13 Circuiti con accoppiamento magnetico...Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e...

v+

–

Φ

i(t)

Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Condensatori e induttori, pag. 1

Autoinduttanza

dt

diL

dt

di

di

dN

dt

dNv ⋅=Φ=Φ=

L = N dΦ/di è detta autoinduttanza (lega fra loro tensioni e correnti sulla stessa bobina)

v1

+

–Φ11

i1(t)


Mutua induttanza

dt

diL

dt

di

di

dN

dt

dNv 11

1

1

11

111 ⋅=

Φ=Φ=

v2

+

–

Φ12

Φ1 = Φ11+ Φ12


Mutua induttanza

dt

diM

dt

di

di

dN

dt

dNv 121

1

1

122

1222 ⋅±=

Φ±=Φ±=

M21 = N2 dΦ12/di1 è detta mutua induttanza(lega la tensione indotta sulla seconda bobina

alla corrente nella prima bobina)

v1

+

–Φ11

i1(t) v2

+

–

Φ12


Mutua induttanza

dt

diM

dt

di

di

dN

dt

dNv 212

2

2

211

2111 ⋅±=

Φ±=Φ±=

v1

+

–Φ22

i2(t)v2

+

–

Φ21

dt

diL

dt

di

di

dN

dt

dNv 22

2

2

22

222 ⋅=

Φ=Φ=

Φ2 = Φ22+ Φ21


Mutua induttanza

Si mostrerà che M12= M21= M

Nonostante la mutua induttanza sia sempre positiva (M > 0), la tensione indotta Mdi/dt può risultare positiva o negativa. Il segno dipende dal senso di avvolgimento dei fili delle due bobine.

Normalmente non è necessario “ispezionare” gli avvolgimenti poiché i terminali vengono “marcati” in modo che valga la convenzione dei puntini


Convenzione dei puntini

Se la corrente entra dal terminale con il puntino di una bobina, la direzione di riferimento della tensione mutuamente indotta nella seconda bobina ha il segno positivo nel terminale col

puntino della seconda bobina



i1 +

–

i1 +

–

dt

diMv 12 =

dt

diMv 12 −=

M

M

i1 +

–

i1 +

–

dt

diMv 12 =

dt

diMv 12 −=

M

M



i1

+

–

M i2

+

–

v1 v2L1 L2

dt

diM

dt

diLv 2111 += dt

diM

dt

diLv 1222 +=


Collegamento serie concorde

i

+ –

dt

diMLL

dt

diM

dt

diL

dt

diM

dt

diLv )2( 2121 ++=+++=

ML1 L2

v

MLLLeq 221 ++=


Collegamento serie in opposizione

dt

diMLL

dt

diM

dt

diL

dt

diM

dt

diLv )2( 2121 −+=−+−=

i

+ –

ML1 L2

v

MLLLeq 221 −+=


Energia in un circuito con accoppiamento

v1

+

–

M

+

–

i1 i2

v2L1 L2

Ricordiamo che si ha:

21110 110 22111 2

1)()(

11

ILdiiLdtivivtwIt

==+= ∫∫

In un tempo t1 si fa crescere i1 fino a i1(t1) = I1, con i2 = 0(di2/dt = 0). Si ha quindi:

dt

diM

dt

diLv 212

111 += dt

diM

dt

diLv 121

222 +=

Supponiamo i1(0) = i2(0) = 0 e w1(0) = w2(0) = 0.

Dall’istante t1 all’istante t2 facciamo crescere i2 fino a i2(t2) = I2,con i1 = I1 (di1/dt = 0). Si ha quindi:

dtivivtwtwt

t∫ ++=2

1

)()()( 221112

2222112

21120 2220 112

211 2

1

2

1

2

1 22ILIIMILdiiLdiIMIL

II++=++= ∫∫



v1

+

–

M

+

–

i1 i2

v2L1 L2

Ricordiamo che si ha:

22220 220 22111 2

1)()('

21

ILdiiLdtivivtwIt

==+= ∫∫

Al contrario di prima, nel tempo t1 si fa crescere i2 fino a i2(t1) = I2, con i1 = 0 (di1/dt = 0). Si ha quindi:

dt

diM

dt

diLv 212

111 += dt

diM

dt

diLv 121

222 +=

Supponiamo ancora i1(0) = i2(0) = 0 e w1(0) = w2(0) = 0.

Dall’istante t1 all’istante t2 facciamo crescere i1 fino a i1(t2) = I1,con i2 = I2 (di2/dt = 0). Si ha quindi:

dtivivtwtwt

t∫ ++=2

1

)()(')(' 221112

21212

1122210 22110 11

222 2

1

2

1

2

1 11IIMILILdiIMdiiLIL

II++=++= ∫∫



v1

+

–

M

+

–

i1 i2

v2L1 L2

Riassumendo si ha:

21122

112222 2

121

)( IIMILILtw ++=

21212

112222 2

121

)(' IIMILILtw ++=

ma in entrambi i casi siamo partiti dalla stessa condizione iniziale e arrivati alla stessa condizione finale. Pertanto deve essere:

)(')( 22 twtw =1221 MM =

212

11222 2

121

IMIILILw ++=



v1

+

–

M

+

–

i1 i2

v2L1 L2

Poiché I1 e I2 sono quantità arbitrarie, si può scrivere:

)()()(21

)(21

)( 21222

211 titMitiLtiLtw ++=

Se le correnti non entrano o escono entrambe dal terminale con il puntino si ha:

)()()(21

)(21

)( 21222

211 titMitiLtiLtw −+=

v1

+

–

M

+

–

i1 i2

v2L1 L2



Poiché il circuito è passivo, l’energia immagazzinata non può essere negativa. Deve quindi essere verificata la relazione

021

21

21222

211 ≥−+= iMiiLiLw

( ) ( ) 021

2121

2

2211 ≥−+− MLLiiLiLi

Sommando e sottraendo si ha:2121 LLii

e quindi deve essere

021 ≥− MLL 21LLM ≤


Coefficiente di accoppiamento

Si definisce coefficiente di accoppiamento la quantità

21LL

Mk =

Il coefficiente di accoppiamento misura l’accoppiamento magnetico fra le due bobine (0 ≤ k ≤ 1)

1211

12

1

12

Φ+ΦΦ=

ΦΦ=k

2221

21

2

21

Φ+ΦΦ=

ΦΦ=k

Se k = 1 si parla di accoppiamento perfettoSe k > 0.5 si parla di accoppiamento strettoSe k < 0.5 si parla di basso accoppiamento


Trasformatori lineari

M

L1 L2

R1 R2

Un trasformatore è un quadrupolo costituito da due bobine magne-ticamente accoppiate. Se le proprietà magnetiche del traferro su cui

sono avvolti i fili sono lineari, il trasformatore si dice lineare.

k < 1 a causa dei flussi dispersi

traferro

N1 spire N2 spire

campo magnetico

flussi dispersi


Impedenza riflessa

jωM

jωL1 jωL2

R1 R2

ZLZin

V+

–

I2I1

+++−=−+=

2221

2111

)(0

)(

IZI

IIV

LLjRMj

MjLjR

ωωωω

Lin LjR

MLjR

ZIV

Z++

++==22

22

111 ω

ωω

Impedenza del primario Impedenza riflessa

L’impedenza riflessa è il carico che viene visto in serie all’impedenza del primario a causa del mutuo accoppiamento


Trasformatori ideali

Un trasformatore è ideale se:

• non ha flussi dispersi ⇒ k = 1• le auto e mutue induttanze sono molto elevate (L1, L2, M → ∞)• non vi sono perdite (R1 = R2 = 0)

N1 N2 N1 N2

traferro

N1 spire N2 spire

campo magnetico



traferro

N1 spire N2 spire

campo magnetico

v1

+

–

+

–

v2N1 N2

dt

dNv 111

Φ=dt

dNv 222

Φ=

Poiché k = 1 si ha Φ1 = Φ2 e quindi

nN

N

v

v ==1

2

1

2 n è detto rapporto di trasformazione



V1

+

–

+

–

I1 I2

V2

Passando ai fasori si ha:

nN

N ==1

2

1

2

VV

1:n

Per l’ipotesi di assenza di perdite tutta la potenza entrante sul primario deve essere erogata al carico collegato al secondario:

nN

N 1

2

1

1

2 ==II

2211 iviv = nNN

v

v

i

i 1

2

1

2

1

1

2 ===



V1

+

–

+

–

I1 I2

V2

nN

N ==1

2

1

2

VV

1:n

Se V2 > V1 (n > 1) si parla di trasformatore elevatore

Se V2 < V1 (n < 1) si parla di trasformatore riduttore

nN

N 1

2

1

1

2 ==II

(si noti che I2 è uscente)



V1

+

–

+

–

I1 I2

V2

12 VV n=1:n

21 II n=n2

1

VV =

n1

2

II =

2*22

*2

2*111 )( SIVI

VIVS ==== n

n

Per la potenza complessa si ha:

e quindi tutta la potenza complessa fornita al primario viene trasferita al secondario



V1

+

–

+

–

I1 I2

V2

12 VV n=1:n

21 II n=n2

1

VV =

n1

2

II =

22

22

2

2

1

1 /

nnn

n Lin

ZI

VI

VIV

Z ====

L’impedenza vista ai capi dell’avvolgimento primario è:

ZL

Zin


Trasformatore reale

L1

1:n

Un modello approssimato del trasformatore reale (ancora nell’ipotesi di assenza di perdite) è il seguente

Dove L1 rappresenta l’induttanza del primario

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