Rapporti  e  proporzioni  

Definizione di rapporto

l  Il rapporto è il risultato della divisione tra due numeri (il secondo deve essere diverso da zero).

l  Il primo numero si chiama antecedente, l  Il secondo numero si chiama conseguente.

Rapporto diretto e rapporto inverso

l  Il rapporto diretto o semplicemente rapporto tra due numeri a e b è a:b (=a/b).

l  Il rapporto inverso tra due numeri a e b è b:a (=b/a). Esempi: il rapporto (diretto) tra 5 e 3 è il numero 5/3; il rapporto (diretto) tra 3 e 2 è 3/2, cioè 1,5; il rapporto inverso tra 4 e 3/5 è 3/5 : 4 = 3/20.

Rapporti tra grandezze omogenee

l  Il rapporto tra due grandezze omogenee, cioè con la stessa unità di misura, è un numero puro (privo di unità di misura).

Esempio: il rapporto tra il prezzo della wii U (290 euro) e il

prezzo del libro DIGIMAT 2. LA GEOMETRIA (10,44 euro) è: 290 euro : 10,44 euro = 27,(7). Che cosa significa? Una Wii U costa (circa) come 28 libri di

Geometria. Il rapporto, che è circa 28, è un numero puro. Le due unità di misura (dell'antecedente e del conseguente) si

sono semplificate.

Rapporti tra grandezze non omogenee

l  Il rapporto tra due grandezze non omogenee non è un numero puro, ma una grandezza la cui unità di misura è il rapporto tra le unità di misura delle due grandezze date.

Esempio: il rapporto tra lo spazio che percorro per venire a

scuola (35 km) e il tempo che impiego (0,5 ore) è 35 km : 0,5 h = 70 km/h Ottengo una nuova grandezza che (in questo caso) è una

velocità. Esempio: il rapporto tra il peso (kg) e il volume (dm3) è una

grandezza che si chiama peso specifico e si misura il kg/dm3.

Esempio: l'indice di massa corporea (IMC) è anch'esso un rapporto tra grandezze non omogenee.

È definito così: rapporto tra la massa (espress in kg) e il quadrato dell'altezza (espressa in m) di una persona.

Se peso 62 kg e sono alta 1,67 m, il mio IMC è: IMC = 62 kg / (1,67 m)2 = 62 kg / 2,7889 m2 = 22,23...

Rapporti tra grandezze non omogenee

Definizione di proporzione

l  Una proporzione è l'uguaglianza tra due rapporti. La seguente proporzione a : b = c : d ha significato solo se b e d non sono nulli. Esempio: 2 : 4 = 6 : 12 è una proporzione perché i rapporti 2:4

e 6:12 sono uguali (corrispondono entrambi alla frazione ½ o al numero decimale 0,5).

Controesempio: 3 : 4 = 15 : 16 non è una proporzione perché i rapporti non sono uguali. Infatti la frazione 3/4 non è equivalente alla frazione 15/16 perché 3/4 = 12/16.

Termini

Nella proporzione a : b = c : d a e c sono gli antecedenti b e d sono i conseguenti b e c sono i medi a e d sono gli estremi

Proprietà fondamentale

l  Secondo la proprietà fondamentale delle proporzioni: Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Perché? Ragioniamo sull'esempio 2 : 3 = 10 : 15, che è una

proporzione.

Proprietà fondamentale: interpretazione 2 : 3 = 10 : 15 Significa che le due frazioni 2/3 e 10/15 sono uguali. Uno dei metodi rapidi per confrontare due frazioni è

proprio quello che avevamo chiamato “prodotto incrociato” ed equivale esattamente alla proprietà fondamentale delle proporzioni!

23=

1015

30 30

Quindi... l  ...per verificare che una certa uguaglianza sia una

proporzione si può procedere in due modi:

-  con la definizione: verificando che i due rapporti siano uguali; -  con la proprietà fondamentale: verificando che il prodotto dei

medi sia uguale al prodotto degli estremi.

Intermezzo

Le scale delle carte geografiche sono rapporti. 1 : 25000 significa che 1 cm della carta equivale a 25000 cm

nella realtà. Quindi, se sulla carta due luoghi distano di 3,5 cm, nella realtà

essi distano 3,5 · 25000 = 87500 cm = 875 m.

Intermezzo

La sezione aurea di un segmento è un segmento più corto che ha questa proprietà:

è medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante.

a è la sezione aurea di (a+b) (a+b) : a = a : b

Intermezzo

Il rapporto tra (a+b) ed a (che corrisponde al rapporto tra a e b) è il numero

Percentuali

Una percentuale è una frazione (un rapporto). 12% = 12/100 Calcolare il 12% di 80 significa calcolare i 12/100 di 80: 80 · 12 / 100 = 8 · 12 / 10 = 9,6 Se ho visto le mie scarpe preferite, che costano 90 euro, in

saldo al 20%, quanto le pagherò? Calcolo il 20% di 90 e ottengo lo SCONTO! 90 · 20 / 100 = … = 18 euro. Pagherò le scarpe 90 – 18 = 72 euro.

Proprietà delle proporzioni: invertire e permutare

l  Proprietà dell'invertire: data una proporzione, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione.

5 : 12 = 10 : 24 INVERTIRE 12 : 5 = 24 : 10 l  Proprietà del permutare: data una proporzione,

scambiando tra loro i medi (o gli estremi) si ottiene ancora una proporzione.

5 : 12 = 10 : 24 PERMUTARE (medi) 5 : 10 = 12 : 24 5 : 12 = 10 : 24 PERMUTARE (estremi) 24 : 12 = 10 : 5

Proprietà delle proporzioni: comporre l  Proprietà del comporre: data una proporzione, puoi

sostituire a ogni antecedente la somma con il suo conseguente.

a : b = c : d COMPORRE (a+b) : b = (c+d) : d oppure a : b = c : d COMPORRE (a+b) : a = (c+d) : c 5 : 12 = 10 : 24 COMPORRE (5+12) : 12 = (10+24) : 24

17 : 12 = 34 : 24 5 : 12 = 10 : 24 COMPORRE (5+12) : 5 = (10+24) : 10

17 : 5 = 34 : 10

Proprietà delle proporzioni: scomporre l  Proprietà dello scomporre: data una proporzione,

puoi sostituire a ogni antecedente la differenza con il suo conseguente.

a : b = c : d SCOMPORRE (a-b) : b = (c-d) : d oppure a : b = c : d SCOMPORRE (a-b) : a = (c-d) : c 15 : 12 = 5 : 4 SCOMPORRE (15-12) : 12 = (5-4) : 4

3 : 12 = 1 : 4 15 : 12 = 5 : 4 SCOMPORRE (15-12) : 15 = (5-4) : 5

3 : 15 = 1 : 5

Calcolo del termine incognito in una proporzione l  Può capitare che non si conoscano tutti i termini della

proporzione... l  Se uno non è noto, lo si può calcolare, usando la

proprietà fondamentale: 30 : 12 = x : 4 Dato che 12 · x = 30 · 4, allora x = 30 · 4 / 12 = 10 La proporzione era 30 : 12 = 10 : 4

Calcolo del termine incognito in una proporzione l  Se non sono noti i due medi e sono uguali... 9 : x = x : 4 Dato che x · x = 9 · 4, allora x2 = 9 · 4 quindi x = √9 · 4 = √36 = 6 La proporzione era 9 : 6 = 6 : 4