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Campi Elettromagnetici e Circuiti – Propagazione Radiata, a.a. 2019/20 Prof. Luca Perregrini Antenne, pag. 1

CORSO DICAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI

PROPAGAZIONE RADIATA

Università di Pavia, Facoltà di [email protected]

http://microwave.unipv.it/perregrini/

Prof. Luca Perregrini

Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica


ANTENNE


SOMMARIO• Guadagno

• Campo irradiato da un’antenna

• Efficienza e impedenza dell’antenna

• Caratteristiche delle antenne a filo (dipoli, semidipoli, spire)

• Antenna a fessura risonante (“slot antenna”)

• Antenne paraboliche

• Cenni sulle guide troncate e sulle antenne a tromba

• Antenne a schiera

• Schiera lineare uniforme

• Il teorema di reciprocità

• Antenne riceventi (area efficace, fattore di polarizzazione)

• Formula di Friis


INTRODUZIONEIl fenomeno della radiazione si manifesta in tutte le strutture aperte in cuicircolano correnti elettriche. Aumentando la frequenza tale fenomeno siaccentua perché le dimensioni dei circuiti non sono trascurabili rispetto a 𝜆𝜆.

I circuiti che emettono radiazione elettromagnetica sono anche suscettibilidi accoppiare disturbi provenienti dal mondo esterno sotto forma di ondeelettromagnetiche. In generale, per garantire il corretto funzionamento diun circuito questi fenomeni devono essere minimizzati.

Tuttavia, la radiazione elettromagnetica può essere massimizzata perrealizzare un collegamento senza fili (wireless) tra un apparatotrasmittente e uno ricevente.

Le antenne sono componenti progettati per irradiare e/o ricevere in modoefficiente e controllato l’energia elettromagnetica nelle direzioni volute.


INTRODUZIONELa struttura delle antenne varia molto secondo la frequenza d’impiego:

• frequenze basse: antenne a filo o traliccio;

• frequenze alte (microonde e onde millimetriche): guide d’onda troncate,antenne a tromba, antenne a fessura, antenne paraboliche

e il tipo di applicazione:

• necessità di distribuire la radiazione in un’ampia porzione di spazio (es.:ripetitori radio-televisivi, stazioni radio base di cellulari, telefoni cellulari):antenne a filo, antenne a fessura, antenne stampate, schiere di antennea simmetria assiale.

• necessità di concentrare la radiazione in una direzione (es.: radar, pontiradio, antenne per satelliti, antenne per radioastronomia): antenneparaboliche, antenne a schiera, lenti dielettriche. In queste applicazionile dimensioni sono sempre ≫ 𝜆𝜆.


INTRODUZIONELa struttura delle antenne può essere molto diversa:


INTRODUZIONEDiverse antenne possono coesistere nello stesso sito


INTRODUZIONENonostante la grande varietà strutturale, i concetti basilari su cui è fondatoil funzionamento di tutte le antenne sono identici. Saranno definiti iparametri fondamentali che caratterizzano qualunque antenna (guadagno,polarizzazione e impedenza d’ingresso).

Le proprietà delle antenne in ricezione sono strettamente legate a quelle intrasmissione: note queste ultime, le prime sono immediatamentedeterminate.


GUADAGNOSia 𝑃𝑃 la potenza che il trasmettitore immetteall’ingresso di un’antenna trasmittente (potenzad’ingresso).

radiatore isotropico idealestruttura senza perdite capace di irradiare la potenza uniformemente in tutte le direzioni

dato che l’angolo solido corrispondente a tutto lo spazio è 4𝜋𝜋.

l’intensità di radiazione sarebbe

Se l’antenna fosse un

𝑃𝑃TX

antenna


GUADAGNODetta 𝐾𝐾(𝜃𝜃,𝜙𝜙) l’intensità di radiazione realmenteprodotta dall’antenna nella direzione 𝜃𝜃,𝜙𝜙, si puòsempre scrivere 𝑃𝑃TX

antenna

dove 𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 è il guadagno massimo, comunemente detto guadagno, senzaulteriori specificazioni, permette di determinare l’intensità di radiazionenella direzione in cui la radiazione è più intensa.

dove 𝑔𝑔(𝜃𝜃,𝜙𝜙) è il guadagno dell’antenna nella direzione 𝜃𝜃,𝜙𝜙.

Introducendo

Si può scrivere


GUADAGNO

𝑃𝑃TX

antenna

Pertanto il guadagno in un direzione generica viene immediatamentedeterminato, noti il guadagno massimo e il diagramma di radiazione.

intensità di radiazione normalizzata (rappresentata nel diagramma di radiazione)

È importante comprendere che il guadagno di un’antenna non è collegatoad un aumento della potenza. Esso descrive la capacità dell’antenna diconvogliare la potenza in certe direzioni preferenziali, piuttosto chedistribuirla uniformemente in tutte le direzioni

Le antenne ad elevato guadagno vengono dette antenne direttive.


GUADAGNO

La potenza irradiata dai due radiatori è identica, e corrisponde al volumesotteso al grafico (immaginando il grafico in 3D).

𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔 = 1

diagramma di radiazione del radiatore isotropico

diagramma di radiazione del radiatore direttivo


POLARIZZAZIONESi definisce vettore di polarizzazione di un’antenna il fasore

dove 𝑬𝑬 è il campo elettrico prodotto dall’antenna nella zona di radiazione.

(è evidente che )

�𝒑𝒑 ha la stessa polarizzazione del campo elettrico, e pertanto è trasversalerispetto alla direzione di propagazione.Dall’espressione del campo elettrico in funzione del vettore di radiazione 𝑵𝑵si deduce

Analogamente, nel caso della radiazione da aperture, �𝒑𝒑 è legato a 𝑳𝑳 da

�𝒑𝒑 dipende solo dalla direzione d’osservazione e non dalla distanza.


CAMPO IRRADIATO DA UN’ANTENNAL’espressione del campo elettrico 𝑬𝑬 irradiato da un’antenna nella zona diradiazione (𝑟𝑟 ≫ 𝐷𝐷, 𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆, 𝑟𝑟 > 2𝐷𝐷2/𝜆𝜆) risulta quindi

𝑬𝑬 = �𝒑𝒑 𝑬𝑬 e𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜆𝜆 𝑟𝑟 =

Inoltre si ha

Le proprietà di radiazione di un’antenna sono completamentecaratterizzate se si conoscono il guadagno e il diagramma di radiazioneassieme al vettore di polarizzazione.


EFFICIENZA E IMPEDENZA DELL’ANTENNALa strutture che costituiscono le antenna sono realizzate con buoniconduttori e dielettrici a basse perdite. Quindi, non tutta la potenzad’ingresso viene irradiata, a causa delle perdite nella struttura dell’antenna.

dove 𝑃𝑃 è la potenza in ingresso all’antenna, mentre 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟è quella effettivamente irradiata nello spazio (𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 ≤ 𝑃𝑃).Se si conosce l’efficienza 𝜉𝜉 e il diagramma di radiazione 𝐾𝐾(𝜃𝜃,𝜙𝜙)/𝐾𝐾𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,allora il guadagno si può calcolare come

Se si escludono casi in cui 𝐾𝐾(𝜃𝜃,𝜙𝜙)/𝐾𝐾𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ha una semplice espressioneanalitica, il calcolo viene normalmente fatto con l’ausilio del calcolatore.

Si definisce efficienza dell’antenna il rapporto

𝑃𝑃TX

antenna

𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟

direttività


EFFICIENZA E IMPEDENZA DELL’ANTENNAL’antenna viene vista dal generatore come un carico

La potenza d’ingresso può essere espressa come𝑃𝑃TX

antenna


𝑍𝑍𝑖𝑖𝑛𝑛

dove 𝐼𝐼 è la corrente all’ingresso dell’antenna.Ricavando 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑛𝑛 si ottiene

dove

In molti tipi d’antenna l’efficienza è molto prossima a 1 (𝑅𝑅𝑟𝑟 = 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑛𝑛), e ilguadagno dipende solo dalla forma del diagramma di radiazione.

resistenza di radiazione dell’antenna


DIPOLO HERTZIANODallo studio della radiazione del dipolo hertziano si è ricavata l’intensità diradiazione

e la potenza irradiata


da cui si ricava il guadagno

e la resistenza d’ingresso

(da cui 𝑅𝑅𝑟𝑟 = 80𝜋𝜋2(𝐿𝐿/𝜆𝜆0)2 [Ω])


DIPOLO HERTZIANOPer completezza si riportano anche le espressioni del campo elettrico e delcampo magnetico

𝑟𝑟 ≫ 𝐷𝐷 𝑟𝑟 ≫2𝐷𝐷2

𝜆𝜆0

valide nella zona di radiazione

Da cui si deduce il versore di polarizzazione

(𝜒𝜒 è la fase della corrente 𝐼𝐼)

𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆0 prevalente perché il dipolohertziano è piccoli rispetto a 𝜆𝜆0


DIPOLO HERTZIANOÈ utile fare alcune considerazioni sull’impedenza e sull’efficienza del dipolohertziano e sulle conseguenze nelle applicazioni pratiche.

Inoltre, essendo simile ad un condensatore (per le “armature” poste alleestremità del filo), il dipolo hertziano mostra una reattanza d’ingressocapacitiva 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑛𝑛 in serie a 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑛𝑛.

Pertanto il carico equivalente è fortemente capacitivo, e può risultaredifficile da adattare alle linee di trasmissione utilizzate per la suaalimentazione.

Poiché 𝐿𝐿/𝜆𝜆0 ≪ 1, la resistenza è dell’ordine degli Ω o delle frazioni di Ω.

Inoltre, poiché 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 ∝ (𝐿𝐿/𝜆𝜆0)2 , sono necessarie correnti intense perirradiare potenze significative. Si ha quindi una potenza dissipata 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 pereffetto Joule non trascurabile rispetto a 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟. L’efficienza di radiazione 𝜉𝜉può discostarsi sensibilmente da 1, tanto più quanto minore è 𝐿𝐿/𝜆𝜆0.


DIPOLO HERTZIANOEsempio di realizzazione di un dipolo hertziano (configurazione originale).

Versione di Hertz Versione di Marconi


ANTENNE A SPIRANella pratica sono realizzate utilizzando 𝑁𝑁 spire. Dal punto di vista dellaradiazione, è equivalente a una singola spira alimentata con corrente 𝑁𝑁𝐼𝐼.




Dallo studio della radiazione di una spira,sostituendo 𝐼𝐼 → 𝑁𝑁𝐼𝐼, l’intensità di radiazione risulta

𝐾𝐾 =𝜂𝜂0 𝑁𝑁𝐼𝐼 2

2𝜋𝜋𝑎𝑎𝜆𝜆0

4

sin2𝜃𝜃 𝐾𝐾𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝜂𝜂0 𝑁𝑁𝐼𝐼 2

2𝜋𝜋𝑎𝑎𝜆𝜆0

4

𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑁𝑁𝐼𝐼 2


ANTENNE A SPIRAPer completezza si riportano anche le espressioni del campo elettrico e delcampo magnetico


𝜆𝜆0




𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆0 prevalente perché la spiraè piccola rispetto a 𝜆𝜆0

𝑁𝑁

𝑁𝑁


ANTENNE A SPIRAÈ utile fare alcune considerazioni sull’impedenza e sull’efficienza del dipolohertziano e sulle conseguenze nelle applicazioni pratiche.

Poiché (2𝜋𝜋𝑎𝑎)/𝜆𝜆0 ≪ 1, la resistenza è dell’ordine delle frazioni di Ω, a menodi utilizzare un elevato numero di spire.Inoltre 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 ∝ 𝑁𝑁2(2𝜋𝜋𝑎𝑎/𝜆𝜆0)4, quindi anche con molte spire sono necessariecorrenti intense per irradiare potenze significative. Si ha quindi unapotenza dissipata 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 per effetto Joule non trascurabile rispetto a 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟.Si nota però che 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟 ∝ 𝑁𝑁𝐼𝐼 2, mentre 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 ∝ 𝑁𝑁 𝐼𝐼 2. Pertanto l’efficienza diradiazione 𝜉𝜉 risulta

dove 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑′ , 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟′ e 𝜉𝜉′ sono i valori per una singola spira.È evidente che all’aumentare del numero di spire l’efficienza aumenta.


ANTENNE A SPIRAInoltre, l’antenna a spira è simile ad uninduttore e quindi mostra una reattanzad’ingresso induttiva 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑛𝑛 in serie a 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑛𝑛.

Pertanto il carico equivalente è fortemente induttivo (tanto più quantomaggiore è il numero di spire 𝑁𝑁), e può risultare difficile da adattare allelinee di trasmissione utilizzate per la sua alimentazione.


ANTENNE A SPIRAEsempi di antenne a singola spira o a spire multiple in diverse tecnologie


DIPOLO IN MEZZ’ONDADallo studio della radiazione del dipolo 𝜆𝜆/2 si è ricavata l’intensità diradiazione




𝑃𝑃𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝐼𝐼0

Per il dipolo 𝜆𝜆/2 l’efficienza è 𝜉𝜉 ≈ 1, grazie la fatto che a parità di potenzale correnti sono molto meno intense del dipolo o della spira.

La reattanza 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑛𝑛 ≈ 0 perché la struttura èpraticamente risonante. È facilmente adattabilead una linea di trasmissione.


DIPOLO IN MEZZ’ONDAPer completezza si riportano anche le espressioni del campo elettrico e delcampo magnetico


𝜆𝜆0




𝑟𝑟 ≫ 𝜆𝜆0 Le 3 condizioni si equivalgonoperché D = 𝜆𝜆0/2

𝑬𝑬 = �𝜽𝜽

𝑯𝑯 = �𝝓𝝓 𝐼𝐼0


DIPOLO IN MEZZ’ONDAEsempi di dipoli in mezz’onda

Dipolo “a gabbia” (cage dipole); radiotelescopio ucraino UTR-2 (banda difrequenze 8–33 MHz).La sezione del “filo” molto grandepermette di allargare la bandadell’antenna.

8 m

1.8 m


Corrente immagine

𝐼𝐼

𝐼𝐼

SEMIDIPOLII semidipoli sono costituiti da un solo braccio e da un piano metallico,come mostrato in figuraIl piano viene assimilato ad un conduttoreperfetto e si fa l’ipotesi che sia tanto estesoda poter essere considerato indefinito.

Applicando la regola delle immagini, isemidipoli vengono trasformati in dipoli cheirradiano nello spazio libero.

Conduttore perfetto

𝐼𝐼


SEMIDIPOLIIl diagramma di radiazione del semidipolo differisce da quello del dipolointero per il solo fatto che la radiazione è nulla al di sotto del pianometallico. Pertanto, a causa dell’espressione del guadagno

a parità di corrente d’ingresso e di efficienza, il guadagno del semidipolo èil doppio di quello del dipolo intero, poiché la potenza irradiata è la metà.

Se il semidipolo è lungo 𝜆𝜆/4, il corrispondente dipolo intero è 𝜆𝜆/2 e quindisi ha


terreno

SEMIDIPOLI SU TERRENOL’importanza pratica dei semidipoli risiede nel fatto che il terreno puòessere considerato un buon conduttore (e quindi approssimato con unconduttore perfetto) purché la frequenza sia sufficientemente bassa.

𝑓𝑓 ≪𝜎𝜎

2𝜋𝜋𝜖𝜖0𝜖𝜖𝑟𝑟

Affinché l’approssimazionesia lecita deve valere


La conducibilità 𝜎𝜎 e la costante dielettrica relativa 𝜖𝜖𝑟𝑟 del suolo dipendonodal tipo di materiale, dal grado si salinità e da quello di umidità.

SEMIDIPOLI SU TERRENO

Nonostante la conducibilità 𝜎𝜎 del suolo sia molto minore di quella di unconduttore metallico, l’approssimazione è valida per lo studio delle antennea semidipolo che si ergono sul suolo purchè funzionino a bassa frequenza.

Nella tabella sono riportatialcuni valori caratteristici.

𝑓𝑓 ≪𝜎𝜎

2𝜋𝜋𝜖𝜖0𝜖𝜖𝑟𝑟

Usando i valori intermedi siottiene la frequenza limite

45.0360.0

12.960.0

0.40.93.6

51.418.060.018.0

720.0

𝝈𝝈𝟐𝟐𝟐𝟐𝝐𝝐𝟎𝟎𝝐𝝐𝒓𝒓(MHz)

La frequenza limite èmaggiore se il terrenoè bagnato.

Rhebergen et al. “Soil moisture distribution around land mines and the effect on relativepermittivity,” Proceedings of SPIE, Aug. 2002.


SEMIDIPOLIEsempi di semidipoli

CFRB Newstalk 1010 Toronto (1971). I 4 semidipolisono alti 168 m e trasmettono a 1010 kHz

Semidipolo sul tetto di un’automobile per

ricezione radio FM

I fili degli auricolari del cellularvengono usati come semidipolo(inusuale) per la ricezione radio FM


SEMIDIPOLO HERTZIANOEsempio di realizzazione di un dipolo hertziano per bassa frequenzasfruttando la conducibilità del suolo.


ANTENNA A FESSURA RISONANTE (SLOT)Spesso utilizzate nella banda delle microonde, consistono in una strettafessura ricavata su di un piano metallico, solitamente alimentata medianteuna guida d’onda. Quando la frequenza è prossima al valore per cui lalunghezza della fessura è circa mezza lunghezza d’onda, il campo sullafessura diviene molto intenso (risonanza) e si ha una radiazione sensibile.


ANTENNA A FESSURA RISONANTE (SLOT)Considerazioni teoriche, confortatedall’esperienza, mostrano che in questasituazione il campo tangenziale alla fessuraè sostanzialmente diretto secondo 𝑦𝑦 e cheesso ha la forma


ANTENNA A FESSURA RISONANTE (SLOT)La radiazione può essere studiata applicando la teoria delle aperture:

Si osserva che, poiché 𝑤𝑤 ≪ 𝜆𝜆, e𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜆𝜆 ≈ 1, da cui

e quindi, integrando per parti,


ANTENNA A FESSURA RISONANTE (SLOT)Infine si ottiene:

da cui

−𝜋𝜋2 < 𝜙𝜙 <

𝜋𝜋2


ANTENNA A FESSURA RISONANTE (SLOT)Il diagramma di radiazione risulta

Poiché differisce da quello del dipolo in mezz’onda per il solo fatto che lafessura non irradia nel semispazio 𝑥𝑥 < 0, a parità di efficienza il guadagnodella fessura è il doppio di quello del dipolo in mezz’onda:


ANTENNA A FESSURA RISONANTE (SLOT)Il campo di radiazione è:

−𝜋𝜋2

< 𝜙𝜙 <𝜋𝜋2=

�𝝓𝝓

= −�𝜽𝜽 −𝜋𝜋2 < 𝜙𝜙 <

𝜋𝜋2

e la polarizzazione risulta


ANTENNA A FESSURA RISONANTE (SLOT)Esempi di slot antenna:


GUIDE TRONCATEUna guida d’onda troncata irradia attraverso l’estremità aperta.L’andamento tipico del diagramma di radiazione di una guida circolaretroncata (nella banda monomodale) è mostrato in figura. Si nota che laradiazione è piuttosto concentrata intorno all’asse della guida e che si haradiazione apprezzabile anche all’indietro, nella regione 𝑧𝑧 < 0.

Sul piano 𝑥𝑥𝑧𝑧 la polarizzazione è lineare e tangente al piano stesso.


GUIDE TRONCATEIl guadagno di una guida circolare troncata in cui si propaga il modo TE11 èapprossimativamente:

Poiché la guida funziona nella banda monomodale, il raggio non puòessere né troppo grande, né troppo piccolo. In conseguenza di questovincolo il guadagno è tipicamente compreso fra 6.5 e 9.5.

dove 𝑎𝑎 è il raggio della guida.


GUIDE TRONCATELa guida circolare troncata permette di ottenere la polarizzazione circolare,lungo l’asse 𝑥𝑥. È sufficiente eccitare i due modi fondamentali degeneriTE11𝑆𝑆 e TE11𝐶𝐶 con uguale tensione modale e sfasamento pari a 90°.

I campi irradiati dai due modi l’ungo l’asse 𝑥𝑥 avranno identica ampiezza,polarizzazioni ortogonali e saranno in quadratura. Quindi la lorosovrapposizione costituirà un’onda polarizzata circolarmente.

C S


ANTENNE A TROMBACome si è visto nello studio delle antenne ad apertura, più ampia è lasuperficie dell’apertura e maggiore è il guadagno dell’antenna.

Pertanto, una guida troncata diviene più direttiva se la sua parte terminaleviene gradualmente allargata.

Le antenne di questo tipo prendono il nome di “trombe” (horn antenna).


ANTENNE A TROMBAEsempi di antenne a tromba


ANTENNE PARABOLICHENella banda delle microonde e delle onde millimetriche le antenne ad altadirettività sono spesso realizzate con un riflettore parabolico, che riflettel’onda sferica indirizzata su di esso da un radiatore primario poco direttivo(illuminatore) posto sul fuoco.

Le dimensioni del riflettoresono molto maggiori dellalunghezza d’onda, e l’otti-ca geometrica può essereusata per calcolare ilcampo di illuminazione diun’apertura in prossimitàdel riflettore. Per leproprietà geometrichedella parabola, il campoelettrico sull’apertura hafase costante.


ANTENNE PARABOLICHEConoscendo il diagramma di radiazione e la polarizzazionedell’illuminatore è possibile valutare il campo 𝑬𝑬𝑇𝑇 sull’apertura. Quiinteressa solo notare che – nell’approssimazione dell’ottica geometrica – ladensità della potenza che attraversa l’apertura è

Assumendo che tutta la potenza 𝑃𝑃 immessa nel radiatore primario vengairradiata sul riflettore parabolico e riflessa sull’apertura (nessuno spill-overe assenza di perdite), risulta


ANTENNE PARABOLICHEPoiché la fase del campo di illuminazione è costante, la radiazione èconcentrata in direzione perpendicolare all’apertura (asse 𝑥𝑥), in un angolosolido tanto più piccolo quanto maggiori sono le dimensioni dell’apertura.

dove

L’intensità di radiazione massima si ha nella direzione dell’asse 𝑥𝑥 e risulta


ANTENNE PARABOLICHESostituendo 𝑃𝑃 e 𝐾𝐾𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 nell’espressione del guadagno si ha

Per ottenere una sima del possibile guadagno massimi, supponiamo chel’illuminazione sia uniforme (𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇 e 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑧𝑧 costanti). Si ha quindi

𝑔𝑔𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =4𝜋𝜋𝜆𝜆2

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇2𝐴𝐴𝑚𝑚𝑎𝑎2 + 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑧𝑧 2𝐴𝐴𝑚𝑚𝑎𝑎2

𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇2 + 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑧𝑧 2 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑎𝑎

=4𝜋𝜋𝜆𝜆2𝐴𝐴𝑚𝑚𝑎𝑎

dove 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑎𝑎 è l’area dell’apertura che, in genere, coincide con l’area sottesadalla superficie parabolica (i raggi sono paralleli in prossimità del riflettore).

Il guadagno è molto elevato, perché le dimensioni dell’apertura sono moltomaggiori della lunghezza d’onda. Per esempio, con 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑎𝑎 = 1000𝜆𝜆 si avrebbeun guadagno di oltre 12000 (ovvero 40.8 dB).


ANTENNE PARABOLICHEPer determinare un’illuminazione uniforme dell’apertura si dovrebbe usareun radiatore primario con un diagramma di radiazione molto largo:

Questo ha due conseguenze negative:• si ha radiazione nella zona retrostante il riflettore, creando lobi posteriori

intensi, altamente deleteri in molte applicazioni• si perde potenza utile nella direzione di massimo


ANTENNE PARABOLICHENella realtà l’illuminazione è “rastremata” (l’intensità del campo diminuiscevicino al bordo dell’apertura):

I lobi laterali sono di livello minore ma il lobo principale del diagramma diradiazione risulta più largo di quello con l’illuminazione uniforme. Per questoil guadagno è minore e si introduce l’efficienza d’apertura 𝜁𝜁:

Comunemente 𝜁𝜁 = 0.5 ÷ 0.7.


ANTENNE PARABOLICHEEsempi di antenne paraboliche


ANTENNE A SCHIERAPer ottenere un’elevate direttività si realizzano antenne costituite daschiere di radiatori identici ed ugualmente orientati.

Alimentando con ampiezza e fase appropriate i singoli radiatori escegliendo opportunamente la loro posizione, si può avere interferenzacostruttiva delle onde da essi emesse solo in certe direzioni, così dacreare un’intensa radiazione concentrata intorno a tali direzioni.

I radiatori possono essere i più disparati. In genere, il singolo radiatore nonè direttivo.


ANTENNE A SCHIERARispetto ad altre antenne ad elevata direttività (es. antenne paraboliche) leschiere presentano i seguenti vantaggi:

• possibilità di sagomare il diagramma di radiazione secondo le esigenzeoperative;

• possibilità di modificare in maniera estremamente rapida la direzione incui è concentrata la radiazione (beam scanning), mediante il controlloelettronico della fase o della frequenza con cui vengono alimentati isingoli elementi (phased arrays);

• possibilità di irradiare potenze molto elevate, inserendo opportuniamplificatori nella rete di alimentazione (uno per radiatore o gruppo diradiatori).

A fronte di questi vantaggi si hanno notevoli complicazioni realizzative,specie nel caso delle grandi schiere, costituite da centinaia o migliaia dielementi.


ANTENNE A SCHIERAUna schiera di 𝑁𝑁 radiatori è ottenuta traslando un radiatore tipo postonell’origine, secondo i vettori 𝒓𝒓1, 𝒓𝒓1, … , 𝒓𝒓𝑁𝑁. Il radiatore tipo non coincidenecessariamente con uno degli elementi della schiera.


ANTENNE A SCHIERANella zona di radiazione, il campo del radiatore tipo con una prefissataeccitazione (eccitazione di riferimento) è dato da

Assumendo che non vi sia interazione fra i vari radiatori, l’andamento dellecorrenti o delle illuminazioni degli elementi della schiera è identico a quellodel radiatore tipo. Quindi i campi generati dai vari elementi differiscono daquello del radiatore tipo solo per la diversa posizione ed eccitazione deglielementi stessi. Pertanto, il campo generato dall’𝑛𝑛-esimo radiatore è

dove 𝐶𝐶𝑛𝑛 è un coefficiente complesso (coefficiente d’eccitazione) cherappresenta il rapporto fra l’eccitazione dell’ 𝑛𝑛 -esimo radiatore el’eccitazione di riferimento, e 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝜃𝜃𝑛𝑛 , 𝜙𝜙𝑛𝑛 sono le coordinate del puntod’osservazione rispetto al sistema di riferimento traslato in 𝑂𝑂𝑛𝑛.


ANTENNE A SCHIERASi assume che il punto di osservazione soddisfi la condizione per la zonadi radiazione dell’intera schiera (prevale 𝑟𝑟 ≫ 2𝐷𝐷2/𝜆𝜆, con 𝐷𝐷 dimensionedell’intera schiera).

da cui

Si possono fare le seguenti approssimazioni:


ANTENNE A SCHIERAApplicando la sovrapposizione degli effetti, il campo totale è dato dallasomma dei campi dei singoli radiatori:

Pertanto si possono definire la polarizzazione e l’intensità di radiazionedella schiera:

dove

Fattore di schiera

Infine si ha


ANTENNE A SCHIERARegola di Krauss: il diagramma di radiazione di una schiera può esseredeterminato riportando, direzione per direzione, i prodotti dei valori letti neldiagramma di radiazione del radiatore tipo 𝐾𝐾0(𝜃𝜃,𝜙𝜙) e nel diagramma diradiazione di una schiera di radiatori isotropici (SRI), posizionati ed eccitaticome gli elementi della schiera reale 𝐹𝐹(𝜃𝜃,𝜙𝜙) 2.

𝐾𝐾0(𝜃𝜃,𝜙𝜙) 𝐹𝐹(𝜃𝜃,𝜙𝜙) 2 𝐾𝐾 𝜃𝜃,𝜙𝜙 = 𝐾𝐾0(𝜃𝜃,𝜙𝜙) 𝐹𝐹(𝜃𝜃,𝜙𝜙) 2


ANTENNE A SCHIERAPoiché, di norma, gli elementi di una schiera sono poco direttivi, il fattore dischiera prevale e determina il diagramma di radiazione dell’intera schiera.

È opportuno sottolineare che un insieme di radiatori differenti noncostituiscono una schiera.

Analogamente, un insieme di radiatori identici che oltre alla traslazionehanno subito anche una rotazione, non costituiscono una schiera.

In questi casi si può condurre lo studio sovrapponendo i campi dei singoliradiatori, ma non è possibile definire il fattore di schiera.


ANTENNE A SCHIERAEsempi di schiere di antenne


SCHIERA LINEARE UNIFORMEÈ una classe particolare di antenne a schiera, costituita da 𝑁𝑁 radiatoriallineati ed equispaziati, e lo sfasamento 𝛿𝛿 dell’eccitazione fra un radiatoree il successivo è costante.

I coefficiente 𝑎𝑎𝑛𝑛 sono tutti reali e positivi e 𝛿𝛿 indica lo sfasamento fraelementi adiacenti.È utile osservare che


SCHIERA LINEARE UNIFORMEIl fattore di schiera risulta

Le direzioni di interferenza costruttiva, coincidenti con i massimi deldiagramma di radiazione, si hanno quando tutti i contributi sono in fase:

e cioè nelle direzioni

I valori 𝜓𝜓𝑚𝑚 descrivono superfici coniche intorno all’asse �𝒖𝒖.


SCHIERA LINEARE UNIFORME

Affinché vi sia una sola direzione di massimo, deve esistere un solo valoredi 𝑚𝑚 per il quale

Ricordando che −𝜋𝜋 < 𝛿𝛿 < 𝜋𝜋, non esiste alcuna soluzione se non esistequella per 𝑚𝑚 = 0, che implica

−1 < < 1

Inoltre, affinché non esistano soluzioni per nessun altro valore di 𝑚𝑚, nondevono esistere quelle per 𝑚𝑚 = ±1, da cui la condizione


SCHIERA LINEARE UNIFORMERiassumendo, se si vuole avereil lobo principale in direzione 𝜓𝜓0(superficie conica), si deveimporre la condizione

Inoltre, per evitare la presenza di altri lobi di pari intensità (grating lobes)deve anche valere la condizione

Per determinare il diagramma di radiazione della schiera bisogna tenerconto delle caratteristiche del singolo radiatore (poco direttivo), che deveirradiare nella direzione di massimo del fattore di schiera.


SCHIERA LINEARE UNIFORME

assenza di grating lobes presenza di grating lobes

>


SCHIERA LINEARE UNIFORME BROADSIDEMassima interferenza costruttiva in direzione perpendicolare all’asse diallineamento dei radiatori 𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋/2.

Per realizzare questa condizione lo sfasamentofra le eccitazioni dei radiatori deve essere

= 0

Inoltre, per garantire l’assenza di grating lobesdeve essere

= 𝜆𝜆

Solitamente si sceglie 𝑑𝑑 = 0.75𝜆𝜆.

𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋/2


SCHIERA LINEARE UNIFORME ENDFIREMassima interferenza costruttiva in direzione dell’asse di allineamento deiradiatori 𝜓𝜓0 = 0 o 𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋.

Per realizzare questa condizione lo sfasamentofra le eccitazioni dei radiatori deve essere

Inoltre, per garantire l’assenza di grating lobesin entrambe le configurazioni deve essere

=𝜆𝜆2

𝜓𝜓0 = 0

𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋


SCHIERA LINEARE UNIFORMESe si considera una schiera lineare uniforme con le eccitazioni di ugualeampiezza (𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑎𝑁𝑁 = 1), è possibile studiare analiticamente ildiagramma di una schiera di radiatori isotropici ( 𝐹𝐹(𝜃𝜃,𝜙𝜙) 2).

Ricordando che δ = 2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆

cos𝜓𝜓0, il fattore di schiera diventa

𝐹𝐹 = �𝑛𝑛=1

𝑁𝑁

𝑎𝑎𝑛𝑛e𝑗𝑗(𝑛𝑛−1) 2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−𝛿𝛿 = �

𝑛𝑛=1

𝑁𝑁

e𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0

𝑛𝑛−1

Per le proprietà della serie geometrica si ottiene

𝐹𝐹 =e𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0

𝑁𝑁− 1

e𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0 − 1

=e𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0

𝑁𝑁/2− e𝑗𝑗

2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0

−𝑁𝑁/2


1/2− e𝑗𝑗

2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0

−1/2e𝑗𝑗2𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0

𝑁𝑁/2


1/2


SCHIERA LINEARE UNIFORMEe per la formula di Eulero diventa

𝐹𝐹 =sin𝑁𝑁𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos𝜓𝜓 − cos𝜓𝜓0

sin𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos𝜓𝜓 − cos𝜓𝜓0e𝑗𝑗(𝑁𝑁−1)

𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos 𝜓𝜓−cos 𝜓𝜓0

da cui

𝐹𝐹 2 =sin2 𝑁𝑁𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos𝜓𝜓 − cos𝜓𝜓0

sin2 𝜋𝜋𝑑𝑑𝜆𝜆 cos𝜓𝜓 − cos𝜓𝜓0

per costruzione il massimo di radiazione si ha per 𝜓𝜓 = 𝜓𝜓0 e, considerandoil limite per 𝜓𝜓 → 𝜓𝜓0, si ha

𝐹𝐹 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2 = 𝑁𝑁2

Il diagramma di radiazione su qualunque piano passante per l’asse dellaschiera si ottiene studiando la funzione

𝑓𝑓(𝜓𝜓) =𝐹𝐹(𝜓𝜓) 2

𝐹𝐹(𝜓𝜓) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2=

𝐹𝐹(𝜓𝜓) 2

𝑁𝑁2


𝑑𝑑𝜆𝜆

SCHIERA LINEARE UNIFORMEUn esempio di diagramma di radiazione è mostrato in figura

𝑓𝑓(𝜓𝜓) =𝐹𝐹(𝜓𝜓) 2

𝑁𝑁2


SCHIERA LINEARE UNIFORMENel caso broadside (𝛿𝛿 = 0, 𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋/2), il lobo principale è simmetricorispetto al massimo. La sua ampiezza Δ si ottiene imponendo che𝐹𝐹 𝜓𝜓′′ = 𝜋𝜋/2 + Δ/2 = 0 sia il primo zero vicino al massimo. Si ha quindi:

da cui si ottiene l’ampiezza Δ del lobo principale

Come atteso, maggiore è il numero di elementi della schiera e più stretto èil lobo principale.Se 𝑁𝑁 ≫ 1, è valida l’approssimazione

Tanto più grande è la dimensione della schiera (𝑁𝑁𝑑𝑑) rispetto a 𝜆𝜆, tantomaggiore è la direttività l’antenna.


SCHIERA LINEARE UNIFORMENel caso endfire (𝛿𝛿 = 2𝜋𝜋𝑑𝑑/𝜆𝜆, 𝜓𝜓0 = 0 oppure 𝛿𝛿 = −2𝜋𝜋𝑑𝑑/𝜆𝜆, 𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋), il loboprincipale è simmetrico rispetto al massimo ed è uguale in entrambi i casi.La sua ampiezza Δ si ottiene imponendo che 𝐹𝐹 𝜓𝜓′′ = Δ/2 = 0 sia il primozero vicino al massimo. Per 𝜓𝜓0 = 0 si ha:

da cui (sfruttando la relazione 1 − cosΔ/2 = 2sin2Δ/4) si ottiene l’ampiezzaΔ del lobo principale

Tanto più grande è la dimensione della schiera (𝑁𝑁𝑑𝑑) rispetto a 𝜆𝜆, tantomaggiore è la direttività dell’antenna.

L’ampiezza Δ del lobo principale è identica nel caso 𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋.


SCHIERA LINEARE UNIFORME DI DIPOLIUn allineamento di dipoli costituisce un buon esempio di schiera lineareuniforme e ci permette di considerare anche l’effetto dei singoli radiatori enon solo del fattore di schiera.

Considereremo le due configurazioni mostrate in figura:

Schiera broadside Schiera endfire


SCHIERA LINEARE UNIFORME DI DIPOLIConfigurazione broadside (le correnti dei dipoli sono tutte in fase)



𝜓𝜓 = 𝜃𝜃 𝜓𝜓0 = 𝜋𝜋/2

𝐾𝐾0


SCHIERA LINEARE UNIFORME DI DIPOLIConfigurazione broadside: diagramma di radiazione

𝑧𝑧


SCHIERA LINEARE UNIFORME DI DIPOLIConfigurazione broadside (le correnti dei dipoli sono in fase)



cos𝜓𝜓0 = 0

𝐾𝐾0


SCHIERA LINEARE UNIFORME DI DIPOLIConfigurazione broadside: diagramma di radiazione


SCHIERA LINEARE UNIFORME DI DIPOLIConfigurazione endfire (le correnti dei dipoli sono sfasate 𝛿𝛿 = 2𝜋𝜋𝑑𝑑/𝜆𝜆)



𝜓𝜓0 = 0

𝐾𝐾0


SCHIERA LINEARE UNIFORME DI DIPOLIConfigurazione endfire: diagramma di radiazione


SCHIERA YAGI-UDAUn esempio familiare di schiera endfire di dipoli è costituito dall’antennaYagi-Uda, usata nelle bande VHF (30-300 MHz) e UHF (0.3-3 GHz),specie come antenna ricevente televisiva.È costituita da una schiera di dipolidi lunghezza prossima a mezzaonda. Uno dei radiatori (dipoloattivo) viene alimentato diretta-mente, mentre gli altri radiatori(dipoli passivi) sono costituti dauna barra metallica priva diterminali. In questi ultimi elementi,che possono essere consideraticome dipoli con i terminali in cortocircuito, le correnti vengono indottegrazie all’accoppiamento con ildipolo attivo.


SCHIERA YAGI-UDAModificando leggermente le lunghezze dei dipoli passivi si può fare inmodo che le fasi delle correnti indotte creino la massima interferenzacostruttiva nella direzione 𝑦𝑦 > 0. Le variazioni di lunghezza necessariesono piccole, e i dipoli possono essere considerati uguali fra loro, così chel’antenna può essere vista come una schiera endfire.

Le antenne Yagi-Uda hanno guadagni tipici dell’ordine di qualche decina.


ANTENNE IN PRESENTA DI RIFLETTORI METALLICISe un’antenna è posta in prossimità di un piano conduttore metallico, percalcolare il diagramma di radiazione è necessario rimuovere il pianoconduttore e introdurre l’antenna immagine. In questo modo le antenneagiscono nello spazio libero e si possono utilizzare le tecnicheprecedentemente discusse. In particolare, l’antenna originale e la suaimmagine possono (in taluni casi) costituire una schiera di antenne.


ANTENNE IN PRESENTA DI RIFLETTORI METALLICIEsempio


SCHIERA LINEAREVisualizzazione dell’interferenza


ANTENNE RICEVENTIPer trattare le antenne riceventi è necessario introdurre un importanterisultato della teoria dell’elettromagnetismo, noto come teorema direciprocità.


TEOREMA DI RECIPROCITÀIn una regione 𝑉𝑉, contenente un mezzo lineare, stazionario e isotropo, siconsiderino due campi sinusoidali (𝑬𝑬(a), 𝑯𝑯(a)) e (𝑬𝑬(b), 𝑯𝑯(b)) generati dasorgenti diverse, interne e/o esterne alla regione considerata.

Si supponga – provvisoriamente – che il mezzo siacontinuo e che le correnti impresse presenti nellaregione 𝑉𝑉 siano distribuite nel volume, in modo che icampi siano continui.

Sotto questa ipotesi valgono le equazioni di Maxwell:


TEOREMA DI RECIPROCITÀMoltiplicando le equazione di Maxwell come segue

Sommando termine a termine la (1) con la (4) e la (2) con la (3), usando larelazione 𝑨𝑨 � 𝛻𝛻 × 𝑩𝑩 − 𝑩𝑩 � 𝛻𝛻 × 𝑨𝑨 = −𝛻𝛻 � 𝑨𝑨 × 𝑩𝑩 , si ottiene

𝑬𝑬(b) � ( ) ( ) � 𝑬𝑬(b)

𝑯𝑯(a) � ( ) ( ) � 𝑯𝑯(a)

Sottraendo membro a membro le ultime due equazioni e riordinando si ha

𝑬𝑬(a) � ( ) ( ) � 𝑬𝑬(a)

𝑯𝑯(b) � ( ) ( ) � 𝑯𝑯(b)

(1)

(2)

(3)

(4)


TEOREMA DI RECIPROCITÀIntegrando nel volume 𝑉𝑉 e applicando il teorema della divergenza, siottiene

dove 𝑉𝑉𝑚𝑚 e 𝑉𝑉𝑏𝑏 indicano le parti di 𝑉𝑉 in cui sono localizzate le correntiimpresse eventualmente presenti.

Si può dimostrare che questa equazione vale anche se il mezzo èdiscontinuo.

teorema di reciprocità


TEOREMA DI RECIPROCITÀSe si considera tutto lo spazio, il contorno 𝑆𝑆𝑉𝑉 può essere visto come unasfera 𝑆𝑆∞ con centro nell’origine e raggio 𝑟𝑟 tendente all’infinito.

In questo caso si ha

Facendo il limite dell’integrando si ottiene

e considerando la condizione di radiazione

Pertanto


TEOREMA DI RECIPROCITÀPoiché

b a b a

I secondi membri sono evidentemente uguali.

i due integrali di superficie si elidono

Sostituendo nella


TEOREMA DI RECIPROCITÀPertanto il teorema di reciprocità nello spazio esteso all’infinito diventa

Dove 𝑱𝑱0(a) e 𝑱𝑱0

(b) rappresentano tutte le sorgenti.

Se le sorgenti sono filiformi la precedente espressione assume la forma

dove le linee ℓ𝑚𝑚 e ℓ𝑏𝑏 rappresentano i filamenti lungo cui fluiscono lecorrenti 𝐼𝐼0

(a) e 𝐼𝐼0(b), nel verso delle tangenti �𝒕𝒕𝑚𝑚 e �𝒕𝒕𝑏𝑏, rispettivamente.


ANTENNE RICEVENTIUn’antenna collegata ad un radioricevitore investita dalla radiazioneemessa da una sorgente posta a grande distanza, capta parte dell’energiaincidente e la trasferisce al ricevitore.

La potenza che l’antenna è in gradodi trasferire al ricevitore dipende dalcampo incidente (cioè il campo chesi avrebbe dove è collocatal’antenna, in assenza della stessa).

Si suppone che l’antenna sia collegata al ricevitore attraverso una coppiadi terminali che distano fra loro molto meno della lunghezza d’onda, inmodo da poter studiare il collegamento usando i familiari concetti circuitalidi tensione e corrente.

I risultati finali di questa trattazione valgono anche quando il collegamentoutilizza una guida d’onda, come spesso avviene nelle antenne amicroonde e a onde millimetriche.


ANTENNE RICEVENTIVista dal ricevitore, l’antenna si comporta come un generatore, contensione a vuoto 𝑉𝑉0 e impedenza interna 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑛𝑛:

L’impedenza 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑛𝑛 è quella che si vede dall’ingressodell’antenna quando il generatore è spento, cioèquando manca la radiazione incidente. Pertanto, essa coincide conl’impedenza dell’antenna usata come trasmittente.

Il ricevitore è normalmente adattato all’antenna (𝑍𝑍𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟 = 𝑍𝑍𝑖𝑖𝑛𝑛∗ ), in modo chequesta possa erogargli la massima potenza possibile:


TENSIONE A VUOTOPer il calcolo della tensione a vuoto si applica il teorema di reciprocità.Consideriamo le due situazioni mostrate in figura:

Poiché le caratteristiche del campo a grande distanza dalla sorgente nondipendono dalla sorgente stessa, senza perdita di generalità nel caso (a) siconsidera una sorgente filiforme.


TENSIONE A VUOTO

Dal teorema di reciprocità per sorgenti filiformisi ha

𝑉𝑉0pertanto si ottiene


TENSIONE A VUOTO

Il campo 𝑬𝑬(b) nel punto (𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜙𝜙) è quello generato in zona di radiazionedall’antenna alimentata con la corrente 𝐼𝐼0

(b):

Nel caso (b), la potenza di alimentazione dell’antenna è data da

dove si è assunto che la corrente 𝐼𝐼0(b) sia a fase nulla.


TENSIONE A VUOTO

Sostituendo si ottiene

Supponendo �𝒕𝒕𝑚𝑚 perpendicolare alla direzione (𝜃𝜃,𝜙𝜙), il campo elettricoincidente è dato da

moltiplicando scalarmente per �𝒑𝒑(𝜃𝜃,𝜙𝜙), si può ricavare �𝒕𝒕𝑚𝑚 � �𝒑𝒑(𝜃𝜃,𝜙𝜙).


POTENZA RICEVUTA DALL’ANTENNASi ottiene quindi l’espressione della tensione a vuoto

Sostituendo nella formula della potenza ricevuta si ricava

Benché ottenuta considerando una polarizzazione lineare del campoincidente, tale formula vale per qualsiasi tipo di polarizzazione.

Si nota che le proprietà dell’antenna, usata in ricezione, dipendono dallestesse grandezze – il guadagno e il vettore di polarizzazione – checaratterizzano le proprietà dell’antenna usata in trasmissione.


POTENZA RICEVUTA DALL’ANTENNAPoiché è sempre lecito scrivere il campo incidente come

sostituendo nella formula della potenza ricevuta, si ottiene

dove𝑊𝑊𝑖𝑖𝑛𝑛𝑟𝑟 densità della potenza incidente

𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 𝜃𝜃,𝜙𝜙 =𝜆𝜆2

4𝜋𝜋𝑔𝑔 𝜃𝜃,𝜙𝜙 area efficace dell’antenna

𝜏𝜏 = 𝜏𝜏 𝜃𝜃,𝜙𝜙 = �𝒑𝒑(𝜃𝜃,𝜙𝜙) � �𝒑𝒑𝑖𝑖𝑛𝑛𝑟𝑟 2 fattore di polarizzazione


AREA EFFICACE DELL’ANTENNAÈ opportuno sottolineare che – in generale – l’area efficace

𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 𝜃𝜃,𝜙𝜙 =𝜆𝜆2

4𝜋𝜋𝑔𝑔 𝜃𝜃,𝜙𝜙

non ha alcuna relazione con la sezione trasversale dell’antenna, vista dalladirezione di provenienza dell’onda incidente.

In alcuni casi, tuttavia, l’area efficace è collegata alla dimensione fisica. Unesempio è quello dell’antenna parabolica. Per queste antenne, l’areaefficace nella direzione dell’asse è

Per esempio, un dipolo in mezz’onda molto sottile, pur presentando allaradiazione incidente una sezione trasversale di area trascurabile ha, indirezione perpendicolare all’asse, l’area efficace 𝐴𝐴 = 1.64𝜆𝜆2/4𝜋𝜋.

A seconda dell’efficienza dell’apertura, le antenne paraboliche trasmettonoal ricevitore tipicamente il 50÷70% della potenza che incide sul riflettore.


EFFETTO DELLA POLARIZZAZIONESupponiamo dapprima che le due polarizzazioni siano lineari. Il fattore dipolarizzazione risulta

versori di polarizzazione paralleli

𝜒𝜒�𝒑𝒑 �𝒑𝒑𝑖𝑖𝑛𝑛𝑟𝑟

𝜏𝜏 = 𝜏𝜏 𝜃𝜃,𝜙𝜙 = �𝒑𝒑(𝜃𝜃,𝜙𝜙) � �𝒑𝒑𝑖𝑖𝑛𝑛𝑟𝑟 2 = cos2𝜒𝜒

𝜏𝜏 = 1

𝜏𝜏 = 0versori di polarizzazione perpendicolari

Quando 𝜏𝜏 = 1 si parla di adattamento di polarizzazione.


EFFETTO DELLA POLARIZZAZIONESe l’antenna ha una polarizzazione ellittica

La condizione di adattamento di polarizzazione 𝜏𝜏 = 1 si ha quando

L’ellisse di polarizzazione dell’ondaincidente e dell’antenna devono essereidentiche, ma verso di percorrenza (vistodall’origine del sistema di riferimento) deveessere opposto.Propagandosi in versi opposti, le rotazioni riferiti al verso di propagazionesono identiche. Si può quindi concludere che la condizione di adattamentoin polarizzazione viene ottenuta quando le due onde• hanno gli assi maggiori delle ellissi di polarizzazione paralleli• hanno uguale rapporto di polarizzazione incrociata• sono entrambe levogire o destrogire.


EFFETTO DELLA POLARIZZAZIONESempre per la polarizzazione ellittica si ha ricezione nulla (𝜏𝜏 = 0) se lepolarizzazioni sono come in figura

Cioè le due ellissi di polarizzazione sono identiche, ma ruotate di 90° l’unarispetto all’altra. Inoltre i versi di rotazione, riferiti a quelli di propagazione,sono opposti.Dunque, la potenza ricevuta è nulla se le due onde• sono una levogira e l’altra destrogira• hanno uguale rapporto di polarizzazione incrociata• hanno gli assi maggiori delle ellissi di polarizzazione ortogonali.


EFFETTO DELLA POLARIZZAZIONENel caso particolare della polarizzazione circolare, si ha

onde entrambe levogire o destrogire(guardando nella direzione di propagazione) 𝜏𝜏 = 1

𝜏𝜏 = 0onde che ruotano in direzioni opposte(guardando nella direzione di propagazione)


RADIOCOLLEGAMENTO: FORMULA DI FRIISSi consideri un collegamento radio realizzato mediante due antenne, unatrasmittente l’altra ricevente, poste alla distanza 𝑑𝑑:

𝜏𝜏 = 𝜏𝜏 𝜃𝜃,𝜙𝜙 = �𝒑𝒑(𝜃𝜃,𝜙𝜙) � �𝒑𝒑𝑖𝑖𝑛𝑛𝑟𝑟 2

Siano 𝑔𝑔1, 𝑔𝑔2 e �𝒑𝒑1, �𝒑𝒑2 i guadagni e le polarizzazioni delle due antenne nelladirezione della congiungente.Se l’antenna 1 è alimentata da un trasmettitore di potenza 𝑃𝑃𝑡𝑡𝑟𝑟, la densitàdella potenza incidente sull’antenna 2, è

da cui

con


RADIOCOLLEGAMENTO: FORMULA DI FRIIS

Sostituendo l’espressione dell’area efficace in funzione del guadagno, siottiene

Formula di Friis

Slide Number 1Slide Number 2SommarioIntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneIntroduzioneGuadagnoGuadagnoGuadagnoGuadagnoPolarizzazioneCampo irradiato da un’antennaEfficienza e impedenza dell’antennaEfficienza e impedenza dell’antennaDipolo hertzianoDipolo hertzianoDipolo hertzianoDipolo hertzianoAntenne a spiraAntenne a spiraAntenne a spiraAntenne a spiraAntenne a spiraDipolo in mezz’ondaDipolo in mezz’ondaDipolo in mezz’ondaSemidipoliSemidipoliSemidipoli su terrenoSemidipoli su terrenoSemidipoliSemidipolo hertzianoAntenna a fessura risonante (slot)Antenna a fessura risonante (slot)Antenna a fessura risonante (slot)Antenna a fessura risonante (slot)Antenna a fessura risonante (slot)Antenna a fessura risonante (slot)Antenna a fessura risonante (slot)Guide troncateGuide troncateGuide troncateAntenne a trombaAntenne a trombaAntenne parabolicheAntenne parabolicheAntenne parabolicheAntenne parabolicheAntenne parabolicheAntenne parabolicheAntenne parabolicheAntenne a schieraAntenne a schieraAntenne a schieraAntenne a schieraAntenne a schieraAntenne a schieraAntenne a schieraAntenne a schieraAntenne a schieraSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniforme broadsideSchiera lineare uniforme endfireSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniformeSchiera lineare uniforme di dipoliSchiera lineare uniforme di dipoliSchiera lineare uniforme di dipoliSchiera lineare uniforme di dipoliSchiera lineare uniforme di dipoliSchiera lineare uniforme di dipoliSchiera lineare uniforme di dipoliSchiera Yagi-UdaSchiera Yagi-UdaAntenne in presenta di riflettori metalliciAntenne in presenta di riflettori metalliciAntenne in presenta di riflettori metalliciAntenne in presenta di riflettori metalliciSchiera lineareAntenne riceventiTeorema di reciprocitàTeorema di reciprocitàTeorema di reciprocitàTeorema di reciprocitàTeorema di reciprocitàTeorema di reciprocitàAntenne riceventiAntenne riceventiTensione a vuotoTensione a vuotoTensione a vuotoTensione a vuotoPotenza ricevuta dall’antennaPotenza ricevuta dall’antennaArea efficace dell’antennaEffetto della polarizzazioneEffetto della polarizzazioneEffetto della polarizzazioneEffetto della polarizzazioneRadiocollegamento: Formula di FriisRadiocollegamento: Formula di Friis

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