Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna · precisi di dinamica, si...

Statica

Progetto CO-META Ravenna, ITIS Nullo Baldini, 24 febbraio 2011

Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna

Statica

•! Cinematica: descrizione del moto, trascurandone le cause.

•! Statica: studio delle forze (che sono causa dei cambiamenti dello stato di moto) nelle configurazioni di equilibrio.

•! Equilibrio: si ha quando un corpo soggetto a forze, inizialmente in quiete rispetto a un prestabilito SdR, rimane nello stato di quiete.

•! Concetto di forza: nasce dallo “sforzo” muscolare.

DOMENICO GALLI - Statica! 2!

Forza

•! Definizione operativa (specificazione del procedimento con cui si effettua la misura): cordicella + dinamometro. –! La retta su cui si dispone la cordicella rappresenta la direzione della

forza, il dinamometro ne misura il modulo. •! Il dinamometro è costituito da una molla a elica cilindrica e da una

scala graduata che consente di misurarne l’allungamento. •! Cordicella ideale: infinitamente sottile, perfettamente flessibile e

inestensibile. •! Molla ideale: massa nulla, segue precisamente la legge di Hooke:

dove k è una costante (costante elastica). !F

!F = !k"l

"!"

dinamometro DOMENICO GALLI - Statica! 3!

Dinamometro e Forza Peso

•! Forza peso: dovuta all’attrazione gravitazionale, diretta lungo la verticale, con verso diretto in basso.

•! Forza elastica: esercitata dalla molla, proporzionale all’allungamento della molla.

•! Equilibrio di un sistema di forze applicate a un punto materiale: risultante nulla:

•! Raddoppiando il peso (appendendo due pesetti uguali) raddoppia pure l’allungamento della molla.

!Fe!Fp

!Fp +

!Fe =!0 !

!Fp " k#l

"!"=!0


Natura Vettoriale delle Forze

•! Si trova sperimentalmente che le forze si sommano vettorialmente. –! Per 3 forze applicate a un punto materiale si ha l’equilibrio se:

!F3 = !

!F1 +

!F2( ) "

!F1 +

!F2 +

!F3 =!0

!F3

!F1

!F2

!F1 +!F2 = !

!F3


Forze Interne e Forze Esterne

•! In un sistema di punti materiali si definiscono:

–! Forze interne: le forze esercitate da una parte del sistema su un’altra parte dello stesso sistema.

–! Forze esterne: le forze esercitate su di una parte del sistema da parte di corpi non appartenenti al sistema.

•! Es.:

–! Per il sistema costituito dalla sola Terra, l’attrazione gravitazionale esercitata del Sole sulla Terra è una forza esterna.

–! Per il sistema costituito da Terra + Sole l’attrazione gravitazionale esercitata del Sole sulla Terra è una forza interna.


Equazioni Cardinali della Statica

•! Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale è che si annulli la risultante delle forze ad esso applicate (NB: questo non significa che non siano presenti forze!).

•! Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un corpo rigido è che si annullino sia la risultante sia il momento risultante delle forze esterne ad esso applicate (NB: le forze interne di coesione del corpo rigido, che mantengono invariate le distanze tra i punti, non hanno effetto).

!

R =!0

!R e( ) =

!0,

!M e( )

O( ) =!0 (equazioni cardinali della statica)


Centro di Gravità o Baricentro

•! Corpo rigido: si può idealmente suddividerlo in n parti sufficientemente piccole rispetto al contesto considerato, da poter essere considerate puntiformi.

•! Ogni parte è soggetta alla forza peso: .

•! Se il corpo non è troppo esteso (rispetto alla dimensione della Terra) tali forze sono parallele tra loro.

•! L’insieme delle forze peso è riducibile a una sola forza, la risultante , detta peso totale del corpo, applicata nel centro dei vettori paralleli, che in questo caso prende il nome di Centro di Gravità (o Baricentro) G.

!F1,!F2 ,...,

!Fn

!R

DOMENICO GALLI - Statica!

3P2P

1F!

2F!

3F!

4F!

1P4PO G

!R

8!

Centro di Gravità o Baricentro (II)

•! Il Centro di Gravità (essendo il centro dei vettori paralleli) è definito da:

•! Proiettando sugli assi e prendendo O come origine si hanno le componenti cartesiane:

xG = 1!

R

!Fi xi

i=1

n

!

yG = 1!

R

!Fi yi

i=1

n

!

zG = 1!

R

!Fi zi

i=1

n

!

"

#

$$$$

%

$$$$


3P2P

1F!

2F!

3F!

4F!

1P4PO G

!R

G !O! "!!!!!

= 1"

R

"Fi Pi !O! "!!!!!( )

i=1

n

"

O = 0,0,0( )Pi = xi , yi , zi( )Gi = xG , yG , zG( )

!

"##

$##

!R =

!Fi

i=1

n

!

9!

Centro di Gravità o Baricentro (III)

•! Per un sistema costituito da 2 soli punti materiali, il centro di gravità si trova sul segmento che congiunge i 2 punti, a distanza da essi inversamente proporzionale al loro peso.

•! Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di una retta, il centro di gravità si trova sulla medesima retta.

•! Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di un piano, il centro di gravità si trova sul medesimo piano.

•! Se un sistema può essere diviso in più parti, il suo centro di gravità coincide col centro di gravità dei centri di gravità parziali.

G1 G2GDOMENICO GALLI - Statica! 10!

Centro di Gravità o Baricentro (IV)

•! Per un corpo omogeneo (porzioni di ugual volume hanno ugual peso), suddividendolo in n parti di ugual volume, sufficientemente piccole rispetto al contesto considerato, da poter essere considerate puntiformi, si ha: !Fi =

!F , i = 1,2,…,n

xG = 1!

R

!Fi xi

i=1

n

! = 1n!F

!F xi

i=1

n

! = 1n!F

!F xi

i=1

n

! = 1n

xii=1

n

!

yG = 1n

yii=1

n

!zG = 1

nzi

i=1

n

!

"

#

$$$

%

$$$

G &O" !"""""

= 1n

Pi &O" !"""""( )

i=1

n

!


G !O! "!!!!!

= 1V

P !O! "!!!!( )dV

V"""

Centro di Gravità o Baricentro (V)

•! Se chiamiamo ps il peso specifico, si può scrivere:

•! Se si fa tendere , la sommatoria viene sostituita da un integrale. Per un corpo omogeneo:

xG = 1V

x d x d y d zV!!!

yG = 1V

y d x d y d zV!!!

zG = 1V

z d x d y d zV!!!

"

#

$$$

%

$$$

G !O! "!!!!!

= 1R

Vi ps Pi !O! "!!!!!( )

i=1

n

" =psR

Vi Pi !O! "!!!!!( )

i=1

n

" = 1V

Vi Pi !O! "!!!!!( )

i=1

n

" n!"


O = 0,0,0( )P = x, y, z( )Gi = xG , yG , zG( )

!

"##

$##

V = d x d y d zV!!!

12!

Forze Vincolari

•! Ogni vincolo impedisce certi movimenti del corpo considerato e ne consente altri (es.: rotaia treno, cardine porta, piano su cui è appoggiato un oggetto, ecc.).

•! Per impedire i movimenti vietati dei corpi, i vincoli debbono esercitare sui corpi delle forze, dette forze vincolari o reazioni vincolari.

•! Esempio: –! Se un corpo, appoggiato su un tavolo, rimane in quiete, allora la risultante

e il momento risultante delle forze che agiscono su di esso sono entrambi nulli.

–! Il corpo è sicuramente soggetto alla forza peso diretta lungo la verticale verso il basso.

–! Affinché sia nulla la risultante, deve essere presente una forza, diretta lungo la verticale verso l’alto.

–! Tale forza è la reazione vincolare . !Fp

!Rn

!Rn = !

!Fp


Forze Vincolari (II)

•! Le forze non vincolari sono dette forze attive. •! Le forze vincolari sono a priori sconosciute, in quanto

debbono adeguarsi alle circostanze per neutralizzare le forze attive che potrebbero causare movimenti vietati: –! Lo stesso tavolo esercita reazioni vincolari diverse su due

oggetti di peso diverso appoggiati su di esso.

!Fp1

!Rn1 !

Rn2

!Fp2

!Rn1 >

!Rn2


Forze di Attrito

•! Le forze di attrito sono forze che si sviluppano sulla superfici dei corpi, tangenzialmente ad esse, ostacolandone il movimento. –! Attrito interno: si esplica tra i vari strati di un fluido, dovuto alla

viscosità (es.: differente comportamento tra acqua e miele). –! Attrito del mezzo: resistenza viscosa (F v) o resistenza

idraulica (F v2) a cui è soggetto un corpo in moto entro un fluido viscoso.

–! Attrito radente: quando due corpi solidi sono sollecitati a strisciare l’uno sull’altro, sulle superfici di contatto si sviluppano forze tangenziali dovute alle asperità e alle forze di adesione che si esercitano tra le 2 superfici.

–! Attrito volvente: si osserva in un cilindro che rotola senza strisciare su di una superficie. Dovuto alle asperità e alla non perfetta elasticità dei corpi a contatto.


Attrito Radente

•! Si manifesta allo strisciare di due corpi l’uno sull’altro.

•! È causato dalle asperità delle superfici striscianti (per cui le irregolarità della superficie più dura scavano solchi sulla superficie più tenera) e dall’adesione tra le due superfici che può produrre delle vere micro-saldature nei punti di contatto. –! Particolarmente intensa è l’adesione tra rame e rame e tra

alluminio e alluminio, che tendono facilmente a “ingranarsi” o “gripparsi”.

!F

!Rt


Attrito Radente (II)

•! Per diminuire l’attrito radente si utilizzano lubrificanti, ovvero sostanze (olio, grafite, talco, paraffina) che si interpongono tra le due superfici che strisciano.

•! Per minimizzare l’attrito, allo scopo di eseguire esperimenti precisi di dinamica, si utilizza il “cuscino d’aria”, ovvero si interpone uno strato di aria tra le superfici.

•! Il ghiaccio secco a temperatura ambiente sublima in anidride carbonica gassosa che fuoriesce dal foro inferiore creando una pellicola di aria che si interpone tra il disco e la superficie su cui esso appoggia.


Attrito Radente (III)

•! La tecnica del “cuscino d’aria” viene utilizzata anche in particolari veicoli anfibi per trasporto passeggeri denominati hovercraft.


Attrito Radente (IV)

•! Nello studio dell’attrito radente si distingue tra attrito statico e attrito dinamico.

•! Se un corpo pesante appoggia con una faccia su di un piano orizzontale e sia applica ad esso una forza diretta orizzontalmente, se il modulo della forza è sufficientemente piccolo il corpo non si muove (attrito statico).

•! Quando invece si aumenta oltre una certa soglia, il corpo comincia a muoversi, ma con accelerazione inferiore a quella che avrebbe in assenza di attrito (attrito dinamico).

!F !F

!F


!F

!Rt

19!

Attrito Radente (V)

•! Si osserva sperimentalmente che esiste un valore di soglia Fsoglia del modulo della forza attiva per cui: –! Il corpo non si muove se:

In questo caso si dice che l’attrito radente è statico.

–! Il corpo si muove se:

In questo caso si dice che l’attrito radente è dinamico.

!F

!F < Fsoglia


!F

!Rt

!F ! Fsoglia

20!

Attrito Radente Statico

•! Se il corpo non si muove (attrito radente statico), significa che esso si trova in equilibrio statico, dunque la risultante delle forze deve essere nulla:

•! Questo significa che, se il corpo non si muove, la forza di attrito radente è sempre opposta alla forza attiva:

•! Come la reazione vincolare, anche la forza di attrito radente statico non è nota a priori: –! Essa si adegua alla forza attiva:

•! Finché non si raggiunge il valore di soglia Fsoglia.

!R =

!F +!Rts( ) =!0 se

!F < Fsoglia

!Rts( ) = !

!F se

!F < Fsoglia


!F

!Rts( )

21!

Attrito Radente Statico (II)

•! La massima intensità della forza di attrito radente statico si ha quando . In tal caso si ha:

•! Possiamo pertanto scrivere:

oppure:

lim!F !Fsoglia

!Rts( ) = Fsoglia


!F

!Rts( )

!F ! Fsoglia

max!Rts( ){ } = Fsoglia

!Rts( ) = !

!F

!F " Fsoglia

#$%

&%'

!Rts( ) =

!F " Fsoglia

22!

Attrito Radente Statico (III)

•! Si trova sperimentalmente che il valore di soglia Fsoglia è proporzionale all’intensità della reazione vincolare , detta forza di appoggio (che, a sua volta, è opposta alla forza peso ):

•! Il coefficiente adimensionale f è detto coefficiente di attrito statico.

•! Sperimentalmente f dipende dai materiali di cui sono composte le superfici e dalla loro scabrosità ed è approssimativamente indipendente dalla superficie di appoggio.

•! Per quanto visto, avremo pertanto, per l’attrito statico:


Fsoglia = f!Rn

!Rn

max!Rts( ){ } = Fsoglia = f !Rn

!Rts( ) =

!F < f

!Rn

!Rn

!p

!F

!Rts( )

!p

23!

Attrito Radente Dinamico

•! Se allora il corpo inizia a muoversi. •! In questo caso il corpo non è in equilibrio e la risultante

non è nulla:

•! Si trova sperimentalmente che l’intensità della forza di attrito radente dinamico vale:

dove è la reazione vincolare della superficie (forza d’appoggio), opposta alla forza peso . Il coefficiente adimensionale µ è detto coefficiente di attrito dinamico.

!R =

!F +!Rtd( ) !!0 se

!F " Fsoglia = f

!Rn


!F ! Fsoglia

!Rn

!p

!F

!Rtd( )

!v

!Rtd( ) = µ

!Rn se

!F ! f

!Rn

!Rn!p

24!

Attrito Radente (Sommario)

•! Concludendo, l’intensità della forza di attrito radente vale:


!Rn

!p

!F

!Rt

!Rt =

!Rts( ) =

!F se

!F < f

!Rn

!Rtd( ) = µ

!Rn se

!F ! f

!Rn

"#$

%$

!F

!Rt

f!Rn

f!Rn

µ!Rn

Attrito statico Attrito dinamico

25!

Attrito Radente (Valori Tipici)


Superfici f µ Legno-legno 0.5 0.3 Acciaio-acciaio 0.74 0.57 Acciaio-acciaio lubrificato 0.1 0.05 Acciaio-teflon 0.04 0.04 Alluminio-alluminio 1.05-1.35 1.4 Alluminio-acciaio 0.61 0.47 Rame-rame 1.00 0.2-0.6 Gomma-asfalto 0.7 0.5 Gomma-asfalto bagnato 0.4 0.2

!Rn

!p

!F

!Rt

26!

Attrito Statico e Attrito Dinamico

•! Evidenze pratiche del fatto che l’attrito dinamico è sempre minore del limite massimo dell’attrito statico:

–! Quando si sposta, strisciandolo, un mobile pesante, per metterlo in movimento (cioè per vincere il massimo attrito statico) occorre imprimergli una forza maggiore di quella necessaria per mantenerlo in movimento (che serve per vincere l’attrito dinamico).

–! Le automobili recenti sono dotate di un dispositivo anti-patinamento (ABS). Se la ruota patina, ovvero striscia, sull’asfalto, la forza di attrito diviene dinamica, e dunque l’azione frenante risulta inferiore. Il dispositivo ABS, quando la ruota patina rilascia un po’ il freno, in modo da ripristinare le condizioni di attrito statico.


Attrito Volvente

•! Un cilindro che rotola senza strisciare su di un piano è soggetto alla forza di attrito radente statico che impedisce lo strisciamento.

•! La forza di attrito radente statico non ostacola il rotolamento del cilindro.

•! Il rallentamento del moto di rotolamento (come vedremo in dinamica) è dovuto a una coppia di forze. Tale coppia è detta coppia di attrito volvente. Si tratta di forze assolutamente diverse da quelle di attrito radente statico. !

F!Rts( )


Attrito Volvente (II)

•! L’attrito volvente ha origine in una asimmetria delle forze elastiche vincolari.

•! Quando il cilindro rotola su di una superficie, si crea sulla superficie una avvallamento che procede insieme al cilindro.

•! Dove si forma l’avvallamento sono presenti forze che si oppongono alla deformazione.

•! Dove l’avvallamento scompare sono presenti forze di ripristino. •! Se le forze che si oppongono alla deformazione non sono

esattamente uguali alle forze di ripristino, si ha un’asimmetria che genera l’attrito volvente.


!F

29!

Attrito Volvente (III)

•! L’attrito volvente risulta molto inferiore all’attrito radente (dalle 100 alle 1000 volte).

•! Per questo motivo, dove si debba minimizzare l’attrito nella rotazione di un asse, si preferiscono i cuscinetti a rotolamento (come il cuscinetto a sfere mostrato in figura) ai cuscinetti a strisciamento (p.es.: bronzine).

•! Tra le due superfici cilindriche in figura sono poste 9 sfere ingabbiate che rotolano quando una superficie cilindrica si muove rispetto all’altra.


Forze di Attrito (Note)

•! Un corpo che striscia su di una superficie è soggetto alla forza di attrito radente dinamico.

•! Un corpo che rotola senza strisciare su di una superficie è soggetto alla forza di attrito radente statico e alla forza di attrito volvente.

•! In assenza di attrito radente l’uomo e gli animali non riuscirebbero a camminare e gli autoveicoli non riuscirebbero a muoversi.

!Rts( )!

Rts( )


Esercizio 1

•! Un’asta di peso (vedi figura) è appoggiata su due

supporti A e B, distanti, dal baricentro G dell’asta,

rispettivamente a = 1.1 m e .

•! Calcolare la forza d’appoggio dell’asta sul supporto A. •! ! = 573.

p =

! +110

N

b =

! +101000

m


G

A Ba b

32!

Esercizio 1 (II)

•! Poiché l’asta si trova in equilibrio, per le equazioni cardinali della statica debbono essere nulli sia la risultante delle forze applicate, sia il momento risultante delle forze esterne applicate:

•! Nel nostro caso le forze esterne sono la forza peso, applicata nel baricentro G e diretta verso il basso e le reazioni vincolari (forze di appoggio) applicate in A e B e dirette verso l’alto.

•! Prendendo soltanto le componenti verticali (le uniche non nulle), la prima equazione cardinale della statica si scrive:

p = RnA + RnB

!R e( ) =

!0,

!M e( )

O( ) =!0

!RnA

!RnBG

A Ba b!p


Esercizio 1 (III)

•! Considerando il baricentro G come centro di riduzione, la seconda equazione cardinale della statica si scrive:

•! Il sistema di equazioni:

ha 2 equazioni e 2 incognite e consente quindi di calcolare RnA e RnB. •! Nel nostro caso:

nA nBaR bR=

nA nB

nA nB

p R RaR bR= +!

" =#

1 573 1N N 57.4N10 101.1m10 573 10m m 0.583m

1000 1000

p

a

b

!

!

+ += = =

=+ += = =


!RnA

!RnBG

A Ba b!p

34!

Esercizio 1 (IV)

•! Per cui si ha: 57.4N

1.1 0.5831.1 1.8870.5831.887 57.4N

2.887 57.4N57.4 N 19.9N2.887

nA nB

nA nB

nB nA nA

nA nA

nA

nA

R RR R

R R R

R RR

R

+ =!" =#

= =

+ ==

= =


!RnA

!RnBG

A Ba b!p

35!

Esercizio 2

•! Su di un tavolo, di peso pari a p = 100 N, appoggiato sul pavimento, si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a F = 10 N, applicata ai suoi piedi.

•! Il coefficiente di attrito statico vale f = 0.20 e il coefficiente di attrito dinamico vale µ = 0.15.

•! Quanto vale l’intensità della forza di attrito?


Esercizio 2 (II)

•! La forza di attrito radente è data da:

•! Per calcolare la forza di attrito radente, è quindi necessario innanzitutto determinare la forza di soglia Fsoglia per sapere se si tratti di attrito radente statico o di attrito radente dinamico, ovvero se il tavolo rimane fermo o si muove.

•! Nel nostro caso:

per cui il tavolo rimane fermo (l’attrito è statico). !Rt2

!Rt1

!F


!Rt =

!Rts( ) =

!F se

!F < Fsoglia = f

!Rn

!Rtd( ) = µ

!Rn se

!F ! Fsoglia = f

!Rn

"#$

%$

Fsoglia = f!Rn = 0.20 !100N = 20N

!F = 10N < 20N = Fsoglia

37!

Esercizio 2 (III)

•! Siamo perciò in condizioni di equilibrio statico. •! Per la prima equazione cardinale della statica si deve avere:

•! L’intensità della forza di attrito vale perciò:

!Rt2

!Rt1

!F

!R e( ) =

!0 !

!Rts( ) +!F =!0


!Rt =

!Rts( ) =

!F = 10 N

38!

Esercizio 3

•! Su di un tavolo, di peso pari a p = 100 N, appoggiato sul pavimento, si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a F = 30 N, applicata ai suoi piedi.

•! Il coefficiente di attrito statico vale f = 0.20 e il coefficiente di attrito dinamico vale µ = 0.15.

•! Quanto vale l’intensità della forza di attrito?


Esercizio 3 (II)

•! La forza di attrito radente è data da:

•! Per calcolare la forza di attrito radente, è quindi necessario innanzitutto determinare la forza di soglia Fsoglia per sapere se si tratti di attrito radente statico o di attrito radente dinamico, ovvero se il tavolo rimane fermo o si muove.

•! Nel nostro caso:

per cui il tavolo si muove (l’attrito è dinamico). !Rt2

!Rt1

!F


!Rt =

!Rts( ) =

!F se

!F < Fsoglia = f

!Rn

!Rtd( ) = µ

!Rn se

!F ! Fsoglia = f

!Rn

"#$

%$

Fsoglia = f!Rn = 0.20 !100N = 20N

!F = 30N > 20N = Fsoglia

40!

Esercizio 3 (III)

•! Non siamo dunque in condizioni di equilibrio statico. •! Trattandosi di attrito radente dinamico, l’intensità della forza di

attrito vale:

!Rt2

!Rt1

!F


!Rt =

!Rtd( ) = µ

!Rn = 0.15!100N = 15 N

41!

Esercizio 4

•! Sia dato il sistema di carrucole di massa trascurabile mostrato in figura.

•! Determinare la forza F necessaria per stabilizzare il sistema se la massa M ha peso p = 1000 N.

•! Determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.

F

M


Esercizio 4 (II)

•! Applicando le equazioni cardinali della statica alla carrucola 1 si ha:

•! Per la carrucola 2 si ha:

•! Infine per la carrucola 3 si ha:

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!p =!0

T1r &T2r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 & p = 0T1 = T2

!"#

$#% T1 = T2 =

p2

!T1

!T2

!p

1!T3

!T4

!T1

2 !F

!T3

!T5

3

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T3 +!T4 +!T1 =!0

T3r &T4r = 0

!"#

$#%

T3 +T4 &T1 = 0T3 = T4

!"#

$#% T3 = T4 =

T12

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!F +!T3 +!T5 =!0

Fr &T3r = 0 % F = T3

!"#

$#F

M

1

23 !

T2!T1

!T3

!T4


Esercizio 4 (III)

•! Avremo perciò:

•! Per quanto riguarda la reazione vincolare totale del soffitto, considerato che la carrucola 3 non è appesa al soffitto, si ha:

F = T3 =T12= p4= 1000N

4= 250N

R = T2 +T4 =p2+ p4= 34p = 3

41000N = 750N


F

M

1

23 !

T2!T1

!T3

!T4

44!

Esercizio 5



•! Se la forza stabilizzante F è diretta lungo la verticale verso terra, determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.

F

M


Esercizio 5 (II)




!T1

!T3

!p

1

!T2

!T1

!T4

2!T2

F

M

!T1

!T2

!T3

1

2

3!T4

!T5

!T4

!T5

3!T3

!F

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!T3 +!p =!0

T1r &T3r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 +T3 & p = 0T1 = T3

!"#

$#

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!T4 =!0

T1r &T2r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 &T4 = 0T1 = T2

!"#

$#

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!F +!T4 +!T3 +!T5 =!0

Fr &T3r = 0

!"#

$#%

F +T4 +T3 &T5 = 0F = T3

!"#

$#


Esercizio 5 (III)

•! Riassumendo:

1 2 31 2 3

1 3

1 2 4

1 2 4 4

4 3 5

5 53

0

3 030

22 0 23

0 42 0 43

T T T FT T T ppT T F p F

T T TT T F T T F pF T T T

F F F T T F pF T

= = =! + + " = !!#$ $=%$ $ " = & =

$ $+ " =!$ $&## #= " = & = =%$ $$ $+ + " =!$ $# + + " = & = ==$ $% %%

F = p3= 1000N

3= 333N

T5 =43p = 4 !1000N

3= 1333N

"

#$$

%$$


F

M

!T1

!T2

!T3

1

2

3!T4

!T5

47!

Esercizio 6



•! Se la forza stabilizzante F è diretta lungo la verticale verso terra, determinare inoltre la reazione vincolare totale del soffitto.

F

M


Esercizio 6 (II)




!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T1 +!T2 +!T3 +!p =!0

T1r &T3r = 0

!"#

$#%

T1 +T2 +T3 & p = 0T1 = T3

!"#

$#

!T1

!T3

!p

1

!T2

!F

!T4

2!T1!T4

!T5

3!T2

F

M

12

3

!T1

!T2

!T3

!T4

!T5

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!F +!T1 +!T4 =!0

Fr &T1r = 0

!"#

$#%

F +T1 &T4 = 0F = T1

!"#

$#

!R =

!0

M u( ) = 0

!"#

$#%

!T4 +!T2 +!T5 =!0

T4r &T2r = 0

!"#

$#%

T4 +T2 &T5 = 0T4 = T2

!"#

$#


Esercizio 6 (III)

•! Riassumendo:

1 2 31 3

1 32 4

1 44 2 4

1

4 2 5

4 2 5 5

0

00 2

2 00 42 2 0 4

T T T pT T FT TT T

F T TF F T T T F

F TpF F F p FT T T

T T F F T T F p

!! + + " =!# = =$# = #%# =## + " =!# #& + " = & = =$$ $=%# #

# # + + " = & =+ " =!# #$ =# # + " = & = =%% %

F = p4= 1000N

4= 250N

R = T5 +T3 = p +p4= 54p = 5

41000N = 1250N

!

"##

$##


F

M

12

3

!T1

!T2

!T3

!T4

!T5

50!

Esercizio 7

•! Un punto materiale di peso p = 11.8 N è fissato al soffitto tramite un cavo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza r = 1.2 m e tramite una molla di lunghezza a riposo trascurabile (l0 = 0 m) e costante elastica k = 40 N/m.

•! Cavo e molla sono entrambi fissati in un’estremità al soffitto (a distanza r l’uno dall’altro) e nell’altra al punto materiale.

•! Calcolare, all’equilibrio, la distanza d del punto dal soffitto.

rr

p

k


Esercizio 7 (II)

•! La condizione di equilibrio si scrive:

•! Facendo riferimento alla figura e considerando le componenti lungo j, in modo da eliminare la tensione T del cavo, si ha:

•! !l si può esprimere mediante il teorema dei seni:

per cui: rr

!p

l!

ı !

2 2! "#

!

2!

!

!

R =!T +!Fe +!p =!0

cos cos cos2 2ep F k l! !! = = "

sin cossin sin2 2 2

cos2

l rl r r

! " "" "

"

# $%& '( )= = * + =+

sincos cos cos sin

2 2cos2

p k l k r kr! ! !! !!

" #$ %

= & = =$ %$ %' (


Esercizio 7 (III)

•! Abbiamo dunque:

pcos! = kr sin! " tan! = pkr

= 11.840 #1.2

= 0.245833

! = arctan0.245833= 0.241053d = r sin! = 1.2m # 0.238725 = 0.286m


rr

!p

l!

ı !

2 2! "#

!

2!

!

53!

Esercizio 8

•! Una scala, il cui peso è distribuito uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con una estremità su di un piano orizzontale scabro (coefficiente di attrito statico f = 0.2) e con l’altra contro una parete verticale, anch’essa scabra (f = 0.2).

•! Si determini l’angolo di minima inclinazione !min che la scala può formare con il piano orizzontale senza scivolare.

A

B

!


Esercizio 8 (II)

•! Le forze che agiscono sulla scala sono 5: la forza peso, le reazioni vincolari del piano orizzontale e della parete verticale, infine le forze di attrito statico esercitate dal piano orizzontale e dalla parete verticale.

•! Chiamiamo p il peso della scala e 2l la sua lunghezza. Le forze peso esercitate su ogni sua parte sono equivalenti a una forza con direzione verticale applicata al suo baricentro.

•! Prendendo G come centro di riduzione, le equazioni cardinali della statica si scrivono:

•! Scomponiamo la prima nelle componenti orizzontale e verticale.

!R e( ) =

!p +!RnA +

!RtA +

!RnB +

!RtB =

!0

!M e( )

G( ) =!RnA +

!RtA( )! A"G

" !""""( ) + !RnB + !RtB( )! B "G" !""""( ) = !0

#$%

&%


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

55!

Esercizio 8 (III)

•! Se indichiamo con i simboli dei vettori senza freccia i moduli (non le componenti) abbiamo:

•! Prendendone il modulo e scegliendo G come centro di riduzione, la seconda equazione cardinale della statica può essere scritta come:

!p +!RnA +

!RtA +

!RnB +

!RtB =

!0 !

RtA " RnB = 0p " RnA " RtB = 0

#$%

&%!

RnB = RtARnA + RtB = p

#$%

&%

!RnA +

!RtA( )! A" G( ) + !RnB +

!RtB( )! B " G( ) = !0

RnAl sin#2"$

%&'

()*

cos$" #$ %$

" RtAl sin$ " RtBl sin#2"$

%&'

()*

cos$" #$ %$

" RnBl sin$ = 0

RnA " RtB( )cos$ " RnB + RtA( )sin$ = 0

tan$ =RnA " RtB

RtA + RnB


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

56!

Esercizio 8 (IV)

•! Se aggiungiamo le due espressioni della massima forza di attrito radente statico (sul pavimento e sulla parete), otteniamo un sistema di 3 equazioni e 2 disequazioni:

•! Utilizzando una parte di queste relazioni siamo in grado di risolvere il problema.

RnB = RtA

RnA + RtB = p

tan! =RnA " RtB

RtA + RnB

RtA # f RnA

RtB # f RnB

$

%

&&&&

'

&&&&


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

57!

Esercizio 8 (V)

RnB = RtA

RnA + RtB = p

tan! =RnA " RtB

RtA + RnB

RtA # f RnA

RtB # f RnB

$

%

&&&&

'

&&&&

tan! =RnA " RtB

RtA + RnB

=RnA " RtB

2RtA

#RnA " f RnB

2RtA

=

=RnA " f RtA

2RtA

#RnA " f f RnA( )

2 f RnA( ) =RnA " f 2 RnA

2 f RnA

=

=1" f 2

2 fDOMENICO GALLI - Statica!

!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

58!

Esercizio 8 (VI)

•! Otteniamo infine:

tan! " 1# f2

2 f= 1# 0.2

2

2 $ 0.2= 2.40

!min = arctan 2.40( ) = 1.176 rad = 67.38°


!RtA A

B

G!p

!RtB !

RnB

!RnA

!

!

59!

Esercizio 9

•! Un punto materiale di peso p = 0.98 N è situato all’estremità di una sbarretta indeformabile, di peso trascurabile e lunghezza r = 0.1 m.

•! L’estremità opposta della sbarra è incernierata in O a una parete verticale in modo tale che la sbarra stessa si possa muovere soltanto in senso verticale.

•! A una distanza h = 0.2 m da O, verticalmente sopra al punto, è fissato l’estremo di una molla (k = 50 N/m) di lunghezza a riposo pari a l = 0.12 m.

•! La molla è fissata al punto materiale nel suo estremo opposto.

•! Determinare, all’equilibrio statico, l’allungamento della molla. O

rp

k

h


Esercizio 9 (II)

•! Trattandosi di un punto materiale, soggetto alla forza peso p, alla reazione vincolare della sbarra R e alla forza elastica della molla Fe, la condizione di equilibrio si scrive:

•! Scegliendo i due versori cartesiani i e j in modo tale che i sia nella direzione della sbarra (vedi figura), e scomponendo l’uguaglianza in tali due componenti, si ha:

dove abbiamo indicato con !l l’allungamento della molla (la lunghezza della molla è quindi l + !l). Per il teorema dei seni:

Or

!p

k

h!

!

ı!

!

R = !p +!R +!Fe =!0

ı!

! pcos" + R ! k #l cos$ = 0! psin" + k #l sin$ = 0

%&'

sin!h

= sin"l + #l

$ sin" = l + #lhsin!


Esercizio 9 (III)

•! Abbiamo quindi:

! psin" + k #l sin$ = 0

sin" =l + #l

hsin$

%&'

(') ! p l + #l

hsin$ + k #l sin$ = 0

! p lh! p #l

h+ k #l = 0 ) #l k !

ph

*+,

-./=

plh

#l = pl

h k ! ph

*+,

-./

=pl

hk ! p=

0.98 0 0.120.2 0 50 ! 0.98

= 0.013m


Or

!p

k

h!

!

ı!

62!

Esercizio 10

•! Una sbarra rigida di peso trascurabile e lunghezza l = 30 cm è sospesa al soffitto tramite 2 cavi inestensibili di ugual lunghezza, applicati alla sbarra a distanza a1 = 0 e a2 = (2/3)l dall’estremo sinistro.

•! Alla sbarra sono applicate 3 massette, di peso p1 = (!/500) N, p2!= 5 N e p3 = 10–6 ! 2 N, a distanze b1 = (1/3)l, b2 = (2/3)l e b3!=!l dall’estremo sinistro.

•! Determinare, in condizione di equilibrio statico, le tensioni dei due cavi.

•! ! = 500.! T1

p1

p2

p3

T2

!

!

! !

!


Esercizio 10 (II)

•! Prendendo come centro di riduzione O il punto sulla sbarra a distanza b2 = (2/3)l dall’estremo sinistro, le equazioni cardinali della statica si scrivono:

•! Da qui si ottiene:

•! Con i dati del problema:

RM

p1 + p2 + p3 = T1 + T2

T123 ! p1

13 + p3

13 = 0

"#$

%$

T1 =12 p1 !

12 p3

T2 = p1 + p2 + p3 ! T1 = p1 + p2 + p3 !12 p1 +

12 p3 =

12 p1 + p2 +

32 p3

"#$

%$

T1

p1

p2

p3

T2

!

!

! !

!

Op1 = 1 Np2 = 5 Np3 = 0.25 N

!

"#

$#

%T1 =

12 p1 &

12 p3 = 0.375 N

T2 =12 p1 + p2 +

32 p3 = 5.875 N

!"#

$#


Esercizio 11

•! Nel dispositivo in figura, M = (! /500) kg, m = 3!10–6 ! 2 kg, " = (!/6) rad, mentre la molla ha costante elastica k!=!(1/1000) ! 2!N/m.

•! Determinare, in condizione di equilibrio statico:

–! Il modulo della reazione vincolare T del soffitto;

–! L’allungamento ##l della molla;

–! Il modulo della reazione vincolare R esercitata dal piano inclinato sulla carrucola fissa.

•! ! = 500.

k

m

!M

T


Esercizio 11 (II)

•! Per quanto riguarda la carrucola mobile, si ha:

•! Per quanto riguarda la carrucola fissa, si ha:

•! Per quanto riguarda la massa m si ha:

k

m

!M

T

!!T

!T

!p = M!g

1

!!!T

!!T

!R

3

p = Mg = T + !TTr = !T r"#$

% T =M2

g

!R = !

!"T +!""T( )

"T r = ""T r

#$%

&%'

""T = "T = T

R = T 2 + T 2 ! 2T 2 cos 90°+(( ) = T 2 1+ sin(( )#$%

&%

mg sin! + k" l # T = 0 $ " l = T # mg sin!

k


Esercizio 11 (III)

•! Introducendo i dati del problema:

•! Si ha:

k

m

!M

T

! = 500 "

M = !500 = 1 kg

m = 3#10$6!2 = 0.75 kg% = &

6 rad

k = !2

1000 = 250 N m

'

(

))

*

))

T = M2g = 0.5! 9.81= 4.90 N

R = T 2 1+ sin"( ) = 4.90 2 1+ 12( ) = 4.90 3 = 8.49 N

# l = T $ mg sin"k

=4.90 $ 0.75! 9.81! 1

2

250= 4.89 !10$3 m

%

&

'''

(

'''


Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna · precisi di dinamica, si...

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