Questa è la funzione esponenziale

Questa è la funzione esponenziale

Consideriamo a = 2

f(x) = 2x

Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione

f(1) =21 = 2

Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione

Mentre se diamo alla x il valore X = 10, otteniamo per la funzione

f(1) =21 = 2

f(10) =210 = 1024

Aumentando il valore della x di 10 volte il valore della funzione

aumenta di più di 1000 volte

Questo fatto può essere molto scomodo quando si devono eseguire calcoli ed utilizzare i grafici

e poiché le funzioni esponenziali, in modo più o meno complicato, sono usatissime in vari campi, questo capita molto spesso

?

Questa parte del grafico è

inutilizzabile

Per aggirare l’ostacolo dovuto alla scomodità del calcolo si ricorre ad un «trucco»:

Poiché, in una funzione esponenziale, la base è sempre la stessa, è possibile utilizzare nei calcoli , inizialmente, i valori degli esponenti e solo successivamente il valore della funzione

f(x) = ax

CONCENTRIAMOCI SULL’ESPONENTE X

X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione

Esempio 1:

6 è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

Esempio 2:

4 è il valore dell’esponente della base a = 3 che ci permette di ottenere il valore della funzione

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

Esempio 3:

- 4 è il valore dell’esponente della base a = 5 che ci permette di ottenere il valore della funzione

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione

x = loga(ax)

X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama

LOGARITMO IN BASE a DI x

Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione

x = loga(ax)

X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama

LOGARITMO IN BASE a DI x

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente conoscendo la funzione

x = F-1(y) x = F-1(ax)

f(x) = ax

ha come funzione inversa

x = loga f(x)

x = loga(ax)

X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama

LOGARITMO IN BASE a DI x

f(x) = ax

ha come funzione inversa

x = loga f(x)

E’ una funzione come tutte le altre, quindi può essere definita indipendentemente dalla funzione esponenziale

f(x) = loga x

Che tipo di funzione è

x1 x2 x3

f(x1)

f(x2)

f(x3)

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x

E così via . . .

esempio di funzione non invertibile

f(x) = ax2+ bx + c f1(x)

x1Ax1B

Ad ogni valore di f(x) corrispondono due valori di x

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x

Quindi è una funzione invertibile, cioè esiste una funzione tale che

x = f-1 (y)

da y = ax si passa a x = f-1 (y)

Funzione inversa

x = f-1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x con tutti i valori della x (ESPONENTI) prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

1

x

1

x

Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su

quello orizzontale e y su quello verticale

1

x

Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su

quello orizzontale e y su quello verticale

f(x)

1 x

Questa è la funzione logaritmo

f(x) = logax

f(x)

1 x

f(x) = logax

a > 1

f(x) = ax 0 < a < 1

f1(x) = loga x

f2(x) = logb x

f1(x) = loga x

f2(x) = logb x b > 1

0 < a < 1

Le due funzioni

f(x) = loga xe

f(x) = a x

Sono simettriche rispetto

alla bisettrice del I e del II

quadrante

f(x) = loga x

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

IL LOGARITMO DI UN PRODOTTO E’ UGUALE ALLA SOMMA DEI LOGARITMI

PROPRIETA’

IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI

PROPRIETA’

IL LOGARITMO DI UNA ESPONENZIALE E’ UGUALE ALPRODOTTO DELL’ESPONENTE PER IL LOGARITMO DELLA BASE