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Corso di Campi Elettromagnetici e Circuiti: Propagazione Guidata - Prof. Maurizio Bozzi Lezione 2 - 1

CORSO DI

CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI

- PROPAGAZIONE GUIDATA -

Università di Pavia, Facoltà di Ingegneria

[email protected]

http://microwave.unipv.it/bozzi/

Prof. Maurizio Bozzi


LEZIONE 2

I CAMPI ELETTROMAGNETICI

NEI MATERIALI


SOMMARIO DELLA LEZIONE

I Campi Elettromagnetici nel Vuoto

I Campi Elettromagnetici nei Materiali

Le Relazioni Costitutive

Mezzi Isotropi e Anisotropi

Materiali Magnetici

Mezzi Dispersivi nel Tempo

Mezzi Dispersivi nello Spazio


I CAMPI ELETTROMAGNETICI NEL VUOTO

Nel caso di campi elettromagnetici nel vuoto, esistono semplici relazioni tra

i campi:

dove le costanti 𝜀0 (permittività elettrica del vuoto) e 𝜇0 (permeabilità

magnetica nel vuoto) assumono i valori (nel sistema MKS):

Inoltre la costante

rappresenta la velocità della luce nel vuoto.

𝜀0 =1

36𝜋10−9 [𝐹/𝑚] 𝜇0 = 4𝜋 10

−7 [𝐻/𝑚]

𝑐 =1

𝜀0𝜇0≅ 3 ∙ 108 [𝑚/𝑠]

𝒟 = 𝜀0 ℰ

ℬ = 𝜇0 ℋ

𝐷 = 𝜀0 𝐸

𝐵 = 𝜇0 𝐻Nel dominio

del tempo

Nel dominio

dei fasori


I CAMPI ELETTROMAGNETICI NEI MATERIALI

Nel caso si considerino i campi elettromagnetici in presenza di un mezzo

materiale, l’analisi si complica perché il materiale si polarizza e, se

conduttore, è attraversato da correnti di conduzione.

L’interazione tra campi e materiali è di interesse pratico, perché fornisce

uno strumento per la caratterizzazione delle proprietà dei materiali tramite

misure a microonde.

Le equazioni di Maxwell non contengono informazioni sul materiale, i cui

effetti sono tenuti in conto da ulteriori equazioni, dette relazioni

costitutive.


RELAZIONI COSTITUTIVE

In un materiale dielettrico, l’applicazione di un campo elettrico 𝐸 causa la

polarizzazione di atomi o molecole, creando un momento di dipolo

elettrico che incrementa il vettore spostamento elettrico 𝐷

dove 𝑃𝑒 è il vettore di polarizzazione elettrica.

Se il mezzo è lineare e isotropo, la polarizzazione elettrica è

proporzionale al campo elettrico, e pertanto:

dove

rappresenta la permittività elettrica complessa del mezzo. La permittività

elettrica descrive l’interazione del materiale con il campo elettrico.

𝐷 = 𝜀0 𝐸 + 𝑃𝑒

𝐷 = 𝜀 𝐸

𝜀 = 𝜀′ − 𝑗𝜀′′



I valori di 𝜀′ ed 𝜀′′ possono dipendere dalla frequenza e da altre

grandezze fisiche (ad esempio, dalla temperatura).

La parte immaginaria 𝜀′′ (𝜀′′>0) tiene conto delle perdite del dielettrico,

dovute alla vibrazione dei momenti di dipolo (dissipazione termica).



Se il materiale ha un conducibilità 𝜎, si ha una corrente di conduzione

Questa equazione rappresenta la legge di Ohm locale.

Sostituendo le due relazioni costitutive nella seconda equazione di

Maxwell, si ottiene la relazione tra campo elettrico e magnetico:

𝐽 = 𝜎 𝐸

𝛻 × 𝐻 = 𝑗𝜔 𝐷 + 𝐽

= 𝑗𝜔𝜀 𝐸 + 𝜎 𝐸

= 𝑗𝜔 𝜀′ − 𝑗𝜀′′ 𝐸 + 𝜎 𝐸

= 𝑗𝜔 𝜀′ − 𝑗𝜀′′ +𝜎

𝑗𝜔 𝐸



Dalla relazione

si osserva come la parte immaginaria di 𝜀 dipenda sia dalle perdite

dielettriche (𝜀′′) che dalla conducibilità (𝜎).

La tangente di perdita elettrica è definita come

𝛻 × 𝐻 = 𝑗𝜔 𝜀′ − 𝑗 𝜀′′ +𝜎

𝜔 𝐸

Parte immaginariaParte reale

tan 𝛿 =𝐼𝑚(𝜀)

𝑅𝑒(𝜀)=𝜀′′ +

𝜎𝜔

𝜀′=𝜔𝜀′′ + 𝜎

𝜔𝜀′ 𝛿

𝐼𝑚(𝜀)

𝑅𝑒(𝜀)

𝜀



I materiali dielettrici sono in genere caratterizzati da

Permittività dielettrica relativa 𝜀𝑟 = 𝜀′ 𝜀0

Tangente di perdita tan 𝛿𝜀 = 𝜀0𝜀𝑟(1 − 𝑗 tan 𝛿)


PERMITTIVITÀ DI MATERIALI COMUNI


MEZZI ISOTROPI E ANISOTROPI

I mezzi isotropi (considerati in precedenza) sono i materiali in cui il vettore

di polarizzazione elettrica 𝑃𝑒 ha la stessa direzione del campo elettrico.

Nei mezzi isotropi le proprietà fisiche sono uguali in tutte le direzioni.

Se questa condizione non è soddisfatta, si parla di mezzi anisotropi, per i

quali la relazione tra 𝐷 ed 𝐸 è di tipo tensoriale:

Nei mezzi anisotropi, il campo elettrico determina, in generale, le tre

componenti del vettore spostamento elettrico.

ESEMPI: cristalli e gas ionizzati (plasma).

𝐷𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧

=

𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧

𝐸𝑥𝐸𝑦𝐸𝑧


MATERIALI MAGNETICI

Una situazione analoga si verifica nei materiali magnetici, in cui il campo

magnetico allinea i dipoli magnetici e determina una polarizzazione

magnetica, che incrementa il vettore induzione magnetica 𝐵

dove 𝑃𝑚 è il vettore di polarizzazione magnetica.

Nei mezzi lineari e isotropi, la relazione costitutiva risulta:

con

dove 𝜇 rappresenta la permeabilità magnetica complessa del mezzo,

𝜇𝑟 è la permeabilità magnetica relativa, e tan 𝛿𝑚 la tangente di perdita

magnetica.

𝐵 = 𝜇0 𝐻 + 𝑃𝑚

𝐵 = 𝜇 𝐻

𝜇 = 𝜇′ − 𝑗𝜇′′ = 𝜇0𝜇𝑟(1 − 𝑗 tan 𝛿𝑚)


MATERIALI MAGNETICI

Anche i materiali magnetici possono essere anisotropi, ed in questo caso

la relazione tra 𝐵 ed 𝐻 è di tipo tensoriale:

Nei mezzi anisotropi, il campo magnetico determina, in generale, le tre

componenti del vettore induzione magnetica.

ESEMPI: materiali ferromagnetici (ferriti).

𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧

=

𝜇𝑥𝑥 𝜇𝑥𝑦 𝜇𝑥𝑧𝜇𝑦𝑥 𝜇𝑦𝑦 𝜇𝑦𝑧𝜇𝑧𝑥 𝜇𝑧𝑦 𝜇𝑧𝑧

𝐻𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧


MEZZI DISPERSIVI NEL TEMPO

Le relazioni finora introdotte prevedono una reazione istantanea dei vettori

di polarizzazione al variare del campo elettrico. Questa ipotesi è verificata

nel caso di lenta variazione del campo elettrico.

Pertanto, tutte le relazioni valgono sia per i campi tempo-varianti ( ℰ, ℋ, 𝒟

e ℬ) che per i campi sinusoidali ( 𝐸, 𝐻, 𝐷 e 𝐵).

Se in campo elettrico varia rapidamente, l’inerzia delle strutture atomiche

determina un ritardo tra la variazione di ℰ e la reazione di 𝒫𝑒 e 𝒟.

Questi mezzi, detti dispersivi nel tempo o con memoria, richiedono di

includere le derivate temporali nella relazione tra ℰ e 𝒟.


MEZZI DISPERSIVI NEL TEMPO

Nel caso di mezzi dispersivi nel tempo, la relazione di dispersione per i

campi tempo-varianti è del tipo:

ed include le derivate temporali.

Per campi sinusoidali, la relazione di dispersione è del tipo:

in cui compare la dipendenza dalla frequenza.

𝑎𝑚𝜕𝑚 𝒟

𝜕𝑡𝑚+⋯+ 𝑎1

𝜕 𝒟

𝜕𝑡+ 𝑎0 𝒟 = 𝑏𝑚

𝜕𝑚 ℰ

𝜕𝑡𝑚+⋯+ 𝑏1

𝜕 ℰ

𝜕𝑡+ 𝑏0 ℰ

[𝑎𝑚(𝑗𝜔)𝑚+⋯+ 𝑎1(𝑗𝜔) + 𝑎0] 𝐷 =

=[𝑏𝑚 𝑗𝜔𝑚 +⋯+ 𝑏1(𝑗𝜔) + 𝑏0] 𝐸


MEZZI DISPERSIVI NELLO SPAZIO

Esistono materiali in cui il valore del vettore di polarizzazione in un punto

dello spazio dipende anche dalla variazione del campo elettrico nell’intorno

del punto considerato.

Questi materiali si definiscono dispersivi nello spazio.

Le equazioni costitutive, in questi casi, devono includere le derivate

spaziali nella relazione tra 𝐸 e 𝐷.

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