G.M. - Edile A 2002/03

Distribuzione sferica uniforme

• Per i punti esterni, ci ritroviamo nelle stesse condizioni del guscio sferico:

• Il campo elettrico, per punti esterni alla distribuzione di carica, è uguale a quello di una carica puntiforme, pari alla carica totale, posta al centro della distribuzione

r

E

P

r

R

punto in cui si vuole determinare il campo elettrico

ρ=dqdV =

qVtot

=q

43πR3

E =1

4πεo

qr2

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Distribuzione sferica uniforme

• Per i punti interni, solo la carica all’interno della superficie di Gauss va considerata

– I gusci esterni alla superficie di Gauss non contribuiscono al campo elettrico in P

r

E

P

r

R

punto in cui si vuole determinare il campo elettrico

ρ=dqdV =

qVtot

=q

43πR3

ρ =q

43 πR3 ⇒ qint =ρ4

3πr3 =q43πr3

43πR3 =q

r3

R3

r E ⋅d

r S ∫ = EdS∫

il modulo delcampo elettricoE è costante

1 2 3 =E dS∫

superficie totaledella sfera

= 4πr2

{=E4πr2 =

qεo

r3

R3

E =q

4πεo

rR3

E

rR

E =1

4πεo

qR2

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Distribuzione rettilinea uniforme• La simmetria del problema in questo caso ci permette

di affermare– Il campo elettrico non può avere una componente

parallela alla distribuzione• Si creerebbe una asimmetria tra i due versi lungo la

distribuzione

• Perciò giace nel piano perpendicolare alla distribuzione rettilinea di carica

– Nel piano perpendicolare • è diretto radialmente

• tutti i punti equidistanti dalla distribuzione devono avere la stessa intensità del campo

– Il campo elettrico non può dipendere dalla coordinata lungo la distribuzione di carica

• Usiamo come superficie di Gauss una superficie cilindrica

– Concentrica con la distribuzione di carica

– Passante per il punto in cui si vuole calcolare il campo (raggio r)

– Di altezza arbitraria h

• Sulle basi il flusso è nullo (E perpendicolare a dS)• Sulla superficie laterale (E parallelo a dS, E costante)

P

r

r

E

+

+

+

+

+

λ =dqdL

h

r E ⋅d

r S ∫ =

r E ⋅d

r S

Basi∫

=0 r E è perpendicolare a d

r S

1 2 4 3 4

+r E ⋅d

r S

Superficielaterale

∫ =

= EdSSuperficielaterale

∫ =E dSSuperficielaterale=2πrh

∫ =E2πrh=λhεo

qint =λh

E =1

2πεo

λr

r

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Distribuzione piana

• In questo caso la simmetria del problema ci consente di affermare

– Il campo elettrico non può avere alcuna componente parallela alla distribuzione

• Perciò è diretto lungo la perpendicolare alla distribuzione piana

– L’intensità del campo elettrico non può dipendere dalle coordinate parallele alla distribuzione, ma, eventualmente, solo dalla distanza,r, del punto P dalla distribuzione.

– Il campo elettrico deve essere simmetrico in punti simmetrici che si trovano da parte opposta rispetto alla distribuzione

P

r

r

E

r

σ =dqdS

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Distribuzione piana• Si sceglie come superficie di Gauss un cilindro

– con l’asse perpendicolare alla distribuzione di carica

– di area di base arbitraria A

– di altezza pari a 2r, due volte la distanza del punto P dalla distribuzione

– simmetrico rispetto alla distribuzione

• Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo– E è perpendicolare a dS

• Sulle basi E è parallelo e concorde con dS

r

E

r

E

P

r

A

r E ⋅d

r S ∫ =

r E ⋅d

r S

Basi∫ +

r E ⋅d

r S

Superficielaterale

∫=0 r

E è perpendicolare a dr S

1 2 4 3 4

= EdSBasi∫ =E dS

Basi=2A

∫ =E2A =σAεo

σ =dqdS

qint =σA

E =σ

2εo

• Il campo elettrico è costante in modulo, direzione e verso in ciascuno dei due semispazi determinati dalla distribuzione di carica

• Il campo elettrico è simmetrico rispetto alla distribuzione di carica

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Doppia distribuzione piana

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

σ

2 εo

σ

2 εo

σ

2 εo

σ

2 εo

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

σ

εo

E = 0E = 0

• Consideriamo due piani paralleli carichi– con densità +σ e -σ rispettivamente

– A distanza arbitraria d tra di loro

• Determiniamo il campo elettrico in tutti i punti dello spazio con il principio di sovrapposizione

• Applicando Gauss abbiamo determinato il valore del campo elettrico per ciascuna delle due distribuzioni

• Il campo elettrico complessivo si otterrà sommando i valori dei ottenuti quando ciascuna distribuzione agisce separatamente

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Moto di cariche in un campo elettrico• Consideriamo un campo elettrico uniforme

realizzato mediante due distribuzioni uniformi piane di carica, diretto lungo l’asse y

• Consideriamo una carica q che si muove con velocità v lungo l’asse x

• La particella subisce una forza– Supponendo q positiva la forza sarà diretta come

il campo elettrico– Per q negativa avrebbe avuto verso opposto

• Applicando la seconda legge di Newton

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - -

v

x

y

L

r F =q

r E

r F =q

r E =m

r a

0 =max

qE=may

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒

uniformemoto

acceleratomoto uniformente

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒

x =vt

y = 12

qEm

t2

• Proiettando lungo gli assi e tenendo conto delle condizioni iniziali (xo=0, yo=0, vox=v, voy=0)

• Il moto è simile al moto del proiettile (traiettoria parabolica)

• Questa tecnica viene utilizzata per deflettere gli elettroni negli oscillografi

• o per deflettere gocce di inchiostro nelle stampanti a getto di inchiostro

L =vt* ⇒ t* =Lv

Tempo impiegato a percorrere la zona in cui è presente il campo elettrico

Deflessione all’uscita dal campo elettrico y =1

2qEm

t*( )2

=12

qEm

Lv

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

=12

qEL2

mv2

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L’energia potenziale elettrostatica

• Come la forza di gravitazione universale

• la forza di Coulomb è una forza centrale

• quindi è conservativa• Energia potenziale della forza di

gravitazione universale

• L’energia potenziale compete al sistema di cariche q1 q2.

• La carica q1, quando è da sola non possiede energia potenziale

x

y

z

r

r

r

F q

2

r

F q

1

q1

q2

U =1

4πεo

q1q2

r

U r( ) =−Gm1m2

r

o=8.85x10-12C2/Nm2

Il punto di riferimento si sceglie all’infinitoSi assegna energia potenziale nulla all’infinito.

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x

y

z

r

r

r

F q

2

r

F q

1

q1

q2

r

F C

r

F a

L’energia potenziale elettrostatica

• L’energia potenziale può essere interpretato come il minimo lavoro che bisogna effettuare per portare la carica q2 dall’infinito a distanza r dalla carica q1.

• Infatti, in condizioni quasi statiche, la forza applicata deve differire al più per un infinitesimo dalla forza di Coulomb

r F a =−

r F C

Se scegliamo un cammino radiale

ΔU =−r F C ⋅d

r r

∞

r

∫ =r F a ⋅d

r r

∞

r

∫

ΔU =U r( )−U ∞( )=0

1 2 3 =−r F C ⋅dr r

∞

r

∫ =−1

4πεo

q1q2

r2r u r ⋅drr u r

∞

r

∫ =

=q1q2

4πεo

1r

⎡ ⎣

⎤ ⎦ ∞

r

=1

4πεo

q1q2

r−0=

14πεo

q1q2

r

• Se le due cariche hanno lo stesso segno il lavoro fatto dalla forza applicata è positivo,

• così anche l’energia potenziale

• Se le due cariche hanno segno opposto il lavoro è negativo

• Così anche l’energia potenziale

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L’energia potenziale della carica q in presenza di un sistema di cariche

• Se tutte le cariche sono al finito • L’energia potenziale della carica q sarà dato dal lavoro necessario per portare la carica

dall’infinito alla posizione iniziale• oppure

• ri è la distanza della carica q dalla carica qi

x

y

z

r

r 1

q1

q

r

r 2

r

r 3

q2

q3

r

r

U r( )−U ∞( ) =−r F C ⋅d

r r

∞

r

∫ =

=−r F q1

+r F q2

+r F q3( )⋅d

r r

∞

r

∫ =1

4πεo

qi

rii=1

3

∑ NB: questa non è l’energia potenziale del sistema di carichePer calcolare questa energia va calcolato il lavoro necessario per costruire il sistema di carichePrima si trasporta q1: il lavoro in questo caso è nullo perché non ci sono altre carichePoi si trasporta q2: bisogna fare del lavoro contro la forza generata da q1.

Poi si trasporta q3: anche in questo caso si fa del lavoro contro le forze generate da q1 e q2. Etc.

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Il potenziale elettrostatico

• Così come abbiamo fatto nel caso del campo elettrico

• si definisce potenziale elettrostatico nel punto P, l’energia potenziale relativa alla carica q quando si trova in P diviso per la carica stessa

• Il potenziale elettrostatico è l’energia potenziale che spetterebbe alla carica unitaria posta nel punto considerato.

V =Uq

x

y

z

r

r

q1

q

• Per una carica puntiforme q1

V r( ) =1

4πεo

q1

rU r( ) =

14πεo

q1q

r

• Per un sistema di n cariche: q1,q2,…,qn

• ri è la distanza del punto P considerato dalla carica qi

V P( )=1

4πεo

qi

rii=1

n

∑

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Legame tra il potenziale e il campo elettrico

• V(P1) ---> U(P1) = q V(P1)

• V(P2) ---> U(P2) = q V(P2)

P1

P2

r

E

d

r

r

ΔV =ΔUq

=−Wif

qdalla definizione di energia potenziale

1 2 4 3 4 = −

1q

r F ⋅d

r r

i

f

∫utilizzando la definizione del lavoro

1 2 4 3 4 =−

1q

qr E ⋅d

r r =

i

f

∫utilizzando la definizione del campoeletrico

1 2 4 4 3 4 4 −

r E ⋅d

r r

i

f

∫

ΔV =V(P2)−V(P1) =U(P2)

q−

U(P1)q

=ΔUq

• NB: poiché la forza elettrostatica è conservativa, l’integrale puo essere effettuato su qualunque traiettoria che connette P1 a P2

• Se V>0 allora per q>0 anche U>0 ----> per la conservazione dell’energia K<0

• Se V<0 allora per q>0 anche U<0 ----> per la conservazione dell’energia K>0

• La carica q (positiva) si sposta spontaneamente verso punti a potenziale più basso, è necessaria una forza esterna per spostarla verso punti a potenziale più elevato

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Definizione generale del potenziale

• L’espressione

• Può essere assunta come la definizione del potenziale elettrico

• Per determinare V(P) occorre fissare il punto di riferimento Po

• Ed assegnare un valore arbitrario al potenziale V(Po), solitamente “zero”

• Se tutte le cariche sono al finito– Allora per Po si prende un punto

all’infinito

– E si assegna potenziale zero ai punto all’infinito

• Se non tutte le cariche sono al finito

– Per esempio un una distribuzione lineare indefinita di carica

– Si prende per P un punto a distanza unitaria, 1m, dalla distribuzione di carica

– Si assegna potenziale zero a tale punto

– Nel caso di una distribuzione piana

– Si assegna potenziale 0 ad un punto della distribuzione

ΔV =−

r E ⋅d

r r

i

f

∫

V P( )−V Po( ) =−

r E ⋅d

r r

Po

P

∫

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Superfici equipotenziali• Il luogo dei punti aventi lo stesso potenziale

• Per una carica puntiforme

• Le superfici equipotenziali sono delle superfici sferiche con centro nella carica

V =1

4πεo

q1

r

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Superfici equipotenziali e campo elettrico

• Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale.

• Consideriamo uno spostamento infinitesimo dr su una superficie equipotenziale: dr è tangente alla superficie equipotenziale.

• La variazione di potenziale dV sarà sempre uguale a zero per qualunque spostamento dr sulla superficie equipotenziale

• per le proprietà del prodotto scalare

dV =−r E ⋅d

r r =0 ⇒

r E ⊥d

r r

Le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali

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Differenza di potenziale tra due distribuzione piane e parallele di carica

• Sappiamo che– Il campo elettrico è perpendicolare

alle distribuzioni di carica

– È costante in modulo

– È diretto dal piano positivo a quello negativo

• Le superfici equipotenziali sono dei piani paralleli alle distribuzioni

• Le due distribuzioni stesse sono equipotenziali

• Chiamiamo Vi il potenziale della distribuzione positiva e Vf quello della distribuzione negativa

• Applichiamo la definizione di differenza di potenziale

+ + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - -

d

r

E

Vi

Vf

E =σεo

Vf −Vi =−

r E ⋅d

r r

i

f

∫

• Integriamo tra i ed f lungo una linea di forza del campo elettrico

• Con d la distanza tra le due distribuzioni

• Il potenziale della distribuzione negativa è più basso del potenziale della distribuzione positiva

• Il campo elettrico tra le distribuzioni vale

volt/m

Vf −Vi =−

r E ⋅d

r r

i

f

∫ =− Edli

f

∫ =−E dli

f

∫ =−Ed

E =Vi −Vf

d

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Calcolo del campo elettrico dal potenziale

• Supponiamo di conoscere il valore del potenziale in tutti i punti dello spazio

– È possibile determinare i valori del campo elettrico?

• Si, – Consideriamo uno spostamento

infinitesimo ds.

– La differenza di potenziale tra il punto iniziale e quello finale di ds ovviamente sarà infinitesima e varrà:

– Dalla definizione di prodotto scalare

– Derivata direzionale di V

• In generale

dV =−r E ⋅d

r s

dV =−Esds ⇒ Es =−dVds

dV =−r E ⋅dr s =−Exdx+Eydy+Ezdz( )

⇓Ex =−

dVdx

Ey =−dVdy

Ez =−dVdz

r E =−gradV=−

r ∇ V

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I conduttori in un campo elettrostatico

• Abbiamo identificato come conduttori quei materiali dotati di cariche in grado di muoversi all’interno del conduttore

• Quando il conduttore viene immerso in un campo elettrostatico, si ha uno spostamento delle cariche mobili

• È facile intuire – quando si raggiunge una condizione stazionaria– Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo– Se così non fosse, il campo elettrico agirebbe sulle cariche

mobili del conduttore accelerandole, contro l’ipotesi di condizione stazionaria

– Il campo elettrico immediatamente fuori al conduttore è perpendicolare al conduttore stesso (superficie equipotenziale)

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

−

−

−

−

appena inserito

una volta raggiunta la condizione

stazionaria

−

+

+

+

+

−

−

−

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

−

−

−

− • Un conduttore in condizioni stazionarie è equipotenziale

Vi −Vf =r E ⋅d

r r

i

f

∫r E =0 in ogni puntodel percorso

1 2 3 =0

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Localizzazione della carica sui conduttori in equilibrio

• Uu conduttore in equilibrio non ha accumuli di carica al suo interno.

• Dimostrazione– Applichiamo il teorema di Gauss ad una

qualunque superficie tutta interna al conduttore

– Sappiamo che nei conduttori in equilibrio il campo interno è nullo

– Il flusso del campo elettrico è nullo

– La carica interna alla superficie è nulla

– Questo vale per qualunque superficie all’interno del conduttore

• Conclusione

• Eventuali accumuli di carica sono localizzati sulla superficie del conduttore

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

−

−

−

−

Caso del conduttore inizialmente neutro

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Caso del conduttore inizialmente carico positivamente

La densità di carica dipende dal raggio di curvatura locale, più piccolo è il raggio più grande è la densità effetto puntaSuperficie sferica = distribuzione uniforme

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Campo elettrico sulla superficie di un conduttore

• Sappiamo che il campo elettrico esterno è perpendicolare alla superficie del conduttore stesso

• Applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica

– di altezza infinitesima,

– con una base tutta all’interno del conduttore

• Solo la base esterna contribuisce al flusso

– Se l’area di base è piccola possiamo supporre costante il campo elettrico

– Il flusso è EA

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

−

−

−

−

EA =σAεo

⇒ E =σεo

G.M. - Edile A 2002/03

Schermo elettrostatico• Consideriamo un conduttore con una cavità• Le due regioni delimitate dal conduttore

– La cavità– Lo spazio all’esterno del conduttore

• sono completamente indipendenti dal punto di vista elettrostatico

– Le azioni elettriche non si trasmettono dalla cavità allo spazio esterno del conduttore e viceversa

• Variando la disposizione delle cariche all’esterno del conduttore non è rilevabile alcun effetto all’interno della cavità

• Viceversa variando la disposizione delle cariche all’interno della cavità non è rivelabile alcun effetto all’esterno del conduttore

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

−

−

−

−

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

+

+

P1

P2

• La carica complessiva sulla superficie della cavità è nulla (teorema di Gauss)

• Ma non ci possono neppure essere accumuli di carica (circuitazione di E)

• Variando la disposizione delle cariche esterne, le conclusioni precedenti restano immutate

• Anche se si fornisce una carica q al conduttore cavo, questa si distribuisce sulla superficie esterna del conduttore (cariche dello stesso segno tendono ad allontanarsi il più possibile), lasciando invariate le condizioni della cavità

VP1

−VP2

=r E ⋅d

r r

P1

P1

∫

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Schermo elettrostatico

• Supponiamo ora di localizzare una carica q puntiforme all’interno della cavità di un conduttore cavo globalmente neutro

• Una carica uguale ma di segno opposto viene richiamata sulla superficie interna della cavità

– Per giustificare questa affermazione basta applicare il teorema di Gauss ad una superficie interna la conduttore che racchiuda la cavità

• Poiché il conduttore inizialmente era neutro, una carica dello stesso segno di quella posta nella cavità si affaccia sulla superficie esterna del conduttore

– Questa carica si distribuisce sulla superficie esterna sulla base delle altre cariche eventualmente presenti attorno al conduttore o, se se queste sono assenti, con una densità inversamente proporzionale al raggio di curvatura della superficie del conduttore

+

+

−

−

−

+

+

−

−

−

−

+

+

+

+

−

• Spostando la carica all’interno della cavità,

– la distribuzione delle cariche sulla superficie interna della cavità varia

– quella sulla superficie esterna del conduttore non cambia,

– nessun effetto legato agli spostamenti di cariche potrà essere notato all’esterno del conduttore cavo (effetto schermo)

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Schermo elettrostatico con geometria sferica

• La figura mostra la sezione trasversale di un guscio sferico conduttore di raggio interno r.

Una carica puntiforme di -5.0 C viene posta ad una distanza di R/2 dal centro del guscio.

Se il guscio è elettricamente neutro, quali sono le cariche indotte sulla superficie interna ed esterna?

Queste cariche sono uniformemente distribuite?

Qual è l’andamento del campo elettrico all’interno e all’esterno del guscio sferico?

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• Lastre conduttrici cariche a) b)• Lastre conduttrici affacciate

– Avvicinando le due lastre non possiamo semplicemente applicare il principio di sovrapposizione

– Perché avvicinando le due lastre le cariche si spostano fino a raggiungere la configurazione della figura c

• Effetti di bordo– Se le lastre non sono infinite, vicino ai bordi il campo elettrico non sarà costante

come per lastre indefinite.

– Neppure le line di forza saranno delle rette parallele perpendicolare alla lastre

• La dimensione della zona in cui si ha uno scostamento dalla situazione ideale è dell’ordine della distanza tra le piastre