Calcolo del termine incognito di una proporzione continua ... · Title: Proporzionalità Author:...

Proporzioni continue. Calcolo. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1

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Calcolo del termine incognito di una proporzione continua. Soluzioni guidate. Arithmetic - Ratio & Proportion Solved Exercises

1. 6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 24 soluzione

2. 𝑥 ∶ 54 = 6 ∶ 𝑥 soluzione






8. 𝑥 ∶ 3 = 12 ∶ 𝑥 soluzione

9. 24 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 54 soluzione

10. 32 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 98 soluzione

11. 36 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 9 soluzione

12. 0,6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 2,4 soluzione

13. 150 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 6 soluzione

14. 4,41 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 4 soluzione

15. 1

4

1

25: :x x= soluzione

16. 5

16: 𝑥 = 𝑥:

10

2 soluzione

17. 𝑥:

1

27=

49

3: 𝑥 soluzione

18. 𝑥:

8

3=

2

3: 𝑥 soluzione

19. 75

49

3

16: :x x= soluzione

20.

45

28::

7

5xx =

soluzione

21. xx :

5

4

45

16: =

soluzione

http://www.ubimath.org/

mailto:[email protected]



22. 0,04̅ ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 1,6

8

85=x

soluzione

23. 𝑥 ∶ 0, 1̅ = 5, 4̅ ∶ 𝑥

𝑥 ∶ 0, (1) = 5, (4): 𝑥

𝑥 =7

9

soluzione

24. 𝑥 ∶ 2, 6̅ = 0, 6̅ ∶ 𝑥

𝑥 ∶ 2, (6) = 0, (6) ∶ 𝑥

𝑥 =4

3

soluzione

25. 0, 3̅ ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 0, 1̅

)1(,0::)3(,0 xx = 33

1=x

soluzione

26.

+=

−

4

12::

5

2

4

12

xx 20

9=x

soluzione

27.

32

3

1

42

1

3−

= +

: :x x

6

7=x

soluzione

28. ( )

+=−

7

22::3,01,1 xx

10

21=x

soluzione

29.

+

+

=

+

+

−

−

−

3,04

1:5,0

8

3

9,11:691,2::

3,01

3

125,0

2

16,0

75,01xx

12

5=x

soluzione

30.

xx :

4

1

3

1

12

112

1

3

5

6

7

10

71

9

5

3

7:

2

1

3

2

:

−

+

−+

=

−

−

1=x

soluzione

31. ( )

+=−

7

22::3,01,1 xx

3

4=x

soluzione

32. (1 + 1, 6̅) ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ (1 − 0, 3̅) 3

4=x

soluzione





33.

+=

+

23

2

1:

2

11::1

2

1xx 2

3=x

soluzione

34.

+=

+

20

291::

5

41 xx 10

21=x

soluzione

35.

−=

−

20

113::

5

12 xx 10

21=x

soluzione

36.

9

1

3

2

5

327

1:

3

1

::

8

71:

2

145

52

−+

=

−

xx 2

3=x

soluzione

37. (3 −

5

4+

1

8−

5

8) : 𝑥 = 𝑥: (2 +

1

2−

5

4)

𝑥 =5

4

soluzione

38. [(

1

2)

3

: (1

2)

2

+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 + (1

2)

4

: (1

2)

3

] 𝑥 =

5

2

soluzione

39. [(1 +

1

2) + (

1

2)

4

: (1

2)

2

]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 − (3

16:1

4) +

5

16]

𝑥 =21

16

soluzione

40. [1, 3̅ ∶ (0, 5̅ ∶ 0, 3̅ −

1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −

15

14∶ 1,5) 𝑥 =

4

7

soluzione





Esercizi e soluzioni

6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 24

Proporzione continua

Per la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha 𝑥 = √𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖 𝑛𝑜𝑡𝑖

𝑥 = √6 ∙ 24 = √144 = 12

oppure

𝑥 = √6 ∙ 24 = √6 ∙ 6 ∙ 4 = 6 ∙ 2 = 12

Oppure

6 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 24

Per la proprità fondamentale

𝑥 ∙ 𝑥 = 6 ∙ 24

𝑥2 = 6 ∙ 24

Tralasciando, per ora, che se 𝑥2 = 𝑎 abbiamo che 𝑥 non corrisponde alla √𝑎 abbiamo che

𝑥 = √6 ∙ 24 = √144 = 12





𝑥 ∶ 54 = 6 ∶ 𝑥



𝑥 = √54 ∙ 6 = √324 = 18

oppure

𝑥 = √54 ∙ 6 = √9 ∙ 6 ∙ 6 = 3 ∙ 6 = 18

Oppure

𝑥 ∶ 54 = 6 ∶ 𝑥


𝑥 ∙ 𝑥 = 6 ∙ 54

𝑥2 = 6 ∙ 54


𝑥 = √6 ∙ 54 = √324 = 18





18 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 2



𝑥 = √18 ∙ 2 = √36 = 6

oppure

𝑥 = √18 ∙ 2 = √9 ∙ 2 ∙ 2 = 3 ∙ 2 = 6

Oppure

18 ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 2


𝑥 ∙ 𝑥 = 18 ∙ 2

𝑥2 = 18 ∙ 2


𝑥 = √18 ∙ 2 = √36 = 6





28 : x= x : 7

𝑥 = √28 ∙ 7 = √196 = 14

981273

273

===

=

x

xx

1892814814

814

====

=

x

xx

10100502

502

===

=

x

xx

636123

123

===

=

x

xx





24 : x = x : 54

3633223322

3322325424

2222

22

===

===x

32 : x= x : 98

𝑥 = √32 ∙ 98 = √16 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 49 = √16 ∙ 22 ∙ 72 = 4 ∙ 2 ∙ 7 = 56

36 : x= x : 9

𝑥 = √36 ∙ 9 = √62 ∙ 32 = 6 ∙ 3 = 18

0,6: 𝑥 = 𝑥: 2,4

6

10: 𝑥 = 𝑥:

24

10

𝑥 = √6

10∙

24

10= √

2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 22

102=

12

10=

6

5





150 : x= x : 6

𝑥 = √150 ∙ 6 = √900 = 30

4,41: 𝑥 = 𝑥: 4

441

100: 𝑥 = 𝑥: 4

𝑥 = √441

100∙ 4

𝑥 =√441

√100∙ √4 =

21

105∙ 2 =

21

5

1

4

1

25: :x x=

10

1

100

1

100

1

25

1

4

1====x





5

16: 𝑥 = 𝑥:

10

2

5

16: 𝑥 = 𝑥:

5

1

𝑥 = √5

16∙

5

1= √

25

16=

5

4

𝑥:1

27=

49

3: 𝑥

𝑥 = √1

27∙

49

3= √

49

81=

7

9

𝑥:8

3=

2

3: 𝑥

𝑥 = √8

3∙

2

3= √

16

9=

4

3





16

3::

49

75xx =

28

15

47

15

1649

225

1649

225

16

3

49

75

=

=

=

=

=

x

x

45

28::

7

5xx =

3

2

9

4

45

28

7

5===x

xx :5

4

45

16: =

15

8

53

24

5

4

45

1622

22

=

==x





0,04̅ ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ 1,6

( )

15

4

30

8

900

64

900

64

10

16

90

4

10

16::

90

4

6,1::40,0

=====

=

=

x

xx

xx

𝑥: 0, (1) = 5, (4): 𝑥

𝑥:1

9=

54 − 4

9: 𝑥

𝑥:1

9=

49

9: 𝑥

𝑥 = √1

9∙

49

9= √

49

81=

7

9

𝑥: 2, (6) = 0, (6): 𝑥

𝑥:26 − 2

9=

6

9: 𝑥

𝑥:24

9=

2

3: 𝑥

𝑥:8

3=

2

3: 𝑥

𝑥 = √8

3∙

2

3= √

16

9=

4

3





)1(,0::)3(,0 xx =

( )

33

1

39

1

27

1

9

1

9

3

9

1::

9

3

)1(,0::3,0

=

===

=

=

x

xx

xx

20

9

400

81

400

81

4

9

100

9

4

9::

100

9

4

9::

100

1625

4

9::

25

4

4

1

4

12::

5

2

4

12

====

=

=

−

=

−

+=

−

x

xx

xx

xx

xx

32

3

1

42

1

3−

= +

: :x x

6

7

36

49

36

49

12

7

3

7

12

7::

3

7

3

7

4

1::

3

29

3

12

4

1::

3

23

====

=

=

−

+=

−

x

xx

xx

xx





( )

+=−

7

22::3,01,1 xx

10

9

3

92

2

7

7

9

16

7

7

9

16

7

16

9

4

31 3

−

= +

=

= = = =

x x

x x

x ,

+

+

=

+

+

−

−

−

3,04

1:5,0

8

3

9,11:691,2::

3,01

3

125,0

2

16,0

75,01xx

641,012

5

153

25

16

17

179

25

16

17

3

1

717

1

3

725

16

17

3

2

119

1

6

175

16

17

2

3

119

1

18

525

16

7

2

3

2

3

119

1

90

2625

3

4

12

7

6

1

4

1

12

7

8

7

119

10

900

2912916

3

11

3

1

4

1

2

1

3

2

4

1

===

=

=

=

=

=

−

=

−

−=

+

+−

−

x

x

xx

xx

xx

xx

xx





xx :

4

1

3

1

12

112

1

3

5

6

7

10

71

9

5

3

7:

2

1

3

2

:

−

+

−+

=

−

−

13

7

7

3

3

7

7

3

6

14

1

6

14

1

12

3156

14

6

114

1

4

1

12

156

14

10

3

9

5

7

3

6

1

4

1

12

4116

3107

10

710

9

5

7

3

6

34

==

=

=

−

=

−

=

−

+

−+

=

−

−

x

xx

xx

xx

xx

xx





( )

+=−

7

22::3,01,1 xx

3,13

4

9

16

7

16

9

7

7

16::

9

7

7

22::

9

3

9

10

====

=

+=

−

x

xx

xx

(1 + 1, 6̅) ∶ 𝑥 = 𝑥 ∶ (1 − 0, 3̅)

( ) ( ))3(,01::)6(,11 −=+ xx

3

4

9

16

3

2

3

8

3

2::

3

8

3

2::

3

51

3

11::

9

151

9

31::

9

1161

===

=

=

+

−=

+

−=

−+

x

xx

xx

xx

xx





+=

+

23

2

1

2

11::1

2

1xx

2

3

4

9

4

9

2

3

2

3

2

3::

2

3

2

11::

2

3

2

11::

2

323

====

=

+=

+=

−

x

xx

xx

xx

10

21

10

73

100

499

20

49

5

9

20

291

5

41

20

291::

5

41

=

=

==

+

+=

+=

+

x

xx





10

21

10

73

100

499

20

49

5

9

20

1160

5

110

20

113::

5

12

=

=

==

−

−=

−=

−

x

xx

2

3

4

9

4

19

1

1

52

459

45

13

52

459::

45

13

52

459::

4

1

45

52

45

52

9::

1

8

2

145

52

45

530271

27

3

1

::

8

1:

2

145

52

9

1

3

2

5

327

1:

3

1

::

8

71:

2

145

52

==

=

=

=

=

=

−+

=

−+

=

−

x

xx

xx

xx

xx

xx





(3 −5

4+

1

8−

5

8) : 𝑥 = 𝑥: (2 +

1

2−

5

4)

(24 − 10 + 1 − 5

8) : 𝑥 = 𝑥: (

8 + 2 − 5

4)

10

8∶ 𝑥 = 𝑥 ∶

5

4

𝑥 = √10

8∙

5

4= √

5

4∙

5

4=

5

4

[(1

2)

3

: (1

2)

2

+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 + (1

2)

4

: (1

2)

3

]

[(1

2)

3−2

+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 + (1

2)

4−3

]

[1

2+ 2] : 𝑥 = 𝑥: [2 +

1

2]

5

2: 𝑥 = 𝑥:

5

2

𝑥 = √5

2∙

5

2=

5

2





[(1 +1

2) + (

1

2)

4

: (1

2)

2

]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 − (3

16:1

4) +

5

16]

[(2 + 1

2) + (

1

2)

4−2

]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 − (3

16∙

4

1) +

5

16]

[3

2+

1

4]

2

: 𝑥 = 𝑥: [1 −3

4+

5

16]

[6 + 1

4]

2

: 𝑥 = 𝑥: [16 − 12 + 5

16]

49

16∶ 𝑥 = 𝑥 ∶

9

16

𝑥 = √49

16∙

9

16

𝑥 = √72

42∙

32

42=

21

16

[1, 3̅ ∶ (0, 5̅ ∶ 0, 3̅ −1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −

15

14∶ 1,5)

[1, (3): (0, (5): 0, (3) −1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −

15

14:3

2)

[13 − 1

9: (

5

9:3

9−

1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −

155

147∙

2

3)

[12

9: (

5

3−

1

2)] : 𝑥 = 𝑥: (1 −

5

7)

[4

3:10 − 3

6] : 𝑥 = 𝑥:

7 − 5

7

[4

3∙

6

7] : 𝑥 = 𝑥:

2

7

8

7: 𝑥 = 𝑥:

2

7

𝑥 = √8

7∙

2

7= √

16

72=

4

7





Keywords

Matematica, Aritmetica, Proporzionalità, Proporzioni, calcolo del termine incognito di una

proporzione, estremi, medi, proporzioni, risolvere una proporzione, ricerca termine incognito,

proporzioni continue, incognita, x, medio proporzionale, esercizi con soluzioni

Math, Arithmetic, Proportion, Proportionality, extremes, means, solving a proportion,

proportionality problem, Math solved exercises

Matemática, Aritmética, Proporción

Mathématique, Arithmétique, Proportion

Mathematik, Arithmetik, das Verhältnis

Arabic: َكِميَّه، َحْجم، َعدَد

Chinese 比例

Czech: poměr

Danish: forhold

Dutch: verhouding

Estonian: (õige) vahekord

Finnish: suhde

Greek: αναλογία

Hungarian: arány

Icelandic: hlutfall

Indonesian: perbandingan

Japanese: 割合

Korean: (양·크기·수 따위의) 비, 비율

Latvian: proporcija; attiecība; samērs

Lithuanian: proporcija, santykis

Norwegian: forhold

Polish: proporcja

Portuguese: proporção

Romanian: proporţie

Russian: пропорция

Slovak: pomer, podiel

Slovenian: razmerje

Swedish: proportion

Turkish: oran, nisbet



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