ 𝑥 = 5 ∶ 20

     𝑥 = 4∙20

5=

80

5= 16

III CASO: proporzione CONTINUA 𝒂 ∶ 𝒙 = 𝒙 ∶ 𝒅

Regola: per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑑 ! 𝑥! = 𝑎 ∙ 𝑑 ! 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑑 In ogni proporzione continua il medio incognito è uguale alla radice quadrata del prodotto degli estremi.

𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶   ∙ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶   IV CASO: calcolare due numeri di cui sono noti la somma o la differenza e il rapporto.

Es: 𝑎 + 𝑏 = 28 e !!= !

!

!!= !

! posso scriverlo come proporzione:

𝑎 ∶ 𝑏 = 3 ∶ 4 applico la PROPRIETÀ DEL COMPORRE: 𝑎 + 𝑏 ∶ 𝑎 = 3+ 4 ∶  3 28 ∶  𝑎 = 7   ∶ 3

𝑎 =28 ∙ 37 = 12

𝑏 = 28− 𝑎 = 28− 12 = 16 oppure 𝑎 ∶ 𝑏 = 3 ∶ 4 applico la PROPRIETÀ DEL COMPORRE: 𝑎 + 𝑏 ∶ 𝑏 = 3+ 4 ∶  4 28 ∶  𝑏 = 7   ∶ 4

𝑏 =28 ∙ 47 = 16

𝑎 = 28− 𝑏 = 28− 16 = 12 Analogamente per la differenza si applica la proprietà dello scomporre… V CASO: usare la proprietà del comporre e dello scomporre.

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Esempio: 5− 𝑥 :  𝑥 = 12 ∶ 8 5− 𝑥 + 𝑥 :  𝑥 = (12+ 8) ∶ 8 5 ∶  𝑥 = 20 ∶ 8

𝑥 =5 ∙ 820 = 2

20+ 𝑥 :  𝑥 = 7 ∶ 3 20+ 𝑥 − 𝑥 :  𝑥 = (7− 3) ∶ 3 20 ∶  𝑥 = 4 ∶ 3

𝑥 =20 ∙ 34 = 15

VI CASO: usare la proprietà del permutare e del comporre. Esempio: 8− 𝑥 :  9 = 𝑥 ∶ 3 8− 𝑥 :  𝑥 = 9 ∶ 3 8− 𝑥 + 𝑥 :  𝑥 = (9+ 3) ∶ 3 8 ∶  𝑥 = 12 ∶ 3

𝑥 =3 ∙ 812 = 2