Proporzioni e percentuali - Competenza Matematica...proprietà fondamentale delle proporzioni....
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Proporzioni e percentuali E. MODICA LICEO SCIENTIFICO STATALE “S. CANNIZZARO”
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Proporzioniepercentuali
E. MODICA
L ICEOSC IENT IF ICOSTATALE “S . CANNIZZARO”
ProblemaUnatuaamicatidàdelledosiperl’impastodellapizzaper3persone:
1. 500gdifarinaditipo002. 30gdilievitodibirra3. 45gdiolioEVO4. 1dL diacquatiepida5. saleq.b.
Volendoprepararelapizzaper7amici,qualisonoledosinuoveperl’impasto?
Cos’èunrapporto?10kgdipastacostano8euro.Qualèilprezzodellapastaalkilogrammo?
Èsufficienteeffettuareladivisioneseguente:
8€ ∶ 10𝑘𝑔 =8€10𝑘𝑔 = 0,8
€𝑘𝑔
cioè0,8€perognikilogrammo.
Praticamente, un rapporto fornisce quindi un’informazione relativa a un’unità e consente dideterminare il valore unitario di una grandezza.
Matematicamente, il rapporto fra due numeri a e b, preso in un certo ordine, è il quoziente delladivisione fra il primo di essi e il secondo:
+,
Comevariaunrapporto?Se si fissa il denominatore di un rapporto, aumentando il numeratore, allora aumenta ilrapporto.
𝑎 ↑𝑏 = 𝑟 ↑
Esempio: 1232= 6 52
32= 8 322
32= 10
Se si fissa il numeratore di un rapporto, aumentando il denominatore, allora diminuisce ilrapporto.
𝑎𝑏 ↑ = 𝑟 ↓
Esempio: 127= 30 12
9= 12 12
32= 6
ProporzioniDefinizione. Sidefinisceproporzione l’uguaglianzadiduerapporti,cioè:
𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅Perindicareiterminidiunaproporzionesiutilizzalaseguenteterminologia:◦ iterminia ec prendonoilnomediantecedenti;◦ iterminib ed prendonoilnomediconseguenti;◦ iterminia ed prendonoilnomediestremi;◦ iterminib ec prendonoilnomedimedi.
Definizione. Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali e ciascuno dei due medi ugualiprende il nome dimedio proporzionale.
𝒂: 𝒃 = 𝒃: 𝒄
Esempio. Laproporzione4: 6 = 6: 9 ècontinuaeilnumero6èilmedioproporzionale.
Proprietàfondamentaledelleproporzioni
Inogniproporzioneilprodottodeimedièugualealprodottodegliestremi.
Esempio. Nella proporzione:
5: 10 = 15: 30
il prodotto dei medi è 10 C 15 = 150, mentre il prodotto degli estremi è 5 C 30 = 150.
Proprietàdell’invertire
Inogniproporzione,sesiscambiaogniantecedenteconilproprioconseguente,siottieneancoraunaproporzione.
Esempio. Nella proporzione:5: 10 = 15: 30
se si applica la proprietà dell’invertire si ottiene l’uguaglianza tra rapporti:
10: 5 = 30: 15
che è ancora una proporzione.
Proprietàdelpermutare
Inogniproporzione,sesiscambianofraloroimedioppuregliestremi,siottieneancoraunaproporzione.
Esempio. Nella proporzione:5: 10 = 15: 30
se si applica la proprietà del permutare si ottiene l’uguaglianza tra rapporti:
30: 10 = 15: 5
che è ancora una proporzione.
Proprietàdelcomporre
Inogniproporzionelasommadelprimoedelsecondoterminestaalprimo(oalsecondo)comelasommadelterzoedelquartostaalterzo(oalquarto).
Esempio. Nella proporzione:30: 15 = 10: 5
se si applica la proprietà del comporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti:
30 + 15 : 15 = 10 + 5 : 5
cioè:
45: 15 = 15: 5
che è ancora una proporzione.
ProprietàdelloscomporreInogniproporzionechehagliantecedentimaggiorideiconseguenti,ladifferenzafrailprimoeilsecondoterminestaalprimo(oalsecondo)comeladifferenzafrailterzoeilquartostaalterzo(o
alquarto).Esempio. Nella proporzione:
30: 15 = 10: 5se si applica la proprietà dello scomporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti:
30 − 15 : 30 = 10 − 5 : 10cioè:
15: 30 = 5: 10che è ancora una proporzione.
CalcolodeltermineincognitoDataunaproporzionecontenenteuntermineincognitoèpossibilecalcolarlomediantelaproprietàfondamentaledelleproporzioni.Infatti:
◦ seiltermineincognitoèunmedio bastadividereilprodottodegliestremiperilmedionoto,cioè:
𝑎: 𝑏 = 𝑥: 𝑐 → 𝑥 =𝑎𝑐𝑏
◦ seiltermineincognitoèunestremo bastadividereilprodottodeimediperl’estremonoto,cioè:
𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑥 → 𝑥 =𝑏𝑐𝑎
◦ seiltermineincognitoèilmedioproporzionale bastacalcolarelaradicequadratadelprodottodegliestremi,cioè:
𝑎: 𝑥 = 𝑥: 𝑏 → 𝑥 = 𝑎𝑏�
Esercizi1) Uncartolaiocompra80quaderniepaga€65.Quantopagheràperl’acquistodi100quaderni?
2) Daunastatisticaèemersoche2personesu10nonsonomaistateaRoma.Su4520personeintervistate,quantenonsonomaistatea Roma?
3) Seinunaricettasonoprevisti700gdifarinae0,4gdilievito,quantolievitodovròaggiungerea2500gdifarina.
4) Inunliceo,ilrapportofrachiamalamatematicaechiamalalinguaingleseèdi3:16.Sapendochegliiscrittialliceosono1700, quantiamanolamatematicaequantil’inglese?
5) Un’automobilepercorremediamente23kmconunlitrodibenzina.Quantilitridibenzinaoccorronoperpercorrereinmedia100km?
6) Scomporreilnumero120inpartichestianotralorocomeinumeri3,4e5.
7) Applicandoopportunamenteleproprietàdelcomporreedelloscomporre,determinareiterminiincognitinelleseguentiproporzioni:
𝑥: 𝑦 = 5: 2 sapendoche𝑥 + 𝑦 = 14
𝑥: 𝑦 = 7: 3 sapendoche𝑥 + 𝑦 = 20
𝑥: 𝑦 = 8: 5 sapendoche𝑥 − 𝑦 = 6
𝑥: 𝑦 = 11: 9 sapendoche𝑥 − 𝑦 = 8
𝑥: 𝑦 = 9: 7 sapendoche𝑥 + 𝑦 = 32
NumeripercentualiSi definisce numero percentuale un numero che viene riferito al valore fisso 100 e in genere siindica facendolo seguire dal simbolo %, che si legge «percento».
Per trasformare un numero percentuale in un numero decimale basta dividere il numero per 100,per esempio:
12,3% =12,3100 = 0,123
Se invece si vuole trasformare un numero decimale in un numero percentuale basta riscrivere lafrazione con 100 a denominatore. Ad esempio:
0,12 = 0,12 C100100 =
12100 = 12%
Esempio1Calcolareil20%di80.
Poiché
20% =20100 =
15
sihache:
20%𝑑𝑖80 =15 C 80 = 16
Esempio2(Metodo1)Ilprezzodiunmaglioneèdi125€einperiododisaldivieneapplicatounoscontodel30%.Qualèilprezzoscontatodelmaglione?
Metodo1
Sideterminail30%di125,cioè:
125 C30100 = 37,5
Sisottraetalecifradalprezzodelmaglione,ossia:
125 − 37,5 = 87,5
Ilprezzodelmaglionedopoloscontoèparia87,5euro.
Esempio2(Metodo2)Ilprezzodiunmaglioneèdi125€einperiododisaldivieneapplicatounoscontodel30%.Qualèilprezzoscontatodelmaglione?
Metodo2
Essendoloscontoparial30%,ilprezzodelmaglionedopoloscontosaràparial:
100%− 30% = 70%
delprezzodipartenza.Quindisiha:
125 C70100 = 87,5
Ilprezzodelmaglionedopoloscontoèparia87,5euro.
Esempio3(Metodo1)In una classe formata da 25 alunni, solo 6 hanno avuto la sufficienza in matematica. Qual è lapercentuale degli studenti che hanno avuto la sufficienza sul totale?
Metodo1◦ Lafrazionecheesprimelapercentualeèparia 1
79.
◦ Siconsideralafrazioneaessaequivalentechehacomedenominatore100,cioè 7O322
.
◦ Lapercentualecercataè24%.
Esempio3(Metodo2)In una classe formata da 25 alunni, solo 6 hanno avuto la sufficienza in matematica. Qual è lapercentuale degli studenti che hanno avuto la sufficienza sul totale?
Metodo2
Bastaimpostarelaseguenteproporzione:
6: 25 = 𝑥: 100
dacuisegueche:
𝑥 =100 C 625 = 24
Lapercentualecercataè24%.
Esempio4Un paio di jeans, dopo aver subito uno sconto del 25%, viene venduto a 85 euro. Qual era ilprezzo prima dello sconto?
Essendoloscontoparial25%,ilprezzodeljeansdopoloscontoèparial100%− 25% = 75%diquellodipartenza.Impostandolaproporzioneotteniamo:
85: 75 = 𝑥: 100
dacuisegueche:
𝑥 =85 C 10075 = 113,3
Ilprezzodipartenzaeraquindiparia113,3euro.
Esempio5Il prezzo di una cyclette era di 350 euro e durante il periodo di saldi è stata venduta a 280 euro.Quale sconto percentuale è stato applicato?
Calcoliamoloscontoeffettuato:€350 − €280 = €70
Impostandolaseguenteproporzione:70: 350 = 𝑥: 100
siottiene:
𝑥 =70 C 100350 = 20
Loscontoapplicatoèdel20%.
Esercizi
Esercizio1.Latuapaghettasettimanaleammontaa14euro.Sapendocheèstataaumentatadel12%,aquantoammontavainprecedenza?[R.€12,5]
Esercizio2.Gliargomentidialgebradellibroditestocopronoil65%dituttoillibro.Sapendochelepaginededicateallageometriasono119,quantepaginehaintotaleillibro?[R.340pagine]
