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CAPITOLO 4• CONDUTTORI

• DIELETTRICI

• ENERGIA ELETTROSTATICA

Esercizio 4.1

• Due sfere conduttrici rispettivamente di raggio 𝑹𝟏 e 𝑹𝟐 sono poste a distanza

molto grande rispetto ai raggi e sono unite da un filo conduttore. La carica

complessiva è 𝒒. Siano 𝒒𝟏 la carica distribuita con densità uniforme 𝝈𝟏 sulla

superficie 𝚺𝟏 della prima sfera, e 𝒒𝟐 la carica distribuita con densità uniforme

𝝈𝟐 sulla superficie 𝚺𝟐 della seconda sfera. Si trascuri la carica che si trova sul

filo.

1. Determinare i valori delle due cariche 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐.

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 2

Esercizio 4.2

• Valutare la capacità del condensatore sferico:

1. Nel limite per 𝑹𝟐 → ∞.

2. Nel limite per 𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 = 𝒉 ≪ 𝑹𝟏 ≅ 𝑹𝟐 ≅ 𝑹 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟐𝒎, con 𝒉 =

𝟏𝒎𝒎.


++

+

++

+

+

+

––

–

–

–

–

–

–

–r

𝑹𝟏

𝑹𝟐

𝑹𝟑+

+

+

+

+

+

+

+

+

Esercizio 4.3

• Determinare la capacità di un condensatore piano avente armature di area 𝚺 e

distanti 𝒉.


+ + + + + + + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – – – – – – –

h

+q

–q

Esercizio 4.4

• Determinare la capacità di un condensatore cilindrico di raggio interno 𝑹𝟏 e

raggio esterno 𝑹𝟐 e lunghezza 𝒅.


Esercizio 4.4bis

• PARTITORE CAPACITIVO

Ai capi di 3 condensatori in serie c’è una

differenza di potenziale Δ𝑽 = 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝐕.

La capacità equivalente del sistema

è 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏𝟎𝟎 𝒑𝑭.

1. Calcolare i valori delle capacità 𝑪𝟏, 𝑪𝟐, 𝑪𝟑affinché rispetto a 𝑽𝑨 sia 𝐕𝟏 = 𝟓𝟎 𝑽 e

𝐕𝟐 = 𝟕𝟎 𝑽.


𝑽𝑩

𝑽𝟐

𝑽𝟏

𝑽𝑨

𝑪𝟏

𝑪𝟐

𝑪𝟑

Esercizio 4.5

• Si consideri un condensatore piano con armature di area 𝜮 distanti 𝒉 e caricato

con carica 𝒒𝟎, contenente al suo interno una lastra dielettrica di spessore 𝒔 < 𝒉

e avente la stessa area delle armature del condensatore.

Determinare

1. La differenza di potenziale tra le armature;

2. La capacità equivalente del sistema.


+ + + + + + +

– – – – – – – –

𝒔 𝒉

Esercizio 4.6

• Una sfera conduttrice di raggio 𝑹 avente carica 𝒒, è immersa in un dielettrico

indefinito di costante dielettrica relativa κ.

1. Determinare le espressioni

in funzione di 𝒓 dei vettori:

a) 𝑫

b) 𝑬

c) 𝑷

2. Determinare l’espressione della

carica di polarizzazione 𝒒𝑷.


++

+

++

+

+

+r

𝑹

ෝ𝒖𝒓

ෝ𝒖𝒏𝑬

ෝ𝒖𝒏

κ

Esercizio 4.7

• Si supponga di cominciare ad inserire di un tratto 𝒙 una lastra dielettrica con

𝜿 = 𝟒 di spessore 𝒉 = 𝟏 𝒄𝒎 che occupi tutto lo spazio tra le armature

quadrate di lato 𝒍 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 di un condensatore piano, mantenute a Δ𝑽 =

𝟓𝟎𝟎 𝑽 costante da un generatore.

Determinare:

1. La forza 𝑭 con cui la lastra è

risucchiata all’interno

del condensatore.

2. Il lavoro complessivo 𝑾

compiuto dalla forza.

3. L’energia erogata da

un generatore durante tale processo.


+ + + + +

– – – – –

𝒉

Esercizio 4.8

• Tra le armature di area 𝚺 = 𝟏𝟏𝟓 𝐜𝐦𝟐 di un condensatore piano, distanti

𝒉 = 𝟏. 𝟐𝟒 𝒄𝒎, viene inserito un dielettrico di spessore 𝒔 = 𝟎. 𝟕𝟖 𝒄𝒎 e costante

dielettrica relativa κ = 𝟐. 𝟔𝟏. Prima dell’inserimento della lastra dielettrica, il

condensatore è stato caricato a 𝚫𝑽𝟎 = 𝟖. 𝟖𝟓 𝑽 e tenuto isolato.

1. Qual è la d.d.p. dopo l’inserimento del dielettrico?


Esercizio 4.9

• Si consideri una sfera metallica di raggio 𝑹𝟏 = 𝟒 𝒄𝒎, con una carica

𝒒 = 𝟏 𝒏𝑪, contenuta entro un guscio sferico metallico isolato, di raggio interno

𝐑𝟐 = 𝟔 𝐜𝐦 e raggio esterno 𝑹𝟑 = 𝟖 𝒄𝒎, con una carica totale 𝐐.

Il campo elettrico misurato in un punto 𝐏 a distanza 𝒍 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 dal centro del

sistema vale 𝐄 𝐥 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝐕/𝐦.

Determinare:

1. L’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio;

2. Le cariche 𝑸𝟐 e 𝐐𝟑 sulle due superfici del guscio sferico, e la carica

totale 𝐐 del guscio;

3. Il potenziale della sfera interna.


Esercizio 4.10

• Si consideri una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟔 𝒄𝒎 posta all'interno di un

guscio sferico conduttore di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e raggio esterno

𝑹𝟐 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎. Il guscio viene portato ad un potenziale di 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑽 e poi isolato.

1. Determinare la carica sulla superficie interna e su quella esterna del

guscio sferico e sulla sfera.

• Si carica a questo punto la sfera di raggio 𝑹𝟏 con una carica 𝑸 = 𝟐𝟎 𝒏𝑪.

Determinare:

2. La carica sulla superficie interna e su quella esterna della sfera cava;

3. La d.d.p. tra le due sfere.


Esercizio 4.11

• Si consideri una carica puntiforme 𝑸 = 𝟏 𝒏𝑪 circondata da un guscio sferico

conduttore carico con carica 𝑸′ = 𝟐 𝒏𝑪 di raggio interno 𝑹𝟏 = 𝟗 𝒄𝒎 e raggio

esterno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎.

• Determinare:

1. Le cariche affacciate sulle superfici del guscio;

2. L’espressione del campo elettrico in tutte le regioni dello spazio;

3. Il potenziale elettrostatico a distanza 𝑹𝑨 = 𝟔 𝒄𝒎 e 𝑹𝑩 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎 dal

centro del sistema.


Esercizio 4.12

• Una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎, carica con una carica 𝑸𝟏, è

circondata da un guscio sferico conduttore, inizialmente scarico, concentrico con

la sfera, di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎 e raggio esterno 𝑹𝟑 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎. Il

potenziale elettrostatico della sfera è pari a 𝟓𝟓𝟎 𝑽.

Determinare:


2. Il valore della carica 𝑸𝟏.

• Al guscio sferico viene fornita una carica 𝑸′ = 𝟐𝟎 𝒏𝑪.

3. Determinare le cariche affacciate sulle tre superfici conduttrici.

• La sfera e il guscio vengono collegati con un sottile filo conduttore.

4. Ad equilibrio elettrostatico raggiunto determinare il potenziale del guscio

sferico.


Esercizio 4.13

• Un guscio sferico conduttore carico, di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟒𝟎 𝒄𝒎 e raggio

esterno pari 𝑹𝟑 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎, racchiude al suo interno una sfera scarica di raggio

𝑹𝟏 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎. Il campo elettrostatico nel punto 𝑷 distante 𝑹𝑷 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 dal

centro del sistema vale 𝑬𝑷 = 𝟏𝟎𝟒 𝑽/𝒎.

1. Determinare la carica 𝑸 posseduta dal guscio sferico.

• Successivamente si carica la sfera interna con una carica 𝑸𝟏 e il campo misurato

in 𝑷 vale 𝑬𝑷′ = 𝟓 × 𝟏𝟎𝟑 𝑽/𝒎.

Determinare:

2. La carica 𝑸′ distribuita sulla superficie esterna della sfera cava dopo

l’introduzione della carica 𝑸𝟏;

3. Il valore della carica 𝑸𝟏;

4. Il potenziale nel punto 𝑷𝟐 distante 𝑹𝑷𝟐 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 dal centro del sistema.


Esercizio 4.14

• Cinque fogli metallici sferici di spessore trascurabile tutti concentrici, aventi

raggi pari a 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 𝒄𝒎, inizialmente scarichi, sono collegati come in figura.

Una carica 𝑸 = 𝟒 𝒏𝑪 è depositata sul conduttore più interno.

Determinare:

1. Le cariche 𝒒𝟏, 𝒒𝟐, 𝒒𝟑, 𝒒𝟒, 𝒒𝟓,

presenti su ciascuna superficie;

2. Il campo elettrostatico in funzione

della distanza dal centro;

3. La d.d.p. tra il conduttore più interno

e quello più esterno;

4. L’energia elettrostatica del sistema;

5. Come variano il campo e l’energia

se il conduttore 5 è collegato a terra


1

2

3

4

5

Esercizio 4.15

• Un sistema è costituito da una sfera isolante con 𝒌 = 𝟑, avente carica 𝑸

distribuita uniformemente nel volume e con raggio 𝑹𝟏 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, e da un guscio

conduttore, concentrico alla sfera, di raggio interno 𝑹𝟏 e raggio esterno 𝑹𝟐 =

𝟐𝟎 𝒄𝒎, avente carica 𝑸′. Il campo elettrico sulla superficie di raggio 𝑹𝟏 vale

𝑬𝟏 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑽/𝒎, mentre vale 𝑬𝟐 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝑽/𝒎 sulla superficie conduttrice di

raggio 𝑹𝟐. Determinare:

1. Le cariche 𝑸 e 𝑸′.

• La sfera isolante viene eliminata. Determinare:

2. L’espressione del campo elettrico

in tutti i punti dello spazio;

3. Il potenziale della superficie interna

del guscio.


𝑹𝟐

𝑹𝟏

Esercizio 4.16

• Si consideri una sfera isolante di raggio 𝑹 con costante dielettrica relativa 𝒌,

avente carica 𝑸 distribuita uniformemente nel suo volume. La sfera è ricoperta

da un sottile guscio conduttore, concentrico ad essa, collegato a terra.

Determinare:

1. L’espressione del campo elettrico e del potenziale in tutti i punti dello

spazio;

2. La densità di carica superficiale indotta nel metallo;

3. La densità di carica di polarizzazione sulla superficie della sfera.


Esercizio 4.17

• Si consideri una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟐 𝒄𝒎 e carica 𝑸 = 𝟏𝒎𝑪,

circondata da un guscio di materiale dielettrico avente costante dielettrica

relativa 𝒌 = 𝟑, concentrico alla sfera, di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟒 𝒄𝒎 e raggio

esterno 𝑹𝟑 = 𝟖 𝒄𝒎.

Determinare:

• L’espressione del campo elettrico;

• L’energia elettrostatica del sistema.


𝑹𝟏

𝑹𝟐𝑹𝟑

Esercizio 4.18

• Una d.d.p. 𝚫𝐕 = 𝟏𝟎𝟎 𝐕 è applicata al sistema di condensatori schematizzato in

figura, in cui 𝑪𝟎 = 𝟐𝟎 𝒑𝑭, 𝑪𝟏 = 𝟒 𝑪𝟎 e 𝑪𝟐 è la capacità di un condensatore

piano, le cui armature di area 𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 sono poste a distanza

𝒅 = 𝟖, 𝟖𝟓 𝒎𝒎.

Determinare:

1. Le cariche presenti sulle armature dei tre condensatori;

2. Le differenze di potenziale ai capi di 𝑪𝟎 e di 𝑪𝟏.


DVC0

C1

C2

Esercizio 4.19

• Due condensatori di capacità 𝐂𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅 e 𝐂𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 𝐩𝐅 sono caricati

rispettivamente alla d.d.p. 𝚫V𝟏 = 𝟑𝟎𝟎 𝐕 e 𝚫𝐕𝟐 = 𝟐𝟓𝟎 𝐕.

Ad un certo istante, l’armatura positiva di ciascun condensatore viene collegata

con l’armatura negativa dell’altro.

Determinare:

1. La carica presente su ciascun condensatore;

2. La d.d.p. 𝚫𝐕′ ai capi del sistema;

3. L’energia elettrostatica nella configurazione finale.


─

+C2─

+

C1

Esercizio 4.20

• Si consideri un condensatore piano avente armature distanti 𝒅, collegato ad un

generatore di f.e.m. costante 𝜺 = 𝟏𝟎𝟎 𝑽. Fra le armature viene inserita una

lastra dielettrica di spessore 𝐝 e costante dielettrica 𝐤 = 𝟓. In assenza di

dielettrico la capacità del condensatore vale 𝐂𝟎 = 𝟏𝟎 𝐧𝐅.

Determinare:

1. La capacità del condensatore dopo l’inserimento della lastra;

2. La carica di polarizzazione del dielettrico;

3. La carica fornita dal generatore.


Esercizio 4.21

• Si consideri un condensatore piano con armature di area 𝚺 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 distanti

𝒅 = 𝟏 𝒄𝒎. Il condensatore viene caricato ad una differenza di potenziale

𝚫𝐕𝟎 = 𝟗𝟎𝟎 𝐕 e poi isolato. Viene quindi riempito con un dielettrico di costante

dielettrica relativa 𝒌 di spessore pari a 𝒅 e volume pari alla metà del volume

del condensatore. La d.d.p. misurata fra le armature ora vale 𝚫𝐕 = 𝚫𝑽𝟎/𝟑.

Determinare

• La capacità equivalente del sistema;

• Il valore della costante dielettrica relativa;

• Il modulo del campo elettrico 𝑬 e del vettore 𝑫;

• La densità di carica libera 𝝈 nel vuoto e nel dielettrico.


Esercizio 4.22

• Si consideri un condensatore di capacità 𝑪𝟎 = 𝟑𝟎 𝒑𝑭, carico con carica 𝑸𝟎, è

collegato ad un generatore di f.e.m. costante 𝚫𝐕 = 𝟓𝟎𝟎 𝐕. Se lo spazio fra le

armature viene riempito con un dielettrico, la carica del condensatore varia di

𝚫𝐐 = 𝟏𝟓𝟎 𝐧𝐂.

Determinare:

1. La costante dielettrica relativa;

2. Il lavoro compiuto dal generatore per variare la carica sulle armature.


Esercizio 4.23

• Si consideri un condensatore piano, di area 𝚺 = 𝟏𝟎 𝒅𝒎𝟐, con armature distanti

𝒉 = 𝟏 𝒄𝒎, tra le quali viene inserita parallelamente, ad una distanza 𝒅 =

𝟔𝒎𝒎 dall’armatura superiore, una lastra conduttrice di spessore 𝒔 = 𝟏𝒎𝒎

ed area uguale a quella delle armature. Il condensatore viene collegato ad un

generatore di d.d.p. con 𝚫𝐕 = 𝟖𝟎𝟎 𝐕 e poi isolato. Determinare:

1. La carica sulle armature del condensatore.

• La regione compresa tra la lastra conduttrice e l’armatura superiore viene

quindi completamente riempita con un dielettrico di costante dielettrica 𝒌 = 𝟒.

Determinare:

2. La capacità del sistema;

3. Il campo elettrico nelle tre regioni.


shd

Esercizio 4.24

• Tre piastre conduttrici di area 𝑨 = 𝟏𝒎𝟐 sono disposte, come in figura, paralle-

lamente l’una all’altra. Le piastre esterne sono collegate mediante un filo. La

piastra interna è isolata e possiede una carica distribuita sulle due superfici con

densità superficiale 𝝈 = 𝟏𝟎−𝟔𝑪/𝒎𝟐. Determinare:

1. Le densità superficiali 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 sulle due facce;

2. Il campo elettrico nelle due regioni.

• Le due regioni vengono riempite con due dielettrici omogenei (𝒌𝟏 = 𝟐, 𝒌𝟐 = 𝟑).

3. Determinare i campi 𝐄 e 𝐃 nelle due regioni.


h1=8cm

h2=4cm

Esercizio 4.25

• Un condensatore piano, aventi armature quadrate, di lato 𝒍 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e

distanti 𝒉 = 𝟏 𝒄𝒎 è collegato ad un generatore di f.e.m. con 𝚫𝐕 = 𝟒𝟎𝟎 𝐕 e

poi isolato. Tra le armature viene dunque inserita una lastra di materiale

dielettrico di spessore 𝒅 = 𝟔𝒎𝒎, area 𝚺 = 𝒍𝟐 e costante dielettrica 𝒌 = 𝟑.

Determinare:

1. La capacità del sistema;

2. Il campo elettrico nel vuoto e nel dielettrico;

3. La densità di carica di polarizzazione sulle superfici del dielettrico.


Esercizio 4.26

• Due condensatori piani di uguali dimensioni, aventi armature di area

𝚺 = 𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐, distanti 𝒅 = 𝟐𝒎𝒎, sono completamente riempiti con due

dielettrici di costante dielettrica 𝒌𝟏 = 𝟐 e 𝒌𝟐 = 𝟓, rispettivamente. Essi sono

collegati in parallelo e caricati a una differenza di potenziale 𝚫𝐕𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐕.

Determinare:

1. La capacità equivalente;

2. L’energia immagazzinata nel sistema;

3. Le cariche 𝑸𝟏 e 𝑸𝟐 su ciascuno dei condensatori;

4. I campi elettrici 𝑬𝟏 ed 𝑬𝟐 per ciascuno dei condensatori.


Esercizio 4.27

• Si consideri un condensatore cilindrico con armature di raggio interno 𝑹𝟏 =

𝟓𝒎𝒎 e raggio esterno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟎𝒎𝒎, lunghe 𝒍 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, completamente

riempito con un materiale isolante di costante dielettrica relativa 𝒌 = 𝟑. Esso è

caricato con una carica 𝑸 = 𝟐 𝒏𝑪.

Calcolare:

1. La densità di carica e il campo elettrostatico su ciascuna armatura;

2. La d.d.p. tra le armature;

3. La carica di polarizzazione sulle superfici del dielettrico.


Esercizio 4.28

• A due condensatori di capacità 𝑪𝟏 = 𝟓𝟎𝟎 𝒑𝑭 e 𝑪𝟐 = 𝟏 𝒏𝑭, collegati in serie, è

collegato un generatore che mantiene una d.d.p. costante 𝚫𝐕 = 𝟒𝟎𝟎 𝐕. Ad un

certo istante una lastra isolante di costante 𝒌 = 𝟒 viene inserita in 𝑪𝟏 in modo

da riempirlo completamente.

Determinare:

1. La variazione di carica 𝚫𝐐 erogata dal generatore;

2. La d.d.p. 𝚫𝐕𝟏′ ai capi del condensatore 𝑪𝟏;

3. L’energia elettrostatica fornita dal generatore.


Esercizio 4.29

• Su una sfera conduttrice carica di raggio 𝑹𝟏 = 𝟓 𝒄𝒎 è posta una carica

𝑸 = 𝟏 𝒏𝑪. La sfera è circondata da un guscio sferico dielettrico, ad essa

concentrico, di raggio interno 𝑹𝟏 e raggio esterno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎. Il campo

elettrico in un punto 𝑷 distante 𝑹𝑷 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 dal centro della sfera vale

𝑬𝑷 = 𝟑𝟎𝟎 𝑽/𝒎. Determinare:


2. La costante dielettrica del guscio sferico;

3. Le densità di carica di polarizzazione sulle superfici 𝑹𝟏 ed 𝑹𝟐;

4. Il potenziale a distanza 𝒍 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 dal centro del sistema.


Esercizio 4.30

• Una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 è circondata da uno strato di

dielettrico di raggio interno 𝑹𝟏 e raggio esterno 𝑹𝟐 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎. La carica di

polarizzazione vale 𝒒𝑷 = 𝟐 𝒏𝑪 e il campo elettrico in un punto a distanza

𝑹𝑪 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎 dal centro della sfera vale 𝑬𝑪 = 𝟒𝟎𝟎 𝑽/𝒎.

Determinare:

• L’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio;

• La carica libera sulla sfera conduttrice;

• La costante dielettrica 𝒌;

• La differenza di potenziale tra un punto a distanza 𝑹𝑨 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎 e un

punto a distanza 𝑹𝑩 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎 dal centro della sfera.


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