A. Szabò,La teoria pitagorica delle proporzioni

8/7/2019 A. Szab,La teoria pitagorica delle proporzioni

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Diadoco, cornmentatore degli Elementi di Euclide," vissuto nelV secolo d.C., sccondo i1 quale Pitagora stesso (nel VI secolo a.C.)fu 1 0 scopritore, oJlpure il creatore della teoria delle proporzioni .!Peccato, che quella informaz lone di Proclo non sia del tut to inconte -stabile . La Ie ttura del testo greco e da qualche parte dubbiosa, Puodarsi che Proclo non ahbia voluto parlare delle "proporzlcni '(unalogoll nel greco) ma degli "irrazionali ' (alogon), e che Pita-gora non abbia scoperto Ie 'proporzioni' - secondo il parere delProelo - rna il fat to degli "i rraaional i ',"

In ogni casu si ammette oggi in genere che Ia teoria originaledel le proporzioni, que lla pi li anti ca , Iu una teoria numerica, v~IeIIdire: era valida soltanto ncl caso < Ii numeri, II in quella di gran-dezze commensurabili. La definizione Iondamenta le di questa teoriaI>i t l antica si legge in Eudide come segue: 7VII def. 20: Di quattro numeri, il primo al secondo, si dice es-

sere ncllo stesso rapporto, in eui e il terzo al quarto,quando il primo e 1 0 stesso multiplo, la stessa parteo Ie stesse parti del secondo che c il te rzo del quarto.'

L' altra teo ria delle proporzioni pili generale ed applicabileanche a lle grandezze incommensurah ili potrebbe esse re ph i recentc,di un'origine pili tarda, Quella e Iorse 1'opera di Eudosso, di unpil i giovane contemporaneo di Pla tone , La definizione d i quest 'a lt ra

4 PROCLUS DlADOC:IIIlS. In Euclidis elementorum librum primuni commenlaria. cfl. G. FIUI lDLEIN [Lipslae, 1875), II. 6 5. Ibid, 65. 1521: Dopo di loroI'ilasora Irasformo questo studio in una form a di i lJsegnamento libcrale, inve-I'ligundo dnll'alto isuoi principl, c inf illgando i Icoremi astrauumente e intellet-tualmente : egli scopri L a teoria delle proporzion! [oppurc: il [auo deSli irra-ZiOlIllli) e la cos truz ione de lle f igure cosmiehe '. 6 Ibid. 65,1921: a, ~7 j xat"ti)'1 "tW'l ~A6lru~ ~parJl~u(2\I '" a:""{I~el.AJlJl. crit ." alii i ."al6Yfll"l E. r.AUgU5t'.

f Si legge a proposlto di questa definiz ionc euclidca sopra citata la seguentespicgazlone nella traduaione di A. f'IIAJf.S.: (Gli Elementi di Euclide, p, 429-430):Questu de finizione fl i propon; ione I ra qua lt ro nnmeri s i divide ill t re casi :J.} che iI primo c iI t er zo numero s iano equimuhipl i ri spc tt ivamente de l se-COOl! 'O e riel quarto: 2.) che il secondo e it quarto numero sono equimultipllrisllclli\l;Jmcnlc del Ifr iulf l c del tcrzo (caso esscnzialmcnte identico al prime};3.) che iI prime e il terzo I I I1 I11CTO siano II I stessa Irazionc mln. rispettivarnentede l secondo e de l qu a rIo e cc , ' ,

II

LA TEORJA PJTACORICA DELLE PROPORZIONJ 83.teoria piu sviluppata si legge nel libro V di Euclide nella formaseguente:

y

V def. 5: D' tt dI qua 1"0 gran e~ze , Ia prima alia seconds si diceessere nella m d .e esima raglOne (= nello stesso rapporto), ehe e Ia terza alla quarta: quando prese ugual-gual~ente. molteplici della prima e della terza, secondoqualslvogha moltiplicazione, e prese due altre Im t I I " d I I ugua -en e mo tep ICI e a seconda e della quarta dI' I' ,secon 0qua srvog ia moltiplicazione, se la molteplice dell .. . a prt-ma e maggtore della molteplice della seconda ancola. molteplice della terza c maggiore della rr:ol tepli; :dell" quarta ; se ugunle, uguale; se minore, minore.'

Vcdin~o dunque cite si dislinguono due diverse e oel diquesta teoria, La prima teoda originale e piti antica p lel.d.1soltant d' era va I :i 0 quan 0 st tra ttava del le proporz ioni tra numeri 0 tdezze commensurahili, L'altrn teor'ia generale I'd ral gran-"I' d . 'e va I a anc ie pereo an ezze mcommellsllrabili, deve essere di ,.. .,I It . un ongme piu tardano re Sl suppone qualche volta ch .. . .I d II e CI sr a stata una teoria genera e c e proJlorzioni anche nei tempi anteriari ad Eudo d ..questo caso Eudosso .. Ib sso, e IIInon saren e stato 1 0 scopritore ( '1creatore) ~i, ql~ell~ teoria p ! u svi luppa ta , ma sol tanto q:~~~:rech~aveva , pCI COSI dire, pel'fczlOnato la teoria dell . .ecc t' .. . e proporzlont. Edde lle ques 0 ~ ~uao;l tuuo CHI che si Sf! sullo sviluppo della I .elle proporzrom, eorta. Ci si domallda adesso: come si puo spiegare cd iIlustrare iuIII esteso quello sviluppo storieo ? Si flu' t phiari . 0 rovare un metodo perc ianre meglio la genesi eli quella teo ria ?

Credo che ci sia per una tale indagine una fonte storica nonanco~a sfrultata inter~mente. 10 penso cite ci sia piu tardi ualchetraccia nella matematlca dei GI'cci' che sia moho istrutt' q I .riguard II ... P Iva anc re Ino a e orrglnl. enso soprattutto alia lerminoiou;.a dell tmatica N ,. d bbi loa rna e-. .' on c e u 10, c re i tcrmini di quella scienza siano I' _dlta di una epoca anteriore. Sc si potesse spiegare 1 ' 0 . di ere.ter . '. rigme I quetmint, questa s)lIr.gazione potrebhe cssere _ .. a mlO parere - ancheun cornmentario


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pongo dunque adcsso di offrire una talc l:ipiegazione di alcuni ter-mini matematici.

Si osserva prima di tutto che una proporzione c talc, ehe siscrive oggi ne lla forma: a:b==c:d. Non importa molto - almenoper ora - se le lettere a, b, c e d signifieano soltanto numeri 0anche gra"dezze. E iil importante per noi adesso, ehe quella formadi una proporzione l;i chiamava nel Greco: f1 . v " I . ) . . o y i a . . s Ma infatti ,che cosa vuole dire questa parola green? Senz'altrc, sappiamo tuttiche cosa sia una analogia: qualunque somiglian;;a. La stessa parolagreca esiste oggi in quasi tutte le Hngue europee, cd ha dovunque10 s tesso aiunificato ( ' s om in li anz u '). E tulluvia, io dehbo dire cheCD.fu per me una vera sorpresa, quando aleuni nnni fa feci In semplicc,pcr cosi dire banale scoperta, che la parola greca f 1 . v a . . ) . . o ) ' t a . (Iaforma originaria della nos tra allulogia) 11011 puo venire dal l inguag-gio quotidiano dei Greci, perche il linguaggio quolidiano greco -almeno nell'autichita classics - non ha conosciuto mai questa vo-cabolo," Questo vocabolo era originariamentc soitanto III1'espressionea r ti fi ci a le d e l lingllaggio scientifico, UI I 'mot savant'. Senz'altro, sisa bene che la parola 'annlogia' era usata spesso nclle opere dcigrammat ici del l'epoca alessandrina , Mi l e ra questa parola anche or i-ginariamente un'cspressione del linguaggio dclln disciplina gram-mat ica le? Nicnt 'a ffat to! II vocaholo a v a . . ) , o y ! a . . era nel linguaggiodei grammatici soltanto UII termine per definire una sorta di somi-g l ian za, s im il i tud ine grammalicale, ed era senz'aItro un prestito dell inguaggio della matematica, perche nella matematica l'analogia eraappunto il nome per In proporzione, Ci si domanda soltanto ; comesi pot rebbe spiegare questa nome greco in senso et imologieo?

Prima di tutto debbo ribadire il fatto che la parola a . ' 1 C L ) . . O Y ! C Lr . un derivate del vocabolo A.6yo~, c quell'altro vocabolo ()"61'o;)era ilnome matematico del rapporto 0 della ragiolle tra due numcri ;a:b si chiamava ne l greco un )"6yo.; .10 Anehe questa denominilzione

8 P er e se ru p io , Euclide, Elementi, V def, 8 : cb")..,,ytCl tv _ptal.v oPOt ; ;t ) ..ClY.to~"l to~(Y =,' Un a proporaionc che consista -Iii t re tcrm~n~ e la minoreIIIIM,;ihilc' (=- Una PW IKIr.t:ionc deve averu alm euo Ire tcnnuu: n:b = b:c).

9 c r. iI lIIio lavom: Ana/osia. ill A "la A nl iq ll u Acad. Scient, Hung . ,X , 1 96 2 , I ' I '. 237 245 . 10 C f. 111definizione Eletn. V 3 : > ..6 Y '" to~l. /)Ut:. 11!yt~OlY0 11 0' jS VWV ~ ; (C I t~ 4 7tT.)..tltG.~'1~ci 7tt:.tCl 0:/.80t .. = Rapporto (0 ragioRe) I ra due gran

L A T lm lU A I'IT AC OIU CA D EL LE P RO PO RZ IO NI

lnon Ita nulla n che fare con il linguaggio quotidiano 0 eon la vitaquotidiana dei Greci. Era una denominaz ione puramente scientifi ca .Vale a dire: la maternatica era il campo unico nel quale H vocabolo)"6"j'0; aveva il senso: . rapporto tra due num eri " rispettivamentepi u tardi anche: " ra pp or to tra d ue gr an de zze ',

Per cio che riguarda l'altra denominazione - a .VCL ) ,Oy~c t - , laspiegaa ione el i que lla la l roviamo in Ari stote le, in quanta Adstotelec i dice una voltn: 1 / y fL p c tV c t/ ,o y tC L lo6't1'l'; EO t l ) , 6 Y I. I) V , 1I vale a dire :'I'analogia i: l 'uguaglianza dci logoi'. Questa osscrvaz ione di Ari-stotele mi ha indotto a ricostruire una locuzione arcaica della mate-mntica, ehe vicne senza rlubhio dui Pitagorici de] VI e V secoloa.C., e di cui It! trucee si leggono nncora in Euclide. Si dieeva ori-ginariarnente di quattro numeri che stanno ill proporxione - a:b=c:cl- a.'/7 . )"6y( 'v ro(,~, vall' a dire: '1I1I1lWI'i uno pl:1' 111111CO 1111' I(}go.~ugua li ' (!ao~ = IIgllalit La preposiaione f 1 . v ! : taveva dunque in questalocuzione 1111 signi ficate arcaico e di st rihut ivo. 'A v fL )"6yov ci diceesattarncnte: 11110 per 11110 come logos '. La forma abhreviata de ll alocuaione f 1 . v f L ).6yo'l L o o t e in Euclide: a . v a l . ~ y o v , nel senso ~a.u'to; ), 6)' o~ : :: "l o s te ss o r ap po rt o '.I~La locusione classica per "lostesso rappono ' si chiarna: ~ ~u,;b; Myo; , ment re In locuz ioneurcaica ern un avverhio ell it tico: a .v&J ,oYGV, in luogo eli a .v fL ) "6 y c 'lr O C i ~ _ Ambedue le forme (~ a.tJ'to; ).0ro; I! a .vc tAOYOV) sana usa tenel nostri l t esta di E uelide, rna phi spesso viene usata la formaclassica (b a u . a ; i,o-r";). U 1 1 sostantivo f 1 .V a , ). 0 y L a. - un'espressioneartificiale che originariamente non aveva senso che nel linguaggiomatematico - viene dunque tin questa locuzione pitagorica e ei dice:' ll gu al 5l ia nz a d ei r ap po rt i" , Anche il nostro concctto dell'allalogiac pel ' questa ragione di originc matcmatica e pi tagorica ,

Questo precisamento del significate esatto e originario dellaparola greea l i v a . ) , o y ! ~ fu il primo risultato delle mie ricerche inquesta carnpo alcuni anni fa. Debho ammettere iniatti che ern unrisultato abhastanza povero e non mi sembrava eli essere di unagrande portata. Ho avuto pi u fortuna, un po' pili tardi, ricomin-dC7.zComugence j. 1111cvrln modo tli com portarsi rispcllo alia Illlanli la. II Ari.stotcle, 1 - : 1 1r, I\"ic. 1131 II : - 1 1 . I: Pcr escmpio E L e m . V clef. 6 ~lIJllln' VII lie I.21; uhrl c:lC1I111i per 1111 laic IIhO dell'esprcssione civci). .t :.rGv nel miu lihro All.l,inS': der sricchi.


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\ciando le stesse indagini da un'altra parte. La mia attenzione SI erivolt a al la definia ionc scguente in Euclidc:V def. B : 'La proporzione consiste almeno itt tre termini '.I~

Non c'e dubbio, questa definizione si riferisce alla cosiddettaproporziane continua che noi ser iviamo nella forma: a:b= b:c, e nellaquale si usano soltanto tre lcucrc: a, /; e c. Appunto in riguardc aquesto casu e i avverte Aristolele che anche la cosiddet ta ~r~porz~oll:continua ha in verita quallro (e non sol tanto tre) termini, poichela leuera II, it termine in mezzo, si prcnde in questo caso due volte.lsMa pcr fortuna, questa osservazione di Aristotele non ha una impor-tanza parti cola re per noi. Si deve adesso concentrare la nost ra a tte~-zione suI Caito che una qualsiasi proporzione ha - secondo la term I-nologia greCi \ - qualche termine. Inlat ti , la denominazione euclideaper i numeri 0 per Ie grandezze di una proporzione - oppure ancheIn denominnz ione per componenti di un rapporto (a:b), quando questi eomponcnti si prell dono in lora stcssi - e i l vocaholo greco O ? C L(in plura le] e questa vocaholo l in i l slgnifi cato esnt to: "limiti, puntidi limiuuione ',

II punto di partenza per lc mie seguenti indagi.ni .fu clunqu~ l~questione: come mai era possibile, chc i due numeri di u~ qual~laslrapporto (a:b) abbiano ottenuto In denominazione terminologlca:"limiti; punti di limiiazione ' = O?Ot? E questa domanda ~u ~r mequasi In chiave (Icr ricostruire la storia arcaica delln teorra ~n . que.stione . Mi sin permesso all 'i nizio di del inearc il corso delle rme idee .

Non volcndo adesso cntrarc in pnrticulari, io dehbo ribadire quisoltanto il Iat to che ilnome greco per un "rapporto ' (a:b) non eraoriginariamente iI vocabolo ).o,,(Oi, rna un alt ro vocabolo : O L I X a 1 : 7 ) l l a IG

~

F'u soltanlo il risultato di uno sviluppo pos~crjol'c ch~ la stessacosa dcnominata nll'inizio o ~ c i a ' t l l l l a ouenne II nomc ),0,,(0;. (Delresto fu nello stesso tempo che venne creata anche l'altra nozione:, I' . $( (' I'. < i v a ) . ! ' j .( t a =' uguagliam:a dei logoi '). Ma. espressione "'POt = I-mit i, punt i di [lmitazionc", l'ispct tivamcnte te rmini e li un rnpporto ')

u Ve(Jj soprn la nola 8, l~ Arislolclc, ELh. Nic. ll:il D 31 SSe!'IJIII'II\,1II0S, X,U Harmonielehre des Ptolemalos, ed. Diillll'lc. 92, 22-23.

" C f.

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sara intelligibile soltanto se non si dimentica che quel nome -O P O t - viene tin quei tempi auteriori, nei quali un rapporto eraancora un o L ~ a ' t l l t J . a .

Affinche possiamo comprendere meglio l 'origine delle proper-zioni e la loro terrninologia, dohhiamo adesso abbracciare con 1 0sguardo almeno alcuni fatti elementari della teoria musicale deiPitagorici. E hen 11010, che i Pitagorici hanno preso un inLeressespeciale per gli accordi musieali." 11nome greco per un talc accordomusicale e ra a U Il I Pw v tC L , vale a dire: "consonanza di due suoni'.Le tre anche pel' noi importantissime consonanze sono: l'oUava, laljuillta c In quana. NIIII :>l Ini superfluo rncnzionare qui c ite anchequei nomi la tini (ottava, quinta e quarta) ri sa lgono al ia stessa ori-gine greca . La consonanza deU'ottava 11a per esempio it suo nomedal Cai to che essa e la sinfonia della prima e deU'ottava corda. Unatale spiegazione e vallda anche per i casi della quinta e della quarto.

Le stesse sinfonic perd avevano una importanza straordinariaper iPitagoric i non solo come consonanze di due diuersi suoni, maanche come iuterualli tra i medesimi. Vale a dire, quando si parlavadell'ottava, s'intendeva Lanto Ia consonanza di due suoni che IannoI 'ottava, quanto I 'intervallo degli s tess i.

L'interval lo di una consonanza musicale si chiamava invece da iPitagorici: O L I X c r t Y j I l a , e un tale diastema Iu espresso come un rap-porto di due numeri, L'intervallo di ottaua era per esempio il rap-porto 2:] (oppure 12:6), quello della quinta 3:2 (=12:8 oppure!J:6); e quel lo del la quarta 4:3 (=12:9 oppure 8:6). Lo stesso casoperi> sara ancora phi interessante per noi, se ci r icorcl iamo chc glistessi numcri eli 1111 interuallo nvevano il nome greco : OPOt = < l imit i ' .

(

II nostro compito e dunquc di trovare una spiegazione soddisfa-ente per il Iatto: come mai era possibile che i Pitagorici avesseroenominato un qualsias i intervallo musicale con ilvocabolo O L t i O ' t Y j I l C L ,oiche questa vocabolo ha it significate csatto: < distanza tra f lue

punti'? E come mai si poteva esprimere queU'intervallo musicalecome un rapporto di due numcri? Non climcntichiamo, per di pili,cite gli stessi numeri erano sccondo la terminologia greca: C:po:

17 An/iin8e der griecM.tr./'ell Mathematik, 1111.152153.


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88 ARPAD SZABO 89LA TEOlt IA PITACORlCA DELLE PROPORZIONII ' to u a ~ ~O ' t~ I L~ ' tI J; , vale II dire: "limiti dell'itllervallo musicale", 0C orse: limiti di un rapporto cite esprime " '1 interuallo musicale ' .Prima di fare qui un tentative di spiegaz ioue , io debbo r ifiutarecalcgoricamente una osservazionc ehe spunta qualche volta nellalet teratura eoutemporanea sui Pitagor ici. Cioe, s i legge qualche volta,che il SU01l0 sia s tato pCI' i Pitagorici un rapporto numerico, unaquantita, e tale si sia mantenuto anche per i seguaci ... '. Mi pare,ehe questa osservazione sia erronea, 0 almeno possa trarre in inganno,poiche nella letteratura pitagorica non si parla mai in questo sensodi un qualsias i 5 u 0 n 0 u n ico, c non e vero, che iPitagorici ab-biano voluto rappreseutare un qualsiasi suo n 0 come un numero.Si tratta invece sempre delle con son an z e di due suoni (0 del-Ylnseruallo 11'8 loro); e quella cot1JOllatlZa si esprime infatti comeun rapporto eli clue numeri, rna non mai un suono unico come unnumero unico, (Una t al c rappresentazionc non avrebbe avuto aleunsenso per i Pltagorici],

Mi sana dunque persuaso c it e possiamo trovare una spiegaz ionesoddisfacentc pel' tutti i nostri termini per mezzo di qualchc descri-zione antica. E vero chc Ie dcscrizioni in questione SOIlO tuUe ditarda origine c percio non sono scmpre uutentiehc in tutti i101'0part ico lari , rna in ogni caso: i te rmini stessi sono antichi ed autentici ,e la spiegazlone chc pel' 101'0 troviamo nelle nostre Ionti di tardaorigine e conseguente e convineentc.

Ci dice per esempio un testo 18 che Pitagora abbia preso unostrumento di rnisurazione, una canna - nominata in greco x!Xvwv(canone) -, In qualc era divisa in ....dodici l)arti uguali, e ch'egliahhia tcso una corda sopra la canna, e prima abbia faUo suonarctutta In corda, vale a dire: tulle c dodici Unill lj che nella seconda fasedello stcsso esperimento egli abbia abbreviate In corda fino alia suameta sp ingendo un piedino (caval let to 0 pont icc llo) sot to la cordafino a l numero sei della canna, e abbia fatto suonare questa voltasol tanto la meta del la corda , vale a di re: so ltanto sei unita della stessa,e cosi abhia ottenuto nel secondo suono I'ottava al prime suono ditulia Iu cu rlia . Pcrcie i l rnpporto de ll'ull ilva C 12: 6.

I numeri de l canone, 12 e 6, designatio in questo casu ilimiti

di una distum:a (del oda'YjI~~), di un I pezzo muto (~lIa corda inmezzo di due suoni della consonanza in questione; quello e rimer.va llo de Iro ttava . Lo stesso testo antico ci descrive ancora due casidell' esperimento pitagorico: cioe, eome si ottengono gli intervall i dellaquarta e del la quinta. QUillldu dopo iLprimo suono di tutta la cordail piediuo (cavallet to (I ponticello, ~} t a .Y ! t l " l ' EU< ; in greco) si spingeal numero 9 de l cunene, l a corda abbrevia ta ci del la quarta al primoSllOIlO. L'intervalh, eli qucll'altra cousunanza e designa to per mezzoeli due numeri 12 c 9 (12: 9). Pero, se si spinge il piedino delcnnone dllJlo il primo suono di tutta II I curda fino ill numero 8, lucorda cosi abbrcviata ci da in que~to casu Ia quinta al primo 5110no.L'intervallo, il OL!%o .1 ) I L i l . e des ignato questa volta pCI' mezzo di dueuumcr i: 12 e 8; il rapporto di quinta e : 12: 8.

Mi pare cite questa descriziona ci dia IIIIU spiegazione completnpel ' l 'origine delle espress inni , a ~ ~a 't 1jI La . " Opl j~. I I signif icatn ori-ginario del vocaholo greco a~~a'tTiJ.l.~ e : distansa tra due punt i, Lo

)stesso vocabolo, pero, puo designare anche I'intervallo musicale traidue suoni di una qualslasi consonanaa, poiche all'occesione del-Fesperimento sul canone non soltanto si udi lintervalln di quei duesuoni cite Ianno Iii COIISt) l1il llzain qucstione, rna lu s tcsso intervallosi vede anche come un JJCZZ() ~o della ~~a. ~esto pcz~~mutodella c~~J!.!!!'!Jmmagine visibile dell'intervallo che 5 i ~ ,llaIJ 'aItra parte, i Iimiti di quest'intervallo - clle si chiamano ingreen O PO t - suno des ignati come numeri del canone. Si comprendeanche: come mai que i numeri, ilimiti dell' intcrvallo musicale, Iannoun rapporto, Poichc non importa molto 1 0 1 l u n g h e z z a reale della cordatesa; deve soltanto essere divisa in parti uguali, e 1 0 1 consonanzadei suoni - rispeltivarnente il IIII'CI intcrvallo - dipende unica-mente dal rapporto


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. / menu e la cosiddetta composizione del rapporei.19 Sotto In composi-*- zloue dei rapport i s 'intende una maldplicaslone. Si ot tiene un rapportocomposto mol tipl ieando due rapport i tra lora , rna e una partlcolaritainteressante chc in questo CIISO lion si usino le espressioni de ll a mol ti-

-- plicazione, rna queUe della addizione. Si pari a in greco di questa\. composiaionc COIl\C se Iossc una scmplice ~ddiziune, q~ando e in verit~

una molt iplicaziony Come sarebbe da spiegare che in questo caso 51conlondono - almeno in apparenza - la espressioni?

Mi pare che la spiegaaione In troviamo pensando all 'esper imentopitagorico sui canone. t ben noto per tutti coloro che conosconoIn musica cite l'intervallo dell'ottava e un inte rval lo composto; essoconsiste in due minori intcrvnlli, quasi nella "sommu ' di una quartoe di una quinta. (Del resto, non importa se si prende prima la quartae poi In quinta, CJ anche inversamentc; 1a cosiddetta summa' Ji queiminori inlcrvalli e semprc l 'intervallo maggiore dcll~ottava). Come,pero, si ottiene iI rapporto dell' ottava (12 : 6) da i rapporti di quartae quinta (12 : 9 e 9 : 6)? Non c'i l dubbio: i rapport i della quartae del la quinla debbono essere moliiplicasi tra loro e ilprodotto (nonIII so mm u ') saril il rapporto dcll'ollava ( 1 2 : 9 x 9 : 6 = 1 2 : 6),Tuttavia non si deve dimenticare che quella moltiplicazione era

J- al l'occasione dell 'e speri rnento ~ul canone - quasi una addizione.L'intervnllo della quarta era visibile corne un pezzo muto della cordatra i numcri 12 e 9; e I'altro intervallo della quinta era i l pezza mutodella stessa corda tra i numeri 9 e 6. E quando si compongono quelliintervalli, i due pezzi muti della corda vengono quasi 'addizionati '.Ed ecco I'origine di quel la confusione soltanto apparente della term i-nolog ia: In mul ti1 '1icaa ione viene espressa come una addiz ione .

Non c'il duhbio, In mia spiegaz ione e valida anche per il casuinverse. Come I.. moltiplicazione di due rapporti tra loro si dicesecondo la te rminologia g reca 'addiz ione ', proprio cosi In divi sionedi due diversi rapporti viene cspressa come una s ottrazione '.20 IImio esempio per questo caso e di nuovo la quinta e 1a quarta. Sap-

'('"' piamo che I I I quinta ha un interva llo maggiore di que llo dell a quarta.\ Ma come sarebbe da trovare la cosiddetta ( diflerenza ' tra la quinta

e la quarta? - Bisogna diuidere il primo rapporto ( 1 2 : 8) pel' iIIII Cf . nel Olio lihro sopra citato it cap.: "Reehcnoperatloncn am Kanon'

(p, 18 5 N';. ). 3'J Ibidem, pp. 185191.

\

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LA TEORIA PITACORICA DELLE PROPORZIONI 91secondo (12 : 9), e cosi si trova il rapporto 9 : 8 ( E1 t6 r8~o y in gre-co; del resto si chiamava quel rapporto dai Pitagorici il 'tooo 'J.Se si pensa all 'e sperimenlo pitagor ico sui canone, nnche quel la divi-sione appare come una semplice suttraziune ', Poiehe I'hnmaginevisibile dell ' intervallo della quinta n1'pare su l canone come il pezzomutn della curd" 1'-'1 inumeri 12 e a, mcutre l'intervullo della quartae soltanto il peZ1.0 muto della corda tra inumeri 12 e 9. La difle-renza delle due lunghezze diverse si trova per mezzo di una semplicesottrazione ; il resto sara il piccolo segmento tnt inumeri 9 e 8( E 1 tO " ( OOOYo ~ c - i a t Y J J . L ! X ) . Ed ecco II I dif lerenza tra la quinta e la quarts ,u rapporto 9 : 8.

Ecco ilmill metodo - almeno in grandi lince - per chiarirela storia di una teoria pitagorica, Da questo punto si pua continuareI'invesrigazione sturica quasl ill due diversi iudirizz], Vale a dire:possiamo undarc pili uvanti e rnostrure come fu sviluppata infattida questi inizi veramente una tcoria musicale del le proporz ioni , ecome la stessa fu trasformata pili tardi in una teoria aritmetica, ecome quella divenne - a un grade ancora pili eleva to - una teoriapuramente geometrlca delle pruJl llrzioni . Poss iamo, peru, amlara pil iavan ti anche in senso inverse, vale a direr possiarno investigare ancheun'epoca phi an tica di quclla appena accennata. Mi sia permessodi fare qui soltanto qualehe allusione a tutti c due gli indirizzi ditali indagini,

Abbiamo vis to chc il nome green per un intervallo tra i due suonidi una qua lsiasi consonanza musicale e ra: c h c - i " t Y J I L C X =clistanza tradue "utlti (denotati come numeri ), Qucl la distanza era anche visihi lecome un pezzo muto della corda sui canone. I limiti, punti di limi-lazione el iquell a di stanza, e rano sempre due numeri: 1 2 e 6, oppure9 e 8 eec. Tutto cia semhra sin semplice, evidente c convincente.Se si prende invece adesso un'opera antica sulla teoria musicale, peresempio la cosidde tta 'Sezione de l canone ' (Sectio canoni.s) di Eu-elide si avra una piccola sorpresa . Si l egge per esempin in qnest'opera(nella proposizione I): E a - :w 8 ~ c- ic r. Y JJ .L !X .0 131 ' =' ci sin dato undiastema, un intervallo, oppul'e un rapporto di un intervallo b, c ' .Si aspetta, senz'al tro, che bee (i due numeri 0 grandezze) che fannoit rapporto, siano i Iimiti della distanza in questione. II caso non


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92 , \ R P A D SZABOscmbra, pero, essere tanto sempllce. E vero, si legge nel testagreco otaa't71IltX. in singolare, rna quell 'unico diastema viene illustrateda Euclide come du e diversi segmenti, uno pili Iungo, e un altro pillbreve , Come mai e possihi le una tale il Justrazionc, se cLao'tYjlloc (insingolare) Ii ilpezzo muto della corda tra due al tri pezz i della stessa 'che dauno i due suoni rispettivi? Mi pare, che questo enigma sisciolga, se non si dimentica che in luogo dell'intervallo musicale siprende qualehe volta la COllSonanza stcssa dei due suoni dell 'inter-vallo in questione. In questo caso ot!i.a'YjIl(7. non e pill il pezzo mutodella corda, rna idue altri pezzi suonanti. A questa grade dellasviluppo a:aa.Yjp.~ c gia diventato infattl il rapporto s tesso. Si vedc,come da! concetto i ntervallo musicale' si sviluppo la nozione: rapporto di due numeri '. Del restor i nameri ncll'aritmetica euclideavengono illustrati sempre come diversi segmenti, Anche questa usanzavicne dalla teoria musicale.

Alia fille di questa mia relazione vorrci accennare ancora , cometali indagini POS~()110 eS!iCI'Cestese unche ad una epoca pill anti-ca. II punto di partenza e questa volta di nuovo la stessa descri-zione antica (di tarda origine) che mi rese possibile spiegare ilsense delle espressioni oLao' tl j p. tX .t' opo~. Riccrdiamo, secondo quel-l'nutore (Gaudentius) Pi tagora prese il canone diviso in dodici part iuguali e Ieee i suoi esperimenti con quello strumento. Questa descri-z ione mi era sospet ta fin dal l'inizio. E davvero assolutamente neces-saria quella divisione i n dodici parti uguali per ottenere Ie tre con-sonanze importantissime (auava, quinta e quartal? Non mi sembraesscre il caso l PCI' ottenere la consonanza dell'ouava basta, peresempio, a dividcre il canone in due parti uguali, E proprio cosi, perottenere la quinta e la quarta basta dividere 1a corda in t re, rispetti -vnmente in quattro parti uguali, Allora non c'e dubhio, la divisionein dodici parti uguali non pUG esse re che qualcosa di origine peste-riore, lnfatti, sono riuscito phi tardi a trovare qualche traccia nel-la tradizione antics, che rivela: i Pitagorici avevano fatto i 101'0esperimenti musicali originaramente sensa un canone diviso, con unsolo monocordo, E appunto per questo, che i pill antichi nomi delleconsonanze, rispettivamente degli intervalli ouava, quinta e quarto

( I' I II i I

LA TEORIA PITACOIUCA DELLE PROl'ORZIONI 93

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sono in greco: o :i i: A at oy , f )P .~ 6A~OY ed 1 t .p :.OY Sda 'Y j ll ~ 71Gli stess i nomi s ignificano ncll 'epoea class ica ir ispett ivi rapport] didue numeri, II 101'0 signifi cate originario, pe rc , non e esattamente1 0 stesso, Non c'e duhbio che quei nomi vengono da un tempo moltoantico, quando gli esperimenti musicali Iurono ancora Iatti con :1solo monocordo. E in quell'epoca non esisteva ancora il concettoota't"ljp.tX. nel sensa da me spiegato: pezzo muto della cord~~u~ ultr! pezz~.nlll!!i--della s~ '. Un tal sense del vocaholoo~tX.o'tY)p.a. Iu possibile soltanto quando ilcanone diviso in dodici par tiuguali fu introdotto, Non esisteva pero nella stessa epoca neancheil concetto O?o: = . limiti del pCZZ() multi del la cords '. In qucl tempoantico ota'tYjlltX. era ancora tut to i l monocordo, che si misurava- nei casi delle diverse consouunze - con diverse IIl1itit di lun-ghezza.::2

Non posse entrarc qui ill parti culari, rna spero che questa minrclaa ionc valga ad il lustra re come iI metodo Iilclogico-lluguistlco sillin grade di illuminare la Iliu antica storia della scienza pitagorica.t D a teor ia dC.lIeprnjl() ,rzioni era originarlnmente una teoria "/Illil:ca~.a stessa divenne p lU tardi una teoria aritmetica, e a un grado~ ncora pili avanza:u: tcoria geometriea, AR PAn S ZAB O

:1 Ibidem. 111" 169 .1 i7. ::J Ibidem, p, J 75.

A. Szabò,La teoria pitagorica delle proporzioni

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