64

Intersecare due solidi significa

fonderli in un unico volume, che

assume nuove caratteristiche

spaziali.

Quando i due solidi si intersecano

determinano una compenetrazione

che può essere completa o

parziale.

INTERSEZIONI DI SOLIDI

Nelle proiezioni ortogonali

il procedimento consiste nel

disegnare i due solidi e il loro confine

reciproco detto linea di intersezione.

65

Attraverso le proiezioni

ortogonali possiamo

individuare gli elementi

caratteristici della

compenetrazione dei due

solidi.

Proiettiamo quindi i due cubi,

uno alla volta sui piani

fondamentali.

Avremo così in evidenza il

nuovo volume, nonché le

porzioni di spazio comuni ai

due solidi.

Viene a delinearsi nelle due

proiezioni la linea di

intersezione che limita il

confine fra i due cubi.

INTERSEZIONI DI SOLIDI

Intersezioni di due cubi ruotati fra loro.

3

A'= B' C'= D'E'= F'

G'= H'

B"

A"

C"

D"

F"= H"

E"= G"

H'"

G'"E'"

F'"B'"=C'"

A'"=D'"

LT

1

2

O

66

Intersezione di un prisma

triangolare orizzontale con un

parallelepipedo verticale.

Le due superfici hanno gli assi che

non si incontrano.

Con l’ausilio della figura disegnata

su un piano laterale (definibile

anche piano ausiliario), che

rappresenta la proiezione sopra un piano normale a p1 restituidce

l’immagine sul piano ausiliario, dei

solidi visti da sinistra, si

determinano, per punti, le

proiezioni delle linee di

intersezione delle due superfici.

INTERSEZIONI DI SOLIDI

LT

1

2

F" G"E" H"

F'

A'

C'

D'

B'

E'

A"

B"

C"

D"

E"

F" A*= F*

E*= B*

C*

D*

1

2

67

documento didattico / appunti di

GEOMETRIA DESCRITTIVA

PROIEZIONI ASSONOMETRICHE:

68

ASSONOMETRIE

generalità

Il sistema fornisce un’immagine dell’oggetto

con i rapporti proporzionali e ne descrive

l’aspetto spaziale, anche se con inevitabili

effetti di distorsione ottica. Il quadro assonometrico (p), è il piano ideale

su cui si forma la visione assonometrica.

La sua inclinazione rispetto all’oggetto è

determinante per il tipo di rappresentazione che

si vuole realizzare.

Il metodo delle proiezioni ortogonali di Monge, fornisce tutti gli elementi, metrici e quindi

dell’immagine, per una rappresentazione bidimensionale.

L’assonometria fornisce una proiezione che, a differenza delle proiezioni ortogonali,

presenta una sola immagine dell’oggetto, con alcune caratteristiche delle proiezioni

ortogonali, ma con il sostanziale vantaggio di una rappresentazione tridimensionale.

69

ASSONOMETRIE

generalità

Il termine assonometria deriva dal fatto che in essa vengono proiettate, insieme alla figura,

anche gli assi di riferimento spaziali.

I raggi proiettanti provengono da un punto all’infinito e possono incidere il piano assonometrico

ortogonalmente, originando le assonometrie ortogonali, si ha l’assonometria obliqua se i raggi

sono incidenti il quadro con angolo diverso da 90°.

Nel caso questi giungano in modo ortogonale, esiste un piano particolare su cui potere vedere

tutti i piani ortogonali di Monge, in modo da potere ricomporre su questo piano “particolare” la

figura. Un piano del genere risulta posizionato obliquo nel primo diedro.

70

ASSONOMETRIE

generalità

In questo piano “particolare”

proiettiamo gli assi e ricomponiamo

l’immagine dell’oggetto.

71

ASSONOMETRIA ORTOGONALE

generalità

La proiezione degli assi sul piano determina angoli ben precisi che mi consentono di ricostruire

l’oggetto con rapporto fisso lungo i 3 assi.

In questo caso abbiamo assi inclinati di 120° o di 30° se riferiti ad una orizzontale. Questo è il

caso dell’assonometria ortogonale isometrica, ovvero con rapporto 1:1:1.

72

ASSONOMETRIA ORTOGONALE

generalità

POSIZIONE DEL QUADRO RISPETTO ALL’OGGETTO

Se il quadro assonometrico si trova dietro l’oggetto le inclinazioni degli assi sono da riportare

nella parte inferiore rispetto all’orizzontale (fig. sx.), se posto avanti l’oggetto, sono da orientare

nella parte superiore (fig. dx.).

73

ASSONOMETRIA ORTOGONALE

assonometria isometrica

Se la porzione del quadro assonometrico formata dall’intersezione con p1, p2, e p3 è un triangolo

equilatero, gli assi x, y e z, proiettati su di esso

formano tra loro angoli uguali a 120°.

L’assonometria che così si ottiene è detta

assonometria isometrica (l’unità di misura è

uguale su tutti e tre gli assi).

L’unità di misura riportata su uno qualunque dei tre

assi subisce un uguale rapporto di riduzione.

z

O

x y0,82

0,82

0,82

120°

120°

120°

74

ASSONOMETRIA ORTOGONALE

assonometria dimetrica Se il quadro assonometrico forma con i piani di

proiezione un triangolo isoscele, i tre assi x, y e z,

proiettati su di esso avranno fra loro due angoli uguali e

uno disuguale.

L’assonometria costruibile su un tale sistema di assi si

dice assonometria dimetrica.

I tre angoli formati dalla proiezione degli assi sul quadro

sono due uguali e uno disuguale.

L’unità di misura in questo caso subisce lo stesso

rapporto di riduzione sui due assi che delimitano l’angolo

differente e un diverso rapporto di riduzione su z.

assonometria trimetrica Se l’intersezione fra il quadro assonometrico e i piani di

proiezione forma un triangolo scaleno, gli assi x, y e z

proiettati su di esso formeranno tra loro angoli disuguali.

L’assonometria allora si dice trimetrica e cioè che

l’unità di misura è differente su i tre assi.

In questo caso i tre angoli formati dagli assi sono

differenti fra loro. E quindi, su ognuno di essi si ha un

rapporto di riduzione diverso.

129°

0,91 yx

102°

129°

O

0,57

z

0,91

z

O

yx

0,91

0,77

0,64

110°

145°

105°

75

ASSONOMETRIA OBLIQUA

Nelle assonometrie oblique, i raggi incidono il piano in modo obliquo quindi, in teoria, potremmo prendere

qualsiasi piano su cui ricreare l’immagine assonometrica dell’oggetto.

Questo ci permette di disporre il piano in modo arbitrario rispetto al diedro di Monge, ossia verticalmente

oppure orizzontalmente o inclinato a piacere. Ovviamente per una rappresentazione utile, occorre

prendere in modo idoneo l’inclinazione del piano assonometrico, per scongiurare deformazioni tali degli

oggetti la cui rappresentazione non risulterebbe giustificabile.

Piano assonometrico dietro

l’oggetto.

Piano assonometrico avanti

l’oggetto.

76

ASSONOMETRIA CAVALIERA

Alle assonometrie oblique appartiene l’assonometria cavaliera.

Nell’assonometria cavaliera il quadro assonometrico si assume parallelo ad uno dei piani fondamentali. Generalmente, per comodità si prende parallelo a p2. L’obliquità dei raggi proiettanti assicura la

necessaria inclinazione tra gli assi x, y e z.

L’assonometria ha la caratteristica di avere una faccia del solido parallela al piano del foglio con gli

assi x e z rispettivamente orizzontale e verticale.

L’asse y può formare con x e z angoli uguali o diversi.

Possono essere di tipo monometrica o dimetrica. Nella dimetrica la riduzione è operata lungo l’asse Y.

Quando un’assonometria cavaliera è particolarmente

ricca di annotazioni, può

capitare che la

rappresentazione appaia

deformata, specialmente

nelle linee dei contorni in

un angolo del piano

frontale. Progetto di J.

Stirling per un isolato di

Berlino.

77

Assonometria cavaliera con l’asse y inclinato di 60° (120°) rispetto a x o z.

Alla visione frontale di una faccia dell’oggetto sul piano individuato dagli assi x e z

riportata con misure reali si associa l’asse y inclinato di 60° (120°).

Si usa la convenzione di ridurre le misure a 1/3 (x:y:z=1:1/3:1).

assonometria obliqua cavaliera

Questa assonometria è ruotata a

desta di 60°, lungo la facciata

longitudinale, e comprende diversi

accorgimenti grafici.

Progetto di J. Stirling per un isolato

di Berlino.

z

x

y

1

1

0,33

120°

90°

150°

O

78

assonometria obliqua cavaliera

Assonometria cavaliera

con l’asse y inclinato di 45° (135°) rispetto a x o z.

Per convenzione si dimezzano le misure sull’asse y

(x:y:z=1:1/2:1) e ciò facilita di molto l’esecuzione

dell’assonometria.

Assonometria cavaliera con l’asse y inclinato di 30°

(150°) rispetto a x o z.

Alla solita visione frontale di una faccia giacente sul piano

individuato dagli assi x e z, con misure non ridotte, si associa

all’intersezione degli assi l’asse y inclinato di 30° rispetto a x

o a z, a seconda che si voglia una visione dal basso o

dall’alto.

90°

z

O

1

1

0,5

135°

135°

y

x

90°

z

x O

1

1

1

y

150°

120°

79

assonometria

Questo progetto di Mark Lintott, rappresenta l’interno di un negozio

la cui pianta è ruotata di 45°. E’ stata praticata una sezione a livello

della copertura per permettere l’analisi della struttura interna,

mentre la soluzione della facciata assume un significato secondario

rispetto all’elaborato. Inoltre la decisione di ruotare la pianta verso

destra dipende dalla necessità di descrivere l’ubicazione della scala.

In questo tipo di assonometria, generalmente viene utilizzata la base

dalla quale viene proiettata, secondo i tre assi principali, l’altezza

relativa agli elementi che costituiscono la composizione, senza

rapporto di riduzione. Qui la pianta è ruotata di 30° e 60° rispetto

all’orizzontale. Lo scorcio di destra assume particolare importanza e

la proiezione descrive soprattutto i dettagli costruttivi relativi alla

soluzione d’angolo. A. Sartoris, progetto “Nostra Signora del faro”,

Losanna 1931.

80

ASSONOMETRIA OBLIQUA

monometrica convenzionale

Questo tipo di assonometria si definisce monometrica

convenzionale in quanto, per praticità, non viene

applicato alcun rapporto di riduzione. Le misure su

ognuno dei tre assi si riportano invariate.

Ciò che ne risulta è un’immagine leggermente

deformata in altezza, per cui forse sarebbe opportuna

una lieve riduzione.

E’ tuttavia il tipo di rappresentazione assonometrica più

usato perché fornisce una visione asimmetrica, senza

occasioni di coincidenza di vertici o spigoli, e di forte

effetto di tridimensionale.

Il quadro assonometrico è parallelo al piano di riferimento p1 e gli assi x, y e z formano fra loro angoli

di 90°, 120° e 150°. x

y

z

1

O

1

1

90°

150°

120°

90°

x

z

y

81

assonometria obliqua monometrica

Assonometrie dello stesso edificio con piani di riferimento diversi,

progetto IMA a Ferrara di C. Aymonino, 1982.

82

assonometria obliqua monometrica

Essendo uno “strumento“ efficace per comprendere le relazioni fra i

diversi componenti oggetti di un singolo spazio o fra le diverse

componenti di un singolo oggetto, le assonometrie vengono spesso

proposte dai progettisti con l’intendo di studiare i dettagli delle

proprie soluzioni. Questo spaccato assonometrico è tratto dal

progetto del teatro “della Compagnia di Firenze” di A. Natalini, 1987.

83

assonometria obliqua monometrica

Spaccati

assonometrici di

due rilievi

architettonici di

P. Portoghesi la

chiesa di

S. Eustachio e la

chiesa di S.Carlino

del Borromini a

Roma.

84

L’USO E LA SCELTA DELL’ASSONOMETRIA.

Passate in rassegna quasi tutte le tipologie delle assonometrie di uso più comune,

daremo qualche cenno ai criteri di scelta di tale sistema di rappresentazione.

Bisogna affermare intanto che, nel disegno architettonico, l'assonometria ha quasi sempre

funzione complementare, servendo per illustrare particolari significativi o per dare un'idea

d'insieme dell'oggetto architettonico.

Le viste assonometriche vengono fatte quasi sempre a posteriori cioè dopo la rappresentazione

in proiezioni ortogonali dell'oggetto, e possono risultare utili per verificare alcune scelte di

progetto o per controllare la completezza dei dati di rilievo.

Infine l'assonometria, come abbiamo cercato di dimostrare, non è affatto un metodo particolare di

rappresentazione, ma si pone piuttosto come la scelta di guardare un oggetto da un punto di vista

più scomodo per ottenerne un'immagine, per certi versi più rappresentativa.

Essendo l’assonometria strettamente derivata dalle proiezioni ortogonali, anche qui è

possibile “misurare” l’oggetto ritratto, infatti, pur essendo l’immagine assonometrica non in

vera grandezza, conoscendo i fattori di riduzione applicati è possibile ricavare l’immagine in vera

grandezza.

85

LE SUPERFICI. Generalità

Generalmente per superficie intendiamo

quell’elemento che delimita

esternamente un corpo solido.

Nella geometria elementare le superfici sono considerate, per astrazione,

quali entità prive di spessore o di spessore infinitamente piccolo,

sono classificate come luogo geometrico di punti che soddisfano determinate

condizioni e, in quanto tali, studiate con i metodi della geometria analitica.

Esse possono essere considerate anche come generate dal movimento nello

spazio di una linea retta o curva.

le superfici possiamo considerarle geometricamente come generate da una

linea retta o curva (generatrice) che si sposta nello spazio secondo una

direzione definita da un’altra linea, retta o curva(direttrice) o che ruota intorno

ad un asse (asse della superficie).

86

SUPERFICI. Classificazioni

Possiamo classificare le superfici sia con riferimento al tipo della linea

generatrice che al tipo di movimento che essa compie.

Avremo, pertanto, in base ad un primo criterio di classificazione:

le Superfici Rigate, quando la linea generatrice è una linea retta;

le Superfici Curve , quando la linea generatrice è una linea curva;

In base a modalità di formazione avremo un secondo criterio di classificazione:

le Superfici di Traslazione, quando la linea generatrice si muove

parallelamente a sé stessa lungo una linea direttrice;

le Superfici di Rotazione, quando la linea generatrice ruota intorno ad un asse

rettilineo;

le Superfici Elicoidali , quelle generate da un movimento della linea

generatrice che ruota intorno ad una retta, spostandosi contemporaneamente

secondo la direzione della stessa retta.

87

SUPERFICI DI TRASLAZIONE. Esempi

Le Superfici di TRASLAZIONE

sono generate dal movimento

nello spazio di una linea retta o

curva, lungo una o più linee

curve.

La linea che la origina si chiama

"generatrice"; la curva o le

curve lungo la quale essa compie

il movimento di traslazione si

chiama "direttrice".

La stessa superficie può essere

generata dal movimento di

traslazione della curva direttrice,

assunta come "generatrice",

lungo una linea assunta come

direttrice.

Semicilindro circolare retto

88

35. SUPERFICI DI ROTAZIONE.

Le Superfici di ROTAZIONE si ottengono

dalla rotazione intorno ad un asse (asse

della superficie) di una linea retta o curva

(generatrice) .

Ogni punto della generatrice descrive,

con movimento di rotazione intorno all'asse, una

circonferenza che si chiama parallelo.

Le sezioni determinate dai piani passanti per l'asse si

chiamano meridiani.

Tutti i meridiani sono eguali, essendo costituiti da sezioni

fatte secondo l'asse.

I paralleli generati dai punti della generatrice più distanti

dall'asse di rivoluzione, prendono il nome di paralleli

equatoriali, quelli più vicini di paralleli gola. Il numero

dei paralleli dipende dalla forma della generatrice.

meridiano

principale

parallelo estremo

parallelo gola

O"

O'

r"

r'

89

SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esempi

Esempi di superfici di Rotazione sono:

Si chiama superficie torica una superficie generata da una

circonferenza, contenuta in un piano verticale, che ruota

con movimento di rivoluzione intorno ad un asse verticale.

Il parallelo massimo è A B, quello minimo è C D.

A'

A" B"

B'C'

C" D"

D'O1' O1'

O1"O1"

90

SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esempi

Sono esempi di superfici di ROTAZIONE

anche: l' ellissoide, il paraboloidie e l' iperboloide,

In quanto la linea generatrice è sghemba rispetto all’asse di

rotazione.

91

SUPERFICI ELICOIDALI.

Si chiama Superficie ELICOIDALE o ELICOIDE quella superficie

generalmente considerata come generata da una linea passante

per l'asse e per i punti di un'elica (direttrice).

La retta che ruota intorno l’asse ha un moto

anche lungo questo che descrive il

“passo”dell’elicoidale.

92

SUPERFICI ELICOIDALI. Esempi

Quando a ruotare intorno ad un asse è una figura piana, questa genera nello spazio un solido.