I PoligoniI PoligoniI PoligoniI Poligoni

SpezzataSpezzata�� A cosa vi fa pensare una spezzata?A cosa vi fa pensare una spezzata?�� Qualcosa che si rompe in tanti pezziQualcosa che si rompe in tanti pezzi�� A me dà l’idea di un spaghetto che A me dà l’idea di un spaghetto che

si rompesi rompe�� Se noi rompiamo uno spaghetto e Se noi rompiamo uno spaghetto e

manteniamo uniti i vari pezzi per un manteniamo uniti i vari pezzi per un

D

B

C

A E

manteniamo uniti i vari pezzi per un manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo l’idea della spezzatapunto abbiamo l’idea della spezzata

�� In pratica la spezzata è In pratica la spezzata è data dall’unione di tanti data dall’unione di tanti segmenti uno consecutivi segmenti uno consecutivi all’altroall’altro

F

Elementi di una pezzataElementi di una pezzata

D

B

C

vertici

I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzata

I punti che uniscono i segmenti consecutivi

lati

A E

Festremi

segmenti consecutivi prendono il nome di vertici della spezzata

I segmenti consecutivi che formano la spezzata prendono il nome di lati della spezzata

Tipi di spezzataTipi di spezzata

�� Spezzata aperta sempliceSpezzata aperta semplice�� Spezzata aperta intrecciataSpezzata aperta intrecciata�� Spezzata chiusa sempliceSpezzata chiusa semplice�� Spezzata chiusa intrecciataSpezzata chiusa intrecciata�� Spezzata chiusa intrecciataSpezzata chiusa intrecciata

Spezzata apertaSpezzata aperta

�� Una spezzata si dice aperta se i suoi Una spezzata si dice aperta se i suoi estremi non coincidonoestremi non coincidono

�� Una spezzata aperta si dice rintracciata Una spezzata aperta si dice rintracciata quando ha due o più lati che si quando ha due o più lati che si

Spezzata aperta intrecciata

quando ha due o più lati che si quando ha due o più lati che si intersecanointersecanoSpezzata aperta

Spezzata ChiusaSpezzata Chiusa

�� Una spezzata si dice chiusa se i suoi Una spezzata si dice chiusa se i suoi estremi coincidonoestremi coincidono

�� Una spezzata chiusa si dice intrecciata Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si se ha almeno due lati che si se ha almeno due lati che si se ha almeno due lati che si intersecanointersecano

Spezzata semplice chiusa

Spezzata chiusa intrecciata

PoligonoPoligono�� Cosa succede al piano a se noi Cosa succede al piano a se noi

tracciamo una spezzata chiusa tracciamo una spezzata chiusa semplice? semplice?

�� Se immaginiamo di prendere un Se immaginiamo di prendere un paio di forbici e di ritagliare il paio di forbici e di ritagliare il contorno cosa abbiamo preso?contorno cosa abbiamo preso?

���� Un pezzo di piano più Un pezzo di piano più precisamente una porzione di precisamente una porzione di piano (parte colorata)piano (parte colorata)

Definiamo poligono una porzione di piano delimitata da una spezzata chiusaDelimitare: Chiudere qualcosa dentro un limite, tracciarne i confini

Lati consecutiviLati consecutivi�� Consideriamo la Consideriamo la

seguente figuraseguente figura�� Vediamo che i lati a e Vediamo che i lati a e

i lati b hanno un i lati b hanno un vertice in comune (B)vertice in comune (B)vertice in comune (B)vertice in comune (B)

Contributi esterni

Tipi di poligonoTipi di poligono

�� Possiamo riconoscere due tipi di poligoniPossiamo riconoscere due tipi di poligoni1.1. Poligono concavoPoligono concavo2.2. Poligono convessoPoligono convesso�� Che differenza esiste fra i due?Che differenza esiste fra i due?�� Che differenza esiste fra i due?Che differenza esiste fra i due?

Poligono ConvessoPoligono Convesso�� Fissiamo la nostra attenzione sugli Fissiamo la nostra attenzione sugli

angoli interni e sui latiangoli interni e sui lati�� Definiamo interno l’angolo formato Definiamo interno l’angolo formato

da due lati consecutivida due lati consecutivi�� Tutti gli angoli interni sono minori di Tutti gli angoli interni sono minori di

un angolo piattoun angolo piattoun angolo piattoun angolo piatto�� Se consideriamo le rette passanti Se consideriamo le rette passanti

per i lati del poligono nessuna di per i lati del poligono nessuna di esse lo attraversaesse lo attraversa

�� Si definisce convesso un Si definisce convesso un poligono che non viene poligono che non viene attraversato dal attraversato dal prolungamento dei suoi latiprolungamento dei suoi lati

Poligono concavoPoligono concavo�� Fissiamo nuovamente la nostra Fissiamo nuovamente la nostra

attenzione sugli angoli interni e sui attenzione sugli angoli interni e sui latilati

�� Alcuni angoli interni sono maggiori Alcuni angoli interni sono maggiori di un angolo piattodi un angolo piatto

�� Se consideriamo le rette passanti Se consideriamo le rette passanti per i lati del poligono alcune di esse per i lati del poligono alcune di esse per i lati del poligono alcune di esse per i lati del poligono alcune di esse lo attraversanolo attraversano

�� Si definisce concavo un Si definisce concavo un poligono che è poligono che è attraversato dal attraversato dal prolungamento di alcuni prolungamento di alcuni latilati

Diagonali

� Consideriamo la seguente figura� Disegniamo un segmento che

unisce due vertici non consecutivi

� Chiamiamo questo segmento diagonalediagonale

� Si definisce diagonale in segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono

Perimetro Perimetro �� Consideriamo il seguente poligonoConsideriamo il seguente poligono�� I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligonoI lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono�� Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli

(sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva)(sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva)�� La lunghezza del segmento La lunghezza del segmento A’AA’A’’ ottenuto sommando questi ’’ ottenuto sommando questi

lati è detta perimetro del poligono lati è detta perimetro del poligono

�� Di definisce perimetro di un poligono e si Di definisce perimetro di un poligono e si �� Di definisce perimetro di un poligono e si Di definisce perimetro di un poligono e si indica con 2P la misura del contorno del indica con 2P la misura del contorno del poligonopoligono

Figure equivalenti� Equivalenti significa che le

due figure si equivalgono cioè hanno lo stesso valore

� Consideriamo le seguenti due figure

� Il loro contorno racchiude la � Il loro contorno racchiude la stessa porzione di piano cioè hanno la stessa area

� Si definiscono equivalenti due figure che hanno la stessa area

Somma di segmenti� Per sommare due segmenti occorre metterli uno

dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacenti

� Consideriamo i segmenti AB e CD� Facciamo coincidere B con C

C D

� Facciamo coincidere B con C� Otteniamo il segmento AD� Tale segmento è la somma di AB + CD

� AD = AB + CD

A B

Figure isoperimetriche� Ogni volta che ci troviamo

di fronte al prefisso Isosignifica che abbiamo due cose uguali

� Consideriamo i seguenti due poligonidue poligoni

� Essi pur essendo diversi hanno lo stesso perimetro

Si definiscono isoperimetrici due poligoni che hanno lo stesso perimetro

Area

� Un qualsiasi poligono, per definizione, racchiude al suo interno una porzione di piano

� Si definisce area la � Si definisce area la misura di questa porzione di piano

α

L’area è la misura della porzione di piano che si trova all’interno di una linea chiusa non intrecciata

Calcolo di un perimetro� Consideriamo la seguente figura� Il suo perimetro 2P sarà dato da:

� Se sostituiamo ai lati il loro valore avremmo che:

� cioè

Angolo interno di un poligono� Prendiamo in considerazione la parola

pentagono� Essa deriva dai termini penta che

significa 5 e gono che significa angolo� Perciò letteralmente si tratta di una

figura geometrica con 5 angoli�� Ma da come avranno origine questi

angoli?� Essi risulteranno formati dalle

semiratte che contengono e segmenti consecutivi del poligono

Gli angoli interni di un poligono sono gli angoli formati da due segmenti consecutivi

Somma degli angoli interni di un triangolo� Consideriamo il seguente

triangolo� Tracciamo la retta passante per

CB e la sua parallela passante per A

� A questo punto noi abbiamo due rette parallele tagliate da due rette parallele tagliate da due trasversali che sono i lati del triangolo

Interessante contributo esterno

Gli angoli β e β1sono uguali perché alterni interni rispetto alla trasversale c

� Gli angoli γ e γ1 sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni rispetto alla trasversale b

� Adesso si vede chiaramente come la somma degli angoli interni del triangolo α, β, γ sia uguale alla somma degli angoli β1, γ1 e αperché:

� γ1 = γ; β1 = β e α è in comune� γ1 = γ; β1 = β e α è in comune

con

Come si vede chiaramente dalla figura

Somma degli angoli interni di un poligono

� Adesso sappiamo quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo

� Possiamo utilizzare questa conoscenza per calcolare la somma degli angoli interni di somma degli angoli interni di ogni poligono?

� Secondo voi come possiamo fare?

� È possibile ad es. dividere il poligono in tanti triangoli avente per lati i lati del poligono e le sue diagonali

Quanti lati ha questo

poligono?

Quante diagonali? Quanti

triangoliOgni triangolo

= 180°triangoli = 180°

3 x 180°= 540°

A noi serve una formula: come

trovarla?

Consideriamo il seguente poligono

Inseriamo al proprio interno

un punto

Uniamo con un segmento il punto G con ciascun

vertice del poligono

Otteniamo tanti triangoli Otteniamo tanti triangoli quanti sono i lati del

poligono

Istintivamente potremmo dire che indicato con l il numero

dei lati del poligono la somma dei suoi angoli interni sarà :

l x 180°

Una via per la formula Una via per la formula �� Gli angoli che hanno il vertice in G Gli angoli che hanno il vertice in G

vanno sottratti dal calcolovanno sottratti dal calcolo�� Quanto vale la loro somma? 360Quanto vale la loro somma? 360°° (è un (è un

angolo giro) cioè 2 x 180angolo giro) cioè 2 x 180°°�� Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli

che è possibile costruire è uguale al che è possibile costruire è uguale al numero dei lati) vanno sottratti questi 2 numero dei lati) vanno sottratti questi 2 numero dei lati) vanno sottratti questi 2 numero dei lati) vanno sottratti questi 2 x 180x 180°° (che non fanno parte degli angoli (che non fanno parte degli angoli interni)interni)

�� Nel nostro poligono la somma degli Nel nostro poligono la somma degli angoli interni èangoli interni è

�� 6 x 180 6 x 180 –– 360360°° = 720= 720°°

FormulaFormula

Da cuiDa cui

DefinizioneDefinizione

��La somma degli angoli La somma degli angoli interni di un poligono è interni di un poligono è uguale al numero dei lati uguale al numero dei lati uguale al numero dei lati uguale al numero dei lati diminuito di due per 180 diminuito di due per 180 ° °

Angoli esterni di un poligonoAngoli esterni di un poligono�� Si definisce angolo esterno di un Si definisce angolo esterno di un

poligono l’angolo formato dal poligono l’angolo formato dal prolungamento del lato precedente prolungamento del lato precedente e il lato successivo di un poligonoe il lato successivo di un poligono

approfondimenti

La somma degli angoli esterni di un poligono vale

sempre 360°

Angoli adiacentiAngoli adiacenti�� Si dicono adiacenti due angoli consecutivi Si dicono adiacenti due angoli consecutivi

e i cui lati non comuni giacciono sulla e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa rettastessa retta

Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni di un poligono?

Consideriamo la seguente

figura

Le coppie angoli interni ed esterni di un poligono che fanno capo ad uno stesso vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti

Numero delle diagonali di un Numero delle diagonali di un poligonopoligono

�� Il numero delle diagonali di un poligono di Il numero delle diagonali di un poligono di n vertici è dato dalla formula:n vertici è dato dalla formula:

Dove n è il numero dei vertici del poligono

Poligono equiangoloPoligono equiangolo

�� Un poligono si dice equiangolo se Un poligono si dice equiangolo se ha gli angoli interni ugualiha gli angoli interni uguali

Poligono equilateroPoligono equilatero

��Un poligono si dice equilatero Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati congruentise ha tutti i lati congruenti

Poligoni regolariPoligoni regolari

��Si dicono Si dicono regolari quei regolari quei poligoni che poligoni che sono sia sono sia sono sia sono sia equilatere che equilatere che equiangoliequiangoli

Perimetro di un poligono Perimetro di un poligono regolareregolare

�� Il perimetro della seguente figura si Il perimetro della seguente figura si trova sommando i suoi lati cioè:trova sommando i suoi lati cioè:

�� 2P = 3u + 2P = 3u + 3u3u + 3u + + 3u + 3u3u + 3u + + 3u + 3u3u�� 2P = 6 x 3u = 18u2P = 6 x 3u = 18u

Il perimetro di un poligono regolare si

ottiene moltiplicando il valore di un lato per il

numero di lati 2P = n x l

Lato di un poligono regolareLato di un poligono regolareNoi sappiamo che :

2p = n x l

A noi serve l perciò dobbiamo modificarla 2P rimane al suo posto

x scavalca l’uguale diventando la sua operazione opposta cioè :

Da cui

l = 2p

:

: n

n scavalca l’uguale e da fattore diventa divisore