ESERCIZI CIRCUITI MAGNETICI
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2 Circuiti magnetici
Versione del 17-3-2007
Esercizio n. 4
N1i1 i2
0
S
N2
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,
determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
0
2
11
3
2
R
N L =
0
2
22 3
2
R
N L =
0
21
3R
N N M = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
μδ
=S 0
0R
Esercizio n. 5
N1 N2
S
0
i1 i2
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
0
2
11
3R
N L =
0
2
22
3
2
R
N L =
0
21
3R
N N M −= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
μδ
=S 0
0R
Esercizio n. 6
N1 N2 N3
i
S0
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,
determinare l’induttanza dell’avvolgimento.
Risultato
0
323121
2
3
2
2
2
1
3
)(2
R
N N N N N N N N N L
−++++= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
μδ
=S 0
0R
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Circuiti magnetici 3
Versione del 17-3-2007
Esercizio n. 7
S
N1
i1
i2
0
N2
Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita,
determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.
Risultati
0
21
1 76
R
N L = 0
22
2 76
R
N L = 0
21
7R
N N M = ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛
μδ=S 0
0R
Esercizio n. 8
N1
i1
i2 N2
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
0
2
11
5
3
R
N L =
0
2
22
5
2
R
N L =
0
21
5R
N N M −=
Esercizio n. 9
N1 N2i1 i2
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
0
2
11 2
3
R
N L =
0
2
22 2
3
R
N L =
0
21
R
N N M =
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4 Circuiti magnetici
Versione del 17-3-2007
Esercizio n. 10
N
N 2N
i1
i2
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
0
2
1
3
2
R
N L =
0
2
2
3
14
R
N L =
0
2
3R
N M =
Esercizio n. 11
N1 N2 N1
i1 i1i2
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
0
2
11
R
N L =
0
2
22
R
N L =
0
21
R
N N M =
Esercizio n. 12
N2 N /21 N /21
i1
i2
Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R 0 e che le riluttanze dei tratti in materiale
ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due
avvolgimenti.
Risultati
0
2
11
4
5
R
N L =
0
2
22
R
N L =
0
21
2R
N N M −=
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Esercizi sui circuiti magnetici
Esercizio 1. Nel circuito magnetico illustrato calcolare, trascurando la riluttanza del ferro, i
coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due
avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 8 cm2, δ = 0.3 mm, N1 = 200, N2 = 100).
Soluzione
Il circuito equivalente “elettrico” si deduce
immediatamente dalle linee d’asse dei
gioghi e delle colonne del circuito
magnetico. La riluttanza R del traferro di
spessore δ è calcolabile come:
15
0
H10984.2S
−×=µ
δ=R
Le forze magnetomotrici si deducono, per
quanto riguarda il modulo, dal prodotto del
numero di spire nell’avvolgimento per la
corrente che le attraversa e, per quanto
riguarda il verso, con la regola della vite
destrogira, tenuto conto dei versi assegnati
per le correnti.
Il circuito è costituito da N = 2 nodi e R= 3 rami
in parallelo. La tensione “magnetica” tra i due
nodi del circuito è calcolabile direttamente
utilizzando il Teorema di Millman:
21
212
AB i80i401
2
11
i100
2
i200i100
+=
++
++
=ψ
R R R
R R R
( )
( )
+−=ϕ=ϕ
−=ϕ⇒
ϕ−=ψ
ϕ−=ψ
ϕ−=ψ
R
R
R
R
R
/ i20i40
/ i40i80
i100
2i200
i100
2132
211
32AB
11AB
22AB
Dalle caratteristiche dei tre rami si
deducono quindi direttamente i flussi su
ogni ramo:
I flussi concatenati ai due avvolgimenti,
con i versi di riferimento scelti, sono
dati da: Φc,1 = 200 ϕ1 , Φc,2 = 100 ϕ2 + 100 ϕ3
R
2 R200 i1
R
100 i2
100 i2
ϕ2
ϕ3
ϕ1
AB
N1
δ N2 i1
2δ
N2
i2
δ
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I coefficienti di auto e mutua induzione si calcolano quindi direttamente dalle definizioni:
mH6.53i
ΦL
0i1
1c,
1
2
===
mH8.26i
ΦM
0i2
1c,
1
−===
mH4.13i
ΦL
0i2
2c,
2
2
===
Esercizio 2. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato, calcolare i
coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due
avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 6 cm2, δ = 1 mm, N1 = 100, N2 = 200)
N2
δ
N1
δ
δ
δ
φ
i1
i2
2δ
L1 = 3.77 mH L2 = 22.6 mH M12 = 7.54 mH
Esercizio 3. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del
flusso di induzione magnetica φ con il verso di riferimento indicato in figura supponendo che gli
avvolgimenti siano percorsi dalle correnti i1 = −2 A e i2 = 4 A.
φ = − 0.15 mWb
Esercizio 4. Determinare il coefficiente di autoinduzione L dell’avvolgimento illustrato (la sezione
del circuito magnetico è 16 cm2
, N1 = N3 = 30, N2 = 10).
N1
1 mm
N3 N2
1 mm
3 mm
1 mm
1 mm
L = 0.2 mH
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Esercizio 5. Trascurando la riluttanza dei tratti in ferro, calcolare il flusso sul ramo AB del circuito
magnetico assegnato (sezione 10 cm2)
2 A
N1 = 30
0.5 mm
3 A
N2 = 40
0.5 mm
1 mm
0.5 mm
0.5 mm
0.1 mm
A
B
φAB
φAB = 0.19 mWb
Esercizio 6. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato in sezione calcolare
il coefficiente di auto induzione dell’avvolgimento (la lunghezza assiale è 20 cm, il raggio del
cilindro interno è R = 50 mm, l’apertura angolare di ogni polo 60°, δ0 = 1 mm, δ1 = 0.1 mm, t =10
mm, N = 100)
L = 233 mH
Esercizio 7. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del
campo di induzione magnetica nei traferri δ0 supponendo che l’avvolgimento sia percorso dalla
corrente i = 2 A .
Β = 0.22 T
i
N
N
R
t
δ1
δ0
δ0
δ1
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