Complementi ed esercizi di Fisica2J: Teorema di Ampère

La semplice constatazione che le linee di campo Br

sono chiuse suggerisce che l’integrale del campo lungo una di queste linee è diverso da zero (per confronto, si rammenti che l’integrale del campo elettrostatico lungo una qualunque linea chiusa è nullo). La formalizzazione di questa proprietà del campo magnetico è espressa dal teorema di Ampère che considera la circuitazione del campo lungo un qualunque cammino chiuso (non solo linee di campo):

4 M ii

B dl k Iπ= ∑∫rrgÑ

dove iI è la esima corrente circondata (concatenata) dal cammino di integrazione.

Occorre fare molta attenzione nell’eseguire la somma delle correnti. Al riguardo, si rammenti che il campo B

r dipende dal verso delle correnti: Ciò

impone di stabilire una relazione tra verso di percorrenza del cammino di integrazione e verso di riferimento positivo per le correnti. A questo proposito, si consideri una superficie che ha come contorno il cammino di integrazione. La superficie viene orientata secondo la regola della mano destra: il verso della normale alla superficie orientata è legato al verso sul contorno della superficie come mostrato in figura (estratta da H.C. Ohanian, Fisica vol. 2 – Zanichelli; questa ricorrenza della regola della mano destra in contesti differenti ha a che vedere con la presenza del prodotto vettoriale nella legge elementare della forza). Se una corrente concatenata attraversa la superficie concordemente al verso della normale (del pollice nella figura), allora essa entrerà nella somma con il segno positivo, altrimenti entrerà con il segno negativo

Tutto questo si formalizza meglio se si scrive la corrente totale come flusso di una densità di corrente:

C

ii A

I J n dA=∑ ∫r rg

dove CA è la superficie che ha per contorno il cammino di integrazione.

*) Si definisce permeabilità magnetica del vuoto0

0 44M Mk k µµ π

π= → =

*) Le quattro equazioni di Maxwell espresse in forma integrale per campi elettrici e magnetici non dipendenti dal tempo:

1) 0E dl =∫rrgÑ (da estendere per i campi dipendenti dal tempo)

2) int

0

QE n dAε

=∫r rgÑ (in questa forma intQ comprende anche le eventuali cariche di polarizzazione -

se si è nel dielettrico)

3) 0 ii

B dl Iµ= ∑∫rrgÑ (da estendere per i campi dipendenti dal tempo; in generale occorre considerare

anche gli effetti dovuti alla presenza di materiali - proprietà magnetiche della materia)4) 0B n dA =∫

r rgÑEsempiGli studenti sono invitati ad approfondire le applicazioni del teorema di Ampère ad alcuni casi notevoli riportati come esempi nel libri di testo: dimostrazione della legge di Biot-Savart; il solenoide. Riguardo al primo, lo si ripropone qui di seguito con piccole differenze rispetto all’usuale, per meglio chiarire l’interpretazione formale del teorema.

Facendo riferimento alla figura (estratta da Serway-Jewett, Fisica vol.2 -Edises), si consideri un cammino di integrazione che corrisponde alla linea del campo ma con verso opposto a quello di B

r. Il verso di riferimento positivo è anch’esso

opposto a quello della corrente:

0B dl Iµ= −∫rrgÑ

se usiamo B dl B dl= −rr rg (localmente, lo spostamento dl

r

lungo il cammino forma un angolo di 180° rispetto Br

) otteniamo il risultato atteso (per ragioni di simmetria, anche senza saperlo dalla legge di Biot Savart, ci aspettiamo B

r

=costante)

00

0

2 2 22 4 M

I I I IB dl B a B ka a a

µπ µµ π π

− = − = − → = = =∫rr r rÑ

Tuttavia, usando solo ragionamenti di simmetria, potremmo non conoscere il verso effettivo del

campo, lasciando a B il segno che risulta dal calcolo: B dl Bdl=rrg . In questo caso 2 M

IB ka

= − la

cui interpretazione diventa ovvia: il verso effettivo di Br

è opposto al quello del cammino di integrazione

Il solenoideIl solenoide rettilineo è un avvolgimento di un filo conduttore che costruisce una sequenza di spire che saranno, di conseguenza, percorse dalla stessa corrente. All’interno del solenoide il campo tenda ad assumere un andamento spaziale uniforme. Idealmente (solenoide illimitato), il campo è uniforme all'interno e nullo all'esterno, tranne che per una componente trasversale (ininfluente per il calcolo che seguirà) che si avrebbe comunque se al posto del solenoide ci fosse un filo conduttore rettilineo. Applicando il teorema di Ampère, con un cammino di integrazione come quello mostrato in figura, e tenendo conto del fatto che ogni volta che il conduttore attraversa la superficie aggiunge un contributo alla

somma delle correnti contemplata dal teorema, si ottiene:

0B dl Bl NIµ= =∫rrgÑ

dove si è usato il fatto che nei segmenti laterali del cammino, il campo è perpendicolare allo spostamento dl

r ( 0B dl =

rrg ). N

è il numero di spire che sono concatenate dal cammino di integrazione.

0 4 MN NB I k Il l

µ π= =

Il rapporto N/l definisce la densità del numero di spire.

(figure estratte da H. C. Ohanian, Fisica vol.2 - Zanichelli)Problema

CommentoLa superconduttività è una proprietà di molti materiali che sotto una certa temperatura presentano una resistenza nulla. Questa, però, non dipende dal fatto che gli elettroni smettono di interagire con il reticolo. Al contrario, nei superconduttori come il niobio (ad es. il piombo che notoriamente non è un buon conduttore) il reticolo gioca un ruolo importante nell'impedire che le interazioni con gli elettroni producano effetti dissipativi. Occorre dire che la superconduzione non è una proprietà che riguarda il trasporto degli elettroni considerati indipendentemente uno dall'altro (processi incoerenti), ma è da considerarsi come un effetto collettivo di tutti gli elettroni (processi coerenti). Va da sé che in un superconduttore si possono trasportare correnti molto elevate (necessarie per ottenere campi elevati come, ad esempio, negli strumenti per diagnostica NMR). A parte queste brevi informazioni, il problema chiede semplicemente di calcolare la corrente di soglia conoscendo il valore del campo che essa produrrebbe sulla superficie del filo superconduttore.

SoluzioneApplicando il teorema di Ampère su un cammino che disegna il perimetro circolare della sezione del filo abbiamo:

2 4 5002M

M

BaB a k I I Ak

π π= → = =

dove 1.00a mm= è il raggio del filo

Problema

Soluzione

Si applica il teorema di Ampère ai due cammini disegnati in figura. Su entrambi e stato scelto il verso di percorrenza antiorario. Per rispondere alla domanda (a) si considera il cammino interno il cui raggio è d. Si tenga presente che la corrente 1I è uscente, quindi concorde con il verso di riferimento secondo la regola della mano destra.

112 4 2M M

IB d k I B kd

π π= → =

Per rispondere alla domanda (b) si consideri il cammino esterno di raggio 3d. Si tenga presente che la corrente 2I è entrante, quindi deve essere inserita con il segno negativo nella somma delle correnti secondo il teorema di Ampère.

( ) ( )1 21 2

22 3 43M M

I IB d k I I B k

dπ π

−= − → =

Essendo 2 1I I> , è evidente che B<0. Ciò significa che il verso del campo all'esterno del cavo è orario.

Problema

Soluzione

Nella seguente figura viene mostrato un disegno che rappresenta un solenoide toroidale. L'induzione magnetica B

r nel toroide non è uniforme. Tuttavia, per evidente simmetria, il suo

modulo è costante lungo una linea circolare concentrica.

Si consideri un cammino di integrazione di raggio r. E' evidente che tutte la spire attraversano la superficie che ha per contorno questo cammino. Se ci si limita al solo calcolo del modulo del campo, si può scrivere

2 4 2M MNIB r k NI B kr

π π= → =r r

dove N=900 è il numero totale di spire. La domanda (a) evidentemente chiede di calcolare il campo lungo la circonferenza di raggio 1 0.700r m= , mentre la domanda (b) chiede il valore del campo lungo la circonferenza di raggio 2 1.30r m= .

Problema

Soluzione

Poiché il protone si mantiene parallelo al filo senza perciò cadere, si può affermare la la risultante di tutte le forze che agiscono su di esso è nulla:

0BmgF mg e B mg Be

υυ

+ = ∧ + = → =r r rrr r

dove si è tenuto conto che il campo e il vettore velocità sono perpendicolari tra loro; m è la massa del protone, g l'accelerazione di gravità, e la carica del protone.Il campo e dato dalla legge di Biot Savart

2 2 2M M MI I mg e IB k k d kd d e mg

υυ

= → = → =r

Problema

Soluzione

Per avere il modulo del campo ad una distanza r<R dal centro occorre conoscere la corrente che attraversa la sezione del conduttore di raggio r. Se la densità di corrente fosse uniforme, basterebbe moltiplicare questa per l'area del cerchio di raggio r. In questo caso dovremo fare un calcolo integrale di una funzione proporzionale a r

1

1( )

( )A r

I r J n dA= ∫r rg

dove 21 1( )A r rπ= . Per fare il calcolo consideriamo la superficie infinitesima compresa tra il cerchio

di raggio r e il cerchio di raggio r+dr:

2dA r drπ=Si rammenta che il verso della normale che compare nell'integrale di flusso della densità di corrente è legato al verso del cammino di integrazione per la circuitazione del campo. Scegliendo il verso antiorario, la normale risulterà essere concorde con il verso della corrente. Pertanto si potrà scrivere J n J br= =r rg . Si ottiene

11 1

1 1

2 3 31 1

0( ) ( ) 0 0

1 2( ) 2 2 23 3

rr r

A r A r

bI r J n dA JdA br rdr b r dr b r rππ π π = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫r rg

Utilizzando il teorema di Ampere su un cammino di raggio 1r , si ottiene21

11

( ) 423M M

I rB k k brr

π= =

Per avere il campo alla distanza 2r serve conoscere la corrente che attraversa tutta la sezione del conduttore. A questo scopo è sufficiente utilizzare il precedente risultato sostituendo 1r con il raggio del conduttore

32( )3

bI I R Rπ= =

Pertanto3

2 2

423M M

I RB k k br r

π= =

Problema

SoluzioneSi farà uso dei seguenti simboli:

Sl =lunghezza del solenoide

fl =lunghezza del filo conduttore

Sr =raggio del solenoide=1.00cm

fr =raggio della sezione del filo conduttore=0.250 mm

2f fA rπ= =area della sezione del filo conduttore

R=resistenza del filo=5.00 Ohmρ =resistività (rame) del filo a 20 °C= 81.70 10 m− ΩN=numero di spire del solenoideIl valore del campo all'interno del solenoide è dato dal problema, insieme a quello della corrente. Ciò permette di calcolare il rapporto / SN l , ossia dei due parametri incogniti oggetti delle domande (a) e (b):

44M

S S M

N N BB k Il l k I

ππ

= → =

Rispondendo alla prima domanda, ossia la determinazione di N, si potrà dare una risposta anche alla seconda domanda. La prima domanda, però deve essere riformulata nel modo seguente: data la lunghezza fl del filo conduttore, quante spire di raggio Sr si possono realizzare? La risposta è

2

f

S

lN

rπ=

(N dovrà essere un numero intero, quindi arrotondato per difetto). La lunghezza del filo si può calcolare usando le altre sue caratteristiche note:

f ff

f

l RAR l

Aρ

ρ= → =