Onde

si definisce onda una perturbazione che si propaga.

Non si ha propagazione di materia ma solo di

energia

onde meccaniche (mezzo)

onde elettromagnetiche

(vuoto, c = 299792458 m/s)

Onde Meccaniche perturbazione

attraverso un mezzo

onde trasversali: la perturbazione è perpendicolare alla direzione di propagazione

onde longitudinali: la perturbazione è parallela alla direzione di propagazione

L’onda ha una forma periodica sia in spazio che in tempo

Onda periodica (sinusoidale)

Ogni punto della corda oscilla verticalmente nella direzione y con un moto armonico.

Se l’onda si propaga con velocità v e la forma dell’impulso resta uguale, dopo un tempo t si ha che ciascun elemento della corda posto in x assume la stessa posizione verticale y che un elemento posto in x-v·t assumeva al tempo t=0

0,v, txytxy

In generale la funzione d’onda per un impulso in moto verso destra:

txftxy v,

Se invece l’impulso si propaga verso sinistra:

txftxy v,

caratteristiche della onde: , T,

y = f(x,t) onda unidimensionale

: la minima distanza tra 2 punti che oscillano

concordemente rispetto alla posizione di

equilibrio

T: il tempo minimo necessario

perché la perturbazione si ripeta

T = 1/

frequenza (), ampiezza (A) e fase () dell’onda dipendono dalla sorgente

lunghezza d’onda () e velocità di propagazione (v) dipendono anche dal mezzo

txfy

txfy

v

v

onda progressiva

onda regressiva

xfy profilo dell’onda

dt

dxv

velocità dell’onda

o velocità di fase

Fronti d’onda e raggi

fronte d’onda: luogo geometrico dei punti che vibrano in fase

superficie d’onda

onde circolari

onde rettilinee

onde sferiche

onde piane

in un mezzo omogeneo e isotropo la direzione di

propagazione è sempre perpendicolare al fronte d’onda

raggi

s

raggi

s

onde sinusoidali armoniche unidimensionali

xAxy

2sin0,

txAtxy v

2sin,

T

txAtxy

22sin,

fT

v tkxAtxy sin,

2k

fT

22

numero

d’onda

pulsazione

tkxAtxy sin,

equazione d’onda

fase

kv

velocità delle onde trasversali in una corda

Fv

= massa

per unità di L

1211

212

21

21

v

LT

ML

MLTF

energia trasmessa dxdm tkxAtxy sin,

moto armonico dell’elemento dx nella posizione x

ymmaykFel

2 ydt

yda 2

2

2

)(sin2

1

2

1

2

1 222222 tkxAdxymykdUel

)(cos2

1

2

1v

2

1 222222 tkxAdxydxmdK

22

2

1AdxdKdUdE 22

2

1Au

dx

dE v

2

1 22 APdt

dE

In un mezzo isotropo onde sferiche

24

P

rS

PI

Intensità di un’onda

I decresce con il quadrato della distanza

rA

AP

AP

1

v2

1

2

22

A decresce con la distanza

vd

p

rS

PI

2

2 2

1

4

P

Ivdp 2

Se l’intensità di un terremoto è1x106 W/m2 a 100 Km, quale sarà l’intensità a 50 Km?

24

P

rS

PI

P della sorgente costante

2

22

2

2

11

1

4

P

4

P

rS

PI

rS

PI

2

1

2

2

2

1

r

r

I

I

266

2

2

1002

50

2

10050 /10410)50(

)100(mWI

r

rIKm

Km

KmKm

onde riflesse e onde trasmesse in una corda

Fv

ITR AAA

BABA vv salto di fase di 180°

senza variazione di fase BABA vv

Le onde sonore:

Le onde sonore sono onde meccaniche longitudinali che si propagano nei mezzi comprimibili o elastici.

Le particelle del mezzo subiscono spostamenti avanti e indietro rispetto alle posizioni di equilibrio creando variazioni di densità e di pressione, quindi zone di compressione seguite da zone di rarefazione.

Frequenze rivelabili dall’orecchio umano: 20-20000 Hz Infrasuoni: < 20Hz Ultrasuoni: >20000 Hz

La velocità di propagazione del suono è diversa a seconda del mezzo in cui il suono si propaga:

Aria (20°C): 344 m/s Acqua (20°C): 1482 m/s Acciaio: 5940 m/s

onde sonore

tkxPPm

sin tkxssm

cos

mmsvP

90

onde di

pressione onde di

spostamento

Bv

VV

PB

v = 343 m/s

nell’aria (20°C)

24

P

rS

PI

v

2

1 22APdt

dE

Da 1 W/m2 a 10-12 W/m2

0

log10I

IdB

decibel

Se in una strada il livello del suono è di 50 dB, quale è l’intensità del suono?

0

log10I

IdB

0

log1050I

I

275125

0 /10101010 mWII

…e se mi avvicino di 10 volte alla strada, di quanto aumenta l’intensità?

22

2

10

11

4

P

rI

rS

PI

si definisce onda una perturbazione che si propaga.

Non si ha propagazione di materia ma solo di

energia

0,v, txytxy

22

2

1AdxdKdUdE

vd

p

rS

PI

2

2 2

1

4

P

Ricapitolando…

Onda periodica (sinusoidale)

Legame tra le grandezze caratterizzanti l’onda periodica:

• periodo (T) e frequenza (f) sono caratteristiche dell’onda, dipendono cioè solo dalla sorgente.

• lunghezza d’onda (), velocità (v) ed ampiezza (A) dipendono non solo dalla sorgente ma anche dal mezzo nel quale l’onda si propaga T

f1

vf

T

v

Funzione d’onda:

txsenAtxy v

2),(

tfxsenAtfxsenAtxy

2

22),(

Tf

22

frequenza angolare:

2k

numero d’onda:

vd

p

rS

PI

2

2 2

1

4

P

Ivdp 2

Se f=1GHz Con v=340 m/s (aria) o v=1450 m/s (acqua)

fT

vSi ottiene = 300 nm e 1500 nm

Direzionalità del fascio!

Applicazioni: • Diatermia • Terapia dei calcoli • Odontoiatria (rimozione tartaro o devitalizzazione • Oculistica (cataratta) • Chirurgia vascolare • Cura dei tumori

xeII 0 Legge di Beer-Lambert

Assorbimento dipende del materiali

L’effetto Doppler:

Effetto che si verifica ogniqualvolta si ha un moto relativo tra la sorgente dell’onda ed un osservatore: la frequenza percepita dall’osservatore è diversa da quella che caratterizza la sorgente. La differenza tra la frequenza percepita e quella della sorgente dipende dalla velocità relativa tra sorgente ed osservatore

Effetto Doppler moto relativo fra

sorgente e rivelatore

v,,0v fs

v,,0v fR

SS

S

fTT

f

TT

vv

v

vv

v

'

v'

vv'

S

Rffvv

vv'

fT

v

fv

vvvvvf RR

''

sorgenteeosservatorff Oo

v

vv

eosservatorsorgenteff o

sv-v

v

v=velocità di propagazione dell’onda vO=velocità dell’osservatore vS=velocità della sorgente

Esempi: - ecodoppler - red shift

movimentoineosservatoresorgenteff o

s

o

v-v

vv

se S e R si allontanano f’ < f

se S e R si avvicinano f’ > f

Un’onda sonora da 5000 Hz è emessa da una sirena. L’onda si riflette su una barca che si muove a 10 m/s verso la sorgente. Quale è la frequenza dell’onda riflessa?

v

vv' Rff Percepita dalla barca

S

ffvv

v'''

Onda riflessa percepita dalla sirena

Hzf 5150340

104035000'

Hzf 530610403

3405150''

Effetto Doppler

Esercizi

Un’onda di lunghezza d’onda di 0.6 m percorre su una corda una distanza di 8 m in 0.05 s. Calcolare la sua velocità e la sua frequenza

sms

m

t

x/160

05.0

8v

Hzm

smf 7.266

6.0

/160v

Esercizi

Determinare la lunghezza d’onda della luce gialla sapendo che la sua frequenza è pari a 5 1014 Hz

nms

sm

f600

10.5

/103v114

8

Esercizi Un’auto della polizia con una sirena a 1000 Hz si muove a 90 km/h. Calcolare la frequenza del suono quando (1) la macchina si avvicina all’ascoltatore fermo e (2) quando si allontana dall’ascoltatore fermo

sm /344v

eosservatorsorgenteff o

sv-v

v

sms

mhkm /25

3600

100090/90vs

Hzf o 4.107825-344

3441000

Hzf o 2.93225344

3441000

Esercizi Un fischietto che hai sempre usato per richiamare il tuo cane emette un suono con frequenza pari a 21 kHz. Il cane tuttavia ultimamente ignora il segnale. Per capire se il fischietto è ancora funzionante, visto che l’orecchio umano può percepire suoni con frequenze fino a 20 kHz, è necessario l’aiuto di un amico che usi il fischietto mentre tu ti muovi in motorino. In che direzione è necessario andare (verso l’amico o in senso opposto) e con quale velocità minima per capire se il fischietto è effettivamente ancora funzionate? (si consideri la velocità del suono in aria di 344 m/s)

Per percepire una frequenza di almeno 20 kHz è necessario allontanarsi dalla sorgente. La velocità minima deve essere tale da:

m/s344

v/4432120 Osm

kHzkHz

smkHzkHz

kHzsmsmo /1621

21

20/443/443v

hkm/58

Principio di sovrapposizione

la perturbazione in un punto in cui si

sovrappongono due o più onde dello stesso

tipo è, istante per istante, uguale alla somma

delle perturbazioni che le singole onde

produrrebbero in quel punto separatamente

oltre la regione di sovrapposizione

le onde proseguono indisturbate

teorema di Fourier

una qualsiasi funzione periodica può essere

espressa come la somma di più funzioni

sinusoidali (espansione in serie di Fourier)

interferenza consideriamo la sovrapposizione di 2 onde tali che:

vibrano nella stessa direzione,

hanno la stessa frequenza (sincrone)

hanno differenza di fase costante (coerenti)

tkxAy sin1

tkxAy sin2

tkxAtkxAyyy sinsin21

2sin

2cos2sinsin

bababa

2sin

2cos2

tkxAy

principio di sovrapposizione

ampiezza

termine oscillatorio

interferenza costruttiva

interferenza distruttiva

,...2,1,02 nn

,...2,1,012 nn

tkxAtxy sin2,

0, txy

differenza di fase e differenza di cammino

:2: r

2r

Se due onde uni-dimensionali sinusoidali con la stessa ampiezza massima e stessa frequenza si propagano in verso opposto, dalla loro sovrapposizione si origina un'onda stazionaria

L'argomento della funzione y non è del tipo kx±wt perciò l'onda y non si propaga ed è detta stazionaria.

tkxAy sin1 tkxAy sin2

)cos()sin(221 tkxAyyy

Onde Stazionarie

ampiezza

termine oscillatorio

Fv

fT

v

)cos()sin(221 tkxAyyy

La lunghezza d'onda in aria della luce verde di massima efficienza ottica è 0 = 550 nm. Determinare la sua frequenza f;

fT

v smc /103v 8

Hzc 14

9

8

104.510550

103f

Un’onda è descritta dall’espressione: y = Asen (kx −wt )con A = 0.02 m; k = 2.11 rad/m ; w = 3.62 rad/s . Determinare la lunghezza d’onda , la frequenza e la velocità dell’onda

Scrivere l’espressione di un’onda sinusoidale y che viaggia lungo una corda nel verso negativo dell’asse x con le seguenti caratteristiche ymax = 80cm, = 80cm; f = 3Hz, y(0,0) = 0.

tkxAy sin mcmA 8.080

185.78.0

22 mk

6322

2 f

T=0

Date le onde tkxAy sin2 tkxAy sin

1

Con A= 10 m =550 nm W1200

0.25

Qual è l’ampiezza dell’onda risultante ? (b) Qual è la frequenza dell’onda risultante ?

2sin

2cos2

tkxAy

Ampiezza

2

2

f

f

Non cambia!

2sin

2cos2

tkxAy

Distanza fra altoparlanti 1 m

Distanza persona 4 m

Frequenza 1200 Hz

mf

v28.0

1200

343

In /2 avrò un minimo=0.14m (quindi 4+0.14 o 4-0.14)

Interferenza nel tempo

Frequenza di battimento uguale alla differenza di frequenza fra le onde che la generano

Se la frequenza di un diapason è 500 Hz e la frequenza di battimento è 4 Hz, significa che il mio strumento è a 500 più o meno 4 Hz)