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Il triangolo è un poligono che ha tre lati e tre angoli;

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Classificazione dei triangolirispetto ai lati

H a tre la tie tre a ng o lico ng rue n ti

T ria ng o lo e q u ila te ro

H a d ue la tie du e a n go lico ng rue n ti

T ria n go lo iso sce le

H a tu tt i i la ti e tu tt i g li a ng o lin o n co ng rue n ti

T ria n go lo sca le no

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Classificazione dei triangolirispetto agli angoli

H a tu tt i g li an g o lia cu iti

T ria ng o lo a cu ta ng o lo

H a u n a ng o lore tto e due

a cu ti

T rian g o lo re tta ng o lo

H a u n a ng o loo ttuso e d ue

a cu ti

T ria ng o lo o ttu sa ng o lo

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Punti notevoli del triangolo

L’altezza E’il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto. Ogni triangolo ha tre altezze che si incontrano in un punto detto ortocentro .

A

B

C

H

O

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La mediana E’ il segmento condotto da un vertice al punto medio del lato opposto. Ogni triangolo ha tre mediane che si incontrano in un punto detto baricentro.

Punti notevoli del triangolo

A B

C

G

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La bisettrice è il segmento che divide l’angolo in due parti congruenti e che ha come estremi un vertice e un punto del lato opposto Ogni triangolo ha tre bisettrici che si incontrano in un punto detto incentro.

Punti notevoli del triangolo

A B

C

I

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L’asse è la retta perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio.Ogni triangolo ha tre assi che si incontrano in un punto detto circocentro.

Punti notevoli del triangolo

A B

C

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Lato obliquo

Angolo al vertice

Base

Angoli alla base

Triangolo Isoscele

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Triangolo equilatero

60°

60°

60°

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Triangolo rettangolo

Ipotenusa

Cateto maggiore

Cateto minore

90°

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Triangoli congruenti

Dalla definizione di figure uguali, due triangoli sono congruenti se esiste un movimento rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. Le due figure avranno tre angoli uguali e tre lati uguali.

I criteri di congruenza riducono a tre gli elementi affinchè due triangoli siano uguali, di cui almeno uno sia un lato

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1° Criterio di congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso

Ts ABC = A’B’C’Hp AB =A’B’, AC = A’C’ ^ ^ BAC =B’A’C’

A A’

B C B’ C’

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Dimostrazione secondo Euclide

Se il triangolo ABC è sovrapposto a A’B’C’ e il punto A viene a coincidere con A’ e la retta AB con la retta A’B’,anche il punto B coinciderà con B’ essendo AB =A’B’; anche la retta AC coinciderà con A’C’, essendo l’angolo BAC=A’B’C’, cosicchè pure il punto C coinciderà con C’, essendo AC=A’C’. Tuttavia anche B ha coinciso con B’, cosicchè la base BC coinciderà con B’C’. Quindi i due triangoli sono congruenti

B C

B’ C’

A

A’

Dper edei deixai

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2° Criterio di congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno congruente un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

…dimostriamolo per assurdo!!!

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Per ipotesi abbiamo:

AB ~ A'B'

CAB ~ C'A'B'

ABC ~ A'B'C'C

A B

C’

A’ B’

Procediamo per assurdo, quindi neghiamo la tesi …

^ ^

^^

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…supponiamo quindi che i due triangoli non

siano congruenti => AC ≠ A'C'.

Ad esempio sia AC > A'C' => esisterà su AC un punto D tale che AD ~ A'C' …

D

C

A B

C’

A’ B’

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Consideriamo i triangoli ABD e A'B'C'

C

A B

C’

A’ B’

Essi hanno:

^ ^

BAC =B’A’C’ per ipotesi

AD ~ A’C’ per costruzione

AB ~ A'B' per ipotesi

I due triangoli sono quindi congruenti per il primo criterio, in particolare risulta

^ ^

ABD ~ A'B'C'

D

…MA…

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^ ^…ricordiamo che per ipotesi A'B'C' ~ ABC

C

A B

C’

A’ B’

…dalla diapositiva precedente risulta

che

^ ^

ABD ~ A'B'C'

…quindi per la proprietà transitiva si ha

^ ^

ABD ~ ABC

D

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…ma affermare che ABD ~ ABC, è assurdo, perchè ABD

è una parte di ABC, in quanto, per costruzione, la

semiretta BD, di origine B, è interna all’angolo ABC.

C

A B

C’

A’ B’

D

^ ^ ^

^

^

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Siamo giunti ad una contraddizione!!!!!

…dobbiamo quindi concludere che non è possibile negare la tesi, che quindi risulta essere necessariamente vera…

I due triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti!!!

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Una conseguenza di questi due teoremi è che:

Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali

In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è perpendicolare alla base e passa per il suo punto medio

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3° Criterio di congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti i tre lati.

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Trasporto il primo triangolo sotto al secondo in modo da far coincidere la base

Unisco i due vertici

Si vengono a formare due triangoli isosceli A’B’A” e A’C’A” che avranno gli angoli alla base A’A” uguali.

Ergo gli angoli B’A’C’ e B’A”C’ saranno uguali

A A’

BB’

CC’

A”

Conseguenza di ciò è che i triangoli A’B’C’ e A”B’C’ saranno congruenti per il I criterio (due lati e l’angolo compreso uguali). Ma allora anche i triangoli ABC e A’B’C’ saranno congruenti in quanto ABC e A”B’C’ sono congruenti per costruzione.

^^

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La dimostrazione precedente è stata redatta da Filone di Bisanzio nel III secolo a.C.

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Teorema dell’angolo esterno

In un triangolo qualunque ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti

A B

C

D

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ABC è triangoloHp CBD è angolo esterno

^^^

Ts CBD ACB e CBD CAB ^^

Conduco il segmento AF per il punto medio di CB, con AE =EF, e unisco F con B. Si vengono a formare due triangoli AEC e EBF

E

A B

C

D

F

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ACE=CBF

AE =EF per costruzione

CE = EB per costruzione

AEC=BEF opposti al verticeAEC = EBF

Per il I criterio

E

A B

C

D

F

^ ^

^ ^

Allora CBD ACB

Ora dimostriamolo per l’altro angolo

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Dal vertice C conduco il segmento CF per il punto medio di AB, con AD = DB, e unisco F con C

Si vengono a formare due triangoli ADC e DBF che risultano uguali in quanto

A B

C

E

F

D

ADC = DBF

Per il I criterio

AD =DB per costruzione

CD = DF per costruzione

ADC=BDF opposti al vertice

^ ^

^ ^CAD=DBF

Allora GBD DBF , ma DBG = CBE perchè opposti al vertice, ergo CBE CAD

G

^ ^ ^

^ ^ ^

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II teorema dell’angolo esterno

In un triangolo qualsiasi la somma di due angoli interni è minore di un angolo piatto

A B

C

D

Ts ACB + CBA 180°

CBD ACB per il teorema precedente, sommo ABC ad entrambi i membri

CBD +ABC ACB +ABC ovvero 180° ACB +ABC

^ ^

^ ^

^

^

^ ^ ^ ^ ^

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Retta perpendicolare ad una retta data

Per un punto di un piano passa una ed una sola retta perpendicolare a una retta data nello stesso piano

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Primo caso: il punto appartiene alla retta

Dato O AB, si conduca la bisettrice di AOB, essa è unica perché è unica la semiretta che divide in due parti uguali un angolo. La bisettrice di un angolo piatto è un angolo retto

A BO

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Dato C esterno ad AB, lo si congiunga con D AB.

Costruisco dall’altra parte di AB ADP = ADC e DP = DC

Secondo caso: il punto non appartiene alla retta

A B

C

D

P

Il triangolo CDP è isoscele e DHÈ la bisettrice che è anche l’altezzaErgo: per C esiste la retta AB.

Essa è unica perché se ce ne fosse un’altra, per esempio CK, Il triangolo CHK avrebbe due angoli retti

H K

^ ^

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