Campi Campi elettromagneticielettromagnetici
Docente:SalvatoreSalvatoreSavastaSavasta Anno acc. 2006/2007
Perchè studiare i campi Perchè studiare i campi elettromagnetici ?elettromagnetici ?
• Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad alta velocità e a microonde
• Antenne e comunicazioni senza fili
• Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce in fibra – optoelettronica e fotonica
• Macchine elettromeccaniche
• Interferenze elettromagnetiche e compatibilità
ElettrostaticaElettrostatica
12 2 20 8.854 10 (F/m) C / N m
304
i i
i i
r rF
r r 0limq q
F
E
Il campo elettrico è un campo vettoriale, Il campo elettrico è un campo vettoriale, ovvero l'associazione di un vettore ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad (P) ad ogni punto P dello spazio. Esso determina ogni punto P dello spazio. Esso determina l'azione della forza elettrica su una l'azione della forza elettrica su una particella carica eventualmente posta in particella carica eventualmente posta in quel punto.quel punto.
Principio di sovrapposizionePrincipio di sovrapposizione
ElettrostaticaElettrostatica
D
0 D E P
0 e P E
0 1 e D E E
Per mezzi lineari ed isotropi
V S V
dV dV D D dSÑTeorema di Gauss 12
0 8.854 10 F/m
qF E
Potenziale elettrostatico
V E r r
B
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V A V B d E r P
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QC
V
Potenziale di un conduttorePotenziale di un conduttore
condensatoricondensatori
Cavo coassialeCavo coassiale qq
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A A
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ln
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Magnetostatica
H J
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Teorema di Stokes 0 B
H M
0r B H H7
0 4 10 H/m
03
d4
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V V l
d dV dl F F J B i B Legge di Ampere-Laplace
Prodotto vettorialeProdotto vettorialesinab a b
è perpendicolare al piano individuato dai due vettori
ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo convesso da questi formato
ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore (regola della mano destra).
sinab a b n
1 2 3 1 2 3
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
a a a b b b
a b a b a b a b a b a b
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231 312 123
132 213 321
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ijk jik kji ikj
i j i k j k
rotorerotore
1 2 31 2 3
3 2 1 3 2 12 3 3 1 1 2
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A A A A A Ax x x x x x
A r i j k r i r j r k
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Ax
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Legge di FaradayLegge di Faraday
t
B
E
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Per campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale alla differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici variabili ciò non è più vero.
La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira) è pari alla variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una qualunque superficie che si appoggia al cammino) del campo magnetico
InduttanzaInduttanza
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La corrente di spostamento
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Equazioni di MaxwellEquazioni di Maxwellforma integraleforma integrale
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Regime sinusoidale
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Regime sinusoidale
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Regime sinusoidale
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polarizazzione
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Parametri di Stokes
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Potenziali vettore e scalarePotenziali vettore e scalare0 B
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CondizioneCondizionedi Lorentzdi Lorentz
Potenziali vettore e scalarePotenziali vettore e scalare
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In mezzi omogenei e isotropi:In mezzi omogenei e isotropi:
2 2s A A J
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Potenziali vettore e scalarePotenziali vettore e scalarecampi armonicicampi armonici
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Regime sinusoidaleDensità di carica indottaDensità di carica indotta
Densità di carica sorgenteDensità di carica sorgente
Densità di corrente indottaDensità di corrente indotta
Densità di correnteDensità di correntesorgentesorgente
Relazioni costitutive
D EB H
In un mezzo lineare e passivo D e B dipendono In un mezzo lineare e passivo D e B dipendono linearmente da E ed H rispettivamente mediante linearmente da E ed H rispettivamente mediante parametri costitutivi. Inoltre, se le relazioni costitutive parametri costitutivi. Inoltre, se le relazioni costitutive non dipendono dalla direzione di E ed H, il mezzo è non dipendono dalla direzione di E ed H, il mezzo è detto isotropo.detto isotropo.
120
70
8.854 10 farad/metro
4 10 henry/metro
8
0 0
13 10 metri/sc
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0 0
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21 22 23
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D E
D E
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(mezzi lineari con perdite)(mezzi lineari con perdite)
(Regime sinusoidale)
Relazioni costitutive( ) ( ) ( ) ( )
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Indice di rifrazione complessoIndice di rifrazione complesso
TangenteTangentedi perditadi perdita
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Mezzi non dispersiviMezzi non dispersivi
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Il teorema di PoyntingIl teorema di Poynting
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Rate dell’incrementodi energia
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Cariche in movimentoCariche in movimentonqJ v
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Potenza reattivaPotenza reattiva
PotenzaPotenzaattivaattiva
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Condizioni di continuitàn
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Riflessione totale
Potenza media totalePotenza media totaleche attraversa 1 mche attraversa 1 m22 di interfaccia di interfaccia
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TMTM
Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel vuoto ed incide Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel vuoto ed incide obliquamente su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (obliquamente su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (rr 1 1 rr
=16).=16).La direzione di incidenza forma un angolo La direzione di incidenza forma un angolo = 60 = 60ºº con la normale alla con la normale alla
superficie di separazione. L’onda piana incidente è polarizzata superficie di separazione. L’onda piana incidente è polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda piana incidente è perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda piana incidente è associata una densità di potenza Sassociata una densità di potenza Sii =2 =2 W / mW / m22. Determinare:. Determinare:
1)1) La densità di potenza attiva associata all’onda riflessaLa densità di potenza attiva associata all’onda riflessa2)2) La densità di potenza attiva associata all’onda trasmessaLa densità di potenza attiva associata all’onda trasmessa3)3) La densità di potenza attiva trasferita al dielettricoLa densità di potenza attiva trasferita al dielettrico4)4) L’ampiezza della componente lungo la normale al piano di incidenza del L’ampiezza della componente lungo la normale al piano di incidenza del
campo magnetico totale nel vuoto ad una distanza d =1.5 m.campo magnetico totale nel vuoto ad una distanza d =1.5 m.
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Velocità di gruppo
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Un’onda è detta quasi-monocromatica seUn’onda è detta quasi-monocromatica se
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0
1 1per con 1
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a
=
Consideriamo per il momento Consideriamo per il momento un’onda costituita dalla un’onda costituita dalla sovrapposizione di due onde sovrapposizione di due onde monocromatiche di eguale monocromatiche di eguale ampiezza e con frequenze ampiezza e con frequenze leggermente diverse:leggermente diverse:
, exp expV z t a j t jkz a j t j k k z
, exp expV z t a j t jkz a j t j k k z
1
21
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2 2 2 2a j t j k z j t j k z j t jkz
12 cos exp
2a t k z j t jkz
Ampiezza dipendente dal Ampiezza dipendente dal tempo e dalla posizionetempo e dalla posizione
fasefase
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-0.5
0.5
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A
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12
21
22
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p
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Distanza tra massimi successivi della Distanza tra massimi successivi della funzione di ampiezzafunzione di ampiezza
Distanza tra massimi successivi della Distanza tra massimi successivi della funzione di fasefunzione di fase
4
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p
t
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, Re ( , ) expV z t A z t j t jkz
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exp
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Un’onda piana monocromatica (f = 10 MHz) polarizzata circolarmente (LHC) si Un’onda piana monocromatica (f = 10 MHz) polarizzata circolarmente (LHC) si propaga nel vuoto ed incide perpendicolarmente (in direzione z) su una propaga nel vuoto ed incide perpendicolarmente (in direzione z) su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (interfaccia piana con un mezzo dielettrico (rr = 1 = 1 rr =9). =9).
L’onda icidente trasporta una densità di potenza attiva SL’onda icidente trasporta una densità di potenza attiva S ii = 4 mW / m = 4 mW / m22. . Determinare:Determinare:
1)1) Scrivere l’espressione nel dominio del tempo del campo elettrico incidente Scrivere l’espressione nel dominio del tempo del campo elettrico incidente e calcolare l’ampiezza delle componenti (x e y ) del campo elettrico e calcolare l’ampiezza delle componenti (x e y ) del campo elettrico incidenteincidente
2)2) La lunghezza d’onda nel dielettricoLa lunghezza d’onda nel dielettrico3)3) La densità di potenza attiva trasmessa attraverso l’interfacciaLa densità di potenza attiva trasmessa attraverso l’interfaccia4)4) L’espressione nel dominio del tempo del campo magnetico associato L’espressione nel dominio del tempo del campo magnetico associato
all’onda piana trasmessaall’onda piana trasmessa5)5) La polarizzazione dell’onda riflessaLa polarizzazione dell’onda riflessa
,v v t r ,v tr
V
0r
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zz
Campo di velocitàCampo di velocità
,N N t r Densità degli elettroniDensità degli elettroni
0 0 ,N N t r Densità di equilibrioDensità di equilibrio
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Conduzione nel plasma freddo
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J
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1) Un’onda piana monocromatica a frequenza 0f 1 GHz, il cui fasore di campo è dato da
0 ˆ ˆ0 2
x jyjk zinc E e E , con 0E 1 V/m, si propaga nel vuoto ed incide ortogonalmente su
un’interfaccia piana oltre la quale è presente un dielettrico caratterizzato da una permittività dielettrica relativa 5 0.01r j . Determinare:
a) Se il dielettrico sia dissipativo e/o dispersivo. b) L’ampiezza e lo stato di polarizzazione dell’onda trasmessa. c) L’ampiezza e lo stato di polarizzazione dell’onda riflessa. d) L’intensità massima del fasore di campo magnetico nel vuoto e la minima distanza
dall’interfaccia dove tale massimo si instaura. e) L’intensità massima del fasore di campo elettrico nel vuoto e la minima distanza
dall’interfaccia dove tale massimo si instaura. f) La velocità dell’onda trasmessa che si propaga nel dielettrico. g) La velocità di un impulso a banda stretta (pacchetto d’onde) con spettro concentrato attorno
a 0f che si propaga nel dielettrico.
h) Determinare la distanza dall’interfaccia per cui l’ampiezza del campo elettrico trasmesso diventa un centesimo del campo elettrico trasmesso all’interfaccia (z=0).
i) Calcolare la densità potenza media trasmessa al dielettrico j) Calcolare la potenza dissipata dopo 10 m su una sezione di lato 1 m e commentare alla luce
del teorema di Poynting. k) Consideriamo adesso l’incidenza con un angolo di 45° sullo stesso dielettrico di un’onda
TM con ampiezza del campo elettrico incidente pari a 1 V/ m. Si calcoli l’angolo di trasmissione e la potenza trasmessa al dielettrico.
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1 2
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Il massimo dell’ampiezza trasmessa zi ha in z = 0Il massimo dell’ampiezza trasmessa zi ha in z = 0 ( )00 0.62 V/mtE z TE
RHCPRHCP
( )0 0.38 V/mrE z RE LHCPLHCP
0 02 2( ) 1 R e 1 0.38ejk z jk ztot i r i iH H H H H
0 02 2( ) 1 R e 1 0.38ejk z jk ztot i r i iE E E E E Max per Max per 02 2k z n
Max per Max per 02 0 2k z n
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8 8310 1.34 10 m/s
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Potenza dissipata dopo Potenza dissipata dopo dd metri: metri: 0t tP P d
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A’2A’2 B’2B’2
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A AD D P D D
B B
2 2 2cosk d
Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel vuoto ed incide obliquamente su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (r 1 r =9). La direzione di incidenza forma un angolo = 30º con la normale alla superficie di separazione. Il campo magnetico incidente è polarizzato perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda piana incidente è associata una densità di potenza S i =3 W / m2. Determinare:
1) L’angolo di trasmissione in gradi; 2) La densità di potenza attiva associata all’onda riflessa; 3) La densità di potenza attiva associata all’onda trasmessa; 4) La densità di potenza attiva trasferita al dielettrico e
verificare la conservazione dell’energia; 5) L’intensità massima del fasore di campo magnetico nel
vuoto e la minima distanza dall’interfaccia dove tale massimo si instaura ;
6) Trovare l’angolo (in gradi) per cui l’ampiezza dell’onda trasmessa è massima;
7) La velocità dell’onda trasmessa che si propaga nel dielettrico;
8) Considerando adesso un mezzo con costante dielettrica complessa 9 0.01r j , determinare la distanza dall’interfaccia per cui l’ampiezza del campo magnetico trasmesso diventa un centesimo del campo magnetico trasmesso all’interfaccia (z=0).
j z j zV V e V e
0
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V l e eZ Z l Z
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Inseriamo lo stub in un punto lungo la linea principale in cui g(z) = 1 in modo da Inseriamo lo stub in un punto lungo la linea principale in cui g(z) = 1 in modo da ottenere il risultato cercato facendo in modo che la parte immaginaria sia cancellata ottenere il risultato cercato facendo in modo che la parte immaginaria sia cancellata dall’impedenza dello stub. Il punto si trova a 0.485dall’impedenza dello stub. Il punto si trova a 0.485 dal carico e si ottiene b =1.13. dal carico e si ottiene b =1.13. Si ottiene quindi B=Y0 b =(0.020)(1.13)= 0.0226 S. Occorre quindi connettere in Si ottiene quindi B=Y0 b =(0.020)(1.13)= 0.0226 S. Occorre quindi connettere in questo punto uno stub con suscettanza di ingresso pari a -0.0226 S.questo punto uno stub con suscettanza di ingresso pari a -0.0226 S.Partiamo da una ammettenza infinita (al carico cortociscuitato dello stub) e Partiamo da una ammettenza infinita (al carico cortociscuitato dello stub) e dobbiamo traformarla in una suscettanza normalizzata pari a -1.582. Pe far ciò dobbiamo traformarla in una suscettanza normalizzata pari a -1.582. Pe far ciò occorre trovare l tale cheoccorre trovare l tale che
z0 50z0s 70zl 2020
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Y l jY l
Adattamento di una linea di trasmissione mediante inserimento di uno stab Adattamento di una linea di trasmissione mediante inserimento di uno stab cortocircuitato.cortocircuitato.
cot 1.582l
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