PROIEZIONI ASSONOMETRICHE

La geometria descrittiva, utilizzando le proprietà della geometria proiettiva, ha creato diversi metodi di rappresentazione. Distinguiamo due gruppi principali di proiezione:

- Il centro di proiezione è un punto proprio, tutti i raggi proiettanti convergono in esso: si hanno le proiezioni centrali o coniche

- Il centro di proiezione è all’infinito, tutti i raggi proiettanti sono paralleli tra di loro:si hanno le proiezioni parallele o cilindriche

FONDAMENTI DI GEOMETRIA PROIETTIVA

I metodi della geometria descrittiva

Il metodo delle proiezioni centrali è anche denominato: -prospettiva

Le proiezioni parallele si distinguono in:- proiezioni ortogonali (di Monge)- proiezioni assonometriche- proiezioni quotate

FONDAMENTI DI GEOMETRIA PROIETTIVA

I metodi della geometria descrittiva


Le proiezioni ortogonali, alla Monge, consentono di descrivere gli oggetti tridimensionali usando più viste bidimensionali.

Le proiezioni assonometriche e le prospettive consentono, invece, di avere una vista tridimensionale dell’oggetto.

Se C è un punto proprio:Proiezione conica o prospettiva

Se C è un punto improprio:Proiezione parallela assonometrica o assonometria


Elementi fondamentali:- il centro di proiezione (a distanza infinita) = direzione assonometrica- il piano di quadro π su cui proiettare (detto quadro assonometrico)- l’oggetto da rappresentare

L’immagine P’ del punto P è definita dall’intersezione tra il raggio proiettante passante per P (e parallelo alla direzione assonom.) e il piano di quadro π.

Fissato P è univocamente determinata la sua immagine P’.

Data l’immagine P’ non è però possibile risalire al punto P nello spazio.


Il piano di quadro e la direzione dei raggi proiettanti sono necessari per ottenere un’immagine assonometrica, ma non sono sufficienti a risalire alla posizione dell’oggetto che l’ha determinata.

Perché la corrispondenza tra P e P’ sia biunivoca, è necessario aumentare il numero degli elementi di riferimento dell’assonometria.

A tal fine si associa all’oggetto da rappresentare un terna di piani ortogonali (detti piani di riferimento): l’oggetto viene correlato con essi attraverso tre proiezioni ortogonali effettuate sui tre piani.La rappresentazione assonometrica consiste nel proiettare sul piano di quadro non solo l’oggetto, ma anche le sue proiezioni ortogonali.


- Quadro assonometrico: π (su cui si proietta l’el. da rappresentare)- Piani di riferimento: π1, π2 e π3

- Assi di riferimento: x, y, z- Assi assonometrici: x’, y’, z’- Unità di misura: u=ux=uy=uz (segmento di lunghezza unitaria)- Unità assonometriche: u’x, u’y, u’z (proiezione di u sui tre assi)- Direzione della proiezione assonometrica (obliqua o ortogonale al quadro assonometrico)

Elementi di riferimento:

ux

uy

uz

u’x

u’yu’z


La direzione assonometrica può assumere infinite posizioni nello spazio:

- Se la direzione è ortogonale al piano di quadro, l’assonometria si definisce ortogonale;

- Se i raggi sono diversamente inclinati rispetto al piano di quadro, la assonometria si dice obliqua.

Ulteriori elementi di classificazione delle proiezioni assonometriche:

Gli angoli che formano tra di loro nella rappresentazione assonometrica i tre assi cartesiani x’, y’, e z’, che nella realtà sono tra di loro ortogonali (x, y, z).

Al variare delle unità metriche, l’assonometria prende il nome di isometrica (o monometrica), dimetrica o, infine, trimetrica, a seconda che l’unità di misura sia uguale su tutti e tre gli assi, solo su due, o differente sui tre assi.


PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria ortogonale

Un’assonometria è ortogonale quando la direzione dei raggi

proiettanti è ortogonale al piano di quadro π.

Si considerino i piani di

riferimento π1, π2 e π3 ed un quarto piano generico

π.

Il piano di quadro π interseca i tre piani fondamentali lungo tre rette, dette tracce.

La figura delimitata dalle tre tracce, il triangolo ABC, è definito triangolo fondamentale o triangolo delle tracce.


Si proiettano, da un centro di proiezione all’infinito e in direzione ortogonale al piano assonometrico π, i segmenti AO, BO, CO sul triangolo delle tracce.

Si avrà:

- O’, ortocentro del triangolo delle tracce, proiezione di O sul triangolo delle tracce;

-x’, y’, z’ (assi assonometrici), altezze del triangolo delle tracce, proiezioni di x, y, z sul triangolo stesso.


Il raggio proiettante è ortogonale a

π, ma non al sistema di assi cartesiani.

Pertanto, gli assi di riferimento x, y, z sono ortogonali tra di loro, ma

proiettati su π formano tre angoli diversi, maggiori di 90°.

In funzione dell’inclinazione del piano assonometrico rispetto ai piani fondamentali si possono ottenere i tre differenti tipi di assonometria: isometrica, dimetrica e trimetrica.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria ortogonale isometrica

α = β = γ = 120°u’x = u’y = u’z = u

Assonometria ortogonale isometrica di un cubo.Di facile impiego perché si riportano sui 3 assi le misure in vera grandezza.

u

u u

Il triangolo delle tracce ABC è equilatero.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria ortogonale dimetrica

α= γ = 131° 30’β = 97°

u’x = ½ uu’y = u’z = u

Assonometria ortogonale dimetrica di un cubo.Usata soprattutto nel disegno meccanico

½ u

u

u

Il triangolo delle tracce ABC è isoscele.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria ortogonale trimetrica

α = 157°β = 95° γ = 108°

u’x = 1/2 uu’y = 9/10 uu’z = u

9/10 u½ u

u

Il triangolo delle tracce ABC è scaleno.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria obliqua

Un’assonometria è obliqua quando la direzione dei raggi proiettanti è obliqua rispetto al piano di quadro π.Mentre l’assonometria ortogonale deve essere costruita, in genere, con il rapporto di riduzione, nell’assonometria obliqua questi vincoli non esistono e la proiezione gode di completa libertà.Ciò è possibile sulla base di un teorema enunciato intorno alla metà dell’Ottocento.

Teorema di PohlkeScelti sul piano di quadro π tre segmenti U’x, U’y e U’z, uscenti da uno stesso punto O’, aventi lunghezze e direzioni arbitrarie, esiste sempre un centro di proiezione all’infinito, individuato dalla direzione l, tali che essi possono sempre essere considerati come proiezione su π, dalla direzione l, di tre segmenti di uguale lunghezza U e a due a due perpendicolari tra loro.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria obliqua

È dunque possibile definire innumerevoli tipi di assonometrie, caratterizzate dal variare degli angoli della terna cartesiana e dai diversi parametri metrici.

Anche nell’assonometria obliqua si costruiscono sistemi isometrici, dimetrici e trimetrici.

L’assonometria è spesso eseguita senza scala di riduzione assonometrica, con vantaggio grafico evidente, ma rischiando di ottenere un’immagine deformata.

Nell’assonometria obliqua la terna di assi cartesiani può anche essere disposta con due assi paralleli al piano di quadro.

Nell’assonometria ortogonale, invece, la terna cartesiana non può essere disposta con uno o più assi paralleli al piano di quadro, in quanto si ricadrebbe nel metodo delle proiezioni ortogonali.

Nella pratica professionale si ricorre a un numero limitato di rappresentazioni assonometriche oblique.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria obliqua monometrica convenzionale, detta MILITARE

È un’assonometria molto usata in architettura, in quanto consente di disegnare la vera forma della pianta degli oggetti.

È definita monometrica convenzionale perché le unità di misura dovrebbero variare di poco sui tre assi, per cui si è scelto, per convenzione, che esse siano uguali.

α = 90°

β = 120°

γ = 150° u’x = u’y = u’z = u

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria obliqua CAVALIERA dimetrica

È la più diffusa.

Si mantiene inalterata la forma della vista frontale (prospetto).

α = 150°

β = 120°

γ = 90°

u’x = u’z = uu’y = ½ u

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria obliqua CAVALIERA MILITARE

Questo sistema può essere :isometrico

oppure dimetrico

α = 90°

β = γ = 135°

u’x = u’y = u’z = u

u’x = u’y = uu’z = ½ u

Il primo è di più rapida esecuzione, ma l’immagine risulta deformata rispetto a quella ottenuta con l’assonometria dimetrica (a cui si riferiscono i disegni).

PROIEZIONI ASSONOMETRICHERappresentazione del punto

La rappresentazione del punto P è data mediante la rappresentazione assonometrica vera del punto P’ e dalle sue tre proiezioni P’1, P’2 e P’3.

La posizione di P rispetto agli assi cartesiani può essere desunta dalle proiezioni ortogonali: i segmenti O’1, O’2 e O’3 sono (tenuto conto dell’eventuale variazione di rapporto metrico su ciascun asse) le distanze di P dai piani xy, yz e xz.In particolare O’1 (su z’) è la quota di P, O’3 (su y’) l’aggetto

rispetto al piano xz, analogamente O’2 (su x’) l’aggetto rispetto al terzo piano di proiezione yz.Dati 1, 2 e 3 si conducono da essi le parallele ai tre assi per trovare, per intersezione, P’ e le tre proiezioni sui tre piani coordinati.


La rappresentazione del punto è data da 4 immagini (P’, P’1, P’2 e P’3) ma ne sono sufficienti solo 2 per ricavare le altre.

Dati, ad esempio, Q’ e Q’2, si conducono da Q’2 le parallele agli assi x’ e z’, per ottenere i punti 1 e 2.Si conduce da 1 la parallela a y’ e da Q’ la parallela a x’, per ottenere Q’3. Con analogo procedimento si ottiene Q’1.


Rappresentazione assonometrica di punti disposti in posizioni particolari rispetto alla terna cartesiana:

- punto Q posto sul piano xy;

- punto P appartenente all’asse z.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria cavaliera di solidi

Dalle proiezioni ortogonali si traggono gli elementi geometrici per la rappresentazione assonometrica.Nelle assonometrie le misure della profondità, riportate sull’asse y, sono ridotte della metà.

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometria cavaliera di solidi

PROIEZIONI ASSONOMETRICHEAssonometrie oblique monometriche di solidi

Militare Cavaliera militare

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