Presentazione standard di PowerPointbissaldi/Fisica2/08_Cap8_Faraday.pdf · 2020-05-14 · Legge di...

CAPITOLO 8• CAMPI ELETTRICI E MAGNETICI

VARIABILI NEL TEMPO

Campo elettromagnetico

• Campo ELETTRICO e campo MAGNETICO sono generati entrambi da cariche

elettriche

• Cariche elettriche FISSE campo elettrostatico conservativo

• Cariche elettriche IN MOTO STAZIONARIO campo magnetico non

conservativo

Apparentemente, non esistono altre connessioni tra

fenomeni elettrici e magnetici statici

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 2

Campo elettromagnetico

• Esperimenti di Faraday e Henry misero in evidenza una connessione tra

elettricità e magnetismo:

Un campo magnetico VARIABILE NEL TEMPO GENERA un campo

elettrico (non conservativo!)

• Ulteriori esperimenti da parte di Maxwell evidenziarono inoltre che:

Un campo elettrico VARIABILE NEL TEMPO GENERA un campo

magnetico

CONCETTO GENERALE DI CAMPO ELETTROMAGNETICO

campo elettrico e campo magnetico variabili

non possono esistere separatamente


Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica

1. Un magnete viene avvicinato ed allontanato ad una spira 𝑨 collegata ad un

galvanometro (o viceversa)


𝒊

𝒊

𝑵 𝑺

𝒗

𝒊

𝑨

𝑵 𝑺

𝒗

𝒊

𝑨


2. Una spira 𝑨′, collegata ad un generatore di f.e.m., viene avvicinata od

allontanata ad una spira 𝑨 collegata ad un galvanometro (o viceversa)


𝒊

𝒗𝑨

𝒊

𝒊′

𝒊′

𝑨′

Ɛ


• Sperimentalmente si osserva sempre una corrente INDOTTA nella spira 𝑨

• Compare in presenza di un MOTO RELATIVO

tra la spira ed un campo magnetico 𝑩

• 𝑩 generato da un magnete permanente

o da un’altra spira percorsa da corrente

• Dal moto relativo ha origine una forza elettromotrice INDOTTA Ɛ𝒊

La presenza di Ɛ𝒊 dà luogo alla corrente indotta misurata


In base alla legge di Ohm

3. Una spira 𝑨, collegata con galvanometro,

è posta nelle vicinanze di un solenoide

con nucleo di ferro, collegato con un

generatore e con un interruttore 𝑻

Spira e solenoide sono entrambi fermi

• 𝑻 aperto (𝑩 costante)

• 𝑻 viene chiuso 𝑩 variabile f.e.m.!

• 𝑻 chiuso (𝑩 costante)

• 𝑻 viene aperto 𝑩 costante f.e.m.!



1

2

3

4

1

2

3

4

𝑻

𝑻

𝑻

𝑻

𝟎

𝟎

𝑨

3. Una spira 𝑨, collegata con galvanometro,

è posta nelle vicinanze di un solenoide

con nucleo di ferro, collegato con un

generatore e con un interruttore 𝑻

Spira e solenoide sono entrambi fermi

• 𝑻 aperto (𝑩 costante)

• 𝑻 viene chiuso 𝑩 variabile f.e.m.!

• 𝑻 chiuso (𝑩 costante)

• 𝑻 viene aperto 𝑩 variabile f.e.m.!



1

2

3

4

1

2

3

4

𝑻

𝑻

𝑻

𝑻

𝟎

𝟎

𝑨

• Fenomeno dell’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA:

Ɛ𝒊 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

LEGGE DI FARADAY

• Quando il flusso del campo magnetico 𝜱 𝑩 concatenato con un circuito

VARIA NEL TEMPO, si ha nel circuito una forza elettromotrice indotta Ɛ𝒊

• Ɛ𝒊 data dall’opposto della derivata del flusso rispetto al tempo

• Unità di misura di 𝚽 𝑩 : 1 Weber (Wb)

• 1 Wb = 1 V s = 1 T m2



UNITÀ

DI MISURA

Wb

• Detta 𝑹 la resistenza nel circuito, in esso circola la corrente indotta 𝒊

𝒊 =Ɛ𝒊𝑹= −

𝟏

𝑹

𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕

Corrente indotta

• Effetto secondario dipendente dalla variazione del flusso e dalla resistenza

del circuito

• Ricordando la definizione di f.e.m., si può definire il CAMPO ELETTRICO

INDOTTO 𝑬𝒊

Ɛ𝒊 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕= ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔

Si tratta dunque di campo NON CONSERVATIVO con circuitazione NON

nulla



Riassumendo

• Le osservazioni stabiliscono che:

1. C’è corrente solo se c’è un moto relativo tra spira e magnete

2. Un movimento più veloce fornisce una corrente più intensa

3. Il verso della corrente dipende anche dal segno del polo magnetico

che si muove (tra i due poli la situazione si inverte)

• Per ottenere una f.e.m. indotta occorre far variare nel tempo una delle

seguenti quantità:

1. Il campo magnetico

2. L’area della spira o la parte di area immersa nel campo magnetico

3. L’orientazione della spira rispetto al campo magnetico

4. Il flusso di 𝑩 (ad esempio per un moto relativo)



Legge di Lenz

• L’effetto della f.e.m. indotta è sempre tale da OPPORSI alla causa che ha

generato il fenomeno.

In un circuito chiuso circola una corrente indotta 𝒊. Essa ha verso tale per cui il

flusso del proprio campo magnetico 𝜱(𝑩𝒊) concatenato col circuito SI OPPONE

alla variazione temporale del flusso primario 𝜱 𝑩 .


𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕> 𝟎 Ɛ𝒊 < 𝟎

𝑩

𝑩𝒊

𝒊

𝑩 𝑩𝒊

𝒊

𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕< 𝟎 Ɛ𝒊 > 𝟎

Esercizio 8.1

• Una spira rettangolare di larghezza 𝒍 = 𝟑𝒎 e altezza 𝒉 = 𝟐𝒎 è immersa in

un campo magnetico variabile e non uniforme con espressione

𝑩 = 𝟒 𝒕𝟐 𝒙𝟐 ed entrante nel foglio.

1. Calcolare il valore della f.e.m. e la direzione della corrente indotta al

tempo 𝒕 = 𝟎. 𝟏 𝒔.


x x x

x x x

x x x

x

x

x

𝒍

𝒉

𝑩

Origine del campo elettrico indotto e della f.e.m. indotta

• Legge di Faraday

Ɛ𝒊 = ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔 = −𝝏

𝝏𝒕න𝚺

𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺

• 𝚺: superficie qualunque che si appoggia sulla linea chiusa 𝐬

• 𝐬: linea chiusa che può coincidere con un circuito conduttore chiuso,

o con una linea geometrica chiusa qualsiasi

• La formazione di una f.e.m. indotta ha DUE CAUSE DISTINTE

1. Moto di un conduttore in un sistema di riferimento in cui le sorgenti del

campo magnetico siano in quiete

2. La variazione nel tempo del campo magnetico in un sistema di

riferimento in cui il conduttore sia in quiete


1. Moto di un conduttore in un sistema di riferimento in cui le sorgenti del campo

magnetico 𝑩 sono in quiete



𝒙

𝑴

𝑵

𝑸

𝑷

𝑩

𝑬𝒊

𝒃𝒗

1. Moto di un conduttore in un sistema di riferimento in cui le sorgenti del campo

magnetico 𝑩 sono in quiete

• Campo elettromotore 𝑬𝒊 =𝑭

−𝒆= 𝒗 × 𝑩

• 𝑭 = −𝒆 𝒗 × 𝑩: Forza di Lorentz che agisce sugli elettroni di conduzione

• 𝒗: Velocità della sbarretta, quindi degli elettroni

a) Circuitazione di 𝑬𝒊 lungo la linea 𝑴𝑵𝑷𝑸

Ɛ𝒊 = ර𝑬𝒊 ∙ 𝒅𝒔 = න𝐌𝐍𝐏𝐐

𝒗 × 𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = − 𝒗 𝑩 𝒃

b) Flusso del campo magnetico attraverso il circuito

𝚽 𝑩 = 𝚺 𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝑩 𝒃 𝒙 Ɛ𝒊 = −𝒅𝜱

𝒅𝒕= −𝑩 𝒃 𝒗



COINCIDONO

1. Moto di un conduttore

Il fenomeno di induzione elettromagnetica è ricondotto alla FORZA DI

LORENTZ. Essa genera un campo elettromotore che causa la separazione

delle cariche all’interno del materiale conduttore

2. La variazione nel tempo del campo magnetico in un sistema di riferimento in

cui il conduttore sia in quiete

• Velocità degli elementi del circuito è nulla

• 𝑭 = −𝒆 𝒗 × 𝑩: contributo nullo

• Presenza di un campo elettrico INDOTTO, prodotto dalla variazione di 𝑩

• 𝑭 = −𝒆 𝑬𝒊: contributo NON NULLO



Esercizio 8.2

• Una bobina costituita da 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 spire di area 𝚺 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 e resistenza

complessiva 𝑹 = 𝟓 𝛀 è posta tra le espansioni polari di un elettromagnete e

giace in un piano ortogonale alle linee di 𝑩. Il campo magnetico, uniforme nei

punti di 𝚺, varia nel tempo aumentando linearmente dal valore zero al valore

𝑩𝟎 = 𝟎. 𝟖 𝑻 in un tempo 𝒕𝟎 = 𝟏𝟎 𝒔.

1. Calcolare la f.e.m. indotta nella bobina e il lavoro totale speso

nel tempo 𝒕𝟎.


𝑩

𝑵

𝑹

Applicazioni della legge di Faraday

1. ATTRITO ELETTROMAGNETICO


𝒙

𝑴

𝑵

𝑸

𝑷

𝑩

𝑭𝒃

𝑭𝒆𝒙𝒕

𝑹

𝒊


1. Si consideri il circuito in presenza di una resistenza esterna 𝑹, e la sbarretta mobile

con velocità 𝒗 e con resistenza interna 𝒓.

• La corrente indotta nel circuito vale

𝒊 =Ɛ𝒊

𝒓 + 𝑹= −

𝒗 𝑩 𝒃

𝒓 + 𝑹 Sulla sbarretta agisce dunque una forza magnetica

𝑭 = 𝒊 𝑵𝑴× 𝑩 = −𝑩𝟐𝒃𝟐

𝒓 + 𝑹𝒗

• Verso opposto al moto, modulo proporzionale alla velocità

La presenza del campo magnetico induce una corrente e da origine

ad una FORZA RESISTENTE DI TIPO VISCOSO: la «RESISTENZA DI

ATTRITO ELETTROMAGNETICO»

• Per vincere la resistenza di attrito bisogna applicare una forza esterna uguale

e contraria, 𝑭𝒆𝒙𝒕 = −𝑭, spendendo la potenza:

𝑷 = 𝑭𝒆𝒙𝒕 ∙ 𝒗 =𝑩𝟐𝒃𝟐𝒗𝟐

𝒓 + 𝑹= 𝒓 + 𝑹 𝒊𝟐 = Ɛ𝒊 𝒊



2. GENERATORE DI CORRENTE ALTERNATA


𝝎

𝒗 × 𝑩

𝒗

𝑩

𝑩

𝒗

𝒗 × 𝑩

ෝ𝒖𝒏

𝜽


2. Si consideri una spira rettangolare che ruota con velocità angolare 𝝎 attorno

ad un asse passante per il suo centro di massa, parallelo al lato 𝑴𝑵, in un

campo magnetico orizzontale 𝑩, uniforme e costante.

• Il flusso del campo magnetico attraverso la spira rotante vale

𝜱 𝑩 = න𝚺

𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮 = 𝑩 𝜮 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕

• La f.e.m. indotta risulta

Ɛ𝒊 = −𝒅𝜱 𝑩

𝒅𝒕= 𝝎 𝑩 𝜮 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕

Ɛ𝒊 varia SINUSOIDALMENTE nel tempo (valore massimo Ɛ𝒎𝒂𝒙 = 𝝎𝑩 𝚺)

• Collegando la spira in serie ad un circuito avente resistenza complessiva 𝑹,

si derivano la corrente indotta e la potenza totale spesa

𝒊 =𝝎𝑩 𝜮

𝑹𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝑷 = Ɛ𝒊𝒊 = 𝑹𝒊𝟐 =

Ɛ𝒊𝟐

𝑹=Ɛ𝒎𝒂𝒙𝟐

𝑹𝒔𝒆𝒏𝟐𝝎𝒕



3. CORRENTI PARASSITE o DI FOUCAULT

a) Campo magnetico 𝑩 variabile all’interno di un conduttore metallico

• Il campo elettrico indotto da origine a correnti concatenate alle linee di 𝑩

• Correnti molto intense riscaldamento del conduttore

• Sfruttato nei forni ad induzione

b) Conduttore metallico che si muove in un campo magnetico 𝑩 costante

• Correnti dovute alla forza di Lorentz sugli elettroni

• Rallentamento del moto:

effetto frenante

• Tagliando la piastrina:

l’effetto è ridotto

• Freno elettromagnetico

sfruttato nelle metropolitane


Legge di Felici

• Si consideri una spira di resistenza 𝑹 che si muove in un campo magnetico 𝑩.

In essa è indotta una corrente 𝒊 ricavabile dalla legge di Faraday.

• È possibile ricavare la carica 𝒒 che fluisce in un intervallo di tempo (𝒕𝟏 - 𝒕𝟐)

𝒒 = න𝒕𝟏

𝒕𝟐

𝒊 𝒕 𝒅𝒕 = −𝟏

𝑹න𝚽𝟏

𝚽𝟐

𝒅𝚽 =𝚽𝟏 −𝚽𝟐

𝐑

LEGGE DI FELICI

Il valore della carica non dipende dalla legge temporale con cui

varia il flusso del campo, ma solo dai valori iniziale e finale

• Fornisce un metodo semplice di misura dell’intensità del campo magnetico


Esercizio 8.3

• Una bobina piatta è formata da 𝑵 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 spire di area 𝚺 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟎−𝟐𝒎𝟐 e

resistenza complessiva 𝑹 = 𝟏𝟎𝟑 𝛀. Essa è posta in un piano orizzontale e viene

ribaltata. La carica messa in moto durante il processo è 𝒒 = 𝟗. 𝟔 ∙ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪.

1. Calcolare il valore della componente normale del campo magnetico

terrestre.


Autoinduzione

• Si consideri un circuito percorso da corrente 𝒊, che produce un

campo magnetico 𝑩 (secondo la legge di Ampère-Laplace)

Definizione di AUTOFLUSSO

𝜱 𝑩 = න ර𝝁𝟎𝒊

𝟒𝝅

𝒅𝒔 × ෝ𝒖𝒓𝒓𝟐

∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮

• Flusso del campo concatenato col circuito stesso

• 𝜮: superficie che abbia il circuito come contorno

• Sia 𝑩 che il 𝜱 𝑩 sono proporzionali alla corrente, da cui

𝜱 𝑩 = 𝑳 𝒊

• Definizione di INDUTTANZA 𝑳 (o coefficiente di autoinduzione)

• Dipende dalla forma del circuito e dalle

proprietà magnetiche del mezzo

𝑳 costante se il circuito è INDEFORMABILE


𝒊

𝑩

UNITÀ

DI MISURA

H (Henry)

Esercizio 8.4

• Calcolare l’induttanza dei seguenti circuiti:

1. Un solenoide toroidale a sezione rettangolare di lati 𝒂 e 𝒃, raggio

interno 𝑹, avente 𝑵 spire avvolte in maniera compatta (vedi figura);

2. Un solenoide rettilineo indefinito con 𝒏 = 𝟏𝟎𝟑 spire per metro e

sezione e sezione 𝜮 = 𝟏𝟎−𝟐𝒎𝟐.

• Come cambia tale valore se all’interno del solenoide viene inserito un

materiale avente permeabilità magnetica κ𝒎 = 𝟏𝟎𝟑?


𝒂

𝒃

𝒓

𝑹

Autoinduzione

• Quando la corrente nel circuito non è costante nel tempo, il flusso concatenato

col circuito varia. Compare dunque una

F.e.m. di autoinduzione o indotta

Ɛ𝑳 = −𝒅𝚽

𝒅𝒕= −𝑳

𝒅𝒊

𝒅𝒕

• Avendo ipotizzato 𝑳 costante

• Fornisce un’altra definizione dell’induttanza di un circuito

• Circuito «induttivo»: Circuito con induttanza NON NULLA

• Se l’induttanza è concentrata in un tratto particolare del circuito,

questo si definisce INDUTTORE

• Simbolo circuitale


Extracorrenti nei circuiti induttivi

• La presenza di un induttore in un circuito IMPEDISCE che la corrente aumenti o

diminuisca istantaneamente

• Si consideri un circuito RL in serie, costituito da un generatore di f.e.m. Ɛ con

resistenza interna trascurabile, un induttore con induttanza 𝑳 e un resistore di

resistenza 𝑹

Legge di Ohm per il circuito RL

Ɛ + Ɛ𝑳 = 𝑹 𝒊 → Ɛ = 𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕+ 𝑹 𝒊

• Separando le variabili ed

integrando, si ottiene:

Ɛ − 𝑹 𝒊 = 𝑨 𝒆−𝑹𝒕/𝑳

• Costante di integrazione 𝑨

determinata in base alle

condizioni iniziali


𝑳

𝑹

𝑻

Ɛ


1. Chiusura del circuito al tempo 𝒕 = 𝟎

• Sarà 𝒊 = 𝟎 e Ɛ = 𝑨 (no variazioni brusche!)

• Andamento della corrente:

𝒊 𝒕 =Ɛ

𝑹𝟏 − 𝒆−𝑹𝒕/𝑳 =

Ɛ

𝑹𝟏 − 𝒆−𝒕/𝝉

𝝉 =𝑳

𝑹: costante di tempo del circuito RL

• F.e.m. di autoinduzione:

Ɛ𝑳 = −𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕= −Ɛ𝒆−𝒕/𝝉

Extracorrente di chiusura

𝒊𝑳 = 𝒊∞ − 𝒊 𝒕 =Ɛ

𝑹𝒆−𝒕/𝝉 = −

Ɛ𝑳𝑹

Appare durante la fase

transitoria della chiusura


𝑳

𝑹

𝑻

Ɛ

𝒊 𝒕

𝒊𝑳 𝒕

𝒊∞ =Ɛ

𝑹

CHIUSURA

𝝉 𝟐𝝉 𝟑𝝉 𝟒𝝉 𝟓𝝉 𝒕


2. Apertura del circuito al tempo 𝒕 = 𝟎

• Sarà 𝒊 = 𝒊∞ (valore di regime)

Aprendo l’interruttore si passa da 𝑹 a 𝑹′ (𝑹′ ≫ 𝑹)

• 𝑹′ può essere pensata come resistenza della scintilla

che mantiene chiuso il cirucuito per breve tempo

• Andamento della corrente:

𝒊 𝒕 =Ɛ

𝑹𝒆−𝒕/𝝉′

• Ora 𝝉′ = 𝑳/𝑹′ ≪ 𝝉

• F.e.m. di autoinduzione

Ɛ𝑳 = −𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕=𝑹′

𝑹Ɛ 𝒆−

𝒕𝝉 ≫ Ɛ

Extracorrente di apertura

𝒊𝑳 =Ɛ𝑳𝑹′


𝑳

𝑹

𝑻

Ɛ

𝝉′ ≪ 𝝉

APERTURA

𝝉′ 𝟐𝝉′ 𝟑𝝉′ 𝟒𝝉′ 𝒕

Energia magnetica

• Si consideri nuovamente il circuito RL in serie. La potenza erogata dal

generatore quando la corrente ha il valore 𝒊 vale:

𝑷 = Ɛ 𝒊 = 𝑳 𝒊𝒅𝒊

𝒅𝒕+ 𝑹 𝒊𝟐

• Il lavoro complessivo speso nel tempo 𝒅𝒕 vale:

𝒅𝑾 = 𝑷 𝒅𝒕 = Ɛ 𝒊 𝒅𝒕 = 𝑳 𝒊 𝒅𝒊 + 𝑹 𝒊𝟐 𝒅𝒕

Esprime il BILANCIO ENERGETICO DEL CIRCUITO

• Ɛ 𝒊 𝒅𝒕 = Ɛ 𝒅𝒒 Lavoro compiuto dal generatore

• 𝑹 𝒊𝟐 𝒅𝒕 Lavoro speso per far circolare la corrente nel circuito e

trasformato in calore (effetto Joule)

• 𝑳 𝒊 𝒅𝒊 Lavoro speso contro la f.e.m. di autoinduzione,

Ɛ𝑳 = −𝑳 𝒅𝒊/𝒅𝒕, per far aumentare la corrente da 𝒊 a 𝒊 + 𝒅𝒊


Energia magnetica

• Dopo la chiusura del circuito, la corrente passa da 𝟎 a 𝒊.

• Il generatore, oltre al lavoro corrispondente all’effetto Joule, deve spendere

contro Ɛ𝑳 il lavoro:

𝑾𝑳 = න𝟎

𝒊

𝑳′𝒊 ′𝒅𝒊′ =𝟏

𝟐𝑳 𝒊𝟐

• Non dipende dal modo in cui varia la corrente, ma solo dai valori iniziale

e finale

Energia INTRINSECA della corrente

𝑼𝑳 =𝟏

𝟐𝑳 𝒊𝟐

• La variazione di tale energia fornisce il lavoro fatto dal generatore

CONTRO la f.e.m. di autoinduzione durante la corrispondente

variazione di corrente

Energia MAGNETICA legata alla PRESENZA DEL CAMPO 𝑩


Energia magnetica

• Esempio: Nel caso di un tratto di solenoide rettilineo indefinito lungo 𝒅,

l’energia intrinseca della corrente vale

𝑼𝑳 =𝟏

𝟐𝑳 𝒊𝟐 =

𝟏

𝟐𝝁𝟎𝒏

𝟐𝜮𝒅 𝒊𝟐 =𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎𝜮𝒅 =

𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎𝝉

• Definizione di DENSITÀ DI ENERGIA MAGNETICA

𝒖𝒎 =𝑼𝑳𝝉=

𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎=𝟏

𝟐𝝁𝟎𝑯

𝟐 =𝟏

𝟐𝑯𝑩

• ENERGIA MAGNETICA TOTALE

(formula generale)

𝑼𝒎 = න𝝉

𝒖𝒎𝒅𝝉 = න𝝉

𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎𝒅𝝉

Ottenuta integrando tutto lo

spazio in cui è presente un campo 𝑩


𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎𝒅𝝉

Esercizio 8.5

1. Calcolare l’energia magnetica di un solenoide toroidale a sezione

rettangolare di lati 𝒂 e 𝒃, raggio interno 𝑹, avente 𝑵 spire avvolte in

maniera compatta.


Induzione mutua

• Si definisca il flusso del campo magnetico prodotto da un circuito (1) attraverso

un secondo circuito (2)

𝚽𝟏,𝟐 = න𝚺𝟐

𝑩𝟏 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺𝟐 = 𝐌𝟏,𝟐 𝒊𝟏

• Coefficiente di mutua induzione o INDUTTANZA MUTUA

𝐌𝟏,𝟐 =𝚽𝟏,𝟐

𝐢𝟏=𝚽𝟐,𝟏

𝐢𝟐= 𝐌𝟐,𝟏 = 𝐌

• Dipende da

• forma dei circuiti

• posizione dei circuiti

• proprietà magnetiche del mezzo

• Circuiti si definiscono «ACCOPPIATI» quando 𝐌 ≠ 𝟎

• Risultano caratterizzati completamente da 𝐑, 𝐋 e 𝐌


Esercizio 8.6

• In corrispondenza del centro di un solenoide indefinito, avente 𝒏𝟏 spire per unità

di lunghezza, e avente area 𝚺𝟏, è posta una bobina costituita da 𝑵𝟐 spire e

avente area 𝚺𝟐 > 𝚺𝟏.

1. Calcolare il coefficiente di mutua induzione.


𝚺𝟏

𝚺𝟐

𝒏𝟏

𝑵𝟐

Induzione mutua

• F.e.m. di mutua induzione

• Indotta in un circuito dalla variazione di corrente nell’altro circuito

Ɛ𝟏′ = −

𝒅𝜱𝟐,𝟏

𝒅𝒕= −𝑴𝟐,𝟏

𝒅𝒊𝟐𝒅𝒕

Ɛ𝟐′ = −

𝒅𝜱𝟏,𝟐

𝒅𝒕= −𝑴𝟏,𝟐

𝒅𝒊𝟏𝒅𝒕

• Energia magnetica del sistema di due circuiti accoppiati

• Data dalla somma dei lavori dei rispettivi generatori per far scorrere le

correnti 𝒊𝟏 e 𝒊𝟐, e del termine che tiene conto del lavoro speso contro la

f.e.m. di induzione mutua

𝑼𝒎 =𝟏

𝟐𝑳𝟏 𝒊𝟏

𝟐 +𝟏

𝟐𝑳𝟐 𝒊𝟐

𝟐 + 𝐌 𝒊𝟏 𝒊𝟐


Esercizio 8.7

• Una bobina compatta 𝑺𝟏, composta da 𝑵𝟏 spire di raggio 𝒓𝟏, è alimentata da

un generatore Ɛ𝟏 che fa circolare una corrente 𝒊𝟏.

Una seconda bobina compatta 𝑺𝟐, costituita da 𝑵𝟐 spire di raggio 𝒓𝟐 ≪ 𝒓𝟏 è

posta nell’intorno del centro della prima bobina. L’angolo tra i versori normali

ෝ𝒖𝟏 e ෝ𝒖𝟐 delle due bobine è 𝜽. Un generatore inserito nel circuito 𝑺𝟐 fa

circolare una corrente 𝒊𝟐 = 𝒊𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 .

1. Calcolare la f.e.m. indotta

nella bobina 𝑺𝟏.


ෝ𝒖𝟏

𝜽ෝ𝒖𝟐

Ɛ𝟏

𝒊𝟐 𝒕

Riassunto

• SOLENOIDE INDEFINITO

• Di sezione 𝚺, con 𝒏 spire per unità di lunghezza, percorso da corrente 𝒊

• Campo magnetico

𝑩 = 𝝁𝟎 𝒏 𝒊

• Induttanza per unità di lunghezza

𝑳𝒅 = 𝝁𝟎 𝒏𝟐 𝚺

• TOROIDE

• Di raggio interno 𝑹, a sezione rettangolare di lati 𝒂 e 𝒃, con 𝑵 spire, percorso da corrente 𝒊

• Campo magnetico

𝑩 𝒓 =𝝁𝟎𝑵 𝒊

𝟐𝝅𝒓

• Induttanza

𝑳 =𝝁𝟎𝑵

𝟐𝒂

𝟐𝝅𝒍𝒏

𝑹 + 𝒃

𝑹


Legge di Ampère – Maxwell

• Applicando la legge di Ampère 𝑩ׯ ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎𝒊 e ricordando che

𝒊 = 𝒊𝒄 + 𝒊𝒔 dove 𝒊𝒔 = 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕è la corrente di spostamento, si ottiene:

LEGGE DI AMPÈRE-MAXWELL

ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎 𝒊𝒄 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕


𝚺𝟐

𝒔

𝚺𝟏𝑹

Legge di Ampère – Maxwell

• In assenza di correnti di conduzione (𝒊𝒄), ma in presenza di VARIAZIONI DI

CAMPO ELETTRICO nel tempo, esiste un campo magnetico 𝑩 determinato da

ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕=𝟏

𝒄𝟐

𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕

• 𝒄𝟐 =𝟏

𝝁𝟎𝜺𝟎 velocità della luce nel vuoto

• Relazione dovuta a Maxwell

• Razionalizzazione delle formule dell’elettromagnetismo

Simmetria di comportamento con la legge di Faraday che prevede l’esistenza di

un campo elettrico nei punti ove esistono variazioni di campo magnetico

ර𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒅𝚽 𝑩

𝒅𝒕


Esercizio 8.8

• Un condensatore piano con armature circolari

di raggio 𝑹 è collegato ad un generatore che

stabilisce tra le armature il campo elettrico

𝑬(𝒕) = 𝑬𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕, con

𝑬𝟎 = 𝟏𝟎𝟑 𝑽/𝒎 e 𝝎 = 𝟏𝟎𝟕𝒓𝒂𝒅/𝒔.

Per un generico istante 𝒕, calcolare:

1. Il campo magnetico 𝑩 all’interno del

condensatore in funzione della distanza

𝒓 dall’asse.

2. La f.e.m. indotta in un solenoide

toroidale di raggio medio 𝒓′ = 𝟏𝟎 𝒄𝒎

e area 𝚺′ = 𝟑 𝒄𝒎𝟐 con 𝑵 = 𝟔𝟎𝟎

spire, coassiale alle armature.


𝑬𝒓

𝑩𝑩

Le equazioni di Maxwell

• Nello spazio vuoto, in presenza di cariche 𝒒 e di correnti di conduzione 𝒊,

le equazioni di Maxwell in forma integrale sono date da

ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝒒

𝜺𝟎


𝒅𝒕

ර𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝟎

ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎 𝒊 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕


1

2

3

4




ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝒒

𝜺𝟎

• Stabilisce il LEGAME tra CARICA ELETTRICA e CAMPO ELETTRICO


1




ර𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺 =𝒒

𝜺𝟎


𝒅𝒕

• Mostra che un CAMPO MAGNETICO VARIABILE è SORGENTE di un CAMPO

ELETTRICO.


1

2





𝜺𝟎


𝒅𝒕

ර𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝟎

• Afferma che il CAMPO MAGNETICO è sempre SOLENOIDALE e che quindi

non esistono cariche magnetiche isolate


1

2

3





𝜺𝟎


𝒅𝒕

ර𝑩 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺 = 𝟎

ර𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 𝝁𝟎 𝒊 + 𝜺𝟎𝒅𝚽 𝑬

𝒅𝒕


1

2

3

4

• Indica le correnti di conduzione e le variazioni del campo elettrico come

sorgenti del CAMPO MAGNETICO


• Tutte le proprietà generali studiate, comprese quelle dei campi statici, sono

racchiuse nelle leggi di Maxwell.

• La loro soluzione, note le cariche 𝒒 e le correnti 𝒊, fornisce il campo

elettrico e il campo magnetico che agiscono sulla carica di prova 𝒒𝟎. Tale

azione si manifesta con la FORZA DI LORENTZ

𝑭 = 𝒒𝟎 𝑬 + 𝒗 × 𝑩

• Ai campi è associata la DENSITÀ DI ENERGIA ELETTROMAGNETICA

𝒖 =𝟏

𝟐𝜺𝟎 𝑬

𝟐 +𝑩𝟐

𝟐𝝁𝟎


Presentazione standard di PowerPointbissaldi/Fisica2/08_Cap8_Faraday.pdf · 2020-05-14 · Legge di...

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