1

Rapporti e proporzioni

Def:

Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia diverso da zero, il

quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo.

a e b si dicono TERMINI del rapporto e il primo si chiama ANTECEDENTE, mentre il

secondo CONSEGUENTE.

OSSERVAZIONE:

Il rapporto fra due numeri si può rappresentare come:

DIVISIONE FRAZIONE NUMERO DECIMALE

3:2

1,5

7:2

3,5

1:2

0,5

Proprietà INVARIANTIVA dei rapporti:

Ogni rapporto non varia moltiplicando o dividendo i suoi termini per uno stesso numero,

diverso da zero.

Esempio:

Def:

Se in un rapporto si scambia l’antecedente con il conseguente, si ottiene un NUOVO

RAPPORTO, detto RAPPORTO INVERSO o RECIPROCO.

Esempio:

il rapporto inverso di

è

.

Esempio:

2

Rapporto fra Grandezze Omogenee

Def:

Due grandezze si dicono omogenee se è possibile confrontarle e stabilire se una di esse è

maggiore o minore o uguale all’altra; si esprimono con la stessa unità di misura.

Def:

Il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto fra le rispettive misure ed è

un numero.

Esempio:

il rapporto tra la base di un rettangolo e la sua altezza

Rapporto:

Def:

due grandezze omogenee si dicono:

COMMENSURABILI INCOMMENSURABILI

se il loro rapporto è un numero

RAZIONALE

un decimale limitato o periodico

se il loro rapporto è un numero

IRRAZIONALE

il numero è un decimale illimitato

NON PERIODICO

Esempio: Esempio:

due lati di un rettangolo, altezza e

ipotenusa di un triangolo,…..

lato e diagonale di un quadrato

Rapporto fra Grandezze NON Omogenee

Def:

è il quoziente fra le loro misure ed è una NUOVA GRANDEZZA non omogenea a quelle date. La

sua unità di misura è il rapporto tra le unità date.

Es:

la velocità

⁄

peso specifico

⁄

3

Calcolo del termine incognito in un rapporto

1 CASO: ANTECEDENTE INCOGNITO

Es:

REGOLA: Si moltiplica il valore del rapporto per il CONSEGUENTE.

Es:

2 CASO: CONSEGUENTE INCOGNITO

Es:

REGOLA: si divide l’ANTECEDENTE per il valore del RAPPORTO.

Es:

(

)

4

PROPORZIONI

Def:

una proporzione è un’UGUAGLIANZA di due RAPPORTI.

Ovvero, quattro numeri sono in proporzione se il rapporto tra i primi due è uguale al rapporto

tra gli altri due.

Si legge: “ a sta a b come c sta a d”

I quattro numeri si chiamano TERMINI della proporzione, inoltre:

e ANTECEDENTI

e CONSEGUENTI

e ESTREMI

e MEDI

QUARTO PROPORZIONALE

PROPRIETA’ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI

In ogni proporzione il PRODOTTO dei MEDI è uguale al PRODOTTO degli

ESTREMI.

Esempi:

ok

ok

OSSERVAZIONE:

Quattro numeri sono in proporzione solo se vale questa proprietà, ovvero se il PRODOTTO del

primo per il quarto è uguale al PRODOTTO del secondo per il terzo.

Esempio:

dati i seguenti numeri, verificare che si tratta di una proporzione.

è una proporzione?

NON è UNA PROPORZIONE!

5

PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI

1) PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE

Se invertiamo ogni antecedente con il suo conseguente, otteniamo una NUOVA

PROPORZIONE.

Esempio:

verifico che sia ancora una proporzione:

ok

2) PROPRIETA’ DEL PERMUTARE Se si scambiano tra loro i MEDI, oppure gli ESTREMI, oppure ENTRAMBI, si ottiene una NUOVA

PROPORZIONE.

Es:

i. Scambio i MEDI:

Verifico che sia una proporzione:

ok

ii. Scambio gli ESTREMI:

Verifico che sia una proporzione:

ok

iii. Scambio i MEDI e gli ESTREMI:

Verifico che sia una proporzione:

ok

6

3) PROPRIETA’ DEL COMPORRE In ogni proporzione la SOMMA del PRIMO e del SECONDO termine STA al PRIMO (oppure al

SECONDO), come la SOMMA del TERZO e del QUARTO termine STA al TERZO (oppure al

QUARTO).

( ) ( )

( ) ( )

Esempio:

I CASO: ( ) ( )

ok

II CASO: ( ) ( )

ok

4) PROPRIETA’ DEL SCOMPORRE In ogni proporzione la DIFFERENZA tra il PRIMO e il SECONDO termine STA al PRIMO (oppure

al SECONDO), come la DIFFERENZA tra il TERZO e il QUARTO termine STA al TERZO (oppure al

QUARTO).

Si può applicare solo nel caso in cui gli antecedenti siano MAGGIORI dei conseguenti.

( ) ( )

( ) ( )

Esempio:

Non si può applicare la proprietà dello scomporre

Si applica la proprietà dell’invertire:

I CASO: ( ) ( )

ok

II CASO: ( ) ( )

30=30 ok

7

Calcolo del termine incognito di una proporzione

Data una proporzione con un termine incognito, risolverla significa trovare il valore di quel

termine applicando le proprietà delle proporzioni.

1) Calcolo di un ESTREMO incognito

Esempio: 12 : 8 = 3 : x

Se

Regola:

per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE,

quindi:

in ogni proporzione un ESTREMO INCOGNITO è uguale al prodotto dei medi diviso l’altro

estremo.

Esempio:

2) calcolo di un MEDIO incognito

Esempio:

8

Regola:

per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE,

quindi:

in ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio.

3) proporzione CONTINUA:

Esempio:

√ √

Infatti

Regola:

per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE,

quindi:

√

in ogni proporzione continua il medio incognito è uguale alla RADICE QUADRATA del prodotto

degli estremi.

√

4) calcolare due numeri di cui sono noti la somma o la differenza e il

loro rapporto.

Es:

dato che nei dati c’è la SOMMA dei due numeri, si applica la PROP. del COMPORRE:

( ) ( )

9

Es:

Si applica la prop. dello SCOMPORRE:

( ) ( )

5) Usare le proprietà necessarie a seconda dei casi. Esempio:

( )

obiettivo: eliminare “–x” dal primo termine

Si applica la proprietà del COMPORRE:

( ) ( )

(1_term +2_term) : 2_term = (3_term + 4_term) : 4_term

Esempio:

( )

obiettivo: eliminare “+x” dal primo termine

Si applica la proprietà dello SCOMPORRE:

( ) ( )

----22/12-----

Esempio:

( )

Si applica la proprietà del PERMUTARE I MEDI:

( )

Si applica la proprietà del COMPORRE:

10

( ) ( )

SUCCESSIONE DI RAPPORTI UGUALI

Def:

una successione di rapporti uguali è un’uguaglianza di tre o più rapporti uguali.

Es:

Si risolvono applicando la PROPRIETA’ DEL COMPORRE:

la SOMMA di TUTTI gli ANTECEDENTI sta alla SOMMA di TUTTI i CONSEGUENTI, come un

ANTECEDENTE sta al suo CONSEGUENTE.

( ) ( )

Prova: ok

PROBLEMA:

Calcola tre numeri, la cui somma è 180, che stanno fra loro come i numeri 2,3 e 4.

Proprietà del comporre:

( ) ( )

Calcoliamo la y:

( ) ( )

Calcoliamo la z:

( ) ( )

Oppure, utilizzando la proporzione:

( ) ( )