La Funzione Esponenziale un modello matematico della realtà

Prof. Biasco 2006-07 1

La Funzione Esponenziale un modello matematico della realtà

La matematica, scoperta o invenzione che sia, è nata per risolvere problemi concreti e, anche se nel corso dei secoli è diventata sempre più astratta e generale, costituisce uno strumento formidabile d’indagine della realtà in quanto offre numerosi modelli per interpretare i fenomeni naturali.

Un modello interessante di numerosi fenomeni è rappresentato dalla Funzione Esponenziale.


La Funzione Esponenziale

La maggior parte dei batteri si riproduce mediante il meccanismo della scissione cellulare (mitosi).

Una volta raggiunta una dimensione opportuna, ogni batterio si divide in due cellule identiche, di massa pari a circa la metà di quella originaria. A loro volta, le due cellule figlie si accrescono fino a dividersi ulteriormente. Un batterio si può riprodurre ogni venti minuti circa, proliferando in colonie abbastanza grandi da essere visibili a occhio nudo

Vogliamo studiare l’evoluzione di una popolazione iniziale di No batteri dopo k cicli riproduttivi.

1 - La riproduzione dei batteri

Prof. Biasco 2006-07 3Archeobatterio in fase di divisione

Gli archeobatteri costituiscono un gruppo di batteri adattati a vivere in condizioni ambientali estreme. Methanospirillum hungatii è un archeobatterio metanogeno Gram-negativo, presente in ambienti privi di ossigeno di paludi e stagni; esso trasforma l'anidride carbonica in metano. Nella foto, il microrganismo è osservato mediante microscopio elettronico a trasmissione, e appare in fase di scissione, ovvero mentre si sta dividendo per dare luogo a due cellule figlie.


Colonia di streptococchi


Nel gruppo degli streptococchi, batteri Gram-positivi, sono comprese numerose specie patogene per l'uomo, quali S. pneumoniae (pneumococco), responsabile della polmonite e di alcune forme di meningite, e S. pyogenes, agente di alcuni tipi di tonsillite, dell'endocardite, della febbre reumatica, della piodermite e della scarlattina. A seconda della specie, l'azione patogena scaturisce da componenti della capsula che riveste la cellula, oppure da composti che vengono riversati all'esterno (esotossine). Alcuni streptococchi trovano impiego nell'industria delle preparazioni alimentari, come nel caso della produzione dello yogurt e del kefir, in cui si sfrutta il metabolismo fermentativo di S. bulgaricus e S. termophilus. Nell'immagine, ottenuta al microscopio elettronico a scansione, è visibile una colonia di S. pyogenes le cui cellule, di forma tondeggiante (cocchi) appaiono disposte in fila, caratteristica tipica della gran parte degli streptococchi.



0

1

2

3

4

5

1

2

4

8

16

32

k N



quindi num batteri

Stadio zero 1

Stadio 1 2 = 21

Stadio 2 4 = 22

Stadio 3 8 = 23

Stadio 4 16 = 24

Stadio 5 32 = 25

Stadio 6 64 = 26

Stadio k N = 2k



0 1 2 3 4 51

4

8

16

32

Stadio riproduttivo

Nu m

ero

b att e

ri



In generale Se allo stadio iniziale i batteri sono No.

Stadio zero No = No20

Stadio 1 N1 = 2No = No21

Stadio 2 N2 = 2N1 = No22





Stadio k Nk = 2Nk-1 = No2k

Nella formula compare il termine esponenziale 2k



No = 5


In generale

DEF se a R+ a 1 la funzione:

f: x R -----------> y = ax R+

si dice Funzione Esponenziale di base a.




Problemi sui batteri1. Supponendo che la riproduzione di un batterio avvenga ogni 20

minuti calcolare quante ore occorrono affinché una popolazione iniziale di 10 batteri raggiunga il numero di 109 unità.

2. Calcolare il numero di cellule che si originano da 20 cellule dopo 15 cicli riproduttivi.

3. Dopo 9 cicli riproduttivi si ha una popolazione di 220160 batteri. Calcolare il numero iniziale di batteri.



2 - Un deposito bancario

o Quando versiamo dei soldi in banca riceviamo un compenso che è l’interesse.L’interesse è il prezzo che la banca paga per poter disporre del nostro denaro.

o Il tasso d’interesse i (opp r) normalmente è espresso in percentualees. i = 5% su 100 euro depositati la banca dà 5 euro d’interesse.



o Nell’interesse semplice il calcolo dell’interesse viene fatto una sola volta alla fine del periodo d’investimento

o Nell’interesse composto l’interesse è calcolato alla fine di ogni anno e si capitalizza, cioè diventa nuovo capitale su cui si calcola un nuovo interesse.

Il calcolo dell’interesse può essere fatto principalmente in due modi:

Interesse Semplice o Interesse Composto



Interesse Semplice

Un capitale iniziale di 10.000 euro viene investito ad un tasso annuo del 4% per 5 anni. Calcolare l’interesse semplice e il montante finale.

C = 10.000 i = 4% t = 5 anni

o Il calcolo dell’interesse semplice è dato dalla formula:

I = C i t

Oss. L’interesse è direttamente proporzionale al capitale, al tasso d’interesse e al tempo.



Interesse Semplice

Quindi

Alla fine dei cinque anni d’investimento avremo un Montante

Montante = Capitale + Interesse

M = C + I = 10.000 + 2000 = 12.000 euro

2000541005100

410000 I



Nella tabella seguente è riportato l’interesse e il montante relativi ad un investimento di 10.000 euro al tasso del 20% a interesse semplice

Investimento di anni Interesse Montante0 0 10.000 1 2.000 12.000 2 4.000 14.000 3 6.000 16.000 4 8.000 18.000 5 10.000 20.000 6 12.000 22.000 7 14.000 24.000 8 16.000 26.000 9 18.000 28.000

10 20.000 30.000


Interesse Semplice

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 2 4 6 8 10 12

Interesse

Montante


Anni investimento

euro

Montante e Interesse sono linearmente dipendenti dal tempo



4%

6%

20%

anni

inte

ress

e

L’interesse semplice è direttamente proporzionale al tempo e aumenta all’aumentare del tasso d’interesse

C = 1 euro



Interesse Composto annuo

Lo stesso capitale iniziale di 10.000 euro viene ora investito ad un tasso annuo del 4% per 5 anni ad interesse composto annuo. Calcolare l’interesse e il montante finale.

C = 10.000 i = 4% t = 5 anni

Per risolvere il problema calcoliamo interesse e montante anno per anno:



Inizio investimento = stadio zero C = 10000

Fine primo anno = stadio 1 I1 =10000*4%*1 = 400M1 = 10000+400 = 10400

Fine 2° anno = stadio 2 I2 =10400*4%*1 = 416M2 = 10400+416 = 10816

Fine 3° anno = stadio 3 I3 =10816*4%*1 = 432,64M3 = 10816 + 432,64 = 11248,64

Fine 4° anno = stadio 4 I4 =11248,64 *4%*1 = 449,95M4 = 11248,64+ 449,95 =11698,59

Fine 5° anno = stadio 5 I5 = 11698,59* 4%*1 = 467,94 M5 = 11698,59 + 467,94 = 12166,53



Nella tabella seguente è riportato l’interesse e il montante per lo stesso investimento di 10.000 euro al tasso del 20% a interesse composto

anni Interesse Montante0 10.000 1 2.000 12.000 2 2.400 14.400 3 2.880 17.280 4 3.456 20.736 5 4.147 24.883 6 4.977 29.860 7 5.972 35.832 8 7.166 42.998 9 8.600 51.598 10 10.320 61.917


Interesse composto

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

anni


Anni investimento

Mon

tant

e m

atu r

ato

Il Montante è funzione esponenziale del tempo



Formula generale dell’interesse composto inizio Mo = C

anno 1° M1 = C + I = C + C r 1= C (1+r)

anno 2° M2 = M1+ I = M1+ M1r 1= M1(1+r)= C(1+r)(1+r) = C(1+r)2

anno 3° M3 = M2+ I = M2+ M2r 1= M2(1+r)= C(1+r)2(1+r) = C(1+r)3

anno k° Mk = C(1+r)k

Nella formula compare il termine esponenziale (1+r)k



Problemi sull’interesse1. Calcolare il montante ottenuto investendo 50.000 euro al tasso del 3% per 10

anni nel caso di interesse semplice e di interesse composto annuo.

2. Un investimento di 8 anni al tasso del 2% ha prodotto il montante di 29.291,48 euro, Calcolare il capitale iniziale.

3. Quanti anni deve durare l’investimento di 12.000 euro al tasso del 2% per produrre un montante di 17.831 euro?

4. Il sig. Antonio marito della sig.ra Cesira si vanta di aver ottenuto 70.548 euro investendo in buoni postali 30.500 euro per 6 anni. Spiega perché il signor Antonio racconta frottole.

5. La Banca Popolare di Soldopoli ci propone due tipi d’investimento il primo ad interesse semplice del 6% e il secondo ad interesse composto annuo del 4% . Stabilire in quale caso risulta conveniente il primo e in quale caso il secondo.



Le vibrazioni degli oggetti producono suoni o rumori: ess. Vibrazione delle corde di una chitarra o di un pianoforte, della membrana di un tamburo, delle corde vocali, vibrazione del piano del tavolo ……

Il nostro orecchio è in grado di percepire soltanto i suoni che hanno una frequenza compresa tra 16 e 16.000 Hz circa.

Quando la vibrazione avviene tutta alla stessa frequenza viene prodotto un suono puro. Una corda di pianoforte che vibra a 263 Hz produce un DO centrale, a 526 Hz il DO della 1° ottava superiore a 1052 il DO della 2° ottava superiore……...

Se la frequenza è di 440 Hz si ha un LA centrale, se 880 Hz si ottiene un LA più acuto, cioè il LA della 1° ottava superiore. ……

3 - Le note musicali Ottave di DO



Tabella delle frequenze del LA

Distanza in ottave dal LA centrale ottava

frequenza Hz

-4 27,5-3 55-2 110-1 220

LA centrale 0 4401 8802 17603 35204 70405 14080

Scala di LA


Frequenze del LA

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Distanza in ottave

Fre q

uenz

a H

z

La frequenza di vibrazione è funzione esponenziale dell’ottava



Allora se indichiamo con fo = 440 Hz = freq. LA centrale avremo:Distanza in ottave dal LA centrale ottava frequenza frequenza Hz

-4 27,5 2-4f0-3 55 2-3f0-2 110 2-2f0-1 220 2-1f0

LA centrale 0 440 f01 880 2f02 1760 22f03 3520 23f04 7040 24f05 14080 25f0



se k è la distanza in ottave dalla nota centrale la frequenza è data da: fk = f02k

Nella formula compare il termine esponenziale 2k

Oss. Il discorso precedente è valido per tutte le altre note musicali.



Altri fenomeni che hanno andamento esponenziale

Decadimento radioattivo Carica e scarica del condensatore Attenuazione della radiazione elettromagnetica Tensione di vapore saturo

Modello Malthusiano della crescita della popolazione



Bibliografia Brandi, Salvadori - Modelli matematici elementari - Bruno

Mondadori

Scovenna - Profili di matematica 1 - Cedam AA.VV. - Materiali scaricarti da internet

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