Le Proporzioni… Risolvono molti problemi della vita.

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Le Proporzioni… Risolvono molti problemi della vita

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Le Proporzioni…

Risolvono molti problemi della vita

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Le Proporzioni?Perché parlare delle proporzioni oggi?

• Familiarità con le frazioni.

• E’ Matematica elementare (non sempre!)

• Il ragionamento “per proporzioni” è elegante e potente (si risparmia tempo!)• Storicamente è stato molto usato.

• E' possibile risolvere problemi: 3-semplice, 3 composto e di ripartizione.

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Esempi di uomini illustri…

Pitagora (Teoria dell’Armonia)Archimede (La Meccanica delle leve)Leonardo (Le proporzioni nell’arte)

Galileo (Fisica classica)Pascal (Probabilità e Fisica)

Talete (Teorema sui fasci paralleli)

Newton (Leggi della dinamica)

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LA NATURA!

RAPPORTI e PROPORZIONI

Sono Strumenti che l’uomo utilizza per capire la NATURA e RAPPRESENTARLA.

Le proporzioni sono utili in diversi campi:ARTEECONOMIA

FISICABIOLOGIA

SCIENZE VARIE

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Cosa è una PROPORZIONE?

UGUAGLIANZA DI DUE RAPPORTI

ab=cd

Scritto altrimenti:

a : b = c : d

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Proprietà

Fondamentale: a*d = b*c Comporre: (a+b): b = (c+d): d Scomporre: (a-b) : b = (c-d) : d Permutare: a : c = b : d Invertire: b : a = d : c

Spunto di riflessione:

Tutte le proprietà si dimostrano facilmente tramite le proprietà delle frazioni…

Partendo da “a : b = c : d”

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Le regole di Proporzioneovvero

esempi noti di problemi in cui utilizzare le proporzioni

ELEMENTI DI ALGEBRAdel sacerdote

Alessandro Casano

Pubblico Professore nella R. Università di Palermo

1833

Segue >>

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Tipi di PROPORZIONALITA’ Diretta Inversa

Due insiemi di “grandezze in corrispondenza biunivoca”

Diretta se quando le grandezze del primo gruppo raddoppiano, triplicano, ecc…

Le grandezze corrispondenti fanno la stessa cosa

Intuitivamente:

Inversa se quando le grandezza del primo gruppo raddoppiano, triplicano ecc…

Le grandezze corrispondenti si dimezzano, diventano un terzo, ecc…

La proporzionalità si intende sempre come “crescite lineari”, ma nulla vieta di generalizzare il concetto a rapporti di secondo grado, terzo e così via…

Si conserva il rapporto

Si conserva il prodotto

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Esempi di Problemi - Tre semplice -

Diretto:

Un rubinetto versa in 2 ore 54 litri d’acqua; quanti ne versa in 9 ore?Chiaramente il problema è di tipo diretto, dato che più tempo passa e più litri vengono versati; il rapporto di litri versati all’ora è di 54 a 2, quindi l’incognita deve mantenere questo rapporto costante se rapportato a 9… ovvero sussiste la proporzione:

54 : 2 = x : 9, da cui x = (54 * 9) : 2 = 243 litri.

Inverso:

Per costruire una strada 10 operai impiegano 30 gg. Quanti giorni impiegherebbero 15 operai per compiere lo stesso lavoro? (lavorando allo stesso ritmo)

Qui il problema presenta una proporzionalità inversa, infatti maggiore è il numero di operai e meno tempo si impiega a compiere il lavoro; il rapporto conosciuto è 10 a 30… visto che nella proporzionalità inversa è il prodotto che rimane costante (quindi la proporzionalità è diretta con gli inversi delle grandezze corrispondenti), allora sussiste la seguente proporzione:

10 : 1/30 = 15 : 1/x, meglio ancora: 10 : 15 = x : 30 da cui x = (10 * 30) : 15 = 20 gg.

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Schemi risolutivi

Seguendo le frecce:

2 : 9 = 54 : x

10 : 15 = x : 30

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40 uomini hanno costruito un muro lungo 130 metri, largo 3 metri e alto 8 metri in 65 gg, lavorando 9 ore al giorno; si domanda quanti giorni dovrebbero impiegare 15 uomini a costruire un muro lungo 160 metri, largo 5 metri, alto 6 metri, lavorando per 10 ore al giorno.

Esempi di Problemi - Tre composto -

A prima vista sembra un quesito duro da risolvere…

Eppure basta solo stabilire i tipi di proporzionalità ed applicare le “note regole”

N° uomini Lunghezza Larghezza Altezza N° ore N° Giorni

40 130 3 8 9 65

15 160 5 6 10 x

Tipo Prop. I D D D I

x = 65 * (9/10) * (6/8) * (5/3) * (160/130) * (40/15) = 240 gg.

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Esempio di ragionamento proporzionale - dal “Le Mecaniche” di G.Galilei (1593) -

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Esempio di ragionamento proporzionale - dal “Le Mecaniche” di G.Galilei (1593) -

MH=12HA ,NH=

12HB⇒MN =

12AB=BG

Sottraendo GN

MG=NB=NH

Aggiungendo GH

MH = GN

Ma si ha anche che

KI : IL

Per cui MH :HN=NG :GM

Ora, il primo rapporto è come

E questo è come CI : ID

Quindi si conclude:

MG = HN

NG : GM = Solido CS : Solido SD

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Le proporzioni in Geometria (1)

Quando due figure “hanno la stessa forma”, le chiamiamo SIMILI

In Geometria questo si traduce, per i poligoni, nell’avere angoli ordinatamente congruenti e lati corrispondenti in proporzione ovvero il rapporto tra i lati che si corrispondono è costantemente uguale ad uno stesso numero

Si può vedere per i triangoli che basta avere due angoli uguali ed in automatico essi sono simili

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Teoremi di Euclide

1. Un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione su di essa

2. L’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

a

b

c

c1

c2

h

1. c1 : a = a : c ovvero a2 = c1 * c

c2 : b = b : c ovvero b2 = c2 * c

2. c1 : h = h : c2 ovvero h2 = c1 * c2

Le proporzioni in Geometria (2)

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Le proporzioni in Geometria (3)

Il Teorema di TaleteDato un fascio di rette parallele, il

rapporto tra i segmenti che si formano su una trasversale, non cambia comunque sia inclinata tale retta

Il rapporto tra i segmenti corrispondenti a due lettere qualsiasi (le stesse!), sono

costanti… esempio a1:d1=a2:d2=a3:d3=…

a

b

c

d

e

a1 a2 a3

d1 d2 d3

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Una applicazione geometrica

I triangoli ACD e ABE sono simili…AC : AB = CD : EB

Se ci mettessimo in A, distanti dalla base del “Gladio” (C) 7,5 metri e nel punto B, distante da noi 1 metro, conficcassimo nel terreno un palo di 1,5 metri, allora potremmo facilmente calcolare l’altezza del “Gladio” senza doverlo abbattere…

7,5 : 1 = CD : 1,5 CD = 7,5 * 1,5 = 11,25 metriquindi

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La Falsa posizione semplice

Essa è una regola che permette di risolvere tutti i problemi di I grado che darebbero origine ad un’equazione del tipo ax=b

Si supponga che sia n un valore a piacere della x. Se si ha che an=b allora x=n è una soluzione del problema. Se però non è soddisfatta l’equazione, allora an fornirà un valore c maggiore o minore di b.

Dividiamo le due equazioni ax=b e an=c membro a membro

anax

=cb

e quindinx=cb ovvero la proporzione

c : b = n : x da cui x=bnc

Nota la Proporzione: ll falso risultato sta al vero come il numero supposto sta a quello vero

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Esempio di applicazioneSi deve riempire un bacino facendo simultaneamente scorrere

acqua da due fonti, di cui la prima lo riempierebbe in 7 ore e la seconda in 3 ore. Quanto tempo è necessario per riempire il bacino?

Sia 1 la capacità del bacino che supponiamo di poter riempire in un'ora; significa che la prima fonte l’ha riempito per 1/7 e la seconda per 1/3. Ora la somma di queste due frazioni è 10/21 (falsa posizione, dato che dovrei ottenere 1). Utilizzando la proporzione di prima si ha:

1021:1=1 : x da cui si deduce x=

2110 ovvero 2 ore e 6 minuti

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La Falsa posizione doppiaEssa è una regola che permette di risolvere tutti i

problemi di 1° grado ad una incognita.

Si supponga che il problema porti ad una equazione del tipo ax+b = cx+d e si supponga che la soluzione sia n. Allora, se fosse giusta, an+b = cn+d, altrimenti, essendo valori disuguali, si potrebbe aggiungere o sottrarre una certa quantità e. Quindi, si avrebbe in generale, an+b = cn+d ± e. (e è detto anche “errore relativo ad n)

Sottraendo le due equazioni scritte membro a membro… an+b-(ax+b) = cn+d ± e - (cx+d) ovvero…(n-x)a=(n-x)c ± e ed in ultimo…(n-x)(a-c)= ± e.

Segue >>

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La Falsa posizione doppia

Si supponga ora che la soluzione sia n’. Allora, procedendo come prima, se fosse giusta, an’+b = cn’+d, altrimenti, essendo valori disuguali, si potrebbe aggiungere o sottrarre una certa quantità e’. Quindi, si avrebbe in generale, an’+b = cn’+d ± e’.

Sottraendo le due equazioni scritte membro a membro… an’+b-(ax+b) = cn’+d ± e’ - (cx+d) ovvero…(n’-x)a=(n’-x)c ± e’ ed in ultimo…(n’-x)(a-c)= ± e’.

Si dividi membro a membro questi due uguaglianze… n− x a− c n '− x a− c

=±e±e ' e quindi

n− x n '− x

=±e±e '

ovvero, dopo poco: x=±n ' em ne '

±eme'

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Esempio di applicazione

Il cacciatore A scommette di pagare a B 2 Euro per ogni scarica a vuoto e B si obbliga di pagare 3 Euro per ogni scarica che A farà in pieno; dopo 25 scariche A deve a B 10 Euro. Si cerca il numero delle scariche a vuoto

Chiaramente l’equazione risolutiva si può scrivere senza grosse difficoltà: 2 x - 3(25-x)=10.Applichiamo la regola della falsa posizione (se non si vuol risolvere il problema tramite le equazioni!).

Per n=10 (scariche) si ha: 2*10-3*(25-10)=20-45=-25Ora -25=-25+10-10 quindi e=-35.Supponiamo ora n’=8, si ha: 2*8-3*(25-8)=16-51=-35E -35=-35+10-10, quindi e’=-45

Se poniamo i numeri trovati ordinatamente in una tabella

10 8

-35 -45

n n’

e e’

x=−35⋅845⋅10

−3545=17010

=17x=±n ' em ne '

±eme'

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BibliografiaSettimio Cirillo: “Geometria Operativa” (Ferraro ed. -Napoli- 1993)Alessandro Casano: “Elementi di Algebra” (Tipografia Reale di Guerra - Palermo- 1833)Galileo Galilei: “Le Opere” a cura di Franz Brunetti (Classici U.T.E.T. -Torino- 1980)Emanuele Castagna: “Il Pensiero Proporzionale” (Loffredo ed. -Napoli- 2006)