Campi Campi elettromagneticielettromagnetici

Docente:SalvatoreSalvatoreSavastaSavasta Anno acc. 2006/2007

Perchè studiare i campi Perchè studiare i campi elettromagnetici ?elettromagnetici ?

• Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad alta velocità e a microonde

• Antenne e comunicazioni senza fili

• Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce in fibra – optoelettronica e fotonica

• Macchine elettromeccaniche

• Interferenze elettromagnetiche e compatibilità

ElettrostaticaElettrostatica

12 2 20 8.854 10 (F/m) C / N m

qq

304

i i

i i

qq

r rF

r r 0limq q

F

E

Il campo elettrico è un campo vettoriale, Il campo elettrico è un campo vettoriale, ovvero l'associazione di un vettore ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad (P) ad ogni punto P dello spazio. Esso determina ogni punto P dello spazio. Esso determina l'azione della forza elettrica su una l'azione della forza elettrica su una particella carica eventualmente posta in particella carica eventualmente posta in quel punto.quel punto.

Principio di sovrapposizionePrincipio di sovrapposizione

ElettrostaticaElettrostatica

D

0 D E P

0 e P E

0 1 e D E E

Per mezzi lineari ed isotropi

V S V

dV dV D D dSÑTeorema di Gauss 12

0 8.854 10 F/m

qF E

Potenziale elettrostatico

V E r r

B

A

V A V B d E r P

V P d

E r

QC

V

Potenziale di un conduttorePotenziale di un conduttore

condensatoricondensatori

Cavo coassialeCavo coassiale qq

-q-q

QC

V

ln2 2

B Bl l

A A

q q bV A V B d dr

r a E r

2lqEr

2

ln

Cbla

Magnetostatica

H J

s S

H dS H dl J dSÑ

Teorema di Stokes 0 B

H M

0r B H H7

0 4 10 H/m

03

d4

di

r

l rB

V V l

d dV dl F F J B i B Legge di Ampere-Laplace

Prodotto vettorialeProdotto vettorialesinab a b

è perpendicolare al piano individuato dai due vettori

ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo convesso da questi formato

ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore  in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore (regola della mano destra). 

sinab a b n

1 2 3 1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

a a a b b b

a b a b a b a b a b a b

a b i j k i j k

i j k

i j k

j k i

k i j

ijk j kia b a b

123

231 312 123

132 213 321

0 se , ,

1

1

1

ijk

ijk jik kji ikj

i j i k j k

rotorerotore

1 2 31 2 3

3 2 1 3 2 12 3 3 1 1 2

A A Ax x x

A A A A A Ax x x x x x

A r i j k r i r j r k

r r i r r j r r k

1 2 3, ,x x xr

ijk kijk j

Ax

A r

Legge di FaradayLegge di Faraday

t

B

E

s St

E dS E dl B dSÑ

Per campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale alla differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici variabili ciò non è più vero.

La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira) è pari alla variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una qualunque superficie che si appoggia al cammino) del campo magnetico

InduttanzaInduttanza

ln2 2

b

S a

I I bl dr l LI

r a

B dS

ln2

L b

l a

2B

r I

S

H dl J dSÑ

La corrente di spostamento D0 B

t

B

E

H J

t

J

H J

= 0

?

t

D

H J

t

H J D

La corrente di spostamento

0 cosc

dVI C CV t

dt

0 sinV V t

d

D EJ

t t

VE

d d dI AJ

0 cosd

AI V t

d

S St

H dl J dS D dSÑ

Equazioni di MaxwellEquazioni di Maxwell

D

0 B

t

B

E

t

D

H J

q F E v B

V

dV F E J B

t

J

S V

dV D dSÑ

0S

B dSÑ

St

E dl B dSÑ

S St

H dl J dS D dSÑ

Equazioni di MaxwellEquazioni di Maxwellforma integraleforma integrale

S V

dVt

J dSÑ

Regime sinusoidale

1cosm

dIL RI Idt V tdt C

cos Re j tt e

cos Re j tm I cI I t I e Ij

c mI I e

1Re Re

j tc j t j t j t

c c m

d I eL RI e I e dt V e

dt C

1c mj L R I V

j C

Z

j t

j t j t j tcc c m

d e ILI RI e e dt V e

dt C

mc

VI

Z Re j tmVI e

Z

Regime sinusoidale

cos cosm mW t V t I t V I t t

cos cos 22m mV I

W t t

* 21Re

2j t

c c c cW t V I V I e 2*1 1Re R

2 2c c cP V I I

cosmI t I t cosmV t V t

cos 1 cos 2 sin sin 22 2m m m mV I V I

W t t t

*1

2c c cW V I2*1 1

Im2 2c c cQ V I X I

Z R jX

WW

Regime sinusoidale

c c D

0c B

c cj E B

c c cj H J D

Re j tct e

Re

cos sin

j tr i

r i

t j e

t t

Onde pianeOnde piane

0 D

0 B

t t

B H

E

t

D

H

0

0J

Propagazione lungo z

0

0

x

y

y xzE HE

y z t

yx z

HE E

z x t

XX

yx zEE H

y x t

XX

y xH E

z t

yxEH

z t

0 zE

t

,z tE

Onde pianeOnde pianeyx

HE

z t

22

2

yxHE

z z t

z

y xH E

z t

t

2 2

2

y xH E

t z t

2 2

2 2x xE E

z t

1 2,xE z t f t z v f t z v

0, cosxE z t E t z v

1v

Onde piane e fasoriOnde piane e fasori

yxHE

z t

y xH E

z t

xy

dEj H

dz

yx

dHj E

dz

22

2x

x

d EE

dz

1 2jkz jkz

xE c c k

1 2, Re Rej t jkz j t jkz j tx xE z t E e c e c e

1 2, cos cosx

z zE z t c t c t

v v 1 2,c c R

Onde piane e fasoriOnde piane e fasori

1 2 1 2

1 1 jkz jkz jkz jkzxy

dEH kc e kc e c e c e

j dz

1 2, Re cos cosj ty y

z zH z t H e c t c t

v v

2v

L’equazione d’onda 3DL’equazione d’onda 3D

0 D0 B

t H

E

t

D

H

t

E H

2

22t

E

E E

22

20

t

E

E2

22

0t

H

H

2 2 0k E E2 2 0k H H

fasori nk

c

n

kc

1 cv

n

r rn n jn

L’equazione d’onda 3DL’equazione d’onda 3D

j E B1

Hj

E i E

0je k rE E2 2 0k E E

kk i0 j D k D

1H

i E

polarizazzionekk i Consideriamo il caso Consideriamo il caso ˆi z

2 2 0k E E

2 2 0x xE k E 2 2 0y yE k E

11

jxE a e

22

jyE a e

1 1cosxE t a

2 2cosyE t a

1 2

2

cosyEA

a

2 A

1

cos cos cos sin sinxEA A A

a

2 2

2

1 2 1 2

2 cos siny yx xE EE E

a a a a

RHCRHC

LHCLHC

x yE jE

x yE jE

polarizazzione

aa11

aa222 2

2

1 2 1 2

2 cos siny yx xE EE E

a a a a

1 2 2

1 2 2

1 cosxE t a A

2 cosyE t a A

RHCRHC

aabb

polarizazzione

linearelineare Circolare LHCircolare LH ellitticaellittica

2 20 1 2

2 21 1 2

2 1 2

3 1 2

2 cos

2 sin

s a a

s a a

s a a

s a a

Parametri di Stokes

1 2 3 0s s s s

Potenziali vettore e scalarePotenziali vettore e scalare0 B

t

B

E

t

A

E

B A

0t

A

E

2

2t t

A

A Jt

D

H J

D 2

t

A

t

A

E

t

A A0

t

A

22

2t

A

A J

22

2t

t

J

CondizioneCondizionedi Lorentzdi Lorentz

Potenziali vettore e scalarePotenziali vettore e scalare

2 A A A

2

2t t

A

A J

In mezzi omogenei e isotropi:In mezzi omogenei e isotropi:

2 2s A A J

2 2 s

1

j

J

0j A CondizioneCondizionedi Lorentzdi Lorentz

Potenziali vettore e scalarePotenziali vettore e scalarecampi armonicicampi armonici

( ) ( ) ( )s D r r r

( ) 0c B r

( ) ( )c cj E r B r

( ) ( ) ( ) ( )c sj H r D r J r J r

Regime sinusoidaleDensità di carica indottaDensità di carica indotta

Densità di carica sorgenteDensità di carica sorgente

Densità di corrente indottaDensità di corrente indotta

Densità di correnteDensità di correntesorgentesorgente

Relazioni costitutive

D EB H

In un mezzo lineare e passivo D e B dipendono In un mezzo lineare e passivo D e B dipendono linearmente da E ed H rispettivamente mediante linearmente da E ed H rispettivamente mediante parametri costitutivi. Inoltre, se le relazioni costitutive parametri costitutivi. Inoltre, se le relazioni costitutive non dipendono dalla direzione di E ed H, il mezzo è non dipendono dalla direzione di E ed H, il mezzo è detto isotropo.detto isotropo.

120

70

8.854 10 farad/metro

4 10 henry/metro

8

0 0

13 10 metri/sc

;

0 0

;r r

D EtB Ht

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x x

y y

z z

D E

D E

D E

J E Legge di OhmLegge di Ohm

(mezzi lineari con perdite)(mezzi lineari con perdite)

(Regime sinusoidale)

Relazioni costitutive( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )s

c s

j

j

H r E r E r J r

E r J r

0 0 0

cr j j

r rn n jn

tan

Indice di rifrazione complessoIndice di rifrazione complesso

TangenteTangentedi perditadi perdita

( , ) ( , )t tD r E r( , ) ( , )t tB r H r

Mezzi non dispersiviMezzi non dispersivi

( , ) ( ) ( , ) D r E r ( , ) ( ') ( , ')t

t t t t

D r E r

Il teorema di PoyntingIl teorema di Poynting

t

B

E

t

D

H J

E H H E E H

t t

B D

E H H E J E

Line

ar ti

me

inva

riant

med

ia

2 2t t

B H D E

E H E J 1

2W

S E H

E E H H

Wt

S E J

s V V

WdV dVt

S da E JÑV

dV S

Flusso di potenzaentrante nel volume

potenza dissipatanel volume

Rate dell’incrementodi energia

elettromagneticanel volume

Cariche in movimentoCariche in movimentonqJ v

dq m

dt

vF E 2

1

2V V V

dm ddV nq dV n m dV

q dt dt

vv

E J v

Onde pianeOnde piane 0, cosxE z t E kz 0, cosyH z t E kz

2 20 cosz x yS E H E kz

20 1 cos 2

2z

EP kz

Teorema di PoyntingTeorema di Poyntingper fasoriper fasori

j E B

s j H J D

* * * E H H E E H

* * * *j j E H H B E J D

*

20

20

2 20 0

1

2'

4'

4

2 2

e

m

W

W

L

S E H

E

H

E H

*12

2 s m ej W W L S E J

0

potenza media

dissipata

(per unità di volume)

*1Re Re

2 s L S E J

*1Im Im 2

2 s m eW W S E J

densità mediadi energia

elettromagneticaImmagazzinata

(per unità di volume)

Potenza reattivaPotenza reattiva

PotenzaPotenzaattivaattiva

Onde piane e fasoriOnde piane e fasori

1 2jkz jkz

xE c c

1 2 1 2

1 1 jkz jkz jkz jkzxy

dEH kc kc c c

j dz

* * *1 2 1 2 ˆjkz jkz jkz jkzc e c c e c e

E H z

* * *1 1 2 2

1Re

2avP c c c c E H 2W/m

Condizioni di continuitàn

1

2

2 1 2 1

2 1 0

t tE E l l

l

E dl t n E E

t n E E

Ñ

2 1 2 1t tH H l l H dl t n H HÑ

s

S

lt

D

J dS t J

0S t

BdS

2 1

S

a D dS D D nÑ

s

V

dV a

tt

n

Condizioni di continuità

2 1 0 n E E

2 1 s n H H J

2 1 s D D n

2 1 0 B B n

n

1

2

Incidenza di un’onda piana su un’interfaccia planare

xx

xx

HHii

EEii

HHrr

EErr

HHtt

EEtt

TMTM

1

2

xxxx

xx

HHii

EEii

HHrr

EErr

HHtt

EEtt

TETE

t

i rxx

zz

TE (s)TE (s)

( ) i ii j x q zjiy s sE E e E e k r

ˆ ˆ ,0,i i i i iq q k x z

2 2 21i iq k

xxxx

xx

HHii

EEii

HHrr

EErr

HHtt

EEtt

t

i rxx

zz

1

1

cos

sini i

i i

q k

k

( ) r rj x q zry s sE R E e

1

1

cos

sinr r

r r

q k

k

( ) t tj x q zty s sE T E e

1 0 1k k n

2

2

cos

sint t

t t

q k

k

( ) ( ) ( ) in 0i r ty y yE E E z

2 0 2k k n

( ) ( ) ( ) in 0i r ty y yE E E z exp exp expi s r s tj x R j x T j x

i r t

1 1 2sin sin sini r tn n n Legge di SnellLegge di Snell

1 s sR T

1 yx

EH

j z

( )

( )

1

expiyi

x s i i

EqH E jq z j x

Z

( )( )

1

is yr

x

R EH

Z

( )( )

2

is yt

x

T EH

Z

11

22

i

t

Zq

Zq

2

21

2

cos

cos 1 sin

t t

t i

q k

n

n

2 1 sin sint i t in n

( ) ( ) ( ) in 0i r tx x xH H H z

( )

( )

1 1

expiyi s

x i i

E EH jq z j x

Z Z

( )

( )

1 1

expr

s yr s sx i i

R E R EH jq z j x

Z Z

( )

( )

2 2

expr

s yt s sx t i

T E T EH jq z j x

Z Z

1 2

1 s sR T

Z Z

1 s sR T

2 1

2 1

2

2 1

2

s

s

Z ZR

Z Z

ZT

Z Z

1 2

1 2

1

1 2

cos cos

cos cos

2 cos

cos cos

i ts

i t

is

i t

n nR

n n

nT

n n

1 2 0

0 00

0

1

coscosZ c

q n

0 perper

TM (p)TM (p)

( )0cos exp cos expi

x p i i i i iE E j E jq z j x k r

( ) cos exprx p p i r iE R E jq z j x

( ) cos exptx p p t t iE T E jq z j x

1 yx

HE

j z

xx

xx

HHii

EEii

HHrr

EErr

HHtt

EEtt

( ) ( ) ( ) in 0i r tx x xE E E z

cos cos cosi p i p tR T

j H E yx

Hj E

z

( ) ( ) expi iy y i iH jq z j x H

( )( ) ( )exp

iy i i

i y i i i y

Hjq jq z j x jq H

z

H

( )( ) ( )

iy i i

i y x

Hjq H j E

z

( )( ) ( )

1

ii i xy x

i

EH E

q Z

qZ

( )( )

1

rr x

y

EH

Z

( )( )

2

tt xy

EH

Z

( ) ( ) ( ) in 0i r ty y yH H H z

21

cos cos cosi p i p tR T

Z Z

2 1

2 1

2

2 1

cos2

cos

p

ip

t

Z ZR

Z Z

ZT

Z Z

21

cos cos cosi p i p tR T

Z Z

1 cos cosp i p tR T TM (p)TM (p)

0

0

cos 1 cosqZ

c n

0

2 1 2

2 1 2 1

1 cos 1 cos 2 cos

1 cos 1 cos 1 cos 1 cost i i

p pt i t i

n n nR T

n n n n

1 2 0

perper

21

2

cos 1 sint i

n

n

Angolo di BrewsterCaso n2 > n1Caso n2 > n1

2 1

2 1

1 cos 1 cos0

1 cos 1 cost i

pt i

n nR

n n

2 11 cos 1 cos 0t in n

2

21 1 1

2 2 2

cos cos 1 sini t i

n n n

n n n

2

1

tan b

n

n

cos cos cos sin sin 0b t b t b t 02b t

2 1

2 1 2

2 cos

1 cos 1 cosb

pt b

n nT

n n n

Riflessione totale

Caso n1 > n2Caso n1 > n2 t i

i

ti

t

21

2

cos 1 sint i

n

n

2t

2

1

sin c

n

n

( ) t tj x q zty s sE T E e

212

2

cos 1 sint t i t

nq k jQ

n

21

2

sin 1t i

nQ

n

i c

( ) expty s s t tE T E j x Q z

Riflessione totale

Potenza media totalePotenza media totaleche attraversa 1 mche attraversa 1 m22 di interfaccia di interfaccia

( ) ( ) ( )* ( )*1

1ˆ ˆRe Re

2i r i r S z E E H H z

( ) ( )* ( ) ( )* ˆRe 0i r r i E H E H z

( ) ( )* ( ) ( )*1

1 1ˆ ˆRe Re Re

2 2i i r r S z E H z E H

( ) ( ) ( )* ( )*1

( ) ( ) ( )* ( )*

1ˆRe Re

21

Re2

i r i rx x y y

i r i ry y x x

S z E E H H

E E H H TETE

TMTM

( ) ( )* ( ) ( )* ˆRe i r r i E H E H z

*2( ) ( )* ( ) ( )*

*1

1Re Re 0

2i r r i s sy x y x s

R RE H E H E

Z

TETE

( )( )

1

iyi

x

EH

Z

( )( )

1

rs yr

x

R EH

Z

Analogamente per i modi TMAnalogamente per i modi TM

( ) ( )* ( ) ( )*1

1 1ˆ ˆRe Re Re

2 2i i r r S z E H z E H

( ) ( )* ( ) ( )*1

( ) ( )* ( ) ( )*

1ˆRe Re

21

Re2

i i r rx y x y

i i r ry x y x

E H E H

E H E H

S z

TETE

TMTM

( ) ( )*2

22 22 2

* *2 2

1ˆ ˆRe Re

2

cos 1Re Re

2 2

t t

tp p s s

p s

E T E TZ Z

S z E H z

( )( )

1

ii xy

EH

Z

( )( )

1

rr x

y

EH

Z

( )( )

2

tt xy

EH

Z

( )( )

1

iyi

x

EH

Z

( )( )

1

is yr

x

R EH

Z

( )( )

2

is yt

x

T EH

Z

22 2

1 *1

2 2

*1

cosˆRe 1 Re

2

11 Re

2

ip p

p

s ss

E RZ

E RZ

S z

Incidenza normalemezzi (non magnetici) ad elevata conducibilità

2 1 1 2

2 1 1 2

2 1

2 1 1 2

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

2 cos 2

1 cos 1 cos

t ip

t i

ip

t i

n n n nR

n n n n

n nT

n n n n

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1 2 1 2

cos cos

cos cos

2 cos 2

cos cos

i ts

i t

is

i t

n n n nR

n n n n

n nT

n n n n

1 1 2sin sin sini r tn n n

0i

0i

0 0r t

0 0

exp2r j j j

;

( ) t tj x q zty s sE T E e ( ) exp( )t

y s s rE T E j zc

0 0

exp 14 2r j j

( ) exp( )ty s sE T E j z z

0

2

1

2 1

2 1

2

2 1

1 cos 1 cos1

1 cos 1 cos

2 cos0

1 cos 1 cos

t ip

t i

ip

t i

n nR

n n

nT

n n

1 2

1 2

1

1 2

cos cos1

cos cos

2 cos0

cos cos

i ts

i t

is

i t

n nR

n n

nT

n n

0 0

exp2r j j j

;

( ) i ii j x q zjiy s sE E e E e k r

( ) r rj x q zry sE E e

( ) 0tyE

(1) ( ) ( ) 2 sini i i ij x jq z jq z j xi ry y y s s iE E E E e e e jE e q z

(1) ( ) ( ) 2 sin sini i ij x jq z jq zi ry y y s s i iE t E E E e e e E q z t x

realesE

Incidenza normale

1 1 2sin sin sini r tn n n Legge di SnellLegge di Snell

( ) i ij x q ziy sE E e

( ) i ij x q zry s sE R E e

( ) i tj x q zty s sE T E e

cos

sini

i

q k

k

0k k n n

c

( , )( , )

1,2

i tyi t

x s

EH

Z

( )( )

1

is yr

x

R EH

Z

0

1

coss r

r

Z Zq

TETE

2 2

1 *1

1ˆRe 1 Re

2s ss

E RZ

S z

00 0

0

376.73 OhmZ c

( ) cos expix p i i iE E jq z j x

( ) cos exprx p p i r iE R E jq z j x

( ) cos exptx p p t t iE T E jq z j x

( , )( , )

1,2

i ti t xy p

EH

Z

( )( )

1

rr x

y p

EH

Z

0 cosp r

r

qZ Z

2 2

2 *2

1ˆRe Re

2s ss

E TZ

S z

22 2

2 *2

cosˆRe Re

2t

p pp

E TZ

S z

22 2

1 *1

cosˆRe 1 Re

2i

p pp

E RZ

S z

TMTM

Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel vuoto ed incide Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel vuoto ed incide obliquamente su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (obliquamente su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (rr 1 1 rr

=16).=16).La direzione di incidenza forma un angolo La direzione di incidenza forma un angolo = 60 = 60ºº con la normale alla con la normale alla

superficie di separazione. L’onda piana incidente è polarizzata superficie di separazione. L’onda piana incidente è polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda piana incidente è perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda piana incidente è associata una densità di potenza Sassociata una densità di potenza Sii =2 =2 W / mW / m22. Determinare:. Determinare:

1)1) La densità di potenza attiva associata all’onda riflessaLa densità di potenza attiva associata all’onda riflessa2)2) La densità di potenza attiva associata all’onda trasmessaLa densità di potenza attiva associata all’onda trasmessa3)3) La densità di potenza attiva trasferita al dielettricoLa densità di potenza attiva trasferita al dielettrico4)4) L’ampiezza della componente lungo la normale al piano di incidenza del L’ampiezza della componente lungo la normale al piano di incidenza del

campo magnetico totale nel vuoto ad una distanza d =1.5 m.campo magnetico totale nel vuoto ad una distanza d =1.5 m.

2 2 11 1

0

cosˆRe Re cos 1

2i

i s s

nS E R

c

S z

1 2

1 2

1

1 2

cos cos

cos cos

2 cos

cos cos

i ts

i t

is

i t

n nR

n n

nT

n n

1

2 2

1sin sin arcsin sint i t i

r

n

n

( ) ( )*2

2 2 22 2

0 1

1ˆ ˆRe Re

2cos

Re cos2

t t

its s s t

n nE T S T

c n

S z E H z

0 00

0

1

coscosZ c

q n

(1) ( ) ( ) 1

0

cosi i ij x jq z jq zi r i

x x x s s

nH H H E e e R e

c

Velocità di gruppo

2 2 0V k V 0

, cosV t a t d

r k r

0

, Re expV t a j t j d

r k r

Un’onda è detta quasi-monocromatica seUn’onda è detta quasi-monocromatica se

0 0

0

1 1per con 1

2 2

a

=

Consideriamo per il momento Consideriamo per il momento un’onda costituita dalla un’onda costituita dalla sovrapposizione di due onde sovrapposizione di due onde monocromatiche di eguale monocromatiche di eguale ampiezza e con frequenze ampiezza e con frequenze leggermente diverse:leggermente diverse:

, exp expV z t a j t jkz a j t j k k z

, exp expV z t a j t jkz a j t j k k z

1

21

2k k

1 1 1 1exp exp exp

2 2 2 2a j t j k z j t j k z j t jkz

12 cos exp

2a t k z j t jkz

Ampiezza dipendente dal Ampiezza dipendente dal tempo e dalla posizionetempo e dalla posizione

fasefase

20 40 60 80 100

-1

-0.5

0.5

1

t (oppure z)t (oppure z)

12

21

22

A

A

t

z k

12

21

22

p

p

t

z k

Distanza tra massimi successivi della Distanza tra massimi successivi della funzione di ampiezzafunzione di ampiezza

Distanza tra massimi successivi della Distanza tra massimi successivi della funzione di fasefunzione di fase

4

4

A

A

t

zk

2

2

p

p

t

zk

1 1, 2 cos exp

2 2V z t a t k z j t jkz

0t k z g

zv

t k

0t kz p

zv

t k

( )

, Re expV z t a j t jkz d

, Re ( , ) expV z t A z t j t jkz

( )

( )

( , ) exp

exp

A z t a j t j k k z d

dka j t z d

d

;

dkk k

d

;

0dk

t zd

gk

z dv

t dk

Un’onda piana monocromatica (f = 10 MHz) polarizzata circolarmente (LHC) si Un’onda piana monocromatica (f = 10 MHz) polarizzata circolarmente (LHC) si propaga nel vuoto ed incide perpendicolarmente (in direzione z) su una propaga nel vuoto ed incide perpendicolarmente (in direzione z) su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (interfaccia piana con un mezzo dielettrico (rr = 1 = 1 rr =9). =9).

L’onda icidente trasporta una densità di potenza attiva SL’onda icidente trasporta una densità di potenza attiva S ii = 4 mW / m = 4 mW / m22. . Determinare:Determinare:

1)1) Scrivere l’espressione nel dominio del tempo del campo elettrico incidente Scrivere l’espressione nel dominio del tempo del campo elettrico incidente e calcolare l’ampiezza delle componenti (x e y ) del campo elettrico e calcolare l’ampiezza delle componenti (x e y ) del campo elettrico incidenteincidente

2)2) La lunghezza d’onda nel dielettricoLa lunghezza d’onda nel dielettrico3)3) La densità di potenza attiva trasmessa attraverso l’interfacciaLa densità di potenza attiva trasmessa attraverso l’interfaccia4)4) L’espressione nel dominio del tempo del campo magnetico associato L’espressione nel dominio del tempo del campo magnetico associato

all’onda piana trasmessaall’onda piana trasmessa5)5) La polarizzazione dell’onda riflessaLa polarizzazione dell’onda riflessa

,v v t r ,v tr

V

0r

xxyy

zz

Campo di velocitàCampo di velocità

,N N t r Densità degli elettroniDensità degli elettroni

0 0 ,N N t r Densità di equilibrioDensità di equilibrio

0N N n

0 ,eq q N t V r

0 ,em m N t V r

191.6 10 Ceq

0 0 ,v v t r

00 0 0 0

,, , , ,

d tm q t t t v m t

dt

v rE r v r B r v r

Conduzione nel plasma freddo

00 0 0 0

,, , , ,

d tm q t t t v m t

dt

v rE r v r B r v r

0

0

,

,x y z

t

d tv v v

dt x y z t

r

v r v v v v

ex y z

e

qv v v v

x y z t m

v v v v

E v B v

e

e

qv

t m

v

E v

0 0e e eq N q N n q N J v v v2

0pvt

J

J E

0 0 0/ 2 8.97p e eq N m N

1) Un’onda piana monocromatica a frequenza 0f 1 GHz, il cui fasore di campo è dato da

0 ˆ ˆ0 2

x jyjk zinc E e E , con 0E 1 V/m, si propaga nel vuoto ed incide ortogonalmente su

un’interfaccia piana oltre la quale è presente un dielettrico caratterizzato da una permittività dielettrica relativa 5 0.01r j . Determinare:

a) Se il dielettrico sia dissipativo e/o dispersivo. b) L’ampiezza e lo stato di polarizzazione dell’onda trasmessa. c) L’ampiezza e lo stato di polarizzazione dell’onda riflessa. d) L’intensità massima del fasore di campo magnetico nel vuoto e la minima distanza

dall’interfaccia dove tale massimo si instaura. e) L’intensità massima del fasore di campo elettrico nel vuoto e la minima distanza

dall’interfaccia dove tale massimo si instaura. f) La velocità dell’onda trasmessa che si propaga nel dielettrico. g) La velocità di un impulso a banda stretta (pacchetto d’onde) con spettro concentrato attorno

a 0f che si propaga nel dielettrico.

h) Determinare la distanza dall’interfaccia per cui l’ampiezza del campo elettrico trasmesso diventa un centesimo del campo elettrico trasmesso all’interfaccia (z=0).

i) Calcolare la densità potenza media trasmessa al dielettrico j) Calcolare la potenza dissipata dopo 10 m su una sezione di lato 1 m e commentare alla luce

del teorema di Poynting. k) Consideriamo adesso l’incidenza con un angolo di 45° sullo stesso dielettrico di un’onda

TM con ampiezza del campo elettrico incidente pari a 1 V/ m. Si calcoli l’angolo di trasmissione e la potenza trasmessa al dielettrico.

1 2

1 2

1

1 2

1 50.38

1 5

2 20.62

1 5

n nR

n n

nT

n n

2( )0

ˆ ˆ

2jk zt x jy

E TE e

( )0

t zE TE e

32 25 1 10

f fk j

c c

; 32510 0.047

f

c

Il massimo dell’ampiezza trasmessa zi ha in z = 0Il massimo dell’ampiezza trasmessa zi ha in z = 0 ( )00 0.62 V/mtE z TE

RHCPRHCP

( )0 0.38 V/mrE z RE LHCPLHCP

0 02 2( ) 1 R e 1 0.38ejk z jk ztot i r i iH H H H H

0 02 2( ) 1 R e 1 0.38ejk z jk ztot i r i iE E E E E Max per Max per 02 2k z n

Max per Max per 02 0 2k z n

1 4z

2 2z

8 8310 1.34 10 m/s

5

cv

n ;

( )0

t zE z TE e

( )

( )

1

1000

t

z

t

E ze

E 2ln10

98 mz

;

2 f

c

2 2 22 0

0

ˆ0 Re Re2

ts

nP z E T

Z S z

( ) ( )* 2 2 220

0

1ˆ( ) Re Re

2 2t t t t z

y x

nP z E H E T e

Z S z 22 22

002

t zs

nP z E T e

Z

Potenza dissipata dopo Potenza dissipata dopo dd metri: metri: 0t tP P d

' ''2 2 2 22 2 2 20 0 2 2 0

0 00

22 2

2 2 2 2z z

s s

n n c nL n E T e E T e

Z

E E

22 20

00

12 1 0

2 2

dd t t

s

nLdz E T e P P d

Z

2 2

2 20

cosˆRe

2t

p pE T nZ

S z

2 1

2 1

2

2 1

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

2 cos

1 cos 1 cos

t ip

t i

ip

t i

n nR

n n

nT

n n

1 1 2sin sin sini r tn n n

0 cosp r

r

qZ Z

22 2

2 *2

cosˆRe Re

2t

p pp

E TZ

S z

xxxx

xx

HH11

EE11

HH22

EE22

H’H’22E’E’22

t

i rxx

zz

H’H’11

xx

E’E’11

TETE' '

1 1 2 2s s s sE E E E

' '1 21 1 1 2 2 2

1 2

cos coss s s sE E E E

Z=0Z=0

1cos

sZ

1 2' '1 2

(1) (2)s ss s

s s

E ED D

E E

' '2 2

'1 2

1 10 0

;s s

s ss s

s sE E

E ER T

E E

1

1 1

cos coss i ii i

i

D i

TMTM

' '1 21 1 2 2

1 2p p p pE E E E

' '1 1 1 2 2 2cos cosp p p pE E E E

1 2' '1 2

(1) (2)p pp p

p p

E ED D

E E

' '2 2

'1 2

1 10 0

;

p p

p pp s

p pE E

E ER T

E E

1 1

cos cosi i

p i iD i

Z=0Z=0

zz

A1A1 B1B1

A’2A’2 B’2B’2

A2A2 B2B2

A3A3 B3B3

11

22

33

Z=dZ=d

' '1 1 2 2

1 2 12' '1 2 2

A A AD D D

B B B

'22

2'22

AAP

BB

2

22

0

0

j

j

eP

e

'2 1 3

2 3 '2 3

A AD D

B B

'1 1 1 3

1 2 2 2 3 '1 3

A AD D P D D

B B

2 2 2cosk d

Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel vuoto ed incide obliquamente su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (r 1 r =9). La direzione di incidenza forma un angolo = 30º con la normale alla superficie di separazione. Il campo magnetico incidente è polarizzato perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda piana incidente è associata una densità di potenza S i =3 W / m2. Determinare:

1) L’angolo di trasmissione in gradi; 2) La densità di potenza attiva associata all’onda riflessa; 3) La densità di potenza attiva associata all’onda trasmessa; 4) La densità di potenza attiva trasferita al dielettrico e

verificare la conservazione dell’energia; 5) L’intensità massima del fasore di campo magnetico nel

vuoto e la minima distanza dall’interfaccia dove tale massimo si instaura ;

6) Trovare l’angolo (in gradi) per cui l’ampiezza dell’onda trasmessa è massima;

7) La velocità dell’onda trasmessa che si propaga nel dielettrico;

8) Considerando adesso un mezzo con costante dielettrica complessa 9 0.01r j , determinare la distanza dall’interfaccia per cui l’ampiezza del campo magnetico trasmesso diventa un centesimo del campo magnetico trasmesso all’interfaccia (z=0).

j z j zV V e V e

0

1 j z j zI V e V eZ

2

p

LCv

L L LV Z I

(0) LV V V V

(0) LI I I I 0 0

(0) L

L

V V VI

Z Z Z

0

0

0

2

L

L

L L

L

Z ZV

V Z Z

V Z

V Z Z

0

j l j l

i j l j l

V l e eZ Z l Z

I l e e

z l

00

0

cos sin

cos sinL

iL

Z l jZ lZ Z

Z l jZ l

00

0

cos sin

cos sinL

iL

Y l jY lY Y

Y l jY l

0

ii

Zz r jx

Z

2 j lw e u jv

1

1

u jvr jx

u jv

2 22

22

2

1

1 1

1 11

ru v

r r

u vx x

1 2

1 1 1

L L LZ Z Z ovveroovvero

1 2L L LY Y Y

0 0

j z j zI IV e e

Y Y

j z j zI I e I e

LL

L

IV

Y

0 0

(0) L

L

I I IV

Y Y Y

(0) LI I I I

0

0

0

2

L

L

L L

L

Y YI

I Y Y

I Y

I Y Y

%

%

2 j lw e u jv %% % %0

ii

Yy g jb

Y

1

1i

wy

w

%%

Inseriamo lo stub in un punto lungo la linea principale in cui g(z) = 1 in modo da Inseriamo lo stub in un punto lungo la linea principale in cui g(z) = 1 in modo da ottenere il risultato cercato facendo in modo che la parte immaginaria sia cancellata ottenere il risultato cercato facendo in modo che la parte immaginaria sia cancellata dall’impedenza dello stub. Il punto si trova a 0.485dall’impedenza dello stub. Il punto si trova a 0.485 dal carico e si ottiene b =1.13. dal carico e si ottiene b =1.13. Si ottiene quindi B=Y0 b =(0.020)(1.13)= 0.0226 S. Occorre quindi connettere in Si ottiene quindi B=Y0 b =(0.020)(1.13)= 0.0226 S. Occorre quindi connettere in questo punto uno stub con suscettanza di ingresso pari a -0.0226 S.questo punto uno stub con suscettanza di ingresso pari a -0.0226 S.Partiamo da una ammettenza infinita (al carico cortociscuitato dello stub) e Partiamo da una ammettenza infinita (al carico cortociscuitato dello stub) e dobbiamo traformarla in una suscettanza normalizzata pari a -1.582. Pe far ciò dobbiamo traformarla in una suscettanza normalizzata pari a -1.582. Pe far ciò occorre trovare l tale cheoccorre trovare l tale che

z0 50z0s 70zl 2020

0 0

coscot

sinis

lY jY jY l

l

00

0

cos sin

cos sinL

iL

Y l jY lY Y

Y l jY l

Adattamento di una linea di trasmissione mediante inserimento di uno stab Adattamento di una linea di trasmissione mediante inserimento di uno stab cortocircuitato.cortocircuitato.

cot 1.582l