Quanto vale la somma degli angoli interni di

un poligono convesso?

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangolo

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangoloS = 180°

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangoloS = 180°

quadrangolo

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangoloS = 180°

quadrangoloS = 180° x 2

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangoloS = 180°

quadrangolo S = 180° x 2

pentagono

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangoloS = 180°

quadrangoloS = 180° x 2

pentagonoS = 180° x 3

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangoloS = 180°

quadrangoloS = 180° x 2

pentagonoS = 180° x 3

esagono

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

triangoloS = 180°

quadrangoloS = 180° x 2

pentagonoS = 180° x 3

esagonoS = 180° x 4

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

fine

E in generale?Se il poligono ha M vertici?

triangoloS = 180°

quadrangoloS = 180° x 2

pentagonoS = 180° x 3

esagonoS = 180° x 4

fine

Congettura:In un poligono convesso con M vertici la somma degli

angoli interni è S = 180° x (M - 2)

triangoloS = 180°

quadrangoloS = 180° x 2

pentagonoS = 180° x 3

esagonoS = 180° x 4

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

Un’altra strategiaper generare la stessa congettura

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

Triangolo

S = 180°

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

Triangolo

S = 180°quadrangolo

S = 180° x 4- 180° x 2

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

Triangolo

S = 180°quadrangolo

S = 180° x 4- 180° x 2

pentagono

S = 180° x 5- 180° x 2

fine

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono

convesso?

Triangolo

S = 180°quadrangolo

S = 180° x 4- 180° x 2

pentagono

S = 180° x 5- 180° x 2

M-gono

S = 180° x M- 180° x 2

= 180° x (M-2)

E quindi:

fine

Congettura:In un poligono convesso con M vertici la somma degli

angoli interni è S = 180° x (M - 2)

Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?

fine

COMMENTOC’è differenza tra le due strategie?

(in vista della dimostrazione)

“vertice”uso asimmetrico dei

verticiil ‘nuovo’ vertice deve

essere ‘ben’ collocatol’esempio ‘generico’ è

dinamico su M (suggerisce il passaggio da M a M+1 vertici)

“punto interno”uso simmetrico dei

verticiil ‘nuovo’ vertice può

essere ‘ovunque’l’esempio ‘generico’ è

statico su M

fine

Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

Matematica(Assioma dell’Induzione)

Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1

L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

fine

Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

Matematica1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella)

nel triangolo la somma degli angoli interni èS = 180° x (3 - 2) = 180° OK

E ora, il secondo passo!

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Questo è un poligono con m vertici.La somma S degli angoli interni è:S = 180° x (m - 2)(per ipotesi)

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Questo è un poligono con m vertici.La somma S degli angoli interni è:S = 180° x (m - 2)(per ipotesi)

Aggiungo un vertice(m + 1).S = 180° x (m - 2)

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Questo è un poligono con m+1 vertici.

S = 180° x (m - 2)

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Questo è un poligono con m+1 vertici.

Posso ritagliare un triangolo.

S = 180° x (m - 2)

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Questo è un poligono con m+1 vertici.

Posso ritagliare un triangolo.

S = 180° x (m - 2)

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Questo è un poligono con m+1 vertici.

180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2]

S = 180° x (m - 2)

fine

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Questo è un poligono con m+1 vertici.

180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2]

S = 180° x (m - 2) E’ fatto anche

il secondo passo!

fine

Allora l’assioma garantisce che la formula per la somma degli angoli interni

S = 180° x (M - 2)vale per un poligono con un numero M qualsiasi di vertici

180° x (M - 2)

………………...

fine