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CAPITOLO 5• CORRENTE ELETTRICA

Conduzione elettrica

• Materiali conduttori SOLIDI:

• Costituiti da un reticolo spaziale

• Ai vertici: ioni positivi

• All’interno: movimento libero degli elettroni

• Parametro caratteristico per molti metalli:

• Numero di portatori di carica per unità di volume: 𝒏 ≅ 𝟏𝟎𝟐𝟗𝒆𝒍𝒆𝒕𝒕𝒓𝒐𝒏𝒊

𝒎𝟑

• Moto degli elettroni liberi in un conduttore metallico risulta essere

completamente disordinato e casuale

• Velocità media NULLA: 𝒗𝒎 =𝟏

𝑵σ𝒊 𝒗𝒊 = 𝟎

NON esiste una direzione di moto preferenziale per gli elettroni

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 2


• Collegamento di due conduttori 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐, a potenziali 𝑽𝟏 e 𝑽𝟐 diversi

• Condizione di equilibrio: conduttori si portano allo stesso potenziale 𝑽

• Per raggiungere l’equilibrio:

• Passaggio di elettroni dal conduttore a potenziale minore

a quello a potenziale maggiore, sotto l’azione di un campo

elettrico 𝑬 (dovuto alla d.d.p. 𝜟𝑽 = 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏)

• Moto ORDINATO di elettroni in una certa direzione

CORRENTE ELETTRICA

• Tale fenomeno è un esempio di CONDUZIONE ELETTRICA



• Occorre avere di un dispositivo capace di MANTENERE UNA D.D.P.,

quindi un campo elettrico, tra due conduttori a contatto,

o tra due punti dello stesso conduttore

• Così facendo il flusso di elettroni può durare per molto tempo

GENERATORE DI FORZA ELETTROMOTRICE

Cella o pila voltaica

Energia chimica o meccanica trasformata in elettrica

Simbolo nei circuiti

Estremità 𝑨 e 𝑩 sono dette

POLO POSITIVO

e POLO NEGATIVO


–+

𝑩 𝑨

Corrente elettrica

• Si consideri una porzione di un conduttore dove sia presente un campo elettrico

𝑬, prodotto da un generatore di f.e.m., e si consideri il movimento di 𝒏+

portatori di carica +𝒆 per unità di volume

• Movimento dovuto all’azione della forza elettrica 𝑭 = 𝒆𝑬

• 𝒗𝑫: velocità dei portatori sotto l’azione della forza elettrica

o VELOCITÀ DI DERIVA

Lungo la direzione del campo


Corrente elettrica

• Si considerino

• Una superficie cilindrica infinitesima di sezione 𝜮

all’interno del conduttore

Si definisce quindi l’INTENSITÀ DI CORRENTE come la quantità di carica 𝒒

che transita attraverso 𝜮 nel tempo 𝜟𝒕:

𝒊 = lim𝚫t→𝟎

𝚫𝐪

𝜟𝒕=𝒅𝒒

𝒅𝒕


+ + +

+𝜮

𝒗𝑫

𝑬

+++

Corrente elettrica

• Si consideri quanta carica passa attraverso la superficie infinitesima 𝒅𝜮 la cui

normale ෝ𝒖𝒏 formi un angolo con il campo elettrico 𝑬 (e con la velocità di deriva

𝒗𝑫) in un intervallo di tempo 𝚫𝐭:

• Carica contenuta nel volume infinitesimo 𝒅𝝉 = 𝒗𝑫 𝜟𝒕 𝒅𝜮 𝒄𝒐𝒔 𝜽:

𝚫𝒒 = 𝒏+ 𝒆 𝐝𝝉

• Intensità di corrente:

𝒅𝒊 =𝚫𝒒

𝚫𝝉= 𝒏+ 𝒆 𝒗𝑫 𝒅𝜮 𝒄𝒐𝒔 𝜽


++

+

+

𝑬

𝒗𝑫

𝚫x = 𝒗𝑫𝚫𝐭

𝑬

ෝ𝒖𝒏

𝒅𝚺

Corrente elettrica

• Definizione di DENSITÀ DI CORRENTE

Ԧ𝒋 = 𝒏+ 𝒆 𝒗𝑫

• Da cui:

𝒅𝒊 = Ԧ𝒋 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺

• Integrando si ottiene l’INTENSITÀ DI CORRENTE:

𝒊 = න𝚺

Ԧ𝒋 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺

Flusso del vettore densità di corrente attraverso la superficie 𝜮

• Se 𝚺 è ortogonale a Ԧ𝒋 (ovvero ෝ𝒖𝒏 || Ԧ𝒋), dunque a 𝒗𝑫, e Ԧ𝒋 ha lo stesso

valore in tutti i punti di 𝚺, si ottiene:

𝒊 = 𝒋 𝚺

𝒋 =𝒊

𝚺


Corrente elettrica

• Se i portatori sono negativi, allora

Ԧ𝒋 = −𝒏− 𝒆 𝒗−

• In generale, quando vi sono più portatori di carica

Ԧ𝒋 = 𝒏+𝒆 𝒗𝑫 − 𝒏− 𝒆 𝒗−

• Il verso della corrente è PER CONVENZIONE quello

stabilito dal movimento delle cariche POSITIVE

• Unità di misura:

• Corrente: Ampere, simbolo A 𝟏 𝑨𝒎𝒑𝒆𝒓𝒆 =𝟏 𝑪𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃

𝟏 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅𝒐

• Densità di corrente: Ampere su m2 𝑨

𝒎𝟐


–

+

𝑬

𝒗+

𝒗−

𝒆𝒗+

−𝒆𝒗−

UNITÀ

DI MISURA

A

Esercizio 5.1

• Un conduttore cilindrico di rame, avente sezione di area 𝜮 = 𝟒𝒎𝒎𝟐,

è percorso da una corrente di intensità 𝒊 = 𝟖 𝑨.

1. Calcolare la velocità di deriva degli elettroni, sapendo che nel rame

𝒏 = 𝟖. 𝟒𝟗 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟖 𝒆𝒍𝒆𝒕𝒕𝒓𝒐𝒏𝒊/𝒎𝟑.


𝜮

𝐁

𝑬

+ −

+ Ԧ𝒋

Corrente elettrica stazionaria

• Si considerino due sezioni 𝚺𝟏 e 𝚺𝟐 di un conduttore percorso da corrente di

densità Ԧ𝒋 e si calcolino le intensità di corrente attraverso queste due sezioni:

𝒊𝟏 = න𝚺𝟏

Ԧ𝒋𝟏 ∙ ෝ𝒖𝟏 𝒅𝚺𝟏 𝒊𝟐 = න𝚺𝟐

Ԧ𝒋𝟐 ∙ ෝ𝒖𝟐 𝒅𝚺𝟐

CARICA ENTRANTE 𝒊𝟏 e USCENTE 𝒊𝟐 dal volume delimitato da 𝚺𝟏 e 𝚺𝟐 e

dalla superficie laterale 𝚺𝒍 (attraverso la quale non ho flusso di carica!)

• Se all’interno del volume considerato

la carica NON VARIA nel tempo, allora

𝒊𝟏 = 𝒊𝟐

CONDIZIONE DI STAZIONARIETÀ


La legge di Ohm

• Relazione che lega la densità di corrente al campo elettrico all’interno di un

conduttore, in regime stazionario:

Ԧ𝒋 = 𝝈 𝑬

• Dove 𝝈 = CONDUCIBILITÀ o CONDUTTIVITÀ ELETTRICA.

• Forma equivalente:

𝑬 = 𝝆 Ԧ𝒋

• RESISTIVITÀ DEL CONDUTTORE

𝝆 =𝟏

𝝈

Minore è 𝝆, ovvero MAGGIORE è 𝝈, MAGGIORE è la densità di

corrente Ԧ𝒋 che può circolare in un conduttore, a parità di campo elettrico!


La legge di Ohm

• Caso di un conduttore metallico cilindrico di lunghezza 𝒉 e sezione 𝚺.

Ai capi di questo tratto di conduttore vi sia una d.d.p. pari a

𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩 = න𝑨

𝑩

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = 𝑬𝒉

• Si consideri il regime stazionario:

𝒊 = 𝒋 𝚺 =𝐄

𝝆𝚺 𝐄 =

𝒊 𝝆

𝚺


𝜮

𝐁𝑬

𝒉

𝑨 𝑩

Ԧ𝒋

+ −

La legge di Ohm

• Ricordando che 𝑽 = 𝑬𝒉 si ottiene

𝑽 =𝝆 𝒉

𝚺𝒊

Definizione di RESISTENZA DEL CONDUTTORE

𝑹 ≡𝝆 𝒉

𝚺

LEGGE DI OHM per i CONDUTTORI METALLICI

𝑽 = 𝑹 𝒊

• Unità di misura della resistenza 𝑹

1 Ohm = 1 Volt/1 Ampere [𝛀]


UNITÀ

DI MISURA

W

La legge di Ohm

• Se il conduttore ha sezione variabile,

il potenziale ottenuto integrando lungo

tutto il conduttore vale:

𝑽 = න𝑨

𝑩

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = 𝑹𝒊

• Dove si definisce la resistenza del conduttore:

𝑹 = න𝑨

𝑩

𝝆𝒅𝒉

𝚺

𝑹 dipende dalla natura (𝝆) e dalle dimensioni (𝜮 e 𝒉) del conduttore

• In regime stazionario, 𝑹 definisce il rapporto tra d.d.p. e intensità di

corrente applicata ai capi di un conduttore metallico

• Unità di misura della RESISTIVITÀ


𝑬

𝜮

𝑩𝑨 𝒅𝒉

𝒊

+ −

UNITÀ

DI MISURA

W m

Potenza nei circuiti

• Si consideri una carica 𝒅𝒒 che si muova attraversando la differenza di potenziale

𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩

• Il lavoro compiuto per questo spostamento:

𝒅𝑾 = 𝑽 𝒅𝒒 = 𝑽 𝒊 𝒅𝒕

• La POTENZA TRASFERITA risulta dunque:

𝑷 =𝒅𝑾

𝒅𝒕= 𝑽 𝒊

• Se il dispositivo è un conduttore, dunque vale la legge di Ohm, si trova:

𝑷 = 𝑹 𝒊𝟐 =𝑽𝟐

𝑹


Potenza nei circuiti

• Il passaggio di corrente attraverso un conduttore metallico per un tempo 𝒕

comporta dunque un lavoro:

𝑾 = න𝟎

𝒕

𝑷 𝒅𝒕 = න𝟎

𝒕

𝑹 𝒊𝟐 𝒅𝒕

• Se la corrente è costante nel tempo, il lavoro vale:

𝑾 = 𝑹 𝒊𝟐 𝒕

• Necessario per vincere la resistenza opposta dal reticolo cristallino

• Lavoro assorbito dal conduttore, la cui energia interna aumenta


EFFETTO JOULE:

Effetto di RISCALDAMENTO di un

conduttore PERCORSO DA CORRENTE

Modello classico di conduzione

• Si ipotizza che gli elettroni si muovano attraverso un reticolo cristallino

• Ioni del metallo fissi nei vertici del reticolo

• Elettroni si muovono con un moto disordinato

• Interazioni elettroni – reticolo serie di URTI

• Tra un urto e l’altro: moto degli elettroni

è libero con traiettorie rettilinee

(moto rettilineo uniforme)

• Direzioni delle traiettorie

dopo gli urti: completamente casuali

•

Non si hanno flussi netti di carica


– 𝑬 = 𝟎


1. Situazione priva di campi elettrici

Si definiscono tra due urti consecutivi:

• Il tempo medio 𝝉

• Il cammino libero medio 𝒍

𝝉 =𝒍

𝒗

Con 𝒗 velocità degli elettroni nel metallo

2. Applicando un campo elettrico

• Ciascun elettrone viene accelerato con 𝒂 =𝑭

𝒎= −𝒆

𝑬

𝒎

• Accelerazione opposta al campo!!

Alle velocità casuali si sovrappone la componente di velocità di «deriva»

(valore molto più piccolo della tipica 𝒗)


–

𝑬

𝒗𝑫


• Si calcola come varia la velocità tra due urti successivi

• Velocità 𝒗𝒊: subito dopo un urto

• Velocità 𝒗𝒊+𝟏: subito prima dell’urto successivo

• Dunque:

𝒗𝒊+𝟏 = 𝒗𝒊 + 𝒂𝝉 = 𝒗𝒊 −𝒆 𝑬

𝒎𝝉

• Facendo la media su un gran numero di urti:

𝒗𝑫 =𝟏

𝑵

𝒊

𝒗𝒊+𝟏 =𝟏

𝑵

𝒊

𝒗𝒊 −𝒆 𝑬

𝒎𝝉

• Poiché σ𝒊 𝒗𝒊 = 𝟎, si ottiene l’espressione per la VELOCITÀ DI DERIVA:

𝒗𝑫 = −𝒆 𝑬

𝒎𝝉


–

+

𝑬

𝒗+

𝒗−

𝒆𝒗+

−𝒆𝒗−


• DENSITÀ DI CORRENTE

Ԧ𝒋 = −𝒏 𝒆 𝒗𝑫 =𝒏 𝒆𝟐𝝉

𝒎𝑬

• CONDUTTIVITÀ

𝝈 =𝒏 𝒆𝟐𝝉

𝒎

Grandezza tipica del materiale, intrinsecamente positiva

• E si ritrova così la LEGGE DI OHM:

Ԧ𝒋 = 𝝈 𝑬

• Valida anche per portatori di carica positiva

Il verso di Ԧ𝒋 non dipende dal segno del portatore


Esercizio 5.2

• La resistività del rame (𝒏 = 𝟖. 𝟒𝟗 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟖𝒆𝒍𝒆𝒕𝒕𝒓𝒐𝒏𝒊/𝒎𝟑) alla temperatura

𝒕 = 𝟐𝟎°𝑪 vale 𝝆 = 𝟏. 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟖 𝛀𝐦.

Si calcolino:

1. Il valore del campo elettrico 𝑬 necessario a mantenere in un conduttore

di rame una densità di corrente 𝒋 = 𝟐 𝑨/𝒎𝒎𝟐.

2. Il tempo medio e il cammino libero medio fra due urti successivi, sapendo

che la «velocità di Fermi» per gli elettroni vale 𝒗𝑭 = 𝟏. 𝟓𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔.


Resistori

• I conduttori ohmici sono caratterizzati da un determinato valore di RESISTENZA

• I dispositivi inseriti come elementi circuitali

aventi un determinato valore di resistenza

sono detti RESISTORI e hanno il simbolo in figura

• Solitamente viene specificato il valore massimo della potenza che può

essere in essi dissipata senza causare alterazioni irreversibili

• I collegamenti di base tra questi elementi, come per i condensatori, sono quello

IN SERIE e quello IN PARALLELO.


𝑹

Resistori in serie

• Resistenze collegate IN CASCATA

• In regime stazionario: corrente uguale

in tutti gli elementi

• Si valutino le d.d.p. ai capi di ognuna

• 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩 = 𝑹𝟏 𝒊

• 𝑽𝑩 − 𝑽𝑪 = 𝑹𝟐 𝒊

• 𝑽𝑨 − 𝑽𝑪 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝒊 = 𝑹𝒆𝒒 𝒊

RESISTENZA EQUIVALENTE

𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 +⋯+ 𝑹𝒏 =𝒊=𝟏

𝒏

𝑹𝒊

• Somma delle singole resistenza (𝑹𝒆𝒒 > 𝑹𝒊)

• Inoltre: 𝑷 = 𝑹𝒆𝒒𝒊𝟐 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐


𝑹𝟏 𝑹𝟐

𝒊

𝒊

𝑹𝒆𝒒

+ −

+ −

𝑪𝑩𝑨

𝑪𝑨

Resistori in parallelo

• In questo caso, tutte le resistenze hanno la stessa d.d.p. 𝑽 = 𝑽𝒂 − 𝑽𝑩 e sono

percorse da due correnti 𝒊𝟏e 𝒊𝟐 , diverse se 𝑹𝟏 ≠ 𝑹𝟐

• Per la condizione di stazionarietà: 𝒊 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐

• Pertanto

𝒊 =𝑽

𝑹𝟏+

𝑽

𝑹𝟐=

𝑽

𝑹𝒆𝒒

RESISTENZA EQUIVALENTE

𝟏

𝑹𝒆𝒒=

𝟏

𝑹𝟏+

𝟏

𝑹𝟐+⋯+

𝟏

𝑹𝒏=

𝒊=𝟏

𝒏𝟏

𝑹𝒊

• 𝑹𝒆𝒒 < 𝑹𝒊

• Inoltre: 𝑷 =𝑽𝟐

𝑹𝒆𝒒= 𝑹𝒆𝒒 𝒊

𝟐


𝑹𝟏

𝑨

𝒊𝟏

𝒊𝟐𝒊

𝑹𝟐

𝑩

𝒊

+ −

Esercizio 5.3

• Nella rete elettrica di resistori collegati come in figura i valori delle resistenze

sono 𝑹𝟏 = 𝟑 𝛀 e 𝑹𝟐 = 𝟗 𝛀. Tra i terminali 𝑨 e 𝑩 è applicata una d.d.p.

𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩 = 𝟏𝟕. 𝟒 𝑽.

Determinare:

1. La resistenza equivalente del circuito;

2. La potenza spesa nel circuito;

3. La d.d.p. 𝑽𝑪 − 𝑽𝑭;

4. I valori delle intensità

di corrente nelle due

parti del circuito.


𝑹𝟏

𝑹𝟏

𝑹𝟐

𝑹𝟐

𝑹𝟏 𝑹𝟐

𝑨 𝑪 𝑫

𝑩 𝑭 𝑬

Forza elettromotrice

• Legge di Ohm per i conduttori = Relazione tra l’intensità di corrente con il

campo elettrico prodotto da un generatore esterno

𝑽𝑨 − 𝑽𝑩 = න𝑨

𝑩

𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = 𝑹 𝒊

• Considerando un CIRCUITO CHIUSO:

ර𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = 𝑹𝑻 𝒊

• 𝑹𝑻: resistenza TOTALE del circuito

• 𝑬ׯ ∙ 𝒅𝒔: definizione di f.e.m.

Per ottenere una corrente di intensità 𝒊 è NECESSARIA

la presenza nel circuito di una sorgente di f.e.m., ovvero

di un campo elettrico la cui circuitazione NON SIA NULLA



• La sorgente di f.e.m. deve avere al suo interno FORZE DI NATURA NON

ELETTROSTATICA, NON CONSERVATIVE, tali da determinare il moto continuo

delle cariche

1. Campo elettrostatico 𝑬𝒆𝒍 dovuto alla

presenza delle cariche ai poli

• Sempre diretto da A (pos) a B (neg)

• Sia nel conduttore che all’interno

del generatore

2. Campo di natura non elettrostatica 𝑬∗

• All’interno del generatore

CAMPO ELETTROMOTORE, capace di far muovere le cariche

all’interno del generatore CONTRO il campo elettrostatico.


𝑬𝒆𝒍

𝑬𝒆𝒍

𝑬𝒆𝒍 𝑬𝒆𝒍

𝑬∗𝑨 𝑩

+

+

+

+

-

-

-

-

𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆


• Integrando 𝑬∗ lungo il circuito

Ɛ = ර𝑬∗ ∙ 𝒅Ԧ𝒍 = න𝑩

𝑨

𝑬∗ ∙ 𝒅Ԧ𝒍

• Pari alla tensione tra 𝑩 e 𝑨 calcolata lungo una

linea INTERNA al generatore

• Generatore di f.e.m. sfrutta

• Azioni meccaniche

• Reazioni chimiche (pile e accumulatori)

• Induzione elettromagnetica

• Altri meccanismi (celle solari, etc)



• Nei generatori di f.e.m. ideali:

• Non si considerano resistenze interne

• Nei generatori di f.e.m. REALI:

• Qualunque batteria ha una RESISTENZA INTERNA 𝒓

• È normalmente indicata IN SERIE ad un generatore ideale


𝑹

𝑩𝑨

𝒓 Ɛ


• Nel caso del generatore REALE si trova che

Ɛ = 𝒓 + 𝑹 𝒊 = 𝑹𝑻 𝒊

• 𝑹𝑻 è quindi la resistenza TOTALE del circuito

• La d.d.p. ai capi del resistore vale:

𝚫𝐕 = 𝐕𝐀 − 𝐕𝐁 = 𝑹 𝒊 = Ɛ − 𝒓 𝒊

• Definizione OPERATIVA di f.e.m.

• Ɛ = 𝚫𝐕 a CIRCUITO APERTO (𝒊 = 𝟎)

• Il lavoro fornito dal generatore viene DISSIPATO nelle resistenze del circuito

• In termini di potenza:

𝑷 = Ɛ 𝒊 = 𝑹𝑻 𝒊𝟐


Esercizio 5.4

Partitore resistivo

• Nel circuito in figura si trova un

generatore reale di f.e.m. Ɛ = 𝟏𝟎𝟎 𝑽

e resistenza interna 𝒓 = 𝟏𝟎 𝛀.

Esso è collegato a tre resistori

in serie di valori 𝑹𝟏 = 𝟒𝟎 𝛀,

𝑹𝟐 = 𝟓𝟎 𝛀 e 𝑹𝟑 = 𝟏𝟎𝟎 𝛀.

1. Calcolare la d.d.p. ai capi di ciascun

resistore e ai capi del generatore.


Ɛ

𝒓

𝒊𝑹𝟑

𝑹𝟐

𝑹𝟏

Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche

Circuito con geometria più complicata = esempio di RETE ELETTRICA

• Elementi geometrici distintivi:

1. NODI

• PUNTO nel quale CONVERGONO almeno 3 CONDUTTORI

2. RAMI

• Componenti ATTIVI o PASSIVI che COLLEGANO due nodi

• Analisi delle reti elettriche

3. MAGLIE

• Determinati CAMMINI CHIUSI, costituiti da PIÙ RAMI

Per risolvere questi circuiti si usano le due LEGGI DI KIRCHHOFF



• PRIMA LEGGE DI KIRCHHOFF o LEGGE DEI NODI

• La somma algebrica delle 𝒏 correnti che CONFLUISCONO

in un nodo è NULLA:

𝒌=𝟏

𝒏

𝒊𝒌 = 𝟎

• Si può considerare ad esempio

• Corrente uscente dal nodo:

POSITIVA

• Corrente entrante nel nodo:

NEGATIVA


𝒊𝟓

𝒊𝟏

𝒊𝟒

𝒊𝟑𝒊𝟐

𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 − 𝒊𝟒 + 𝒊𝟓 = 𝟎

𝚺𝟎


• SECONDA LEGGE DI KIRCHHOFF o LEGGE DELLE MAGLIE

• La somma algebrica delle differenze di potenziale in un circuito chiuso in

un giro completo è NULLA

Oppure

• La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia è uguale

alla somma algebrica delle d.d.p. ai capi dei resistori situati nei rami della

maglia

𝒌

𝑹𝒌 𝒊𝒌 =

𝒌

Ɛ𝒌



• CRITERI DA SEGUIRE per applicare le leggi di Kirchhoff

• Scegliere arbitrariamente un verso di percorrenza

per la maglia

a) Se nel ramo k-simo 𝒊𝒌 è concorde al verso scelto:

𝑹𝒌 𝒊𝒌 ha segno POSITIVO

b) Se nel ramo k-simo 𝒊𝒌 è discorde al verso scelto:

𝑹𝒌 𝒊𝒌 ha segno NEGATIVO

c) Se il generatore di f.e.m. viene percorso dal polo

negativo al polo positivo dal suo interno

Ɛ𝒌 ha segno POSITIVO

d) Se il generatore di f.e.m. viene percorso dal polo

positivo al polo negativo dal suo interno

Ɛ𝒌 ha ha segno NEGATIVO



• Vanno sempre individuate le MAGLIE INDIPENDENTI nei circuiti.

Si decide di muoversi in entrambe le maglie ad esempio in senso antiorario.

• Il circuito in figura fornisce:

1. Un’equazione per il nodo in B

𝒊𝟐 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟑

2. Due equazioni delle maglie

da mettere a sistema:

• Maglia B-A-D:

Ɛ𝟏 = 𝒊𝟏𝑹𝟏 − 𝒊𝟑𝑹𝟑

• Maglia B-D-C:

−Ɛ𝟐= 𝒊𝟑𝑹𝟑 + 𝒊𝟐𝑹𝟐


𝑨 𝑩 𝑪

𝑫

𝒊𝟏 𝒊𝟑 𝒊𝟐𝑹𝟏 𝑹𝟑 𝑹𝟐

+ − − +

Ɛ𝟏 Ɛ𝟐

Corrente di spostamento

• Corrente: normalmente associata allo spostamento di cariche

• Situazione della carica/scarica del condensatore

• La carica 𝒒 varia nel tempo

• Nel circuito scorre una corrente 𝒊 𝒕

• Tuttavia:

Tra le armature del condensatore NON C’È passaggio di carica

• Ipotizziamo una corrente 𝒊𝒔 non dovuta ad un moto di cariche che avviene tra

le armature del condensatore

• 𝒊𝒔 deve risultare uguale a quella del resto del circuito

• 𝒊𝒔 deve essere dovuta al fatto che la carica (e quindi anche il campo

elettrico) sia VARIABILE NEL TEMPO



• Corrente di spostamento

𝒊𝒔 = 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕

• Dovuta alla variazione nel tempo del flusso del campo elettrico 𝑬

• Introdotta da Maxwell per risolvere alcune incongruenze delle

equazioni del campo elettromagnetico

• Densità di corrente di spostamento

𝒋𝒔 =𝒊𝒔𝚺= 𝜺𝟎

𝒅𝑬

𝒅𝒕



• Definizioni generali

• Corrente

𝒊 = 𝒊𝒄 + 𝒊𝒔 = 𝒊𝒄 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕

• Densità di corrente

Ԧ𝒋 = Ԧ𝒋𝒄 + Ԧ𝒋𝒔 = Ԧ𝒋𝒄 + 𝜺𝟎𝒅𝑬

𝒅𝒕

• All’interno di un conduttore, si parla di intensità 𝒊 = 𝒊𝒄 e di densità

Ԧ𝒋 = Ԧ𝒋𝒄 di corrente di conduzione

• All’interno di un condensatore (si parla di intensità 𝒊𝒔 = 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕e di

densità Ԧ𝒋𝒔 = 𝜺𝟎𝒅𝑬

𝒅𝒕di corrente di spostamento

• In caso di dielettrico, si sostituisce 𝜺𝟎 con 𝜺


Misure di corrente e di d.d.p.

• AMPEROMETRO

• Strumento che misura le correnti in un circuito

• Inserito IN SERIE al circuito

• Ha resistenza trascurabile rispetto a quelle del circuito in esame

• VOLTMETRO

• Strumento che misura le d.d.p. in un circuito

• Inserito IN PARALLELO al circuito

Tra i due punti di cui si vuole misurare la d.d.p.

• Ha resistenza molto maggiore del circuito in esame


Esercizio 5.5

• I fusibili dei circuiti sono costituiti da un filo metallico progettato in modo da

fondere, interrompendo il circuito, se la corrente che lo attraversa supera un

certo valore. Si supponga che il materiale usato per il fusibile fonda quando la

densità di corrente supera il valore di 𝒋𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟒𝟎𝑨/𝒄𝒎𝟐.

1. Che diametro deve avere il filo, di forma cilindrica, affinché limiti la

corrente a 𝒊𝒎𝒂𝒙 = 𝟎. 𝟓 𝑨 ?


Esercizio 5.6

• Un filo di resistenza 𝑹 = 𝟔 𝛀 viene stirato sino ad allungarsi di 3 volte.

1. Qual è la nuova resistenza del filo nell’ipotesi che resistività e volume del

filo non siano cambiati?


Esercizio 5.7

• Un elemento riscaldante viene fatto funzionare mantenendo una d.d.p. di

Δ𝑽 = 𝟕𝟓 𝑽 su un filo conduttore di sezione 𝚺 = 𝟐. 𝟔 ∙ 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐 e resistività di

𝝆 = 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟕𝛀𝐦.

1. Se l’elemento dissipa 𝑷 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝑾, qual è la lunghezza del filo?


Esercizio 5.8

• Si consideri un conduttore cilindrico di raggio 𝑹𝟎 la cui densità di corrente sia

variabile a seconda della distanza dall’asse 𝒓 secondo l’equazione

𝑱 𝒓 = 𝑱𝟎 𝟏 −𝒓

𝑹𝟎

1. Determinare l’espressione della corrente attraverso una sezione del

conduttore.


Esercizio 5.9

• Si consideri una stufa elettrica, alimentata da una linea a 𝟐𝟎𝟎 𝑽, con ha una

resistenza a incandescenza di 𝟏𝟒 𝛀.

1. Quanta potenza elettrica viene dissipata in calore?

2. Al prezzo di 𝟎, 𝟏𝟎 𝒆𝒖𝒓𝒐/𝒌𝑾𝒉, quanto costa far funzionare la stufa

per 𝟓 𝒉?


Esercizio 5.10

• Si consideri un elemento riscaldante che venga fatto funzionare mantenendo una

differenza di potenziale di 𝟕𝟓 𝑽 su un filo conduttore di nichelcromo avente una

sezione di 𝟐. 𝟔 ⋅ 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐 e una resistività di 𝟎. 𝟓 𝝁𝛀𝐦.

1. Se l'elemento dissipa una potenza di 𝟓𝟎𝟎𝟎𝑾 quanto vale la lunghezza

del filo?

2. Se si applica una d.d.p. di 𝟏𝟎𝟎 𝑽 per ottenere la stessa potenza in

uscita, quale dovrebbe essere la lunghezza?


Esercizio 5.11

• In un circuito alimentato da una batteria con d.d.p. 𝟔 𝑽 circola, per un tempo di

𝟓, 𝟕𝟓 𝒎𝒊𝒏, una corrente di 𝟓, 𝟏𝟐 𝑨.

1. Di quanto si riduce l’energia chimica della batteria?


Esercizio 5.12

• La corrente in un circuito a singola maglia è pari a 𝟓 𝑨. Quando una resistenza

aggiuntiva di 𝟐 𝛀 viene inserita in serie, la corrente scende a 𝟒 𝑨.

1. Quale era la resistenza nel circuito originale?


Esercizio 5.13

• Gli enti normativi fissano la massima corrente ritenuta sicura per vari tipi di cavo

di diverse dimensioni rivestiti in gomma. Per quello in rame

(𝝆 = 𝟏. 𝟕 ⋅ 𝟏𝟎−𝟖𝛀𝐦) di diametro 𝒅 = 𝟐. 𝟓 𝒎𝒎, la massima corrente di

sicurezza è pari a 𝟐𝟓 𝑨.

Determinare

1. La densità di corrente;

2. Il campo elettrico;

3. La differenza di potenziale per un cavo di lunghezza pari a 𝟑𝟎𝟎𝒎;

4. La potenza elettrica dissipata in un cavo di tale lunghezza.


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