Legge esponenziale

Basi intere

Base e

Riproduzione per scissione Nella foto un batterio

che si strozza e si divide in due

Questo tipo di riproduzione è

descritto dalla funzione

esponenziale

sN 2N è il numero di batteri

s il numero di scissioni

Attenzione: s è un numero intero

Riproduzione per scissione

Fissione nucleare

descrizione semplificata Si bombarda un blocco di uranio 235 (92 protoni, 143 neutroni)

con neutroni

Quando un nucleo è colpito da un neutrone si scinde in due nuclei più leggeri, liberando energia e 3 neutroni

Se il blocco è abbastanza grande si innesca una reazione a catena

uN 3

N = numero di neutroni

u = numero di urti

Anche qui u è un numero intero

Un altro grafico a punti

Decadimento radioattivo

Alcune sostanze emettono spontaneamente radiazioni e si trasformano in nuove sostanze

Per esempio l’isotopo 14 del carbonio decade spontaneamente emettendo due neutroni e trasformandosi in carbonio 12

Per questo tipo di fenomeno si parla di tempo di dimezzamento

Per il carbonio 14 vale 6000 anni

Vuol dire che se oggi in un campione è presente 1g carbonio 14

tra 6000 anni ce ne sarà mezzo grammo

6000 anni fa invece nello stesso campione ce ne erano 2g,

1200 anni fa 4g

2

1M

Il grafico è una linea continua, ha senso anche usare numeri negativi

Grafico del decadimento

Per capire da dove nasce “e”

….ci vuole un po’ di pazienza

L’interesse composto

Esempio numerico

Metto 1000 euro in banca

Quanti anni ci vogliono perché diventino 2000?

Ci sono delle tasse da pagare, quindi è circa il 2%

Un po’ di conti…. Inizio Dopo 1 anno Dopo 2 anni Dopo 3 anni

Dopo 10 anni Dopo 20 anni Dopo 30 anni Dopo 40 anni

1000 1000+1000*0,02= 1000*1,02=1020 1020+(1020)*0,02=1000*(1,02)2=1040,4

1040 +(1040)(0,02) =1000*(1,02)3=1061,21

………………….1000*(1,02)10=1218,99 ………………….1000*(1,02)20= 1485,95 ………………….1000*(1,02)30=1811,36 ………………….1000*(1,02)40=2691,59

In generale se l’interesse è r

il capitale iniziale è A

Il numero di anni è n

nrAC 1

nrAC 1

nrAA 12

nr 12

Coi logaritmi si arriva al risultato più in fretta

21 n

r

2log1log )1()1( r

n

r r

2log )1( rn )1log(

2log

rn

35n

Un grafico a gradini

L’interesse viene pagato alla fine di ogni anno

Se faccio un grafico trovo un grafico a gradini invece che un grafico a punti o continuo come prima

Un grafico a gradini

Cosa vuol dire questa pubblicità?

Per capire da dove nasce “e”

Fare i conti con il 2% è più difficile

Per questo supponiamo che ci sia una stranissima banca che dia un interesse annuo del 100%, cioè che ci faccia raddoppiare i soldi ogni anno

In questo caso r=1

Anche in questo caso otteniamo un grafico a gradini che però è più facile da disegnare

Grafico di C=2int(t)

Interessi semestrali

Se gli interessi vengono calcolati ogni 6 mesi, cosa succede?

Partiamo con un capitale iniziale di 1

Dopo 1 semestre C = 1+1/2

Dopo 1 anno C = (1+1/2)+1/2(1+1/2)= (1+1/2)2

Interessi trimestrali

Se gli interessi vengono calcolati ogni 3 mesi, cosa succede?

Partiamo con un capitale iniziale di 1

Dopo 1 trimestre C = 1+1/4

Dopo 2 trimestri C = (1+1/4)+1/4(1+1/4)= (1+1/4)2

Dopo 3 trimestri C = …..(1+1/4)3

Dopo 1 anno C = …. (1+1/4)4

Interessi mensili

Se gli interessi vengono calcolati ogni mese, cosa succede?

Dopo 1 mese C = 1+1/12

Dopo 2 mesi C = (1+1/12)+1/12(1+1/12)= (1+1/12)2

Dopo 3 mesi C = …..(1+1/12)3

………..

Dopo 1 anno C = …. (1+1/12)12

Interessi giornalieri

Se gli interessi vengono calcolati ogni giorno?

Dopo 1 giorno C = 1+1/365

Dopo 2 giorni C = (1+1/365)+1/365(1+1/365)= (1+1/365)2

Dopo 3 giorni C = …..(1+1/365)3

………..

Dopo 1 anno C = …. (1+1/365)365

Ora hai capito cosa vuol dire questa pubblicità?

Cosa c’entra questo discorso con “e”?

6130,212

11

12

7146,2365

11

365

25,22

11

2

44,24

11

4

Dopo 1 anno, con interesse semestrale

Dopo 1 anno, con interesse trimestrale

Dopo 1 anno, con interesse giornaliero

Dopo 1 anno, con interesse mensile

Si può pensare di calcolare gli interessi ogni ora, ogni minuto, ogni

secondo,… via via ad intervalli di tempo sempre più piccoli

Come nasce “e”

Nasce dal limite

718218,21

1lim

e

n

n

n

Questo numero è utile per descrivere processi di crescita o

decrescita continua come molti dei processi naturali, per

esempio

• la temperatura di corpo mentre si raffredda

• la carica di un condensatore mentre si scarica

• la pressione sul fondo di un tubo che si svuota

• la crescita della popolazione