04 Raz. Matematico

8/12/2019 04 Raz. Matematico

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Razonamiento

Matemático

097

Para medir tu capacidad: ¿Cuántos palitos debes mover como mínimo, para que la

igualdad se verifique?

Resolución:

Objetivos.* Desarrollar la capacidad de análisis del estudiante.* Dar al estudiante las herramientas metodológicas

adecuada para enfrentar situaciones complejas a partir deun análisis progresivo de situaciones sencillas.

* ejercitar la capacidad de observación para establecer

relación que permitan dar solución a un problema. Introducción Expresiones como “soy incapaz para la matemática”, “no

he nacido para los números”, “me falta la memoria paraaprender fórmulas ”, etc., son un producto amargo del tipode enseñanza memorística y mecanizada que hemosrecibido desde nuestra infancia. En consecuencia noscorresponde revertir esta situación, poniendo en prácticanuestra capacidad de análisis y raciocinio objetivo.Queremos contribuir a ello desarrollando este tema delrazonamiento este tema del razonamiento lógico.

Capacidades a desarrollar.

=

MAPA CONCEPTUAL

LÓGICA RECREATIVA

ENUNCIADOS

PROBLEMAS

SOBRE

ORDEN DE

NÚMEROS

PROBLEMAS

SOBRE

ACERTIJOS

LÓGICOS

PROBLEMAS

SOBRE

CUADRADOS

MÁGICOS

PROBLEMAS

SOBRE

CERILLOS

PROBLEMAS

SOBRE

RELACIÓN DE

TIEMPOS

PROBLEMAS

SOBRE

MATEMÁTICA

RECREATIVA

CASOS

MÉTODOS

CASOS

TÉCNICAS

L OGRAFÍA: L OGRAFÍA:BIBLIOGRAFÍA:

* RAZ. LÓGICO

* RAZ. LÓGICO

LUIS RUBINOS

ADUNI

LÓGICA RECREATIVA



6

6

9

9

3

3 2

2

5

5

8

8

4

4

7

7

A

A

En los organismos más simples unindividuo es una célula, por lo quese llama unicelular.

¡DESAFÍO!DESAFÍO!¡DESAFÍO!

Los Quince Tantos

Cambia una sola carta de lugar, de

manera que las de cada montón sumenquince tantos.

OBJETIVOS: En esta sección vamos a plantear situaciones en las que

solo necesitamos una pequeña dosis de concentraciónpara dar con la respuesta debida. No es necesario paraeste tipo de preguntas recurrir a la teoría matemática si nogeneralmente al sentido común con el que todosmanejamos los problemas diarios de la vida.

Veamos entonces algunos de estas situaciones: Introductorio:* Con 8 palitos mondadientes forma cuatro triángulos y dos

cuadrados.

Los palitos

Mondadientes

tendría que

colocarse de

la siguiente forma:

Recuerda que alguien dijo: "¡No digas que es imposible!más bien di ¡N° lo he intentado todavía!.... pero .... ¡Allávoy!”

Hay grandes hombre que hacena los demás sentirse pequeños.

Pero la verdadera grandeza

1) Pendiente en el café: Esta mañana se me cayó unpendiente en el café. Y aunque la tasa estaba llena, elpendiente no se mojo. ¿sera posible?.

Rpta.:

2) Un granjero tiene 75 pavos. Vino la plaga y murieron todosmenos 5. ¿Cuántos pavos quedan?

Rpta.:

3) Tengo 100 sillas y ciento cincuenta niños. ¿Cuántas sillasquedan ?

Rpta.:

4) Si Domingo murió y el Sábado lo enterraron, ¿Cuál fue el

Ultimo día que vivió?

Rpta.:

5) Con que debo llenar una caja de metal para que pesemenos?

Rpta.:

6) La botella y el corcho : Una botella de vino, taponada conun corcho este llene hasta la mitad ¿Que podemos hacerpara beber el vino sin sacar el corcho ni romper la botella?.

Rpta.:

7) Si un tren eléctrico transita de sur a norte, ¿Hacia donde sedirige el humo?

Rpta.:

8) ¿Cuántos panes como máximo, to puedes comer con elestomago vació?

Rpta.:

9) Si Mario cae a un pozo con agua de poca profundidad.

¿Cómo sale?

Rpta.:

10) Los esposos García tienen tres hijas y cada hija tiene unhermano. ¿Cuántas personas hay en total?

Rpta.:

11) El naranjo: Subió a un árbol de naranjas, sin naranjas, ybajo con naranjas. Como se explica esto?

Rpta.:

Actividad

Razonamiento Matemático - 1ero. Secundaria

098



12) Un barco se hundió entre las fronteras de Perú y Chile, con80 pasajeros a bordo, mueren 60 ¿En que país entierran alos sobrevivientes?

Rpta.:13) Quien lo hace lo hace silbando, quien lo compra lo hace

llorando y quien lo usa, no lo ve; ¿Que será?

Rpta.:

14) Si el día de hoy fuese como mañana faltarían 3 días para serviernes, ¿Que día es hoy?

Rpta.:

15) Por una calle van 3 triciclos, en cada triciclo van 3 cajones yen cada cajón 3 conejos. ¿Cuántos conejos vienen?

Rpta.:

16) Los siete pescados: Hay siete personas sentadas a la mesa .Entre la criada con una fuente con siete pescados; cadauno de los comensales se sirve una y queda en una fuente¿Cómo es posible?

Rpta.:

17) Un sastre cortador: Un sastre corta cada minuto un metrode una tela que mide diez metros ¿Cuánto tardara entenerla completamente cortada?

Rpta.:

18) Un ladrillo tiene 6 caras. Si se forma un bloque con dosladrillos ¿Cuántas caras tiene este bloque?

Rpta.:

19) Un caracol sube por un acantilado de 9m de altura. Cadadía por cada 3m que sube baja 2m. ¿Cuántos días tardaríapara llegar a la cima?

Rpta.:

20) La mitad de 4 mas la mitad de 6 mas la mitad de 6 y 4 es:

Rpta.:

1) Un chivatito nace en Huancayo y al venderlo (a los pocosdías) es trasladado a Lima, ¿Dónde le salieron sus cachitos?

Rpta.:

2) Un cazador dispara su escopeta hacia un árbol donde seencuentran 16 palomas. Si mata 10; ¿Cuántas quedan en elárbol?

Rpta.:

3) Azúcar al Café: ¿Cómo puede ud. Poner un terrón deazúcar en el café sin que se le moje? Naturalmente,después de haberlo sacado de su papel o plástico.

Rpta.:

4) Se tiene una lamina cuadrangular si corto en una esquina.

¿Cuántas esquinas quedan?

Rpta.:5) ¿Que relación de parentesco hay entre ud. Y con el hijo del

hijo del padre de su madre?

Rpta.:

6) Edad del Griego: nació el séptimo día del año 40 a. de c.; ymurió el séptimo día del año 40 d. de c. ,Cuántos añosvivió?

Rpta.:

7) Estoy en el mar y no me ahogo, estoy en el aire y no vuelo yestoy en medio de to brazo ¿Quién soy?

Rpta.:

8) Karina, hace dos días tenia 30 años y el próximo añocumplirá 33, ¿Cuándo nació Karina?

Rpta.:

9) Si por cada tres chapitas de gaseosa, obsequian unagaseosa, por 9 chapitas, el número de gaseosas queobtendré es:

Rpta.:

10) Camino del bosque: Raquel y su perro deciden entrar en elbosque ¿Hasta que parte del mismo pueden hacerlo?

Rpta.:

11) A un árbol subí donde manzanas habían, manzanas nocomí ni manzanas deje, ¿Cuántas manzanas habían?

Rpta.:

12) 5 monitos comen 10 plátanos en 10 minutos, ¿En cuántosminutos se comerán 4 monitos 12 plátanos?

Rpta.:

13) Una secretaria puede escribir una letra en medio segundo.

TAREA PARA LA CASA

Hay gente tan lenta de sentido común

que no le queda el más pequeño

rincón para el sentido propio.

Compendio Académico - I Bimestre

099



Rpta.:

13) Si necesitamos 23 minutos para hornear un pastel:¿Cuánto tiempo necesitamos para hornear cinco pasteles?

Rpta.:

14) En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5sábados. ¿Hallar el día de la semana que cae 25 de dichomes?

Rpta.:15) Distribuir los números del 1 al 8 en los ocho casilleros. de

modo que no pueden haber dos números consecutivos encasilleros adyacentes.

Rpta.:

16) El cubo de primos: En los vértices del cubo adjunto,colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los dosde cada arista sea un número Primo.

Rpta.:

17) Si un borrachin forma un cigarro con 3 colillas: ¿Cuántoscigarros fumaria el día que recoge 14 colillas?

Rpta.:

18) Acabo de vender - dijo un granjero - nueve caballos y sietevacas en s/. 25000. Supongo que habrá recibido ud. maspor los caballos que por las vacas - repuso le un amigosuyo.

Si contesto - me han dado por cada caballo el doble quepor cada vaca; ¿Cuánto se pagó por cada animal?

Rpta.:

19) Un padre de familia emocionado por saber que sushijos aprobaron con altas notas sus cursor bimestrales, sedispone a premiarlos con dinero, para lo cual reflexionadel siguiente modo: “Si les doy S/. 15 a cada uno mefaltarían S/.8 y si les doy s/.12 a cada uno me sobrarían

S/.4, ¿Cuántos hijos tenia que premiar?"

Rpta.:

20) Utilizando cinco números 1, exprese el número 100mediante operaciones aritméticas ¡Intentalo!.

Rpta.:

¿Quién puede jactarse de no tener defectos? El que

examina los suyos aprende aperdonar los ajenos.

Metastasio

1) Dos padres deciden dar propina a sus respectivos hijos.uno de ellos dio a su hijo 150 soles, mientras que el otrodio a su hijo 100, sin embargo los 2 hijos juntosaumentaron su capital solo en 150. 6 ¿Cómo es posibleesto?

Rpta.:

2) Con una lupa que aumenta cuatro veces, se observe unángulo dibujado en un papel de 15 grados de medida;razona y contesta: ¿Cuál Sera la medida que tendría elángulo a través de la lupa?

Rpta.:

3) Andrea le pide propina a su papi y este le da 12 monedasde un sol y le dice “Forma con estas monedas seis filas de 4monedas cada fila y luego serán tuyas”. Si Andrea lo logró:¿Cómo lo hizo?.

Rpta.:

4) En cada uno de los casilleros que aparecen se debe ubicarun número de modo que al completarlo, se hallan usadolos números 1;2;....;9. Si además no deben haber dos

casilleros con un lado o vértice común que contengan 2números consecutivos ¿Cómo hacerlo?.

Rpta.:

5) Supongamos que tenemos un papel cuadrado de área2 2

1m y lo dividimos en cuadraditos de 1 mm de área. Si loscolocamos luego en fila ¿Qué longitud se obtendría?.

Rpta.:

TAREA PARA LA CASA


101



6) Utilizando cinco números 5, exprese el número 100mediante operaciones aritméticas ¡Intentalo!.

Rpta.:

7) La configuración que se expone a c o n t i n u a c i ó n ,representa una igualdad incorrecta; moviendo solo un

palito de los mostrados, transformar dicha false igualdaden una igualdad verdadera.

Rpta.:

8) Jorge le preguntó a su profesor por su edad y este lecontesto: “Mi edad es el - exceso del quíntuple de la edadque tendré dentro de 7 años, sobre el quíntuple de la edadque tuve hace dos años”. ¿Cuál es la edad del profesor?

Rpta.:

9) El cuadrado sin marco: Este cuadrado se lo doy a ud. Conmarco por S/. 12 – dijo el vendedor, sin embargo en otromarco que cuesta la mitad que este, se lo vendo a S/.10,¿Cuánto cuesta el cuadro sin marco?.

Rpta.:

10) En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0al 7 para que la suma de los 4 de cada arista sea un númeroprimo

Rpta.:

11) Alfredo y Jorge son respectivamente el primero y el Ultimode los hermanos de una familia; la suma de sus edades es

20 arios y Alfredo es 15 años mayor que Jorge. ¿Cuántasveces la edad de Jorge tiene Alfredo?

Rpta.:

12) Juguemos con el reloj : Divide la esfera del reloj en 6 partes,como lo desee, pero de modo que en cada parte la suma

de los números que en el aparecen sea la misma

Rpta.:

13) En la siguiente figura tenemos una "casita" con palitos defósforo. Si solo moviéramos tres palitos convertiríamos la"casita" en cuatro triángulos de lados guales cada uno. ¿Teatreves a mover esos tres palitos?.


102



CONTEO DE FIGURAS, trazos y lineas

Observa ¿Cuántos cuadrados distintospuedes contar en el dibujo del joven hindú

con turbantes?

¿Cuántos triángulos distintospuedes contar en el dibujo del gato?

Objetivos:

* Desarrollar la capacidad de observación y análisis en elestudiante.

* Proporcionar al alumno estrategias y métodos de conteoasí como herramientas de análisis de figuras.

Capacidades a Desarrollar 1. Razonamiento y Demostración

2. Comunicación Matemática (Interpretación de Gráficos yExpres - Simbólicas)


103



CONTEO DE FIGURAS

CONTEO POR INDUCCIÓNCONTEO DIRECTO

Capacidades a Desarrollar:

Capacidad I. Razonamiento y DemostraciónCapacidad II. Interpretación de gráficos y representaciones

CONTEO POR FÓRMULA

RED CONCEPTUAL


* COLECCIÓN - PAMER (ACADEMIA)

* EDITORIAL - ADUNI (COMPENDIO)* EDITORIAL - COVEÑAS


104



Conteo de Figuras

Los ejercicios de conteo de figuras generalmente formanparte de todos los exámenes de ingreso a los centros deestudios de educación superior. No por que impliquen eluse de complicadas operaciones matemáticas; sino, porque evalúan el nivel de análisis, de síntesis y la capacidadde atención y concentración del postulante.

Este tipo de ejercicios también desarrollan la percepciónvisual, entrenan la atención y concentración, por lo tanto,contribuyen al desarrollo del pensamiento lógicomatemático.

Para contar figuras se presentan los siguientes métodos:

1.- El Método de Schoenk : En este método se le asigna anúmeros o letras a cada una de las figuras simples queforman la figura completa, dichos números o letras secolocan de menor a mayor, para luego contar las figurasagrupándolas en forma ascendente.

Ejemplo:

¿Cuantos Triángulos hay en la figura?

Solución Se empieza el conteo de la siguiente forma:

Figura de un número : 1, 2, 3 = 3 Figura de dos números : 23 = 1 (+)

Figura de tres números : 123 = 1

Luego sumamos las respuestas total = 5 Triángulos

2.- El Método mediante la inducción: (Formula) en estemétodo se aplica la fórmula de la sumatoria de losnúmeros naturales para la cual veamos cómo salió estafórmula:

Si: 6 = 1 + 2 + 3 6 = 3 + 2 + 1 (+) 6 + 6 = 4 + 4 + 4

2 x 6 = 4 x 3

6 = 6

De aca se deduce la formula:

Ejemplos 1. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

Solución Primero se colocan los números de forma creciente y

consecutiva comenzando de la unidad:

luego: Sumamos los números 1 + 2 + 3 = 6 segmentos en total.

2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura hay en la siguientefigura?

Solución: Colocamos los números comenzando de la unidad en

cada uno de los espacios de la figura.

Luego: sumamos los números 1 + 2 + 3 + 4 + 5

1

2 3

Se puede colocar otra vez

luego procedemos a la suma

6 =4 x 3

2

╗ ╗ תS

2

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8

ת ב בS

25 x 10

S2

S 25

1

2

3


105



Solución: Método practico: Contamos los cuadros cada uno

dibujado y nos resulta 8 en total, luego:

Cuadriláteros en total

Observación: Estos métodos solo se aplican a estos tiposde figuras.

01. Cuántos segmentos hay:

Rpta.:

02. Calcular el número de segmentos que aparecen en lasiguiente figura.

Rpta.:

03. Calcular la cantidad de segmentos que se pueden ubicaren la siguiente figura:

Rpta.:

04. Un profesor ofrece a un alumno de 1° B un cierto puntajepor cada segmento que encuentre en la figura siguiente:

Rpta.:05. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Rpta.:

06. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Rpta.:

07. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Rpta.:

08. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

Rpta.:


8(8 1)S

28 x 9

S

2S 36

Me preguntas ¿Qué es Dios? no se

que decirte; lo que si puedo afirmar

es que siempre será mucho más de lo que

la naturaleza humana puede ofrecerteFrancisco Jaramillo

Actividad

C

B

AI H

G

F

E

D


106



Rpta.:

10. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

Rpta.:


Rpta.:

12. Se ofrece una recompensa de S/. 3 por cada cuadriláteroque aparezca en la siguiente figura. ¿Cuánto derecompensa recibirá el que de la cantidad exacta decuadriláteros?

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.: 16. ¿Cuántos hexágonos hay en la siguiente figura?

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:

Ninguno puede ser

feliz si no se

aprecia a sí mismo

Jean Jacques Rousseau


107




Rpta.:


Rpta.:


a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

02. ¿Cuántos segmentos hay?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15

03. ¿Cuántos cuadriláteros hay?

a) 4 b) 3 c) 8 d) 6 e) N. A.

04. ¿Cuántos triángulos hay?

a) 14 b) 26 c) 42 d) 36 e) 24

05. ¿Cuántos cuadriláteros hay?

a) 6 b) 8 c) 9

d) 18 e) 15

06. ¿Cuántos semicírculos hay?

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24

07. ¿Cuántos triángulos hay?

a) 26 b) 22 c) 13 d) 17 e) 24

08.¿Cuántos trapecios hay?

TAREA PARA LA CASA


108



a) 21 b) 17 c) 9 d) 6 e) 7


a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9


a) 30 b) 31 c) 35 d) 42 e) 28


a) 26 b) 22 c) 21 d) 20 e) 24


a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7


a) 9 b) 12 c) 8

d) 13 e) 11


a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18


a) 27 b) 30 c) 29 d) 26 e) 28

01. Cuántos triángulos hay en:

a) 8 b) 11 c) 13 d) 14 e) 16


a) 12 b) 17 c) 18 d) 19 e) 24

03. Cuántos cuadrados contienen dos asteriscos en suinterior:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

Practicando

en Clases

* ** ** *

* *

* *


109



04. Cuántos rectángulos hay en:

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) más de 16

05. Cuántos cuadrados hay en:

a) 14 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

06. Cuántos cuadrados hay en:

a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13

07. Cuántos triángulos tienen un asterisco (*)

a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

08. Cuántos trapecios hay en:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) más de 1209. Cuántas semicircunferencias hay en:

a) 12 b) 18 c) 30 d) 21 e) 24

10. Cuántos bloques están en contacto con otros “7” ycuántos con otros “5” en:

a) 4,5 b) 2,5 c) 2,2 d) 4,4 e) 3,2

11. El número total de triángulos en la figura es:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) más de 15

12. El número total de sectores circulares que puede contarsees:

a) 30 b) 35 c) 40

d) 45 e) 60


a) 18 b) 30 c) 33 d) 34 e) 40

14. Calcular el número total de triángulos en:

a) 30 b) 21 c) 31 d) 41 e) 51

15. El número total de triángulos en la figura es:

37

6

12


110



Ejemplo:

* La figura es posible dibujarla de un solo trazo sin pasarpor una misma línea 2 veces.

* Vértice

Ejemplo

Vértice par:

Es aquel punto donde convergenun número

de lineas

Vértice Impar:

Es aquel punto donde convergenun número

de lineas

Ejemplo:

Aplicación:

En la siguiente figura, hallar la cantidad de vértices pares eimpares respectivamente.

Vértices pares =

Vértices impares =

CONDICIONES NECESARIAS

1. La figura es posible dibujarla de un solo trazo si posee sólo

vértices

Ejemplo:

TRAZADO DE FIGURAS

¡Hola amigos!

y seguimos pues con el estudio de

FIGURASpero ya no vamos a contar

si no vamos a ver

si es posible dibujarlos

de un solo trazo

sin levantar el lápiz

Primero hay que entenderel concepto de vértice


111



2. La figura es posible dibujarla de un sólo trazo si posee a lo

más 2 vértices empezando por uno deesos puntos y terminando en el punto.

Ejemplo:

3. Si la figura posee más de 2 vértices

no es posible dibujarlo de un solo trazo.

Ejemplo:

01. Colocar verdadero (V) o (F) según: * Un vértice es la intersección de 2 líneas o más. (

)* Vértice par es aquel donde convergen un número par de

líneas. ( )

* Vértice impar es aquel donde convergen 3 líneas ( )

02. Para que sea posible recorrer una figura sin pasar unamisma línea 2 veces. La figura debe tener a lomás_______________

03. La siguiente figura es posible dibujarla de un solo trazocomenzando desde un vértice y terminando en el mismovértice.

a) Verdadero b) Falso

04. La siguiente figura es posible dibujarlo o recorrerlo sinpasar por el mismo trazo.

a) Verdadero

b) Falso

05. La siguiente figura no es posible dibujarla de un solo trazo.

a) Verdadero

b) Falso

06. A continuación de las preguntas del 6 al 13 se dan 3 paresde figuras ¿Cual de ellas es posible dibujarla de un solotrazo?

a) I b) II c) II y III d) I, II y III e) I y II

07.

a) Sólo II b) I y II c) III d) Sólo I e) ninguno

08.

¡RECUERDEN!

Utiliza bien

estas 3 condiciones

y todo será fácil.

Actividad

I

II

III

I II

III


112



a) I y III b) II y III c) I y II d) Todas e) II y III

09.

a) Sólo II b) I c) III d) I y III e) I y II

10.

a) I y II b) III y I c) II y III d) Todos e) Ninguno

11.

a) I b) I y II c) II y III d) II e) III

12.

a) I b) III c) I y III d) II y III e) I y II

13.

a) I y II b) II y III c) I y III d) todos e) ninguno

14. ABCD es un cuadrado de 8cm. de lado el cual se hadividido en 4 partes iguales. ¿Cuántos centímetros comomínimo se deben recorrer con el lápiz para dibujarlo sinlevantar el lápiz del papel?

15. Un maratonista desea recorrer una ciudad con lacondición de pasar tan sólo una vez por cada calle oavenida. ¿Podrá lograrlo?

a) Si

b) no c) no se sabe

d) tal vez

e) es imposible

01. Colocar verdadero (V) o falso (F) según:

* Vértice par es aquel punto en el cual convergen unnúmero par de lineas. ( )

* Si una figura tiene vértices pares no es posibled i b u j a r l o d e u n s o l o t r a z o

( )

III III

I II

III

III

III

I II

III

A B

D C

TAREA PARA LA CASA


113



02. En el gráfico indicar la cantidad de vértices pares e imparesrespectivamente.

a) 8 y 12 b) 11 y 9 c) 15 y 5 d) 17 y 3 e) 14 y 6

03. La siguiente figura es posible dibujando de un solo trazocomenzando desde vértice y terminando en el mismovértice.

a) verdadero

b) falso

04. La siguiente figura es posible dibujarlo o recorrerlo sinpasar por el mismo trazo.

a) verdadero

b) falso

05. La siguiente figura no es posible recorrerlo sin pasar unavez por un mismo trazo.

a) verdadero

b) falso

A continuación de las preguntas del 6 al 13 se dan trespares de figuras . ¿Cuál de ellas es posible dibujarlo orecorrerlo de u solo trazo?

06.

a) I b) II c) I y II d) Todos e) II y III

07.

a) II b) II y III c) I y II d) III e) Ninguno

08.

a) Sólo III b) Sólo II c) Sólo II d) I y III e) II y III

09.

a) II y III b) I y II c) Sólo I d) Sólo II e) Sólo III

10.

a) I y III

b) II y III

c) I y II

d) Todos

e) Ninguno

11.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III12.

a) II y I b) II y III c) Sólo I

I II III

III

III

I II III

I II III

I II

III

III

I II

I II

III

I II

III


114



A. Construir las siguientes figuras de un sólo trazocomenzando de cualquier punto.

Indicar si se puede o no.01.

a) SI b) NO

02.

a) SI b) NO

03.

a) SI b) NO

04.

a) SI b) NO

05.

a) SI b) NO

06.

07.

a) SI b) NO

08.

a) SI b) NO

09.

a) SI b) NO

10.

a) SI b) NO

B. De las figuras que se muestran a continuación. ¿Cuántosno se puede realizar con un trazo continuo y si pasar dosveces por el mismo trazo pudiendo cruzarse los trazos?.

01.

Guía de

Clase


115



a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N. A.

02.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas

03.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) todas

04.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y III

05.

a) Sólo I b) Sólo II c) II y III d) I y III e) I y II

C.01. Podrá un perro que se encuentra en su casa coger un

hueso, con la condición de que recorra todo el trayecto, sin

pasar dos veces por el mismo trayecto, pudiendo cruzarselos recorridos.

a) Si b) No c) no se puede d) faltan datos e) no me sale

02. ¿Podrá un joven entrar al laberinto y recorrer todos loscaminos, sin pasar dos veces por un mismo trazo,pudiendo cruzarse en los recorridos hechos?

a) Si, si entra por “A” b) No puede c) Si, si entre por “B” d) Se pierde e) N. A.

03. Podrá un pirata entrar a un laberinto y recorrer todos loscaminos, sin pasar dos veces por un mismo tramo,pudiendo cruzar los recorridos hechos.

a) Si b) No c) le faltaría un tramo d) faltan datos e) se cansa

D. Cerillos:

01. De los siguientes gráficos mover un cerillo para que severifique la igualdad:

a)

b)

c)

d)

e)

(III)(II)(I)

(I) (II) (III)

(I) (II) (III)

(I) (II)

(III)

A

B


116



OPERADORES MATEMÁTICOS Este es un capitulo de poca dificultad, pero de gran

aplicación, su objeto fundamental al utilizarlo en unaprueba de admisión , es medir la capacidad del alumnopara captar relaciones nuevas, a los que se supone no estaacostumbrado; el principio fundamental que se utiliza enestos problemas, es el valor numérico.

* ¿Qué es una Operación Matemática?

Es un procedimiento que se emplea para transformar conSujeción a ciertas reglas, una o varias cantidades ofunciones, en otros, ó también para efectuar con ellosdeterminados cálculos.

* ¿Qué es un Operador Matemático?

Es un símbolo determinado que sirve para representar auna determinada operación matemática. Así por ejemplo:

+ Representa la Operación Suma.

- Representa la Operación Resta.

Representa la Operación Radicación.

Teniendo como base las operaciones anteriores, es que se“CREAN” nuevas operaciones, con diferentes reglas dedefinición, arbitrariamente elegidos; reglas que seobtienen combinando, según como queramos, a nuestrasoperaciones usuales básicos o conocidos ( +; -; ; etc). Ypara representarlos podemos también utilizar “nuevos”símbolos escogidos al azar.

No esta demás decir; que las “nuevas” operaciones

pueden ser definidas para uno, dos, tres o más cantidades

según nuestro deseo.

Ejemplo de una de estas operaciones sería:

a b = a2 + 5b

Hallar: 5 2

Solución:

OPERADORES MATEMÁTICOS

¿Puedes escribir del 1 al 10 utilizando 4

veces el número cuatro y solamente las

Objetivos:

1. Conocer en todas sus variantes el conceptode operación matemática

2. Conocer diversas formas de definición deoperación matemática

3 . Comprender p rop iedades de l a soperaciones matemáticas.

4. Conocer la definición de ley de composicióninterna y sentar las bases para su estudio

Marco conceptual

OPERACIONESMATEMÁTICAS

OPERADORESMATEMÁTICOS

CLASES

OPERADORESCOMPLEJOS

OPERADORESSIMPLES

OPERADORESCON TABLAS

Nueva operación eneste caso definidopor 2 cantidades: a yb, los representan.

Regla dedefiniciónSímbolo

arbitrario uoperador

שa 5

5 5x2 25 10 35b 2

“El optimista se equivoca con tanta

frecuencia como el pesimista,

pero es incomparablemente feliz”.N. Hill


* RAZ. MATEMÁTICO

* RAZ. MATEMÁTICO

EDITORIAL ADUNI

EDITORIAL COVEÑAS


117



03. Si x = 5x + 1, calcular 2

a) 8 b) 3 c) 5 d) 11 e) 17

2 304. Si a c = 3a + 2c , calcular el valor de (2 1) (1 0)

a) 542 b) 510 c) 642 d) 480 e) 417

05. Sabiendo que: x = 2x + 7,

Calcular: a) 57 b) 25 c) 37 d) 55 e) 47

N06. Si se sabe que: M N = M - 1 , Hallar: (3 2) 2

a) 64 b) 24 c) 63 d) 15 e) 35

07. Calcular 5 2 sabiendo que:

2 2 x y = (x + y) + (x - y)

a) 51 b) 16 c) 58 d) 69 e) 70

2 208. Si a # b = (a + b) - (a - b) ;Hallar: (2 # 1) # 3

a) 93 b) 111 c) 96 d) 114 e) 120

09. Si se sabe que:

2 z = z + z + 1, calcular el valor de.

1 + 2

a) 8 b) 10 c) 13 d) 15 e) 9

a b10. Se sabe que: a ( ) b = a + b ;

Hallar: [3 ( ) 2] - 29

a) 2 b) 4 c) 3 d) 31 e) 19

11. Si: n = -n; hallar: 8 - 4 - ( 2 + 1)

a) -13 b) 15 c) -15 d) 13 e) -12

12. Se sabe que:

a) 15 b) 35 c) 20 d) 38 e) 42

2 213. Si x y = x + 2xy + y ; Calcular: (-1) (-2)

a) 7 b) 6 c) 11 d) 5 e) 9

14. Si: p q = , hallar:

2(11 725) 726

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

15. Si: a = 2a ; hallar el valor de:

1A B C

3 8 4

= AB - C

8 4 12+

p + 1

3

2


119



c b a

a

b

c

a

b

c

b

c

a

c

a

b

SUB TEMA: OPERADORES MATEMÁTICOS

Hoy veremos el capitulo más sencillo de 1er bimestres sólotienes que tener en cuenta las 4 operacionesfundamentales.

* OPERACIÓN MATEMÁTICA

* OPERADOR MATEMÁTICO

1. Mediante Formula: Ejemplo:

a b = 2a + 3b

Luego:

1 2 =

3 5 =

Ejemplo: x = 2x + 3

Luego: 2 =

3 =

2. Mediante Tabla: Es el conjunto A = {a, b, c, d} podemos definir la siguiente

tabla.

Entonces: a b= b c=

a d = c d =

Se puede usar cualquier símbolo para mi “nuevaoperación matemática”

Ejemplo:, #, , , ,, , ..., etc.

PROPIEDADES DE LA OPERACIONES MATEMÁTICAS.

1. CLAUSURA O CERRADURA. Si a y b pertenecen a un conjunto “C” por ejemplo, la

operación definida también pertenecen a dicho conjunto.

Ejemplo: En N la suma es cerrada

3 + 4 = 7

3 N , 4 N entonces 7 N

- En N la multiplicación es cerrada:

8 x 5 = 40

8 N , 5 N entonces 40 N

Aplicación:

- En N se define: a b = 3a + 4b ¿Es cerrada?

Solución:

- En A = {a, b, c} se define la tabla:

¿Es cerrada? Solución:

OPERACIÓN OPERADOR

Suma +

Resta -

Multiplicación

División

a b c d

a

b

c

d

b

c

d

a

c

d

a

b

d

a

b

c

a

b

c

d


120



m n p

m

n

p

n

p

m

p

m

n

m

n

p

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA

C a b = b aa,b

Ejemplos: En N la suma es conmutativa

8 + 3 = 3 + 4 2 + 7 = 7 + 2

- En Z la multiplicación es conmutativa.

* 8 x 3 = 3 x 8 * 7 x 2 = 2 x 7

Aplicación:

- En N se define a = a + b + 3

¿Será conmutativa?

Solución:

- En C = {m, n, p} se define la tabla. ¿es conmutativa?

3. ELEMENTO NEUTRO

Es aquel que operando con cualquier número se obtiene elmismo número.

Ejemplos: - El elemento neutro de la suma es el 0

3 + 0 = 3, 11 + 0 = 11

- El elemento neutro de la multiplicación es el 1.

4 x 1 = 4, 19 x 1 = 19 , etc

Aplicación:

- En N se define: a b = a - b + 2¿Cuál será el elemento neutro?

Solución: - En B = {x, y, z} se define la tabla.

¿Cuál será el elemento neutro?

4. ELEMENTO INVERSO Es aquel que operando con un número se obtiene el

elemento neutro. El inverso de un número es único paraese número.

Ejemplo: En la suma el inverso de 4 es -4 Por que 4 (-4) = 0

Aplicación:* Del ejemplo anterior para la operación hallar el inverso

de 3 y el inverso de 5.-1

Inverso de 3 (3 ) =-1

Inverso de 5 (5 )= * Del ejemplo anterior de la tabla, hallar:

-1 Inverso de x (x ) =

-1 Inverso de y (y ) =

- 1 Inverso de z (z ) =

01. La operación matemática en un proceso que consiste en la________________ de una o más ___________ en otra cantidadllamada _____________.

02. la operación matemática es representada por un símbolollamado.

03. Si: a b = 2a + b

Hallar: 3 4

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

x y z

z

x

y

x

y

z

y

z

x

z

x

y

Actividad

a b c d

ab

c

d

bc

d

a

cd

a

b

da

b

c

ab

c

d


121



a

a c d e a b

b c d e

b d e a b c

c e a b c d

d a b c d e

e b c d e a

1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

1

1

1

4

1

2

1

1

4

2

1

2

2

4

0 1 2 3

0

1

2

3

2

2

0

3

3

3

1

2

0

0

1

1

1

1

1

0

04. Se define en: A = {a, b, c, d} la siguiente tabla:

Hallar: (b d) (a c) a) a b) b c) c d) d e) b y d

05. Se define:2

x = x + 3x

Hallar: 4 + 5

a) 66 b) 67 c) 68 d) 69 e) 7006. Si m # n = 2m + 3n Hallar: (2 # 3) # (4 # 2)

a) 76 b) 77 c) 78 d) 79 e) 80

07. Se define:

Calcular: P = (2 1) (1 2)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

08. Si:

2 = a - bc

Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

09. Se define en: A {2, 3, 4}

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 0,5 d) 0,2 e) 3

10. Dada la siguiente tabla:

Calcular:

a) b b) a c) a /b d) 1 e) d

11. Se tiene la siguiente tabla:

Hallar el elemento Neutro. a) m b) n c) p d) q e) r12. Del ejercicio anterior:

-1 -1 -1 -1 Hallar: (n p ) (q r )

a) m b) n c) p

d) q e) r

13. Si:

x = 2(x - 1)

x = 3(x - 1)

Hallar x en:

a) 4 /7 b) 7 /3 c) 13/7

d) 13/6 e) 13/3

14. En el conjunto: A = {0, 1, 2, 3, 4}

"ש bס " ba b

a b; a b

a

b

c

4

3

2 3

2

1

-

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

44

4 4

ת ב ו ת ב ש ב ו ת S

(2* 3)* (3* 4)

a b c d

a

b

c

d

c

d

a

b

d

a

b

c

a

b

c

d

b

c

d

a

ב " l תב bב ת |S (a* b)* (c* d)

=x 2

m n p q

m

n

p

q

p

q

m

n

q

p

n

r

m

n

p

q

n

r

q

p

r

r

m

r

n

r r m r n p


122



v

z x y z v w

w x y z

y y z v w xw z v w x yx v w x y zy w x y z w

5

5

55

6

6

6

66

7

7

57

7 7

#

Hallar “x” en: (x x) (3 1) = (4 3) (4 1) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. Se define en. C = {a, b, c, d, e}

¿Cuál de las siguientes proporciones es verdadera?I. [a (x c)] d = c, si x = eII. Se cumple la propiedad conmutativa

III. Se cumple la propiedad de clausuraIV. El elemento neutro es “a”

a) I y III b) III y IV c) II y III d) I y IV e) Todas

01. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

- Toda operación matemática presenta una regla dedefinición ( )

- El elemento neutro es aquél que operado con otroelemento se obtiene el elemento inverso. ( )

- La operación matemática es representada por el

operador. ( ) - Toda operación matemática presenta elemento

neutro ( ) 02. El resultado de operar un elemento con su inverso es el

__________________________________

03. Si a b = a - 2b Hallar 5 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. Se define en: A = {a, b, c, d} La siguiente tabla:

Hallar: (c a) (d b) a) a b) b c) c d) d e) a ó c

05. Se define:

x = 2x+ 3

x = 4x - 5

Hallar: 5 + 3

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

06. Si: m % n = 2m - n y: m n = n - 3m

Hallar:

a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

07. Se define:

Calcular: M = (5 2) (4 3)

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

08. Si:2

= bc - a

Hallar:

-

TAREA PARA LA CASA

a b c d

a

b

c

d

c

d

a

b

d

a

b

c

a

b

c

d

b

c

d

a

תת(20 5)

" סbש " ba b

a b; a b

a

b c

2

5 2

3

2 7

צ פ ת צ ב צ פ ת E

(5# 6)#(6# 7)

d c b a

a

b

c

d

c

d

a

b

d

a

b

c

a

b

c

d

b

c

d

a

%

| bת l "תN

(d%c)(b%a)


123



09. Se define en A = {5, 6, 7}

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 0,7 d) 0,2 e) 3

10. Dada la siguiente tabla:

Calcular:

a) a b) b c) b/a d) 1 e) c

11. Se tiene la siguiente tabla:

Hallar el elemento neutro: a) v b) w c) x d) y e) z

12. Del ejercicio anterior, hallar:-1 -1 -1 -1 -1

[(w z )] (y v ) x

13. Si:x = x + 4

x = 5 - x

Hallar “x” en:

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 14. En el conjunto: B = {0, 1, 2, 3, 4}

Hallar “x” en: (3 x) (4 1) = (3 2) (1 0) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. Se define en: C = {m, n, p, q, r}

¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? I. Es conmutativa II. Es cerrada

III. No tiene elemento neutro a) I b) II y III c) III d) I y II e) todas

OPERADORES MATEMÁTICOS

01. Si: K* = 2K - 1, E = E + 1, N = 4N

Hallar: 5* + 7 - 9

Rpta.:

02. Si: x + 2 = x + 5

Señalar lo incorrecto

a) 6 = 9 b) a = a + 3

c) - 3 = 0 d) E - 2 = E - 5

e) 100 =103

03. a - 1 = 2a

Hallar:

5 + 6 + 3

Rpta.:

204. a b = 3a + a

Hallar:

Rpta.:

05. = 3a - 2b

Hallar:

Rpta.:

x = 3

1

4 2 3 4 1

2 3 4

3 3 4 1 2

2 4 1 2 3

1 1 2 3 4

3

0 3 2 1 0

2 1 0

1 2 1 0 3

2 1 0 3 2

3 0 3 2 1

m n p q

r

q

p

n

p

q

r

m

p

r

m

n

r

m

n

p

m

n

p

q

r

n

p

q

r

m r p q r m

ב פ לא ק ףףףףףףףףףף ╗

2 (PRIMER AÑO)

ab

1

2

4

x

3

x-2

ab

" ba b

ב צ ת

2 3

" b2

фב (4ב * 3)* (8 * 6) (12* 9)2


04 Raz. Matematico

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