Proporzioni con il comporre e lo scomporre. Esercizi ... · =1 Verifica (4 - 1) : 1 = 12 : 4 3 : 1...

Proporzioni. Comporre e scomporre. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1

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Proporzioni con il comporre e lo scomporre. Esercizi completi di soluzione guidata. Arithmetic - Proportion Solved Exercises with properties

Soluzioni sia con i metodi delle proporzioni sia delle equazioni

1. (4 − 𝑥): 𝑥 = 12 ∶ 4 [1] soluzione

2. (8 + 𝑥): 𝑥 = 5 ∶ 3

[12] soluzione

3. (3 + 𝑥) ∶ 𝑥 = 6 ∶ 4 [6]

soluzione

4. (20 + 𝑥) ∶ 𝑥 = 5 ∶ 3 [21] soluzione

5. (45 − 𝑥) ∶ 𝑥 = 8 ∶ 7 [30] soluzione

6. (4 + 𝑥) ∶ 𝑥 = 7 ∶ 5 [10] soluzione

7. (10 − 𝑥) ∶ 𝑥 = 3 ∶ 2 [4] soluzione

8. (30 − 𝑥) ∶ 𝑥 = 4 ∶ 6 [18] soluzione

9. (6-x) : x = 8 : 4 [2] soluzione

10. x : 18 = (15-x) : 27 [6] soluzione

Soluzioni con i soli metodi delle proporzioni

11. (24-x) : x = 8 : 4 [8]

12. 18 : x = 27 : (20-x) [8]

13. (35-x) : x = 4 : 3 [15]

14. (8+x) : x = 5 : 3 [12]

15. ( ) xx −= 321236 [8]

16. ( ) xx −= 321236 [8]

17. (18+x) : x = 14 : 8 [24]

18. (14-x) : x = 5 : 9 [9]

19. (14-x) : x = 27 : 15 [5]

mailto:[email protected]

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/



20. 2 : x = 9 : (21+x) [6]

21. (36+x) : 12 = x : 3 [12]

22. x : 3 = (68+x) : 20 [12]

23. x : (12-x) = 4 : 2 [8]

24. x : (12-x) = 2 : 4 [4]

25. x : (56-x) = 18 : 10 [36]

26. x : (16-x) = 3 : 5 [6]

27. x : (12-x) = 4 : 12 [3]

28. 𝑥 ∶ (26 − x) = 2 ∶ 11 [4]

29. 𝑥 ∶ (21 + x) = 2 ∶ 9 [6]

30. 𝑥 ∶ (39 − x) = 5 ∶ 8 [15]

Soluzioni sia con i metodi delle proporzioni sia delle equazioni

31. (

2

7+ 𝑥) ∶ 𝑥 = 16 ∶ 7

[2/9] soluzione

32. (

5

7+ 𝑥) ∶ 𝑥 =

3

2∶

7

10

[5/8] soluzione

Soluzioni con i metodi delle proporzioni

33.

5

3:

3

2

15

19: =

− xx

[2/3] soluzione

34.

+

+=

+

12

11:

2

35:

6

5xx

[1/6] soluzione

35. (

4

3− 𝑥) ∶ 𝑥 =

17

24∶

5

8 [5/8]

soluzione

36.

−= xx

8

3:

3

2:

21

8

[3/22] soluzione

37.

−

−=

+

5

21:

3

42:

2

3xx

[27/2] soluzione

38.

−+

−−=

−

28

5

7

1

4

1:

4

11

8

11:

6

19xx

[2] soluzione





39. xx :

4

1

5

1:

30

2

3

2

5

3:

6

1

24

10

4

33

−=

−+

+−

[3/13] soluzione

40. xx :

5

6

32

8

18

12

4

5:

15

7

3

1

12

4

5

4

−=

+−

+−

−

[3/7] soluzione

41.

+

−

−=

+−

+

11

7

12

11:

12

51

7

4:

16

2

4

1

2

5:

3

22xx

[16/3] soluzione

42.

8

7:

2

7

4

31:

4

7

+

+=

− xx

[1/4] soluzione

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Soluzioni

(𝟒 − 𝒙) ∶ 𝒙 = 𝟏𝟐 ∶ 𝟒

Proprietà comporre

(4 − 𝑥 + 𝑥) ∶ 𝑥 = (12 + 4) ∶ 4

4 ∶ 𝑥 = 16 ∶ 4

𝑥 =4 ∙ 4

16= 1

Verifica

(4 - 1) : 1 = 12 : 4

3 : 1 = 12 : 4

Per la proprietà fondamentale

3 ∙ 4 = 1 ∙ 12

12 = 12

Con le equazioni

Secondo principio di equivalenza

4 − 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

12

4∙ 𝑥

4 − 𝑥 =12

4𝑥

Primo principio di equivalenza

4 − 𝑥 + 𝑥 =12

4𝑥 + 𝑥

Proprietà simmetrica

12

4𝑥 + 𝑥 = 4


16

4𝑥 ∙

4

16= 4 ∙

4

16

𝑥 = 1





(𝟖 + 𝒙) ∶ 𝒙 = 𝟓 ∶ 𝟑

Proprietà scomporre

(8 + 𝑥 − 𝑥) ∶ 𝑥 = (5 − 3) ∶ 3

8 ∶ 𝑥 = 2 ∶ 3

𝑥 =8 ∙ 3

2= 4 ∙ 3 = 12

Verifica

12 : (8+12) = 3 : 5

12 : 20 = 3 : 5


12 ∙ 5 = 20 ∙ 3

60 = 60

Con le equazioni


8 + 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

5

3∙ 𝑥

8 + 𝑥 =5

3𝑥


8 + 𝑥 − 𝑥 =5

3𝑥 − 𝑥


5

3𝑥 − 𝑥 = 8


2

3𝑥 ∙

3

2= 8 ∙

3

2

𝑥 = 4 ∙ 3 = 12





(𝟑 + 𝒙) ∶ 𝒙 = 𝟔 ∶ 𝟒


(3 + 𝑥 − 𝑥) ∶ 𝑥 = (6 − 4) ∶ 4

3 ∶ 𝑥 = 2 ∶ 4

𝑥 =3 ∙ 4

2= 3 ∙ 2 = 6

Verifica

(3+6):6 = 6 : 4

9 : 6 = 6 : 4


9 ∙ 4 = 6 ∙ 6

36 = 36

Con le equazioni


3 + 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

6

4∙ 𝑥

3 + 𝑥 =6

4𝑥


3 + 𝑥 − 𝑥 =6

6𝑥 − 𝑥


6

4𝑥 − 𝑥 = 3


2

4𝑥 ∙

4

2= 3 ∙

4

2

𝑥 = 3 ∙ 4 = 12





(𝟒𝟓 − 𝒙) ∶ 𝒙 = 𝟖 ∶ 𝟕

Proprietà comporre

(45 − 𝑥 + 𝑥) ∶ 𝑥 = (8 + 7) ∶ 7

45 ∶ 𝑥 = 15 ∶ 7

𝑥 =45 ∙ 7

13= 3 ∙ 7 = 21

Con le equazioni


45 − 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

8

7∙ 𝑥

45 − 𝑥 =8

7𝑥


45 − 𝑥 + 𝑥 =8

7𝑥 + 𝑥


8

7𝑥 + 𝑥 = 45


15

7𝑥 ∙

7

15= 45 ∙

7

15

𝑥 = 3 ∙ 7 = 21





(𝟐𝟎 + 𝒙) ∶ 𝒙 = 𝟓 ∶ 𝟑


(20 + 𝑥 − 𝑥): 𝑥 = (5 − 3): 3

20 ∶ 𝑥 = 2 ∶ 3

𝑥 =20 ∙ 3

2= 10 ∙ 2 = 30

Con le equazioni


20 + 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

5

3∙ 𝑥

20 + 𝑥 =5

3𝑥


20 + 𝑥 − 𝑥 =5

3𝑥 − 𝑥


5

3𝑥 − 𝑥 = 20


2

3𝑥 ∙

3

2= 20 ∙

3

2

𝑥 = 10 ∙ 3 = 30





(𝟒 + 𝒙) ∶ 𝒙 = 𝟕 ∶ 𝟓


(4 + 𝑥 − 𝑥): 𝑥 = (7 − 5) ∶ 5

4 ∶ 𝑥 = 2 ∶ 5

𝑥 =4 ∙ 5

2= 2 ∙ 5 = 10

Con le equazioni


4 + 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

7

5∙ 𝑥

4 + 𝑥 =7

5𝑥


4 + 𝑥 − 𝑥 =7

5𝑥 − 𝑥


7

5𝑥 − 𝑥 = 4


2

5𝑥 ∙

5

2= 4 ∙

5

2

𝑥 = 2 ∙ 5 = 10





(𝟏𝟎 − 𝒙) ∶ 𝒙 = 𝟑 ∶ 𝟐

Proprietà comporre

(10 − 𝑥 + 𝑥) ∶ 𝑥 = (3 + 2) ∶ 2

10 ∶ 𝑥 = 5 ∶ 2

𝑥 =10 ∙ 2

5= 2 ∙ 2 = 4

Con le equazioni


10 − 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

3

2∙ 𝑥

10 − 𝑥 =3

2𝑥


10 − 𝑥 + 𝑥 =3

2𝑥 + 𝑥


3

2𝑥 + 𝑥 = 10


5

2𝑥 ∙

2

5= 10 ∙

2

5

𝑥 = 2 ∙ 2 = 4





(30 − 𝑥) ∶ 𝑥 = 4 ∶ 6

Proprietà comporre

(30 − 𝑥 + 𝑥) ∶ 𝑥 = (4 + 6) ∶ 6

30 ∶ 𝑥 = 10 ∶ 6

𝑥 =30 ∙ 6

10= 3 ∙ 6 = 18

Con le equazioni


30 − 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

4

6∙ 𝑥

30 − 𝑥 =2

3𝑥


30 − 𝑥 + 𝑥 =2

3𝑥 + 𝑥


2

3𝑥 + 𝑥 = 30


5

3𝑥 ∙

3

5= 30 ∙

3

5

𝑥 = 6 ∙ 3 = 18





𝒙 ∶ 𝟏𝟖 = (𝟏𝟓 − 𝒙) ∶ 𝟐𝟕

Applico le proprietà delle proporzioni

𝑥 ∶ (15 − 𝑥) = 18 ∶ 27

(15 − 𝑥) ∶ 𝑥 = 27 ∶ 18

Proprietà comporre

(15 − 𝑥 + 𝑥) ∶ 𝑥 = (27 − 18) ∶ 18

15 ∶ 𝑥 = 45 ∶ 18

𝑥 =15 ∙ 18

45=

18

3= 6

Con le equazioni

𝑥

18=

15 − 𝑥

27


1

18𝑥 ∙ 54 =

15

27∙ 54 −

1

27𝑥 ∙ 54

3𝑥 = 30 − 2𝑥


3𝑥 + 2𝑥 = 30 − 2𝑥 + 2𝑥

5𝑥 = 30


5𝑥 ∙1

5= 30 ∙

1

5

𝑥 = 6





(24 − 𝑥) ∶ 𝑥 = 8 ∶ 4

(24 − 𝑥 + 𝑥) ∶ 𝑥 = (8 + 4) ∶ 4

24 ∶ 𝑥 = 12 ∶ 4

𝑥 =24 ∙ 4

12 = 2 · 4 = 8

Con le equazioni


24 − 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

8

4∙ 𝑥

24 − 𝑥 = 2𝑥


24 − 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 + 𝑥


2𝑥 + 𝑥 = 24


3𝑥 ∙1

3= 24 ∙

1

3

𝑥 = 8

18 ∶ 𝑥 = 27 ∶ (20 − 𝑥)

(20 − 𝑥) ∶ 𝑥 = 27 ∶ 18

(20 − 𝑥 + 𝑥) ∶ 𝑥 = (27 + 18) ∶ 18

20 ∶ 𝑥 = 45 ∶ 18

𝑥 =20 ∙ 18

45 = 8





=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

(35-x) : x = 4 : 3

(35-x+x) : x = (4+3) : 3 35 : x = 7 : 3

x = 7

353 = 3·5 = 15

(8+x) : x = 5 : 3

(8+x-x) : x = (5-3) : 3 8 : x = 2 : 3

x = 2

38 = 4·3 = 12

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

( )36 12 32 = − x x

( )

( ) ( )

32 36 12

32 36 12 12

32 48 12

32 12

488

− =

− + = +

=

=

=

x x

x x x

x

x

( )36 12 32 = − x x

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

(18+x) : x = 14 : 8 (18+x-x) : x = (14-8) : 8

18 : x = 6 : 8

x = 6

818 = 3·8 = 24

(14-x) : x = 5 : 9 (14-x+x) : x = (5+9) : 9

14 : x = 14 : 9

x = 14

914 = 9

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

(14-x) : x = 27 : 15

(14-x+x) : x = (27+15) : 15 14 : x = 42 : 15

x = 6

152

42

1514 =

= 5

2 : x = 9 : (21+x)

(21+x) : x = 9 : 2 (21+x-x) : x = (9-2) : 2

21 : x = 7 : 2

x = 7

221 = 3·2 = 6

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

(36+x) : 12 = x : 3

(36+x) : x = 12 : 3 (36+x-x) : x = (12-3) : 3

36 : x = 9 : 3

x = 9

336 = 4·3 = 12

x : 3 = (68+x) : 20

x : (68+x) = 3 : 20 (68+x) : x = 20 : 3

(68+x-x) : x = (20-3) : 3 68 : x = 17 : 3

x = 17

368 = 4·3 = 12

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

x : (12-x) = 4 : 2

(12-x) : x= 2 : 4 (12-x+x) : x = (2+4) : 4

12 : x = 6 : 4

x = 426

412=

= 8

x : (12-x) = 2 : 4

(12-x) : x= 4 : 2 (12-x+x) : x = (2+4) : 2

12 : x = 6 : 2

x = 226

212=

= 4

( )

( ) ( )

32 36 12

32 36 12 12

32 48 12

32 12

488

− =

− + = +

=

=

=

x x

x x x

x

x





=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

x : (56-x) = 18 : 10 (56-x) : x= 10 : 18 (56-x+x) : x = (10+18) :18 56 : x = 28 : 18

𝑥 =56 ∙ 18

28= 2 ∙ 18 = 36

36 : (56-36) = 18 : 10

36 : 20 = 18 : 10


36 ∙ 10 = 20 ∙ 18

360 = 360

x : (16-x) = 3 : 5 (16-x) : x= 5 : 3 (16-x+x) : x = (5+3):3 16 : x = 8 : 3

𝑥 =16 ∙ 3

8= 2 ∙ 3 = 6

6 : (16-6) = 3 : 5

6 : 10 = 3 : 5


6 ∙ 5 = 10 ∙ 3

30 = 30

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

𝑥: (12 − 𝑥) = 4: 12

(12 − 𝑥): 𝑥 = 12: 4

(12 − 𝑥 + 𝑥): 𝑥 = (12 + 4): 4

12: 𝑥 = 16: 4

𝑥 =12 ∙ 4

16=

12 ∙ 1

4= 3

3: (12 − 3) = 4: 12

3: 9 = 4: 12


3 ∙ 12 = 4 ∙ 9

36 = 36

𝑥: (26 − 𝑥) = 2: 11

(26 − 𝑥): 𝑥 = 11: 2

(26 − 𝑥 + 𝑥): 𝑥 = (11 + 1): 2

26: 𝑥 = 13: 2

𝑥 =26 ∙ 2

13= 2 ∙ 2 = 4

4: (26 − 4) = 2: 11

4: 22 = 2: 11


4 ∙ 11 = 22 ∙ 11

44 = 44

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

𝑥: (21 + x) = 2: 9 (21 + x): 𝑥 = 9: 2 (21 + x − x): 𝑥 = (9 − 2): 2 21: 𝑥 = 7: 2

𝑥 =21 ∙ 2

7= 3 ∙ 2 = 6

𝑥: (39 − x) = 5: 8 (39 − x): 𝑥 = 8: 5 (39 − x + x): 𝑥 = (8 + 5): 5 39: 𝑥 = 13: 5

𝑥 =39 ∙ 5

13= 3 ∙ 5 = 15





(2

7+ 𝑥) : 𝑥 = 16: 7


(2

7+ 𝑥 − 𝑥) : 𝑥 = (16 − 7): 7

2

7: 𝑥 = 9: 7

𝑥 =2

7∙ 7 ∙

1

9=

2

9

Con le equazioni


27

+ 𝑥

𝑥∙ 𝑥 =

16

7∙ 𝑥

2

7+ 𝑥 =

16

7𝑥


2

7+ 𝑥 − 𝑥 =

16

7𝑥 − 𝑥


16

7𝑥 − 𝑥 =

2

7


9

7𝑥 ∙

7

9=

2

7∙

7

9

𝑥 =2

9





(5

7+ 𝑥) ∶ 𝑥 =

3

2∶

7

10


(5

7+ 𝑥 − 𝑥) : 𝑥 = (

3

2−

7

10) :

7

10

5

7: 𝑥 =

15 − 7

10∶

7

10

5

7: 𝑥 =

8

10∶

7

10

𝑥 =5

7∙

7

10∙

10

8=

5

8

Con le equazioni


57 + 𝑥

𝑥∙ 𝑥 = (

3

2:

7

10) ∙ 𝑥

5

7+ 𝑥 =

15

7𝑥


5

7+ 𝑥 − 𝑥 =

15

7𝑥 − 𝑥


15

7𝑥 − 𝑥 =

5

7


8

7𝑥 ∙

7

8=

5

7∙

7

8

𝑥 =5

8





5

3

3

2

15

19=

− xx

3

2

19

15

3

2

15

19

3

2

15

19

15

19

3

2

15

109

15

19

3

2

3

2

5

3

15

19

3

2

5

3

15

19

==

=

+=

+=

+−

=

−

x

x

x

xxx

xx

5

65

3

21

1

12+

= +

+

x x

6

1

65

12

12

13

6

5

12

13

12

65

6

5

12

13

12

13

2

13

6

5

12

13

2

13

6

5

==

=

−=

−+

=

+

x

x

xxx

xx





8

5

24

17

3

4=

− xx

8

5

4

3

3

4

8

5

8

5

3

4

3

4

8

5

24

32

3

4

8

5

24

1517

3

4

8

5

8

5

24

17

3

4

==

=

=

+=

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+−

x

x

x

x

xxx

22

3

22

21

21

8

8

3

21

8

21

22

8

3

21

8

21

814

8

3

21

8

21

8

3

2

8

3

21

8

3

2

8

3

8

3

3

2

21

8

==

=

+=

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+−

=

−

−=

x

x

x

xxx

xx

xx





−

−=

+

5

21

3

42

2

3xx

2

27

1

15

5

3

2

3

5

3

15

1

2

3

5

3

5

3

3

2

2

3

5

3

3

2

2

3

==

=

−=

−+

=

+

x

x

xxx

xx

−+

−−=

−

28

5

7

1

4

1

4

11

8

11

6

19xx

291

65

41

3

6

91

14

3

211

83

6

19

14

3

112

2414

6

19

14

3

14

3

8

1

6

19

28

547

8

2811

6

19

82

6

8

1

6

19

28

547

8

2811

6

19

4

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x

x

x

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Keywords

Matematica, Aritmetica, Proporzionalità, Proporzioni, calcolo del termine incognito di una

proporzione, estremi, medi, proporzioni, risolvere una proporzione, Raccolta di proporzioni con il

comporre e lo scomporre ricerca termine incognito, incognita, x, medio proporzionale, comporre,

scomporre, esercizi con soluzioni

Math, Arithmetic, Proportion, Proportionality, proportion properties, extremes, means, solving

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Matemática, Aritmética, Proporción

Mathématique, Arithmétique, Proportion

Mathematik, Arithmetik, das Verhältnis

Arabic: َكِميَّه، َحْجم، َعدَد

Chinese 比例

Czech: poměr

Danish: forhold

Dutch: verhouding

Estonian: (õige) vahekord

Finnish: suhde

Greek: αναλογία

Hungarian: arány

Icelandic: hlutfall

Indonesian: perbandingan

Japanese: 割合

Korean: (양·크기·수 따위의) 비, 비율

Latvian: proporcija; attiecība; samērs

Lithuanian: proporcija, santykis

Norwegian: forhold

Polish: proporcja

Portuguese: proporção

Romanian: proporţie

Russian: пропорция

Slovak: pomer, podiel

Slovenian: razmerje

Swedish: proportion

Turkish: oran, nisbet



Proporzioni con il comporre e lo scomporre. Esercizi ... · =1 Verifica (4 - 1) : 1 = 12 : 4 3 : 1...

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