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CAPITOLO 6• CAMPI MAGNETICI

Interazione magnetica

• Magnetismo: proprietà osservata fin dall’antichità in alcuni minerali

(es. MAGNETITE) di attirare la limatura di ferro

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 2


• Proprietà di attrazione non uniforme

• Localizzata in determinate parti del magnete

• POLI DEL MAGNETE



• Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo)

1. Come per le forze di natura

elettrostatica:

• Un magnete GENERA UN

CAMPO MAGNETICO

• Forza attrattiva o repulsiva

• POLI POSITIVI e

POLI NEGATIVI

• I poli di UNO STESSO MAGNETE

sono sempre di SEGNO OPPOSTO

• Non ci sono cariche elettriche

in azione!




2. Una bacchetta di ferro immersa nel

campo magnetico generato dalla

magnetite si MAGNETIZZA

• Si ottiene dunque un magnete

artificiale o calamita

• Se molto piccolo: Ago magnetico




3. Ago magnetico si comporta come un

DIPOLO MAGNETICO che lasciato

libero si orienta nella direzione

e verso del campo magnetico

TERRESTRE esistente in quel punto

• Polo NORD: si orienta verso il

nord geografico, segno POSITIVO

• Polo SUD: segno NEGATIVO




4. Interazione tra poli dello

stesso segno: REPULSIVA;

Interazione tra poli di

segno opposto: ATTRATTIVA

• Per poli puntiformi

(es. sbarra lunga e sottile):

Andamento della FORZA

MAGNETICA risulta inversamente

proporzionale al quadrato della

distanza




5. Esperimento della calamita spezzata:

I poli magnetici sembrano

esistere sempre a COPPIE di egual

valore e segno opposto

• Non esiste il MONOPOLO magnetico

(polo magnetico isolato),

ma esistono solo DIPOLI MAGNETICI

• Differenza fondamentale tra

forza elettrica e magnetica!




6. I granelli di limatura di ferro si dispongono in modo ORDINATO

lungo linee REGOLARI

• Ciascun granello magnetizzato diventa dipolo magnetico e si orienta

parallelamente al campo magnetico stesso

• LINEE DI CAMPO MAGNETICO



• Vettore campo magnetico: 𝑩

• Verso: dal polo Sud al polo Nord

• Proprietà delle linee di campo magnetico

analoghe a quelle del campo elettrostatico

• Punto: campo uscente

• Croce: campo entrante


𝑩

x x x

x x

𝑩

𝑩

N geografico

S geografico

S magnetico

Elettricità e magnetismo

• Osservazioni sperimentali

1. Un filo percorso da corrente elettrica

produce un campo magnetico (Oersted XIX secolo)

• La limatura di ferro evidenzia le

linee di campo attorno al filo

2. Due fili percorsi da corrente

interagiscono tra loro

(Ampère XIX secolo)

• Le azioni magnetiche sono una

manifestazione dell’interazione

tra cariche elettriche in MOVIMENTO


𝒊

𝑩

𝒊𝟏 𝒊𝟐 𝒊𝟏 𝒊𝟐𝑭

𝑭 𝑭

Forza magnetica su una carica in moto

Si studiano prima gli effetti di un campo magnetico esterno su particelle cariche in

movimento (particelle isolate o correnti)

• Una carica di massa 𝒎 e carica 𝒒 in moto con velocità 𝒗 e immersa in un campo

magnetico 𝑩 risente della forza di Lorentz:

𝑭 = 𝒒 𝒗 × 𝑩

• Modulo della forza: 𝑭 = 𝒒 𝒗 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽

• Forza perpendicolare sia a 𝒗 che a 𝑩

• No componente tangenziale

Forza sempre centripeta

• Forza compie sempre lavoro nullo

L’energia cinetica della particella

in moto SI CONSERVA


𝒗

𝑩

𝑭

+𝒒𝜽

𝒗

𝑩

𝑭

−𝒒𝜽

Forza magnetica su una carica in moto

Forza magnetica ORTOGONALE a 𝑩

• Contrariamente a quanto succede per il campo elettrico,

in cui la forza elettrostatica risulta PARALLELA a 𝑬

• Unità di misura del

campo magnetico 𝑩

• Tesla (T), 1 T

• Gauss (G) = 10–4 T

(meno utilizzata)


UNITÀ

DI MISURA

T

Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente

• Densità di corrente in un conduttore

Ԧ𝒋 = −𝒏 𝒆 𝒗𝒅• 𝒏 = 𝑵/𝝉: no elettroni liberi per unità di volume

• −𝒆: carica elementare

• 𝒗𝒅: velocità di deriva

• Se il conduttore è immerso in un campo magnetico,

ciascun elettrone risente della forza di Lorentz:

𝑭 = −𝒆 𝒗𝒅 × 𝑩

Nel caso di un conduttore filiforme di lunghezza 𝒅𝒔 (orientato come Ԧ𝒋) e sezione 𝚺 ottengo la forza magentica risultante:

𝒅𝑭 = 𝒊 𝒅𝒔 × 𝑩

• Direzione: perpendicolare a 𝒅𝒔 e a 𝑩 (regola della mano destra)

• Modulo: 𝒅𝑭 = 𝒊 𝒅𝒔 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽• La forza non dipende dal segno dei portatori ed è proporzionale alla corrente


𝑭

𝒅𝒔

𝒊

𝑩

dove 𝝉 = 𝚺𝐝𝐬

SECONDA LEGGE

ELEMENTARE DI LAPLACE

Nel caso di un filo conduttore indeformabile di lunghezza finita percorso da una

corrente stazionaria, si ottiene

𝑭 = 𝒊 𝑷𝑸𝒅𝒔 × 𝑩



• 𝑷 e 𝑸: estremi del filo

• 𝑩 può variare in modulo, direzione e verso,

ma è costante su ciascuna SEZIONE del filo

• Casi particolari interessanti:

1. Filo rettilineo e 𝑩 costante:

𝑭 = 𝒊 Ԧ𝒍 × 𝑩

• Modulo: 𝑭 = 𝒊 𝒍 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽

2. Filo curvo in un piano e 𝑩 costante

𝑭 = 𝒊 𝑷𝑸 × 𝑩

• La forza sul filo non dipende

dalla sua forma, ma solo dai punti

iniziale e finale


𝑭

𝑩

𝒍𝒊

𝑸

𝑷

𝒅𝒔

𝑩


Esercizio 6.1

• In un circuito chiuso a forma di semicirconferenza di raggio 𝑹 fluisce una

corrente di intensità 𝒊. Il circuito è contenuto nel piano 𝒙𝒚 con il tratto rettilineo

𝑷𝑸 parallelo all’asse 𝒙 ed è immerso in un campo magnetico 𝑩 uniforme

parallelo all’asse 𝒚.

1. Calcolare la forza magnetica sul tratto rettilineo e su quello curvo.


𝑩

𝒊 𝑹

𝑷 𝑸𝑶𝒙

𝒚

Momenti meccanici su circuiti piani


• In generale, si consideri la forza magnetica come una FORZA RISULTANTE di

un sistema di forze applicate in punti diversi

• Può provocare uno spostamento (Teorema del moto del centro di massa)

• Inoltre, il sistema di forze può avere MOMENTO RISULTANTE non nullo

• Può provocare una rotazione

• Consideriamo CIRCUITI PIANI RIGIDI percorsi da corrente e immersi in CAMPO

MAGNETICO UNIFORME

• FORZA RISULTANTE NULLA

• Il circuito non si sposta e non si deforma

• MOMENTO RISULTANTE può essere DIVERSO DA ZERO

Rotazione del circuito



Spira rettangolare 𝑷𝑸𝑹𝑺 di superficie Σ = 𝒂𝒃 orientata secondo ෝ𝒖𝒏 e percorsa

da una corrente 𝒊, immersa in un campo magnetico uniforme 𝑩

• 𝜽: angolo tra ෝ𝒖𝒏 e 𝑩

𝑭𝟏

𝑭𝟐

𝒊

ෝ𝒖𝒏𝜽

𝑩

𝒃 𝒔𝒆𝒏𝜽

x 𝑭𝟐

𝑭𝟏

𝑭𝟑

𝑭𝟒

ෝ𝒖𝒏

𝜽

𝑴

𝑴

𝒊

𝑹

𝒂

𝑸

𝑺

𝑷

𝒊

𝒃

𝑩



Spira rettangolare 𝑷𝑸𝑹𝑺 di superficie Σ = 𝒂𝒃 orientata secondo ෝ𝒖𝒏 e percorsa

da una corrente 𝒊, immersa in un campo magnetico uniforme 𝑩

• 𝜽: angolo tra ෝ𝒖𝒏 e 𝑩

𝑭𝟏

𝑭𝟐

𝒊

ෝ𝒖𝒏𝜽

𝑩

x 𝑭𝟐

𝑭𝟏

𝑭𝟑

𝑭𝟒

ෝ𝒖𝒏

𝜽

𝑴

𝑴

𝒊

𝑹

𝒂

𝑸

𝑺

𝑷

𝒊

𝒃

𝑩

𝒃 𝒔𝒆𝒏𝜽

𝒊

𝒊x


• Si definisce il MOMENTO MAGNETICO della spira

𝒎 = 𝒊 𝜮 ෝ𝒖𝒏

Il momento MECCANICO vale dunque

𝑴 = 𝒎×𝑩 = 𝒊 𝚺ෝ𝒖𝒏 × 𝑩

• Relazione valida per qualunque spira piana

• 𝑴 tende a far ruotare la spira in modo che 𝒎 diventi parallelo e

concorde a 𝑩

• Modulo: 𝑴 = 𝒎𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒊 𝜮 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽

• Se la spira è composta da 𝑵 avvolgimenti sovrapposti:

• Relazione va moltiplicata per 𝑵

• Se 𝒎 || 𝑩 : 𝑴 = 𝟎

• 𝜽 = 𝟎 equilibrio STABILE, 𝜽 = 𝝅 equilibrio INSTABILE

• Analogia con il dipolo elettrico per cui 𝑴 = 𝒑 × 𝑬



• Si consideri un asse di rotazione parallelo a 𝑴 e si supponga di SPOSTARE la

spira dalla posizione di equilibrio stabile di un angolo 𝜽 piccolo

• Il momento meccanico della spira vale

𝑴 = −𝒎𝑩𝒔𝒆𝒏𝜽 ≅ −𝒎𝑩𝜽

• Segno – indica che il momento richiama la spira verso la posizione di equilibrio

• Ricordando il teorema del momento angolare 𝑴 =𝒅𝑳

𝒅𝒕= 𝑰𝜶 = 𝑰

𝒅𝟐𝜽

𝒅𝒕𝟐

• 𝑰: momento d’inerzia della spira rispetto all’asse di rotazione

• Si ritrova quindi l’equazione del moto armonico

𝒅𝟐𝜽

𝒅𝒕𝟐+𝝎𝟐𝜽 = 𝟎

• Pulsazione 𝝎 =𝒎𝑩

𝑰e periodo 𝑻 = 𝟐𝝅

𝑰

𝒊 𝜮 𝑩delle piccole oscillazioni

Definizione operativa di 𝑩



• Energia POTENZIALE per il dipolo magnetico:

𝑼𝑷 = −𝒎 ∙ 𝑩 = −𝒎𝑩 𝒄𝒐𝒔𝜽 = −𝒊 𝚺 𝐁 𝐜𝐨𝐬𝜽

• Analogia con il dipolo elettrico per cui 𝑼𝒆 = −𝒑 ∙ 𝑬

• Relazione tra momento meccanico ed energia potenziale:

𝑴 = −𝒅𝑼𝑷

𝒅𝜽= −𝒎𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜽

• Forza su un dipolo magnetico 𝒎 orientato parallelamente ad un campo

magnetico variabile 𝑩 = 𝑩 𝒙 ෝ𝒖𝒙

𝑭(𝒙) = 𝒎𝒅𝑩

𝒅𝒙

• Se 𝒎 concorde a 𝑩𝒎 si sposta

nel verso in cui 𝑩 aumenta


Effetto Hall

• Si consideri una sottile lamina conduttrice di sezione 𝚺 = 𝐚𝐛 percorsa da

corrente di intensità 𝒊 (e densità Ԧ𝒋) diretta lungo l’asse 𝒙 ed immersa in

campo magnetico 𝑩 diretto lungo l’asse 𝒚


𝒙

𝒛

𝑸

𝑷

Ԧ𝒋

𝑩

𝑬𝑯

𝑬𝒆𝒍

𝒚

𝒂

𝒃

+ + + + +

− − − − − −

Effetto Hall

• Su ciascun portatore agisce la forza di Lorentz 𝑭 = 𝒆 𝒗𝑫 × 𝑩

• Tale forza NON è di natura elettrostatica!

• Nel grafico precedente, tale forza è diretta lungo l’asse 𝒛

Si definisce campo elettrico DI ORIGINE MAGNETICA detto CAMPO DI HALL

𝑬𝑯 =𝑭

𝒆= 𝒗𝑫 × 𝑩 =

Ԧ𝒋

𝒏 𝒆× 𝑩

• Campo NON CONSERVATIVO, ma ELETTROMOTORE

• 𝑬𝑯 diretto come la forza, lungo l’asse 𝒛

• Se 𝒆 > 𝟎 (portatori positivi): Verso 𝑬𝑯 concorde all’asse 𝒛

• Se 𝒆 < 𝟎 (portatori negativi): Verso 𝑬𝑯 discorse all’asse 𝒛

• Deflessione nel moto delle cariche

• Accumulo di cariche di segno opposto sulle facce ortogonali a 𝑬𝑯

Tale accumulo da origine ad un campo elettrostatico 𝑬𝒆𝒍che si oppone ad esso (e sarà quindi di verso opposto a 𝑬𝑯)


Effetto Hall

• Alla luce di queste considerazioni, è possibile indicare i nuovi campi

elettromotore 𝑬𝑯 ed elettrostatico 𝑬𝒆𝒍 nel grafico precedente, insieme con le

distribuzioni di carica sulle superfici superiore ed inferiore


𝒙

𝒛

𝑸

𝑷

Ԧ𝒋

𝑩

𝑬𝑯

𝑬𝒆𝒍

𝒚

𝒂

𝒃

+ + + + +

− − − − − −

𝒆 > 𝟎

Effetto Hall

• Situazione di equilibrio si raggiunge quando:

𝑬𝑯 + 𝑬𝒆𝒍 = 𝟎

• La f.e.m. del campo elettromotore vale dunque

Ɛ𝑯 = න𝑷

𝑸

𝑬𝑯 ∙ 𝒅𝒛 = 𝑬𝑯 ∙ 𝑷𝑸 = ± 𝑬𝑯 𝒃

• Segno + se 𝒆 > 𝟎, segno − se 𝒆 < 𝟎

• Modulo:

Ɛ𝑯 = 𝑬𝑯𝒃 =𝒋𝑩

𝒏𝒆𝒃 =

𝒊

𝒂𝒃

𝑩𝒃

𝒏𝒆=

𝒊 𝑩

𝒏 𝒆 𝒂

Effetto Hall TRASVERSALE

• Sonde di Hall

• Misuratori di campo magnetico: 𝑩 =𝒏 𝒆 𝒂 Ɛ𝑯

𝒊=

Ɛ𝑯

𝜶dove 𝜶 =

𝒊

𝒏 𝒆 𝒂


Moto di una particella carica in campo magnetico

• Si consideri una particella di carica 𝒒 e massa 𝒎 in moto con una velocità

iniziale 𝒗 ortogonale ad un campo magnetico 𝑩 uniforme

• Forza di Lorentz (centripeta!) risulta anch’essa ortogonale, e devia

continuamente il moto della particella carica:

𝑭 = 𝒒𝒗𝑩 = 𝒎𝒂𝒏 = 𝒎𝒗𝟐

𝒓

• Moto CIRCOLARE uniforme con

RAGGIO DI CURVATURA costante

𝒓 =𝒎𝒗

𝒒𝑩=

𝒑

𝒒𝑩= 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

• Traiettoria: arco di circonferenza o

circonferenza completa se la particella

rimane entro la zona di 𝑩

𝑩 =𝒎𝒗

𝒓𝒒(definizione operativa di 𝑩)


𝒗

𝑭

𝑩

𝒒

𝑪


• PERIODO del moto circolare uniforme:

𝑻 =𝟐𝝅

𝝎=𝟐𝝅𝒎

𝒒 𝑩

In generale, se è presente una iniziale componente della velocità

in direzione del campo magnetico, questa

componente non viene modificata ed il

moto risultante è ELICOIDALE

• VELOCITÀ ANGOLARE della particella:

𝝎 =𝒗

𝒓=𝒒𝑩

𝒎→ 𝝎 = −

𝒒

𝒎𝑩

• 𝝎 è sempre PARALLELA a 𝑩

• Carica negativa 𝝎 ha lo stesso verso

di 𝑩, altrimenti ha verso opposto


+–−𝒒 +𝒒

𝝎 𝝎x

𝑩

–++𝒒 −𝒒

𝝎 𝝎x

𝑩x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x


• Espressione completa della forza di Lorentz:

𝑭 = 𝒒 𝑬 + 𝒗 × 𝑩

• Da essa si ricava la legge del moto di particelle cariche in campo

magnetico in presenza contemporanea di campo elettrico

• Dispositivi che deducono alcune proprietà delle particelle stesse:

• Spettrometri, Ciclotroni, Sincrotroni, etc.

• Es.1: Spettrometro di massa

• A parità di energia cinetica e di carica: a masse diverse

corrispondono velocità diverse, dunque raggi diversi.

• Misurando il raggio si risale al valore del rapporto 𝒎/𝒒

𝒓 =𝟐𝑽

𝑩𝟐

𝒎

𝒒


• Es.2: Selettore di velocità

• Campi 𝑬 e 𝑩 uniformi e ortogonali tra loro («incrociati»)

• Se i moduli dei campi sono scelti in modo tale che 𝑬 + 𝒗 × 𝑩 = 𝟎

la forza sulla particella carica risulta nulla (𝑭 = 𝟎)

• Le particelle la cui velocità soddisfa la condizione 𝒗 =𝑬

𝑩non

vengono deflesse e compiono un moto rettilineo uniforme

• I campi incrociati permettono di effettuare MISURE DI VELOCITÀ

delle particelle cariche


++

𝒒𝒗 × 𝑩

𝒒𝑬𝒗

𝑩

𝑬

𝑽


Esercizio 6.2

• Un fascio di elettroni viene accelerato da fermo con una differenza di

potenziale 𝑽 = 𝟓𝟎𝟎 𝑽 e inviato in una regione in cui agisce un campo

magnetico 𝑩 uniforme, perpendicolare alla direzione di volo degli elettroni.

Gli elettroni descrivono una circonferenza di raggio 𝒓 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎.

Determinare

1. La velocità degli elettroni;

2. Il valore del campo magnetico.


Esercizio 6.3

• Determinare modulo, direzione e verso di 𝑩 necessari a far levitare un filo di

rame avente densità per unità di lunghezza 𝝆𝑳 = 𝟒𝟔. 𝟔𝒈

𝒎e percorso da una

corrente 𝒊 = 𝟏𝟓 𝑨 uscente nel foglio come in figura.


𝒎𝒈

𝒊i

Esercizio 6.4

• Si consideri un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 𝟏 𝒌𝑽 che

si muova verso una regione compresa tra due piastre piane e parallele

separate da una distanza di 𝟐𝟎𝒎𝒎. Tra le piastre esiste una differenza di

potenziale di 𝟏𝟎𝟎 𝑽.

1. Se l’elettrone entra nella regione muovendosi perpendicolarmente al

campo elettrico tra le piastre, quale campo magnetico, perpendicolare

sia al percorso dell’elettrone che al campo elettrico, è necessario affinchè

l’elettrone viaggi in linea retta?


Esercizio 6.5

• Si consideri una bobina rettangolare di lati 𝟏𝟐 𝒄𝒎 e 𝟓 𝒄𝒎 composta da

𝟐𝟎 𝒔𝒑𝒊𝒓𝒆 di filo. Essa è percorsa da una corrente di 𝟎. 𝟏 𝑨. È incernierata lungo

un lato e montata con il suo piano formante un angolo di 𝟑𝟑° con la direzione di

un campo magnetico di modulo 𝟎. 𝟓 𝑻.

1. Calcolare il momento torcente sulla bobina rispetto all’asse della

cerniera.


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